資源簡介

廣東省清遠市清新區第四中學教育集團六校聯考2024-2025學年八年級上學期11月期中數學試題
1．（2024八上·清新期中）化簡 的結果是（　　）
A．8 B．4 C．﹣2 D．2
2．（2024八上·清新期中）《九章算術》中記載：“今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛．問大、小器各容幾何？”（斛：古量器名，容量單位）其大意是：今有大容器5個，小容器1個，總容量為3斛；大容器1個，小容器5個，總容量為2斛．問大容器、小容器的容積各是多少斛？設大容器的容積為x斛，小容器的容積為y斛，根據題意，可列方程組為（　　）
A． B． C． D．
3．（2024八上·清新期中）某同學在研究傳統文化“抖空竹”時有一個發現：他把它抽象成數學問題，如圖所示：已知，，， 則的度數是（　　）
A．38° B．44° C．46° D．56°
4．（2024八上·清新期中）如圖，下列兩個角是同位角的是（　　）
A．與 B．與 C．與 D．與
5．（2024八上·清新期中）如圖，，，則點到的距離為（　　）
A．3 B．8 C．10 D．12
6．（2024八上·清新期中）若與是同位角，且，則是（　　）
A． B． C．或 D．不能確定
7．（2024八上·清新期中）在實數、3.1415、、、、2.12312231223……（1和3之間的2逐次加1個）中，無理數的個數為（　　）
A．2個 B．3個 C．4個 D．5個
8．（2024八上·清新期中） 如圖，已知直線AB與CD平行，直線EF與AB，CD分別交于點E，F，若∠1=125°，則∠2=(　　)
A．65° B．55° C．50° D．45°
9．（2024八上·清新期中）五月份學校將舉辦“雅信杯”校園好聲音大賽，某班進行了預選賽，為鼓勵同學們，老師花了48元錢買了甲、乙兩種（兩種都買）勵志標語牌作為獎品．已知甲種勵志標語牌每個6元，乙種勵志標語牌每個4元，則老師購買勵志標語牌的方案共有（　　）
A．1種 B．2種 C．3種 D．4種
10．（2024八上·清新期中）如圖所示，下列語句描述正確的是（　　）
①若∠1=∠3，則AB∥DC；②若∠C+∠1+∠4=180°，則AD∥BC；③∠A=∠C，∠ABC=∠ADC，則AB∥DC；④若∠2=∠4，BD平分∠ABC，則BC=CD；⑤若AD∥BC，∠A=∠C，則AB∥DC．
A． B． C． D．
11．（2024八上·清新期中）4的平方根是　 　，算術平方根是　 　．
12．（2024八上·清新期中）已知關于的二元一次方程組的解滿足，則實數的值為　 　．
13．（2024八上·清新期中）如果是關于x、y的二元一次方程，那么的值是　 　．
14．（2024八上·清新期中）如圖，AB∥CD，∠BOC＝100°，BE，CF分別平分∠ABO，∠OCD，則∠2﹣∠1＝　 　．
15．（2024八上·清新期中）如圖，下列條件：①；②；③；④，能判斷的是　 　．
16．（2024八上·清新期中）點向右平移3個單位，再向上平移4個單位，得到的點的坐標為　 　．
17．（2024八上·清新期中）（1）解方程：；
（2）計算：．
18．（2024八上·清新期中）隨著大陸惠及臺胞政策措施的落實，臺灣水果進入了大陸市場，一水果經銷商購進了A，B兩種臺灣水果各10箱，分配給他的甲，乙兩個零售店（分別簡稱甲店、乙店）銷售，預計每箱水果的盈利情況如下表：
　 A種水果/箱 B種水果/箱
甲店 11元 17元
乙店 9元 13元
有兩種配貨方案（整箱配貨）：
方案一：甲，乙兩店各配貨10箱，其中A種水果兩店各5箱，B種水果兩店各5箱；
方案二：按照甲、乙兩店盈利相同配貨，其中A種水果甲店幾箱，乙店幾箱？B種水果甲店幾箱，乙店幾箱？
（1）如果按照方案一配貨，請你計算出經銷商能盈利多少元；
（2）請你將方案二補充完整，寫出所有結果，并將你填寫的方案二與方案一做比較，得出哪一種方案盈利較多．
19．（2024八上·清新期中）問題探究：
（1）如圖1，，求證：．
（2）如圖2，，的平分線與的平分線相交于點G，，則的度數為　 　．
（3）問題遷移：
如圖3，，EF平分，FD平分．若，請求出的度數．
20．（2024八上·清新期中）某校在2021年組織七年級學生參加研學活動，租用二種不同型號的客車，每輛座位如下表：
客車型號 A B
人數/輛 28 49
若租用 A型客車5輛和 B型客車2輛，則需要租金2500元；若租用 A型客車1輛和 B型客車5輛，則需要租金 2800 元.
（1）求租用A，B兩種型號客車，每輛車租金分別是多少元？
（2）現有七年級14個班級的學生588人，現計劃同時租用兩種型號客車，一次送完，且恰好每輛車都坐滿，為節約成本，則租用 A型客車和 B型客車各多少輛，需要花費多少錢？
21．（2024八上·清新期中）如圖1，這是一個3階魔方，由三層完全相同的小立方體組成，體積為27．
（1）求出這個魔方的棱長．
（2）圖中陰影部分是一個正方形，求出陰影部分的面積及其邊長．
（3）在圖2的方格中畫一個面積為10的正方形；并將數軸補充完整，然后用圓規在數軸上表示實數．
答案解析部分
1．【答案】D
【知識點】立方根及開立方
【解析】【解答】解： =2，
故選：D．
【分析】根據立方根的定義，即可解答．
2．【答案】A
【知識點】列二元一次方程組
【解析】【解答】解：設大容器的容積為x斛，小容器的容積為y斛，
根據題意列方程為：，
故答案為：A．
【分析】根據大、小容器的數量與總容量的關系，分別列出兩個關于x、y的方程，組成方程組.
3．【答案】A
【知識點】鄰補角；兩直線平行，同位角相等
【解析】【解答】如下圖，延長CD，交AE于點F
∵AB∥FD，∠BAE=82°
∴∠EFC=82°
∵∠ECD=120°
∴∠ECF=60°
∴∠E=38°
故答案為：A
【分析】本題關鍵是利用平行公理推論（平行于同一直線的兩直線互相平行 ）作輔助線，構造出與已知角（、 ）相關的同旁內角，再依據“兩直線平行，同旁內角互補”，分別求出與相關的角，最后通過角的和差關系算出的度數 。
4．【答案】D
【知識點】同位角的概念
【解析】【解答】解：∠1與∠2，是內錯角，選項A不符合題意；
∠1與∠3，是同旁內角，選項B不符合題意；
∠1與∠4，是對頂角，選項C不符合題意；
∠2與∠4是同位角，選項D不符合題意；
故答案為：D．
【分析】核心是依據同位角的定義，逐一分析每個選項中角的位置關系，判斷是否符合同位角的特征.
5．【答案】A
【知識點】平行線之間的距離；三角形的面積
【解析】【解答】解：∵，，
∴
∴點到的距離為，
故答案為：A．
【分析】利用平行線間距離處處相等，得出與面積相等，再結合三角形面積公式求出點到的距離.
6．【答案】D
【知識點】同位角的概念
【解析】【解答】解：∵與是同位角，且，但是并沒有說明是兩條平行直線形成的同位角，
∴與的大小關系是無法確定的，
故答案為：D．
【分析】本題核心是理解同位角的性質前提：同位角相等的結論，必須建立在“兩直線平行”的條件上，題目僅告知“是同位角”，未限定兩直線平行，因此無法確定的具體度數，需根據“平行與否”的分類討論，判斷的可能性 .
7．【答案】C
【知識點】無理數的概念
【解析】【解答】解：∵，為有理數，
∴無限不循環小數：、、、2.12312231223……（1和3之間的2逐次加1個）
故答案為：C.
【分析】利用無理數的定義（無限不循環小數稱為無理數）逐個分析判斷求解即可.
8．【答案】B
【知識點】平行線的性質
【解析】【解答】解：∵∠1=125°，
∴∠AEC=180°-125°=55°，
∵AB∥CD，
∴∠2=∠AEC=55°，
故答案為：B．
【分析】先通過鄰補角定義（平角為 ），由算出其鄰補角的度數；再依據平行線的性質（兩直線平行，同位角相等 ），將與關聯，得出的度數 。
9．【答案】C
【知識點】二元一次方程的解
【解析】【解答】解：設購買甲種標語牌個，乙種標語牌個，由題意，得：，
∴，
∵為正整數，
∴，
∴共有3種方案，
故答案為：C．
【分析】本題通過設未知數（甲、乙標語牌數量 ），依據“總價 = 單價×數量”列二元一次方程，再結合“正整數解”（兩種都買， ）的限制條件，通過對取值（的倍數 ）的討論，求出所有符合題意的方案數量 .
10．【答案】B
【知識點】平行線的判定與性質
【解析】【解答】解：∵∠1=∠3，
∴AD∥BC故①錯誤
∵∠C+∠1+∠4=180°，則∠C+∠ADC=180°
∴AD∥BC故②正確
∵∠A=∠C，∠ABC=∠ADC，且∠A+∠C+∠ABC+∠ADC=360°
∴∠C+∠ABC=180°
∴AB∥DC；故③正確
∵BD平分∠ABC
∴∠2=∠3且∠2=∠4
∴∠3=∠4，
∴BC=CD故④正確
∵AD∥BC
∴∠A+∠ABC=180°且∠A=∠C
∴∠ABC+∠C=180°
∴AB∥CD故⑤正確
故答案為：B．
【分析】先通過識別角的位置關系（內錯角、同旁內角 ），結合已知角的數量關系，判斷直線是否平行；然后利用角平分線性質和等角關系，推導邊的數量關系（等腰 ）。通過分類驗證每個語句的邏輯合理性，確定正確選項 .
11．【答案】±2；2
【知識點】開平方（求平方根）；求算術平方根
【解析】【解答】解：4的平方根是=±2，算術平方根是=2．
故答案為±2；2．
【分析】1.平方根包含正負兩個值（滿足平方等于原數 ）.
2.算術平方根是平方根中的非負數值。通過定義直接推導4的平方根和算術平方根，區分兩者的取值差異（平方根有正負，算術平方根僅取正 ）.
12．【答案】-1
【知識點】解含分數系數的一元一次方程；加減消元法解二元一次方程組
【解析】【解答】解：得：，
∵x+y=3，
∴，
解得：k=-1.
故答案為：-1.
【分析】利用加減消元法求出二元一次方程組的解，結合x+y=3可得關于k的方程，求解即可.
13．【答案】2
【知識點】二元一次方程的概念；加減消元法解二元一次方程組
【解析】【解答】解：由題意得，
解得，
∴
故答案為：
【分析】根據二元一次方程中未知數次數為的定義，列出關于、的方程組，通過代入消元法求解、，再代入計算的值.
14．【答案】40°
【知識點】平行公理及推論；平行線的判定與性質；角平分線的概念
【解析】【解答】解：過點O作OG∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥OG∥CD，
∵BE平分∠ABO，
∴∠4=∠ABO=2∠1，∠5=∠3，
∵∠BOC=100°，即∠4+∠5=2∠1+∠3=100°，
∴∠3=100°-2∠1，
∵CF平分∠OCD，
∴2∠2=180°-∠3=180°-(100°-2∠1)=80°+2∠1，
∴2∠2-2∠1=80°，
∴∠2-∠1=40°．
故答案為：40°．
【分析】通過作輔助線，利用平行線的傳遞性得到，再結合角平分線的定義和平行線的性質，推導與的數量關系.
15．【答案】①③④
【知識點】平行線的判定；對頂角及其性質
【解析】【解答】解：①，根據內錯角相等，兩直線平行，可判斷；
②，根據同位角相等，兩直線平行，可判斷；
③，根據同旁內角互補，兩直線平行，可判斷；
④，
，根據同旁內角互補，兩直線平行，可判斷；
綜上，能判斷的是①③④，
故答案為：①③④．
【分析】依據平行線的判定定理（ 內錯角相等、同旁內角互補時兩直線平行 ），逐一分析每個條件中角的關系，判斷是否能推出.
16．【答案】
【知識點】沿著坐標軸方向平移的點的坐標特征
【解析】【解答】解：∵點向右平移3個單位，再向上平移4個單位，∴所得點的橫坐標為：，縱坐標為：，
∴.
故答案為：．
【分析】根據點的坐標的平移規律“右加左減、上加下減”即可求解．
17．【答案】解：（1），
，
，
解得，或
（2）
【知識點】實數的絕對值；實數的混合運算（含開方）；利用開平方求未知數
【解析】【分析】（1） 利用平方根的定義，將方程轉化為關于的等式，進而求解.
（2） 分別根據平方根、絕對值、立方根的性質化簡各項，再進行實數的加減運算.
18．【答案】（1）解：元.
∴經銷商能盈利250元.
（2）解：設按照甲、乙兩店盈利相同配貨，其中A種水果甲店x箱，B種水果甲店y箱由題意得：
∵，
當時，方程有整數解
答：A種水果甲店5箱，乙店5箱，B種水果甲店4箱，乙店6箱；A種水果甲店2箱，乙店8箱。B種水果甲店6箱，乙店4箱；A種水果甲店8箱，乙店2箱。B種水果甲店2箱，乙店8箱；
元
元
元
∵
∴方案一盈利較多.
【知識點】二元一次方程的解；有理數混合運算的實際應用
【解析】【分析】（1）方案一：利用 “單價 × 數量 = 總價”，將兩店各類水果盈利相加，因配貨對稱（各5箱 ），直接分組計算總盈利.
（2）方案二：通過設未知數表示甲店配貨量，根據 “兩店盈利相等” 列方程，結合整數約束（箱數為0 - 10整數 ）求所有可能解，再分別計算總盈利，與方案一對比得出結論.
（1）元
∴經銷商能盈利250元
（2）設按照甲、乙兩店盈利相同配貨，其中A種水果甲店x箱，B種水果甲店y箱
由題意得：
∵，
當時，方程有整數解
答：A種水果甲店5箱，乙店5箱，B種水果甲店4箱，乙店6箱；A種水果甲店2箱，乙店8箱。B種水果甲店6箱，乙店4箱；A種水果甲店8箱，乙店2箱。B種水果甲店2箱，乙店8箱；
元
元
元
∵
∴方案一盈利較多；
19．【答案】（1）證明：過點E作，∵，，
∴，
∴，，
∴．
（2）28°
（3）解：∵，∴設，．
由（1）得，
∵EF平分，FD平分，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴．
【知識點】平行公理及推論；平行線的性質；內錯角的概念；角平分線的概念；豬蹄模型
【解析】【解答】解：（2）解：由（1）得，，過點G作FH∥AB，
∵AB∥CD，
∴，
∴，，
∴．
又的平分線與的平分線相交于點G，
∴∠1=，∠2=，
∴，
又∠BED=56°，
∴∠BGD=28°．
故答案為：28°．
【分析】（1）通過作輔助線構造平行關系，利用平行線內錯角相等的性質，證明角的關系.
（2）先依據（1）的結論得到與、的關系，再結合角平分線的定義，求出.
（3）根據角的比例關系設未知數，結合（1）的結論、角平分線定義以及平行線性質，列方程求解的度數.
（1）證明：過點E作，
∵，，
∴，
∴，，
∴．
（2）解：由（1）得，，
過點G作FH∥AB，
∵AB∥CD，
∴，
∴，，
∴．
又的平分線與的平分線相交于點G，
∴∠1=，∠2=，
∴，
又∠BED=56°，
∴∠BGD=28°．
故答案為：28°．
（3）解：∵，
∴設，．
由（1）得，
∵EF平分，FD平分，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴．
20．【答案】（1）解：設A型車每輛的租金為x，B型車每輛的租金為y，由題意可得：，
解得：，
∴A型車每輛的租金為300元，B型車每輛的租金為500元.
（2）解：設租用A型車輛a輛，B型車輛b輛，28a+49b=588，
化簡得：4a+7b=84，
∴，
∴當b=4，a=14，需要花費14×300+4×500=6200元；
當b=8，a=7，需要花費7×300+8×500=6100元，
∴租用A型客車14輛，B型客車4輛，需要花費6200元；租用A型客車7輛，B型客車8輛，需要花費6100元．
【知識點】二元一次方程的解；二元一次方程組的實際應用-方案選擇題問題
【解析】【分析】（1）通過設未知數，依據兩種租車方案的租金總費用，建立二元一次方程組，利用消元法求解租金單價.
（2）根據總人數列二元一次方程，結合正整數約束（車輛數為正 ），通過分析倍數關系確定可能的租車組合，再計算費用對比，找到符合 “兩種都租” 的方案.
（1）解：設A型車每輛的租金為x，B型車每輛的租金為y，
由題意可得：，
解得：，
∴A型車每輛的租金為300元，B型車每輛的租金為500元；
（2）設租用A型車輛a輛，B型車輛b輛，
28a+49b=588，
化簡得：4a+7b=84，
∴，
∴當b=4，a=14，需要花費14×300+4×500=6200元；
當b=8，a=7，需要花費7×300+8×500=6100元，
∴租用A型客車14輛，B型客車4輛，需要花費6200元；租用A型客車7輛，B型客車8輛，需要花費6100元．
21．【答案】（1）解：設魔方的棱長為x，根據題意，得，
解得．
故魔方的棱長為3．
（2）解：陰影部分的面積為：，
正方形的邊長為.
（3）解：如圖，正方形為所求作的正方形，以點O為原點，建立如圖所示的數軸，以點O為圓心，為半徑畫弧，交數軸上一點D，則點D表示的數為，
圖中正方形的面積為：，
正方形的邊長，
∴，
∴點D表示的數為．
【知識點】實數在數軸上表示；三角形的面積；算術平方根的實際應用；立方根的實際應用
【解析】【分析】（1）棱長計算：利用正方體體積公式，通過開立方直接求解.
（2）陰影面積：用“補形法”，通過大正方形（魔方面 ）面積減去外圍三角形面積，間接求陰影面積；再由正方形面積公式開方得邊長.
（3）畫正方形與表示數：利用勾股定理構造直角邊，生成斜邊（正方形邊長 ），通過“割補法”畫正方形；結合數軸與圓規，利用邊長（半徑 ）在數軸負方向截取，體現數形結合.
（1）解：設魔方的棱長為x，根據題意，得，
解得．
故魔方的棱長為3．
（2）解：陰影部分的面積為：，
正方形的邊長為；
（3）解：如圖，正方形為所求作的正方形，以點O為原點，建立如圖所示的數軸，以點O為圓心，為半徑畫弧，交數軸上一點D，則點D表示的數為，
圖中正方形的面積為：，
正方形的邊長，
∴，
∴點D表示的數為．
1 / 1廣東省清遠市清新區第四中學教育集團六校聯考2024-2025學年八年級上學期11月期中數學試題
1．（2024八上·清新期中）化簡 的結果是（　　）
A．8 B．4 C．﹣2 D．2
【答案】D
【知識點】立方根及開立方
【解析】【解答】解： =2，
故選：D．
【分析】根據立方根的定義，即可解答．
2．（2024八上·清新期中）《九章算術》中記載：“今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛．問大、小器各容幾何？”（斛：古量器名，容量單位）其大意是：今有大容器5個，小容器1個，總容量為3斛；大容器1個，小容器5個，總容量為2斛．問大容器、小容器的容積各是多少斛？設大容器的容積為x斛，小容器的容積為y斛，根據題意，可列方程組為（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知識點】列二元一次方程組
【解析】【解答】解：設大容器的容積為x斛，小容器的容積為y斛，
根據題意列方程為：，
故答案為：A．
【分析】根據大、小容器的數量與總容量的關系，分別列出兩個關于x、y的方程，組成方程組.
3．（2024八上·清新期中）某同學在研究傳統文化“抖空竹”時有一個發現：他把它抽象成數學問題，如圖所示：已知，，， 則的度數是（　　）
A．38° B．44° C．46° D．56°
【答案】A
【知識點】鄰補角；兩直線平行，同位角相等
【解析】【解答】如下圖，延長CD，交AE于點F
∵AB∥FD，∠BAE=82°
∴∠EFC=82°
∵∠ECD=120°
∴∠ECF=60°
∴∠E=38°
故答案為：A
【分析】本題關鍵是利用平行公理推論（平行于同一直線的兩直線互相平行 ）作輔助線，構造出與已知角（、 ）相關的同旁內角，再依據“兩直線平行，同旁內角互補”，分別求出與相關的角，最后通過角的和差關系算出的度數 。
4．（2024八上·清新期中）如圖，下列兩個角是同位角的是（　　）
A．與 B．與 C．與 D．與
【答案】D
【知識點】同位角的概念
【解析】【解答】解：∠1與∠2，是內錯角，選項A不符合題意；
∠1與∠3，是同旁內角，選項B不符合題意；
∠1與∠4，是對頂角，選項C不符合題意；
∠2與∠4是同位角，選項D不符合題意；
故答案為：D．
【分析】核心是依據同位角的定義，逐一分析每個選項中角的位置關系，判斷是否符合同位角的特征.
5．（2024八上·清新期中）如圖，，，則點到的距離為（　　）
A．3 B．8 C．10 D．12
【答案】A
【知識點】平行線之間的距離；三角形的面積
【解析】【解答】解：∵，，
∴
∴點到的距離為，
故答案為：A．
【分析】利用平行線間距離處處相等，得出與面積相等，再結合三角形面積公式求出點到的距離.
6．（2024八上·清新期中）若與是同位角，且，則是（　　）
A． B． C．或 D．不能確定
【答案】D
【知識點】同位角的概念
【解析】【解答】解：∵與是同位角，且，但是并沒有說明是兩條平行直線形成的同位角，
∴與的大小關系是無法確定的，
故答案為：D．
【分析】本題核心是理解同位角的性質前提：同位角相等的結論，必須建立在“兩直線平行”的條件上，題目僅告知“是同位角”，未限定兩直線平行，因此無法確定的具體度數，需根據“平行與否”的分類討論，判斷的可能性 .
7．（2024八上·清新期中）在實數、3.1415、、、、2.12312231223……（1和3之間的2逐次加1個）中，無理數的個數為（　　）
A．2個 B．3個 C．4個 D．5個
【答案】C
【知識點】無理數的概念
【解析】【解答】解：∵，為有理數，
∴無限不循環小數：、、、2.12312231223……（1和3之間的2逐次加1個）
故答案為：C.
【分析】利用無理數的定義（無限不循環小數稱為無理數）逐個分析判斷求解即可.
8．（2024八上·清新期中） 如圖，已知直線AB與CD平行，直線EF與AB，CD分別交于點E，F，若∠1=125°，則∠2=(　　)
A．65° B．55° C．50° D．45°
【答案】B
【知識點】平行線的性質
【解析】【解答】解：∵∠1=125°，
∴∠AEC=180°-125°=55°，
∵AB∥CD，
∴∠2=∠AEC=55°，
故答案為：B．
【分析】先通過鄰補角定義（平角為 ），由算出其鄰補角的度數；再依據平行線的性質（兩直線平行，同位角相等 ），將與關聯，得出的度數 。
9．（2024八上·清新期中）五月份學校將舉辦“雅信杯”校園好聲音大賽，某班進行了預選賽，為鼓勵同學們，老師花了48元錢買了甲、乙兩種（兩種都買）勵志標語牌作為獎品．已知甲種勵志標語牌每個6元，乙種勵志標語牌每個4元，則老師購買勵志標語牌的方案共有（　　）
A．1種 B．2種 C．3種 D．4種
【答案】C
【知識點】二元一次方程的解
【解析】【解答】解：設購買甲種標語牌個，乙種標語牌個，由題意，得：，
∴，
∵為正整數，
∴，
∴共有3種方案，
故答案為：C．
【分析】本題通過設未知數（甲、乙標語牌數量 ），依據“總價 = 單價×數量”列二元一次方程，再結合“正整數解”（兩種都買， ）的限制條件，通過對取值（的倍數 ）的討論，求出所有符合題意的方案數量 .
10．（2024八上·清新期中）如圖所示，下列語句描述正確的是（　　）
①若∠1=∠3，則AB∥DC；②若∠C+∠1+∠4=180°，則AD∥BC；③∠A=∠C，∠ABC=∠ADC，則AB∥DC；④若∠2=∠4，BD平分∠ABC，則BC=CD；⑤若AD∥BC，∠A=∠C，則AB∥DC．
A． B． C． D．
【答案】B
【知識點】平行線的判定與性質
【解析】【解答】解：∵∠1=∠3，
∴AD∥BC故①錯誤
∵∠C+∠1+∠4=180°，則∠C+∠ADC=180°
∴AD∥BC故②正確
∵∠A=∠C，∠ABC=∠ADC，且∠A+∠C+∠ABC+∠ADC=360°
∴∠C+∠ABC=180°
∴AB∥DC；故③正確
∵BD平分∠ABC
∴∠2=∠3且∠2=∠4
∴∠3=∠4，
∴BC=CD故④正確
∵AD∥BC
∴∠A+∠ABC=180°且∠A=∠C
∴∠ABC+∠C=180°
∴AB∥CD故⑤正確
故答案為：B．
【分析】先通過識別角的位置關系（內錯角、同旁內角 ），結合已知角的數量關系，判斷直線是否平行；然后利用角平分線性質和等角關系，推導邊的數量關系（等腰 ）。通過分類驗證每個語句的邏輯合理性，確定正確選項 .
11．（2024八上·清新期中）4的平方根是　 　，算術平方根是　 　．
【答案】±2；2
【知識點】開平方（求平方根）；求算術平方根
【解析】【解答】解：4的平方根是=±2，算術平方根是=2．
故答案為±2；2．
【分析】1.平方根包含正負兩個值（滿足平方等于原數 ）.
2.算術平方根是平方根中的非負數值。通過定義直接推導4的平方根和算術平方根，區分兩者的取值差異（平方根有正負，算術平方根僅取正 ）.
12．（2024八上·清新期中）已知關于的二元一次方程組的解滿足，則實數的值為　 　．
【答案】-1
【知識點】解含分數系數的一元一次方程；加減消元法解二元一次方程組
【解析】【解答】解：得：，
∵x+y=3，
∴，
解得：k=-1.
故答案為：-1.
【分析】利用加減消元法求出二元一次方程組的解，結合x+y=3可得關于k的方程，求解即可.
13．（2024八上·清新期中）如果是關于x、y的二元一次方程，那么的值是　 　．
【答案】2
【知識點】二元一次方程的概念；加減消元法解二元一次方程組
【解析】【解答】解：由題意得，
解得，
∴
故答案為：
【分析】根據二元一次方程中未知數次數為的定義，列出關于、的方程組，通過代入消元法求解、，再代入計算的值.
14．（2024八上·清新期中）如圖，AB∥CD，∠BOC＝100°，BE，CF分別平分∠ABO，∠OCD，則∠2﹣∠1＝　 　．
【答案】40°
【知識點】平行公理及推論；平行線的判定與性質；角平分線的概念
【解析】【解答】解：過點O作OG∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥OG∥CD，
∵BE平分∠ABO，
∴∠4=∠ABO=2∠1，∠5=∠3，
∵∠BOC=100°，即∠4+∠5=2∠1+∠3=100°，
∴∠3=100°-2∠1，
∵CF平分∠OCD，
∴2∠2=180°-∠3=180°-(100°-2∠1)=80°+2∠1，
∴2∠2-2∠1=80°，
∴∠2-∠1=40°．
故答案為：40°．
【分析】通過作輔助線，利用平行線的傳遞性得到，再結合角平分線的定義和平行線的性質，推導與的數量關系.
15．（2024八上·清新期中）如圖，下列條件：①；②；③；④，能判斷的是　 　．
【答案】①③④
【知識點】平行線的判定；對頂角及其性質
【解析】【解答】解：①，根據內錯角相等，兩直線平行，可判斷；
②，根據同位角相等，兩直線平行，可判斷；
③，根據同旁內角互補，兩直線平行，可判斷；
④，
，根據同旁內角互補，兩直線平行，可判斷；
綜上，能判斷的是①③④，
故答案為：①③④．
【分析】依據平行線的判定定理（ 內錯角相等、同旁內角互補時兩直線平行 ），逐一分析每個條件中角的關系，判斷是否能推出.
16．（2024八上·清新期中）點向右平移3個單位，再向上平移4個單位，得到的點的坐標為　 　．
【答案】
【知識點】沿著坐標軸方向平移的點的坐標特征
【解析】【解答】解：∵點向右平移3個單位，再向上平移4個單位，∴所得點的橫坐標為：，縱坐標為：，
∴.
故答案為：．
【分析】根據點的坐標的平移規律“右加左減、上加下減”即可求解．
17．（2024八上·清新期中）（1）解方程：；
（2）計算：．
【答案】解：（1），
，
，
解得，或
（2）
【知識點】實數的絕對值；實數的混合運算（含開方）；利用開平方求未知數
【解析】【分析】（1） 利用平方根的定義，將方程轉化為關于的等式，進而求解.
（2） 分別根據平方根、絕對值、立方根的性質化簡各項，再進行實數的加減運算.
18．（2024八上·清新期中）隨著大陸惠及臺胞政策措施的落實，臺灣水果進入了大陸市場，一水果經銷商購進了A，B兩種臺灣水果各10箱，分配給他的甲，乙兩個零售店（分別簡稱甲店、乙店）銷售，預計每箱水果的盈利情況如下表：
　 A種水果/箱 B種水果/箱
甲店 11元 17元
乙店 9元 13元
有兩種配貨方案（整箱配貨）：
方案一：甲，乙兩店各配貨10箱，其中A種水果兩店各5箱，B種水果兩店各5箱；
方案二：按照甲、乙兩店盈利相同配貨，其中A種水果甲店幾箱，乙店幾箱？B種水果甲店幾箱，乙店幾箱？
（1）如果按照方案一配貨，請你計算出經銷商能盈利多少元；
（2）請你將方案二補充完整，寫出所有結果，并將你填寫的方案二與方案一做比較，得出哪一種方案盈利較多．
【答案】（1）解：元.
∴經銷商能盈利250元.
（2）解：設按照甲、乙兩店盈利相同配貨，其中A種水果甲店x箱，B種水果甲店y箱由題意得：
∵，
當時，方程有整數解
答：A種水果甲店5箱，乙店5箱，B種水果甲店4箱，乙店6箱；A種水果甲店2箱，乙店8箱。B種水果甲店6箱，乙店4箱；A種水果甲店8箱，乙店2箱。B種水果甲店2箱，乙店8箱；
元
元
元
∵
∴方案一盈利較多.
【知識點】二元一次方程的解；有理數混合運算的實際應用
【解析】【分析】（1）方案一：利用 “單價 × 數量 = 總價”，將兩店各類水果盈利相加，因配貨對稱（各5箱 ），直接分組計算總盈利.
（2）方案二：通過設未知數表示甲店配貨量，根據 “兩店盈利相等” 列方程，結合整數約束（箱數為0 - 10整數 ）求所有可能解，再分別計算總盈利，與方案一對比得出結論.
（1）元
∴經銷商能盈利250元
（2）設按照甲、乙兩店盈利相同配貨，其中A種水果甲店x箱，B種水果甲店y箱
由題意得：
∵，
當時，方程有整數解
答：A種水果甲店5箱，乙店5箱，B種水果甲店4箱，乙店6箱；A種水果甲店2箱，乙店8箱。B種水果甲店6箱，乙店4箱；A種水果甲店8箱，乙店2箱。B種水果甲店2箱，乙店8箱；
元
元
元
∵
∴方案一盈利較多；
19．（2024八上·清新期中）問題探究：
（1）如圖1，，求證：．
（2）如圖2，，的平分線與的平分線相交于點G，，則的度數為　 　．
（3）問題遷移：
如圖3，，EF平分，FD平分．若，請求出的度數．
【答案】（1）證明：過點E作，∵，，
∴，
∴，，
∴．
（2）28°
（3）解：∵，∴設，．
由（1）得，
∵EF平分，FD平分，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴．
【知識點】平行公理及推論；平行線的性質；內錯角的概念；角平分線的概念；豬蹄模型
【解析】【解答】解：（2）解：由（1）得，，過點G作FH∥AB，
∵AB∥CD，
∴，
∴，，
∴．
又的平分線與的平分線相交于點G，
∴∠1=，∠2=，
∴，
又∠BED=56°，
∴∠BGD=28°．
故答案為：28°．
【分析】（1）通過作輔助線構造平行關系，利用平行線內錯角相等的性質，證明角的關系.
（2）先依據（1）的結論得到與、的關系，再結合角平分線的定義，求出.
（3）根據角的比例關系設未知數，結合（1）的結論、角平分線定義以及平行線性質，列方程求解的度數.
（1）證明：過點E作，
∵，，
∴，
∴，，
∴．
（2）解：由（1）得，，
過點G作FH∥AB，
∵AB∥CD，
∴，
∴，，
∴．
又的平分線與的平分線相交于點G，
∴∠1=，∠2=，
∴，
又∠BED=56°，
∴∠BGD=28°．
故答案為：28°．
（3）解：∵，
∴設，．
由（1）得，
∵EF平分，FD平分，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴．
20．（2024八上·清新期中）某校在2021年組織七年級學生參加研學活動，租用二種不同型號的客車，每輛座位如下表：
客車型號 A B
人數/輛 28 49
若租用 A型客車5輛和 B型客車2輛，則需要租金2500元；若租用 A型客車1輛和 B型客車5輛，則需要租金 2800 元.
（1）求租用A，B兩種型號客車，每輛車租金分別是多少元？
（2）現有七年級14個班級的學生588人，現計劃同時租用兩種型號客車，一次送完，且恰好每輛車都坐滿，為節約成本，則租用 A型客車和 B型客車各多少輛，需要花費多少錢？
【答案】（1）解：設A型車每輛的租金為x，B型車每輛的租金為y，由題意可得：，
解得：，
∴A型車每輛的租金為300元，B型車每輛的租金為500元.
（2）解：設租用A型車輛a輛，B型車輛b輛，28a+49b=588，
化簡得：4a+7b=84，
∴，
∴當b=4，a=14，需要花費14×300+4×500=6200元；
當b=8，a=7，需要花費7×300+8×500=6100元，
∴租用A型客車14輛，B型客車4輛，需要花費6200元；租用A型客車7輛，B型客車8輛，需要花費6100元．
【知識點】二元一次方程的解；二元一次方程組的實際應用-方案選擇題問題
【解析】【分析】（1）通過設未知數，依據兩種租車方案的租金總費用，建立二元一次方程組，利用消元法求解租金單價.
（2）根據總人數列二元一次方程，結合正整數約束（車輛數為正 ），通過分析倍數關系確定可能的租車組合，再計算費用對比，找到符合 “兩種都租” 的方案.
（1）解：設A型車每輛的租金為x，B型車每輛的租金為y，
由題意可得：，
解得：，
∴A型車每輛的租金為300元，B型車每輛的租金為500元；
（2）設租用A型車輛a輛，B型車輛b輛，
28a+49b=588，
化簡得：4a+7b=84，
∴，
∴當b=4，a=14，需要花費14×300+4×500=6200元；
當b=8，a=7，需要花費7×300+8×500=6100元，
∴租用A型客車14輛，B型客車4輛，需要花費6200元；租用A型客車7輛，B型客車8輛，需要花費6100元．
21．（2024八上·清新期中）如圖1，這是一個3階魔方，由三層完全相同的小立方體組成，體積為27．
（1）求出這個魔方的棱長．
（2）圖中陰影部分是一個正方形，求出陰影部分的面積及其邊長．
（3）在圖2的方格中畫一個面積為10的正方形；并將數軸補充完整，然后用圓規在數軸上表示實數．
【答案】（1）解：設魔方的棱長為x，根據題意，得，
解得．
故魔方的棱長為3．
（2）解：陰影部分的面積為：，
正方形的邊長為.
（3）解：如圖，正方形為所求作的正方形，以點O為原點，建立如圖所示的數軸，以點O為圓心，為半徑畫弧，交數軸上一點D，則點D表示的數為，
圖中正方形的面積為：，
正方形的邊長，
∴，
∴點D表示的數為．
【知識點】實數在數軸上表示；三角形的面積；算術平方根的實際應用；立方根的實際應用
【解析】【分析】（1）棱長計算：利用正方體體積公式，通過開立方直接求解.
（2）陰影面積：用“補形法”，通過大正方形（魔方面 ）面積減去外圍三角形面積，間接求陰影面積；再由正方形面積公式開方得邊長.
（3）畫正方形與表示數：利用勾股定理構造直角邊，生成斜邊（正方形邊長 ），通過“割補法”畫正方形；結合數軸與圓規，利用邊長（半徑 ）在數軸負方向截取，體現數形結合.
（1）解：設魔方的棱長為x，根據題意，得，
解得．
故魔方的棱長為3．
（2）解：陰影部分的面積為：，
正方形的邊長為；
（3）解：如圖，正方形為所求作的正方形，以點O為原點，建立如圖所示的數軸，以點O為圓心，為半徑畫弧，交數軸上一點D，則點D表示的數為，
圖中正方形的面積為：，
正方形的邊長，
∴，
∴點D表示的數為．
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