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單元素養(yǎng)測評卷(一)A
1.C　[解析] 對于A,a1=-=0,a2=-=≠,故A不符合題意;對于B,a1=1+=0,a2=2+=,a3=3+=≠-,故B不符合題意;對于C,a1=(-1)+=0,a2=(-1)2×2+=,a3=(-1)3×3+=-,故C符合題意;對于D,a1=-=0,a2=-=,a3=-=5≠-,故D不符合題意.故選C.
2.A　[解析] 由題可得a1=3,a2=-2,a3=,a4=,a5=3,故{an}是以4為周期的周期數(shù)列,故a9=a1=3.故選A.
3.C　[解析] 設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,顯然q≠1,由a7=4a10得a7=4a7q3,所以q3=,所以==1+q6=1+=.故選C.
4.A　[解析] 由題意得2m=1+5,則m=3.∵1,b1,b2,8成等比數(shù)列,公比為q,∴8=1·q3,即q=2,∴m+q=3+2=5,故選A.
5.D　[解析] 在等比數(shù)列{an}中,由等比數(shù)列的性質(zhì)可得a4·a6=a2·a8=8,所以+++=+===.故選D.
6.C　[解析] 對于aman=am+n,令m=1,得an+1=a1an,再令n=1,得a2==3,易知a1≠0,所以數(shù)列{an}是公比為a1的等比數(shù)列,則an=a1×=,所以a20===310.故選C.
7.A　[解析] 設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q.由等比數(shù)列的性質(zhì)知a1an=a3·an-2=81,又a1+an=82,所以a1=1,an=81或a1=81,an=1.當(dāng)a1=1,an=81時,qn-1=81(q≠1),由Sn=121,得==121,解得q=3,則n=5;當(dāng)a1=81,an=1時,qn-1=(q≠1),由Sn=121,得==121,解得q=,則n=5.綜上所述,n=5.故選A.
8.B　[解析] 因為{an}是等差數(shù)列,首項a1>0,公差d<0,所以{an}是遞減數(shù)列,又因為a2023(a2022+a2023)<0,所以a2022>0,a2023<0,|a2022|>|a2023|,a2022+a2023>0,所以S4045==4045a2023<0,S4044==>0,所以使數(shù)列{an}的前n項和Sn>0成立的最大自然數(shù)n是4044.
9.ABC　[解析] 數(shù)列{an}的前n項和Sn=n2-4n,則當(dāng)n≥2時,an=Sn-Sn-1=n2-4n-[(n-1)2-4(n-1)]=2n-5,因為a1=S1=-3滿足上式,所以an=2n-5.對于A,因為an+1-an=2n-3-(2n-5)=2,所以{an}是等差數(shù)列,A正確;對于B,因為==22=4,所以數(shù)列{}是等比數(shù)列,B正確;對于C,anan+1=(2n-5)(2n-3)=4n2-16n+15=4(n2-4n)+15=4Sn+15,C正確;對于D,|a1|+|a2|+|a3|+…+|a20|=3+1+1+3+5+…+35=4+×18=328,所以數(shù)列{|an|}的前20項和為328,D不正確.故選ABC.
10.BCD　[解析] 設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,則q>0,an>0,S3=a1+a1q+a1q2=a1q+10a1,所以q2=9,q=3.對于A選項,a1==,A錯誤;對于B選項,對任意的n∈N*,an>0,an+1=3an>an,故數(shù)列{an}是遞增數(shù)列,B正確;對于C選項,Sn===,則Sn+=,所以=·=3,故數(shù)列為等比數(shù)列,C正確;對于D選項,log3an+1-log3an=log3=log33=1,故數(shù)列{log3an}是等差數(shù)列,D正確.故選BCD.
11.AC　[解析] 由a6=1,結(jié)合數(shù)列的遞推式,可得a5=2,可得a4=4,則a3=8或a3=1.當(dāng)a3=8時,a2=16;當(dāng)a3=1時,a2=2.綜上,m所有可能的取值為16,2.故選AC.
12.9　[解析] 令=,解得n=9,所以是數(shù)列的第9項.
13.-　[解析] 當(dāng)n=k時,左邊=1-+-+…+-,當(dāng)n=k+1時,左邊=1-+-+…+-+-=1-+-+…+-+-,故從n=k到n=k+1時,左邊應(yīng)加上-.
14.3或4　[解析] 因為an+1-an=-==,所以當(dāng)n=1或2時,an+1-an>0,當(dāng)n≥3時,an+1-an<0,所以a1a4>a5>a6>…>an.因為an=,所以a1=<1,a2=1,a3=>1,a4=1,a5=.易知當(dāng)n≥5時,2n>n2恒成立,所以當(dāng)n≥5時,0T2,T4=a1·a2·a3·a4=×1××1==T3>T2,T5=a1·a2·a3·a4·a5=×1××1×=15.解:(1)設(shè)數(shù)列{an}的公差為d,由a1=8,a4=2,可知d==-2,
∴an=8+(n-1)×(-2)=-2n+10.
(2)由(1)知,數(shù)列{an}為遞減數(shù)列,a5=0,
則當(dāng)n<5,n∈N*時,an>0,當(dāng)n>5,n∈N*時,an<0,
∴T40=|a1|+|a2|+…+|a40|=2(a1+a2+a3+a4)-(a1+a2+…+a40)=2×-=1280.
16.解:(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,由S3=a6,a7-2a3=2,得解得a1=d=2,
所以數(shù)列{an}的通項公式是an=a1+(n-1)d=2n.
(2)由(1)知,Sn==n(n+1),則bn==2,
所以Tn=2=2=.
17.解:(1)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,則an=a1·qn-1=2·qn-1,∵4a1,2a2,a3成等差數(shù)列,∴4a1+a3=4a2,∴2q2-8q+8=0,即q2-4q+4=0,解得q=2,∴an=2·2n-1=2n.
(2)令bn=(n+2)an,則bn=(n+2)2n,∴Tn=b1+b2+…+bn=3×21+4×22+…+(n+2)×2n,∴2Tn=3×22+4×23+…+(n+2)×2n+1,
∴-Tn=3×21+1×22+1×23+…+1×2n-(n+2)×2n+1=6+22+23+…+2n-(n+2)×2n+1=6+-(n+2)×2n+1,∴Tn=-6-(2n+1-4)+(n+2)×2n+1=(n+1)×2n+1-2.
18.解:(1)因為a1,an,Sn為等差數(shù)列,所以2an=a1+Sn,所以2an+1=a1+Sn+1,兩式相減得2an+1-2an=Sn+1-Sn=an+1,可得an+1=2an,所以數(shù)列{an}是以2為公比的等比數(shù)列.又b1=6,bn=Sn++4,所以6=a1++4,解得a1=1,所以an=2n-1,Sn==2n-1,所以bn=2n-1++4=2n++3,所以Tn=b1+b2+…+bn=++…+=(2+22+…+2n)++3n=++3n=2n+1-+3n.
(2)由(1)得原不等式為<,整理得7m-4>64×.令cn=,則cn+1-cn=-=,所以當(dāng)00,即cn+1>cn,當(dāng)n>7,n∈N*時,cn+1-cn<0,即cn+164×,即7m-4>2,解得m>,所以實數(shù)m的取值范圍為.
19.解:(1)依題意得an≠0,且=,則當(dāng)n≥2時,an=a1···…·=×××…×=,即an=(n≥2),當(dāng)n=1時,上式也符合,所以an=.
(2)由(1)知,bn=2n=2n,因為數(shù)列{bn}是遞減數(shù)列,所以bn+1-bn=2n<0對任意的n∈N*恒成立,則λ>.因為-==,函數(shù)y=x+(x>0)在區(qū)間(0,)上單調(diào)遞減,在(,+∞)上單調(diào)遞增,所以由對勾函數(shù)的性質(zhì)可知,當(dāng)n=1或n=2時,n++3取得最小值6,此時-取得最大值,所以λ>,故實數(shù)λ的取值范圍為.單元素養(yǎng)測評卷(一)A
第一章
時間:120分鐘　分值:150分　　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.
1.[2023·山西孝義高二期末] 數(shù)列0,,-,…的通項公式可以為 (　 )
A.an=- B.an=n+
C.an=(-1)nn+ D.an=-
2.[2024·河北保定定州高二期末] 已知數(shù)列{an}的首項a1=3,且an+1=,則a9= (　 )
A.3 B.-2 C. D.-3
3.設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且a7=4a10,則=(　 )
A. B. C. D.
4.已知1與5的等差中項是m,1,b1,b2,8成等比數(shù)列,公比為q,則m+q的值為 (　 )
A.5 B.4 C.3 D.6
5.[2023·襄陽四中高二期末] 已知等比數(shù)列{an}滿足a2+a4+a6+a8=20,a2·a8=8,則+++的值為 (　 )
A.20 B.10 C.5 D.
6.[2023·長春吉大附中實驗學(xué)校高二期中] 已知數(shù)列{an}滿足對任意的m,n∈N*,都有aman=am+n,且a2=3,則a20=(　 )
A.320 B.±320 C.310 D.±310
7.在等比數(shù)列{an}中,a1+an=82,a3·an-2=81,若其前n項和Sn=121,則n的值為 (　 )
A.5 B.6 C.8 D.11
8.[2023·武漢外國語學(xué)校高二期末] 若數(shù)列{an}是等差數(shù)列,首項a1>0,公差d<0,a2023(a2022+a2023)<0,則使數(shù)列{an}的前n項和Sn>0成立的最大自然數(shù)n是 (　 )
A.4043 B.4044
C.4045 D.4046
二、選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求.全部選對的得6分,部分選對的得部分分,有選錯的得0分.
9.已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=n2-4n,則 (　 )
A.{an}是等差數(shù)列
B.{}是等比數(shù)列
C.anan+1=4Sn+15
D.{|an|}的前20項和為320
10.各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,已知S3=a2+10a1,a4=3,則下列說法中正確的是 (　 )
A.a1=9
B.{an}是遞增數(shù)列
C.為等比數(shù)列
D.{log3an}是等差數(shù)列
11.任取一個正整數(shù),若是奇數(shù),則將該數(shù)乘3再加上1;若是偶數(shù),則將該數(shù)除以2.反復(fù)進行上述兩種運算,經(jīng)過有限次步驟后,最終回到1,這就是數(shù)學(xué)史上著名的“冰雹猜想”(又稱“角谷猜想”).如取正整數(shù)m=6,根據(jù)上述運算法則得出6→3→10→5→16→8→4→2→1,共需經(jīng)過8個步驟變成1.現(xiàn)給出冰雹猜想的遞推關(guān)系:數(shù)列{an}滿足an+1=若a2=m(m為正整數(shù)),a6=1,則m所有可能的取值為 (　 )
A.2 B.5 C.16 D.32
三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分.
12.[2024·內(nèi)蒙古赤峰松山區(qū)高二期末] 在數(shù)列0,,,…,,…中,是它的第　　　　項.
13.用數(shù)學(xué)歸納法證明某不等式時,其左邊=1-+-+…+-,則從n=k到n=k+1時,左邊應(yīng)加上　　　　　.
14.[2023·唐山一中高二期末] 已知數(shù)列{an}的通項公式為an=,數(shù)列{an}的前n項積為Tn,則Tn取最大值時n的值為　　　　.
四、解答題:本題共5小題,共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15.(13分)在等差數(shù)列{an}中,a1=8,a4=2.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)設(shè)Tn=|a1|+|a2|+…+|an|,求T40.
16.(15分)[2024·四川眉山高二期末] 設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和,已知S3=a6,a7-2a3=2.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)設(shè)bn=,求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.
17.(15分)[2023·重慶實驗外國語學(xué)校高二期末] 已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,a1=2,且滿足4a1,2a2,a3成等差數(shù)列.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)求數(shù)列{(n+2)an}的前n項和Tn.
18.(17分)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且a1,an,Sn為等差數(shù)列,數(shù)列{bn}滿足b1=6,bn=Sn++4.
(1)求數(shù)列{bn}的前n項和Tn;
(2)若對于任意n∈N*,都有<成立,求實數(shù)m的取值范圍.
19.(17分)在數(shù)列{an}中,a1=,且滿足nan+1=(n+1)an.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)設(shè)bn=2n,若數(shù)列{bn}是遞減數(shù)列,求實數(shù)λ的取值范圍.

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