資源簡介

第二章　導數及其應用
§1　平均變化率與瞬時變化率
1.1　平均變化率
1.2　瞬時變化率
【課前預習】
知識點一
1.
2.　改變量　Δx　改變量　Δy
=
診斷分析
1.(1)×　(2)√
2.解:因為Δh=5(1+Δt)2-5=10Δt+5(Δt)2,所以平均速度==10+5Δt.
知識點二
1.==
2.瞬時變化率
診斷分析
1.(1)√　(2)×
2.解:因為Δh=5(1+Δt)2-5=10Δt+5(Δt)2,所以平均速度==10+5Δt.當Δt趨于0時,趨于10,所以物體在t=1時的瞬時速度為10.
【課中探究】
探究點一
例1　(1)B　(2)B　[解析] (1)平均速度===4.1,故選B.
(2)因為f(x)=x2+x,所以f(-1)=(-1)2-1=0,f(3)=32+3=12,則函數f(x)在[-1,3]上的平均變化率為===3,故選B.
變式　(1)A　(2)2　[解析] (1)m1==2,m2==2,所以m1=m2.故選A.
(2)設y=f(x),由題得===m+1=3,所以m=2.
拓展　BC　[解析] 由函數圖象可得,在區間[4,7]上,<0,即函數在區間[4,7]上的平均變化率小于0;在區間[1,2],[2,3],[3,4]上,>0,即平均變化率都大于0,且在區間[3,4]上的平均變化率最大.故選BC.
探究點二
例2　解:設y=f(t),則從2 s到(2+Δt)s這段時間內水量y的平均變化率為====Δt+11(m3/s),
當Δt無限趨近于0時,無限趨近于11 m3/s.
同理可得從6 s到(6+Δt)s這段時間內水量y的平均變化率為=Δt+19(m3/s),當Δt無限趨近于0時,無限趨近于19 m3/s.
故當t=2 s與t=6 s時,流過的水量y的瞬時變化率分別為11 m3/s與19 m3/s.
變式　(1)C　[解析] 由平均速度的概念知表示的是物體在1 s到(1+Δt)s這一段時間內的平均速度,因為當Δt無限趨于0時,無限趨于9.8 m/s,所以9.8 m/s表示物體在t=1 s這一時刻的瞬時速度.故選C.
(2)解:①前2秒點P轉過的角度為φ(2)=4×2-0.3×22=8-1.2=6.8(弧度).
②在2秒到(2+Δt)秒這一時間段內點P的平均角速度為===4-1.2-0.3Δt=2.8-0.3Δt(弧度/秒),
則當Δt=1時,平均角速度為2.8-0.3×1=2.5(弧度/秒);
當Δt=0.1時,平均角速度為2.8-0.3×0.1=2.77(弧度/秒);
當Δt=0.01時,平均角速度為2.8-0.3×0.01=2.797(弧度/秒).
③由②知,在2秒到(2+Δt)秒這一時間段內點P的平均角速度為=2.8-0.3Δt(弧度/秒),當Δt趨于0時,趨于2.8弧度/秒,則t=2秒這一時刻點P的瞬時角速度為2.8弧度/秒.
拓展　0　[解析] 設y=f(x),由題意可知原油溫度的平均變化率為===x2-2x+Δx·x+(Δx)2-Δx(℃/時).當Δx趨于0時,趨于x2-2x,可得x2-2x=(x-1)2-1(2≤x≤4),因此當x=2時,原油溫度的瞬時變化率取得最小值0.第二章　導數及其應用
§1　平均變化率與瞬時變化率
1.1　平均變化率
1.2　瞬時變化率
【學習目標】
1.通過實例分析,經歷由平均變化率過渡到瞬時變化率的過程.
2.體會極限思想.
◆ 知識點一　平均速度與平均變化率
1.平均速度:用一段時間內物體的平均速度刻畫物體運動的快慢,當時間從t0變為t1時,物體的位移從s(t0)變為s(t1),這段時間內物體的平均速度=　　　　　.
2.平均變化率:對一般的函數y=f(x)來說,當自變量x從x1變為x2時,函數值從f(x1)變為f(x2),它在區間[x1,x2]的平均變化率=　　　　　.
通常我們把自變量的變化x2-x1稱作自變量x的　　　　,記作　　　　,函數值的變化f(x2)-f(x1)稱作函數值y的　　　　,記作　　　　.這樣,函數的平均變化率就可以表示為函數值的改變量與自變量的改變量之比,即　　　　　　　　.用它來刻畫函數值在區間[x1,x2]上變化的快慢.
【診斷分析】 1.判斷正誤.(請在括號中打“√”或“×”)
(1)某物體在一段時間內的平均速度為0,則該物體在這段時間內是靜止的. (　 )
(2)平均變化率越大,說明物體在同一時間段內運動越快. (　 )
2.物體的位移h與時間t的函數關系是h=5t2,試求物體在[1,1+Δt]這段時間內的平均速度.
◆ 知識點二　瞬時變化率
1.瞬時變化率:對于一般的函數y=f(x),在自變量x從x0變為x1的過程中,若設Δx=x1-x0,Δy=f(x1)-f(x0),則該函數的平均變化率為　　　　　　　　　　　　　　　.
2.如果當Δx趨于0時,平均變化率趨于某個值,那么這個值就是f(x)在點x0的　　　　　　.瞬時變化率刻畫的是函數在某一點處變化的快慢.
【診斷分析】 1.判斷正誤.(請在括號中打“√”或“×”)
(1)瞬時速度是物體在某一時刻的速度. (　 )
(2)瞬時變化率越大,則該物體在同一時間段內運動越快. (　 )
2.物體的位移h與時間t的函數關系是h=5t2,試求物體在t=1時的瞬時速度.
◆ 探究點一　平均變化率
例1 (1)一物體的運動方程是s=3+t2,則該物體在[2,2.1]這段時間內的平均速度為 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.0.41 B.4.1 C.0.3 D.3
(2)[2023·遼寧阜新二中高二期末] 若函數f(x)=x2+x,則函數f(x)在[-1,3]上的平均變化率為 (　 )
A.6 B.3 C.2 D.1　　　　　 　　　　　 　　　　　
變式 (1)函數f(x)=2x,g(x)=x2在[0,2]上的平均變化率分別記為m1,m2,則下列結論正確的是 (　 )
A.m1=m2 　　　B.m1>m2
C.m2>m1 　　　D.m1,m2的大小無法判斷
(2)若函數f(x)=x2-t在[1,m]上的平均變化率為3,則m=　　　　.
[素養小結]
(1)平均速度反映了物體的位移隨時間變化而變化的情況,平均速度等于物體在一個時間段內位移的改變量與此時間段時長的比值.
(2)求函數平均變化率的步驟:
①由函數關系式求出函數值的改變量Δy=f(x0+Δx)-f(x0);
②計算的值,即為函數的平均變化率.
拓展 (多選題)已知函數y=f(x)的圖象如圖所示,則下列關于函數y=f(x)在區間[1,7]上的平均變化率的說法正確的是 (　 )
A.在區間[1,2]上的平均變化率最小
B.在區間[2,3]上的平均變化率大于0
C.在區間[3,4]上的平均變化率比在區間[2,3]上的大
D.在區間[4,7]上的平均變化率最大
◆ 探究點二　瞬時變化率
例2 一條水管中流過的水量y(單位:m3)關于時間t(單位:s)的函數為y=t2+7t+15(0≤t≤8),求當t=2 s和t=6 s時,流過的水量y的瞬時變化率.
變式 (1)已知物體做自由落體的運動方程為s(t)=gt2,且Δt無限趨于0時,無限趨于9.8 m/s,那么下列關于9.8 m/s的說法正確是(　 )
A.是物體在0 s到1 s這一段時間內的速度
B.是物體在1 s到(1+Δt)s這一段時間內的速度
C.是物體在t=1 s這一時刻的瞬時速度
D.是物體在1 s到(1+Δt)s這一段時間內的平均速度
(2)一個飛輪上一點P在受到制動后旋轉過的角度φ(t)(單位:弧度)與時間t(單位:秒)的函數是φ(t)=4t-0.3t2.
①求前2秒點P轉過的角度;
②求在2秒到(2+Δt)秒這一時間段內點P的平均角速度,其中Δt分別為1,0.1,0.01;
③求t=2秒這一時刻點P的瞬時角速度.
[素養小結]
1.求運動物體的瞬時速度的步驟:
①由運動物體的位移s(t)與時間t的函數關系式求出位移的改變量Δs=s(t0+Δt)-s(t0);
②求時間從t0到t0+Δt的平均速度=;
③求Δt趨于0時趨近的值,即得t=t0時的瞬時速度.
2.在計算瞬時變化率時關鍵需要對進行化簡,將Δy化成含有Δx的式子,再計算當Δx趨于0時趨近的值.
拓展 某廠將原油精煉為汽油,需對原油進行冷卻和加熱,如果第x小時的原油溫度(單位:℃)為f(x)=x3-x2+8(2≤x≤4),那么原油溫度的瞬時變化率的最小值為　　　　. 第二章　導數及其應用
§1　平均變化率與瞬時變化率
1.1　平均變化率
1.2　瞬時變化率
一、選擇題
1.我們常用函數y=f(x)的函數值的改變量與自變量的改變量的比值來表示平均變化率,當自變量x從x0改變到x0+Δx時,函數值的改變量Δy=(　 )　　　　　　　　　　　　　　　
A.f(x0+Δx)
B.f(x0)+Δx
C.f(x0)·Δx
D.f(x0+Δx)-f(x0)
2.函數y=x2+2在[x0,x0+Δx]上的平均變化率為k1,在[x0-Δx,x0]上的平均變化率為k2,則(　 )
A.k1B.k1>k2
C.k1=k2
D.k1與k2的大小關系不確定
3.[2024·江西萍鄉高二期中] 某物體沿直線運動,其位移s(單位:m)與時間t(單位:s)之間的關系為s(t)=t2+t,則該物體在時間段[1,4]內的平均速度為 (　 )
A.2 m/s B. m/s
C. m/s D.3 m/s
4.函數f(x)=x2在區間[0,2]上的平均變化率等于該函數在x=m處的瞬時變化率,則m=(　 )
A. B.1
C.2 D.
5.小球做自由落體運動的方程為s(t)=gt2(g為重力加速度),該小球從t=1到t=3的平均速度為,在t=2時的瞬時速度為v1,則和v1的大小關系為 (　 )
A.>v1 B.6.某鐵球在0 ℃時,半徑為1 dm.當溫度在很小的范圍內變化時,由于熱脹冷縮,鐵球的半徑會發生變化,且當溫度為t ℃時鐵球的半徑為(1+at)dm,其中a為常數,則鐵球的體積在t=0時的瞬時變化率(單位:dm3/℃)為(　 )
A.0 B.πa
C.πa D.4πa
7.(多選題)已知函數y=f(x),下列說法正確的是(　 )
A.Δy=f(x0+Δx)-f(x0)叫作函數值的增量
B.=叫作函數在[x0,x0+Δx]上的平均變化率
C.f(x)在x=x0處的瞬時變化率為=
D.f(x)在x=x0處的瞬時變化率為=當Δx趨于0時趨近的值
8.(多選題)某一個質點做直線運動,其位移s(單位:m)與時間t(單位:s)滿足函數關系式s=t4-4t3+10t2(t≥0),則 (　 )
A.該質點在前2 s內的平均速度為24 m/s
B.該質點在t=1 s時的瞬時速度為12 m/s
C.該質點在t=2 s時的瞬時速度為20 m/s
D.該質點在t=2 s時的瞬時速度為24 m/s
二、填空題
9.物體做勻速直線運動,其運動方程是s=vt,則該物體在運動過程中的平均速度與任何時刻的瞬時速度的大小關系是　　　　.
10.已知一質點運動的方程為s=5t2,則該質點在時間段[3,3+Δt]內的平均速度等于　　　　.
11.設C是成本,q是產量,且C(q)=3q2+10,若q=q0,則當產量增加量為10時,成本增加量為　　　　.
12.如圖所示,水波的半徑以1 m/s的速度向外擴張,當半徑為5 m時,該水波面積的瞬時膨脹率是　　　　m2/s.
三、解答題
13.已知二次函數f(x)=x2-2x+a.
(1)判斷f(0)與f(3)的大小;
(2)判斷f(x)在區間[0,1]與[1,3]上的平均變化率的大小.
14.若一物體的運動方程為s=f(t)=(位移s的單位:m;時間t的單位:s),求:
(1)該物體在時間段[3,5]內的平均速度;
(2)該物體在t=1 s時的瞬時速度.
15.已知車輪旋轉的角度與時間的平方成正比.若車輪開始轉動后,旋轉第一圈需要1 s,則車輪轉動開始后第2 s時的瞬時角速度為 (　 )
A.π B.2π C.4π D.8π
16.已知a>1,函數f(x)=ln x,則下面結論中正確的有　　　　.(填上所有正確結論的序號)
①函數f(x)在區間[a,a+1]上的平均變化率總是大于1;
②函數f(x)在區間[a,a+1]上的平均變化率總是小于1;
③函數f(x)在區間[a,a+1]上的平均變化率隨著a的增大而增大;
④函數f(x)在區間[a,a+1]上的平均變化率隨著a的增大而減小.(共26張PPT)
§1 平均變化率與瞬時變化率
1.1 平均變化率 1.2 瞬時變化率
探究點一 平均變化率
探究點二 瞬時變化率
【學習目標】
1.通過實例分析,經歷由平均變化率過渡到瞬時變化率的過程.
2.體會極限思想.
知識點一 平均速度與平均變化率
1.平均速度：用一段時間內物體的平均速度刻畫物體運動的快慢，當時間從
變為時，物體的位移從變為，這段時間內物體的平均速度
_ ________.
2.平均變化率：對一般的函數來說，當自變量從變為 時，函數值
從變為，它在區間的平均變化率 _ _________.
通常我們把自變量的變化稱作自變量 的________，記作____，函數值的
變化稱作函數值 的________，記作____.這樣，函數的平均變化
率就可以表示為函數值的改變量與自變量的改變量之比,即_______________.用
它來刻畫函數值在區間 上變化的快慢.
改變量
改變量
【診斷分析】
1.判斷正誤.（請在括號中打“√”或“×”）
（1）某物體在一段時間內的平均速度為0,則該物體在這段時間內是靜止的.( )
×
（2）平均變化率越大，說明物體在同一時間段內運動越快.( )
√
2.物體的位移與時間的函數關系是,試求物體在 這段時間
內的平均速度.
解：因為,所以平均速度 .
知識點二 瞬時變化率
1.瞬時變化率：對于一般的函數，在自變量從變為 的過程中，若
設， ,則該函數的平均變化率為
________ _____________________.
2.如果當趨于0時，平均變化率趨于某個值，那么這個值就是在點 的
____________.瞬時變化率刻畫的是函數在某一點處變化的快慢.
瞬時變化率
【診斷分析】
1.判斷正誤.（請在括號中打“√”或“×”）
（1）瞬時速度是物體在某一時刻的速度.( )
√
（2）瞬時變化率越大，則該物體在同一時間段內運動越快.( )
×
2.物體的位移與時間的函數關系是,試求物體在 時的瞬時速度.
解：因為,所以平均速度 .
當趨于0時,趨于10,所以物體在 時的瞬時速度為10.
探究點一 平均變化率
例1（1） 一物體的運動方程是，則該物體在 這段時間內的
平均速度為( )
B
A.0.41 B.4.1 C.0.3 D.3
[解析] 平均速度 ，故選B.
（2）[2023·遼寧阜新二中高二期末]若函數，則函數在
上的平均變化率為( )
B
A.6 B.3 C.2 D.1
[解析] 因為，所以， ，
則函數在上的平均變化率為 ，故選B.
變式（1） 函數，在 上的平均變化率分別記為
， ，則下列結論正確的是( )
A
A. B.
C. D.， 的大小無法判斷
[解析] ，，所以 .故選A.
（2）若函數在上的平均變化率為3，則 ___.
[解析] 設，由題得，所以 .
［素養小結］
（1）平均速度反映了物體的位移隨時間變化而變化的情況,平均速度等于物體
在一個時間段內位移的改變量與此時間段時長的比值.
（2）求函數平均變化率的步驟:
①由函數關系式求出函數值的改變量 ;
②計算 的值，即為函數的平均變化率.
拓展 （多選題）已知函數 的圖象如圖所示，
則下列關于函數在區間 上的平均變化率的
說法正確的是( )
BC
A.在區間 上的平均變化率最小
B.在區間 上的平均變化率大于0
C.在區間上的平均變化率比在區間 上的大
D.在區間 上的平均變化率最大
[解析] 由函數圖象可得，在區間上，，即函數在區間 上的平均
變化率小于0；在區間，，上， ，即平均變化率都大于0，
且在區間上的平均變化率最大.故選 .
探究點二 瞬時變化率
例2 一條水管中流過的水量（單位：）關于時間（單位： ）的函數為
，求當和時，流過的水量 的瞬時變化率.
解：設，則從到這段時間內水量 的平均變化率為
，
當無限趨近于0時，無限趨近于 .
同理可得從到這段時間內水量的平均變化率為 ，
當無限趨近于0時，無限趨近于 .
故當與時，流過的水量的瞬時變化率分別為與 .
變式（1） 已知物體做自由落體的運動方程為，且 無限趨于0
時，無限趨于，那么下列關于 的說法正確是( )
C
A.是物體在到 這一段時間內的速度
B.是物體在到 這一段時間內的速度
C.是物體在 這一時刻的瞬時速度
D.是物體在到 這一段時間內的平均速度
[解析] 由平均速度的概念知表示的是物體在到 這一段時
間內的平均速度，因為當無限趨于0時，無限趨于 ，所以
表示物體在 這一時刻的瞬時速度.故選C.
（2）一個飛輪上一點在受到制動后旋轉過的角度（單位：弧度）與時間
（單位：秒）的函數是 .
①求前2秒點 轉過的角度；
解：前2秒點轉過的角度為 （弧度）.
②求在2秒到秒這一時間段內點的平均角速度，其中分別為1， ，
；
解：在2秒到秒這一時間段內點 的平均角速度為
（弧度/秒），
則當時，平均角速度為 （弧度/秒）；
當時，平均角速度為 （弧度/秒）；
當時，平均角速度為 （弧度/秒）.
③求秒這一時刻點 的瞬時角速度.
解：由②知，在2秒到秒這一時間段內點 的平均角速度為
（弧度/秒），當趨于0時，趨于2.8弧度/秒，則 秒這
一時刻點 的瞬時角速度為2.8弧度/秒.
［素養小結］
1.求運動物體的瞬時速度的步驟:
①由運動物體的位移與時間 的函數關系式求出位移的改變量
;
②求時間從到的平均速度 ;
③求趨于0時趨近的值,即得 時的瞬時速度.
2.在計算瞬時變化率時關鍵需要對進行化簡，將化成含有 的式子，再計
算當趨于0時 趨近的值.
拓展 某廠將原油精煉為汽油，需對原油進行冷卻和加熱，如果第 小時的原
油溫度（單位：）為 ，那么原油溫度的瞬時
變化率的最小值為___.
0
[解析] 設 ,由題意可知原油溫度的平均變化率為
/時.
當趨于0時，趨于 ，可得，
因此當 時，原油溫度的瞬時變化率取得最小值0.
1.平均速度
設跳高運動員在跳高過程中,離地面的高度與時間的關系是,則在 到
這段時間內,運動員的平均速度 .
注意:在勻速直線運動中,比值是恒定的;在非勻速直線運動中,比值 不是恒定
的.要想精確地描述非勻速直線運動,就要知道物體在每一時刻運動的快慢程度,
即瞬時速度.
2.關于瞬時速度的理解
（1）瞬時速度的實質是平均速度在 無限趨近于0時的極限值.
（2）瞬時速度的計算必須先求出平均速度 ,再對平均速度取極限.
（3）趨近于0,是指時間間隔 越來越短,能比任意小的時間間隔更小,但始終
不能為零.
（4）, 在變化中都趨近于0,但它們的比值卻趨近于一個確定的常數.
例1 一個物體做直線運動，其位移（單位：）與時間（單位： ）之間的
函數關系為，且這一物體在這段時間內的平均速度為 ，
則實數 的值為( )
A
A.2 B.1 C. D.
[解析] ，
，
因為這一物體在這段時間內的平均速度為 ，
所以，解得 ，
故選A.
例2 某物體做直線運動，其運動規律是（時間的單位：；位移 的
單位：），則它在 時的瞬時速度為( )
B
A. B. C. D.
[解析] ，
當趨于0時,趨于，則該物體在時的瞬時速度為 .
故選B.第二章　導數及其應用
§1　平均變化率與瞬時變化率
1.1　平均變化率
1.2　瞬時變化率
1.D　[解析] 由題意知,當x=x0時,y=f(x0);當x=x0+Δx時,y=f(x0+Δx).故Δy=f(x0+Δx)-f(x0).故選D.
2.D　[解析] 由題得k1==2x0+Δx,k2==2x0-Δx,所以k1-k2=2Δx,因為Δx的正負不確定,所以k1與k2的大小關系也不確定.故選D.
3.B　[解析] 因為位移s與時間t之間的關系為s(t)=t2+t,所以該物體在時間段[1,4]內的平均速度為=(m/s).故選B.
4.B　[解析] 函數f(x)=x2在區間[0,2]上的平均變化率為==2.==Δx+2m,當Δx趨于0時,Δx+2m趨于2m,所以f(x)=x2在x=m處的瞬時變化率為2m,由2=2m,解得m=1.故選B.
5.C　[解析] 由題意知===2g.∵s(t)=gt2,∴==gt+gΔt,當Δt趨于0時,gt+gΔt趨于gt.又小球在t=2時的瞬時速度為v1,∴v1=2g,∴=v1.故選C.
6.D　[解析] 當溫度為t ℃時,鐵球的半徑為(1+at)dm,所以鐵球的體積為V(t)=π(1+at)3(dm3),則=(aΔt)[(1+at+aΔt)2+(1+at+aΔt)(1+at)+(1+at)2]=4πa[(1+at)2+a(1+at)Δt+a2(Δt)2],當Δt趨于0時,上式趨于4πa(1+at)2,所以鐵球的體積在t=0時的瞬時變化率為4πa(1+a×0)2=4πa(dm3/℃),故選D.
7.ABD　[解析] A中,Δy=f(x0+Δx)-f(x0)叫作函數值的改變量,即函數值的增量,A正確;B中,=稱為函數f(x)在自變量x從x0變到x0+Δx的平均變化率,即f(x)在[x0,x0+Δx]上的平均變化率,B正確;由瞬時變化率的定義可知,C錯誤,D正確.故選ABD.
8.BD　[解析] 因為該質點在前2 s內的位移為24-4×23+10×22=24(m),所以該質點在前2 s內的平均速度為12 m/s,A錯誤.
s(1+Δt)-s(1)=(1+Δt)4-4(1+Δt)3+10(1+Δt)2-7=(Δt)4+4(Δt)2+12·Δt,則=(Δt)3+4·Δt+12,當Δt趨于0時,(Δt)3+4·Δt+12趨于12,所以該質點在t=1 s時的瞬時速度為12 m/s,B正確.
s(2+Δt)-s(2)=(2+Δt)4-4(2+Δt)3+10(2+Δt)2-24=(Δt)4+4(Δt)3+10(Δt)2+24·Δt,則=(Δt)3+4(Δt)2+10·Δt+24,當Δt趨于0時,(Δt)3+4(Δt)2+10·Δt+24趨于24,
所以該質點在t=2 s時的瞬時速度為24 m/s,C錯誤,D正確.故選BD.
9.相等　[解析] 該物體在[t0,t0+Δt]上的平均速度為===v,當Δx趨于0時,上式仍為v,所以瞬時速度也為v,則該物體在運動過程中的平均速度與任何時刻的瞬時速度相等.
10.30+5Δt　[解析] 依題意,質點在[3,3+Δt]內運動的位移增量為Δs=5×(3+Δt)2-5×32=5[6Δt+(Δt)2]=30Δt+5(Δt)2,得平均速度==30+5Δt,所以所求平均速度為30+5Δt.
11.60q0+300　[解析] 由題意,ΔC=C(q0+10)-C(q0)=3(q0+10)2+10-(3+10)=3(+20q0+100)-3=60q0+300.
12.10π　[解析] 因為水波的半徑以v=1 m/s的速度向外擴張,所以t s時水波的半徑r=vt=t(m),水波面積S=πr2=πt2(m2),所以水波面積在[t0,t0+Δt]上的平均膨脹率為=2πt0+πΔt(m2/s).當Δt趨于0時,上式趨于2πt0.當半徑為5 m時,t=5,此時該水波面積的瞬時膨脹率為2π×5=10π(m2/s).
13.解:(1)因為f(x)=x2-2x+a,所以f(0)=a,f(3)=3+a,所以f(0)(2)f(x)在區間[0,1]上的平均變化率為=f(1)-f(0)=a-1-a=-1,f(x)在區間[1,3]上的平均變化率為==2,所以f(x)在區間[0,1]上的平均變化率小于在區間[1,3]上的平均變化率.
14.解:(1)在時間段[3,5]內,時間改變量為Δt=5-3=2(s),位移改變量為Δs=f(5)-f(3)=3×25+2-(3×9+2)=48(m),故所求平均速度為==24(m/s).
(2)該物體在時間段[1,1+Δt](0<Δt<2)內位移的平均變化率為==3Δt-12(m/s),當Δt趨于0時,3Δt-12趨于-12,所以該物體在t=1 s時的瞬時速度為-12 m/s.
15.D　[解析] 設車輪旋轉的角度θ關于時間t的函數關系式為θ(t)=kt2(k>0),由已知得2π=k·12,即k=2π,故θ(t)=2πt2.可知旋轉的角度在[2,2+Δt]上的平均變化率為==2πΔt+8π,當Δt趨于0時,趨于8π,則第2 s時的瞬時角速度為8π.故選D.
16.②④　[解析] 令y=f(x),則==ln(a+1)-ln a=ln=ln,因為a>1,所以ln1時,1+隨著a的增大而減小,ln隨著1+的減小而減小,所以隨著a的增大而減小,所以③錯誤,④正確.故填②④.

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