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滬科版數(shù)學(xué)九年級上冊二次函數(shù)重難點題型梳理

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滬科版數(shù)學(xué)九年級上冊二次函數(shù)重難點題型梳理

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滬科版數(shù)學(xué)九年級上冊二次函數(shù)重難點題型梳理
一、二次函數(shù)與系數(shù)關(guān)系
1.(2023九上·惠陽期中)如圖,拋物線的對稱軸是.下列結(jié)論:①;②;③;④,正確的有(  )
A.4個 B.3個 C.2個 D.1個
2.(2024九上·潮南期中)二次函數(shù)的圖象如圖所示,下列結(jié)論:①;②;③m為任意實數(shù),則;④;⑤若,且,則.其中正確的個數(shù)是(  )
A.2個 B.3個 C.4個 D.5個
3.(2023九上·古藺期末)在平面直角坐標(biāo)系中,二次函數(shù)的圖象如圖所示,現(xiàn)給以下結(jié)論:①;②③;④(為實數(shù));⑤.其中錯誤結(jié)論的個數(shù)有(  )
A.1個 B.2個 C.3個 D.4個
4.(2024九上·杭州期末)已知二次函數(shù)為常數(shù),,當(dāng)時,,則二次函數(shù)的圖象可能為(  )
A. B.
C. D.
5.(2024九上·武漢月考)拋物線(,、、為常數(shù))的部分圖象如圖所示,對稱軸是直線,且與軸的一個交點在點和之間.則下列結(jié)論:
①;②;③一元二次方程的兩根為、,則;④對于任意實數(shù),不等式恒成立.則上述說法正確的是   .(填序號)
二、二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系
6.(2024九上·武漢月考)已知二次函數(shù)的圖像過點,對稱軸為直線.下列四個結(jié)論:①;②若點,均在該二次函數(shù)圖象上,則;③若m為任意實數(shù),則;④對于任何實數(shù)k,關(guān)于x的方程必有兩個不相等的實數(shù)根,其中正確的(  )
A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④
7.(2025·齊齊哈爾)如圖,二次函數(shù)的圖像與x軸交于兩點,,且.下列結(jié)論:
①;②;③;④若m和n是關(guān)于x的一元二次方程)的兩根,且,則,;⑤關(guān)于x的不等式)的解集為.其中正確結(jié)論的個數(shù)是(  )
A.2 B.3 C.4 D.5
8.(2025·遂寧)如圖,已知拋物線(為常數(shù),且)的對稱軸是直線,且拋物線與軸的一個交點坐標(biāo)是,與軸交點坐標(biāo)是且.有下列結(jié)論:①;②;③;④關(guān)于的一元二次方程必有兩個不相等實根;⑤若點在拋物線上,
且,當(dāng)時,則的取值范圍為.
其中正確的有(  )
A.2個 B.3個 C.4個 D.5個
三、二次函數(shù)與解不等式
9.(2024九上·寧波期中)已知二次函數(shù)(b,c為常數(shù)),
(1)若拋物線與x軸正半軸的交點坐標(biāo)是(1,0),對稱軸為直線,求拋物線的解析式;
(2)若,設(shè)函數(shù)圖象的頂點坐標(biāo)為,當(dāng)b的值變化時,求m與n的關(guān)系式;
(3)已知二次函數(shù)圖象經(jīng)過兩點,若時,總有,求q-p的取值范圍.
10.(2025九上·金華競賽) 都是實數(shù),且 ,則 之間的大小關(guān)系是 (  )
A. B. C. D.
11.(2024九上·綏陽期末)在二次函數(shù)中,
(1)若它的圖象過點,則t的值為多少?
(2)當(dāng)時,y的最小值為,求出t的值:
(3)如果都在這個二次函數(shù)的圖象上,且,求m的取值范圍.
四、構(gòu)造二次函數(shù)解決最值問題
12.(2025九上·柯橋期末)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,與軸交于兩點(A在的左側(cè)),與軸交于點,點是上方拋物線上一點,連結(jié)交于點,連結(jié),記的面積為,的面積為,則的最大值為(  )
A. B. C. D.1
五、二次函數(shù)的新定義問題
13.(2024九上·蕭山月考)對于一個函數(shù),當(dāng)自變量取時,函數(shù)值也等于,則稱是這個函數(shù)的不動點.已知二次函數(shù).
(1)若2是此函數(shù)的不動點,則的值為   .
(2)若此函數(shù)有兩個相異不動點與,且,則的取值范圍是   .
14.(2024九上·義烏月考)新定義:為二次函數(shù)(,,,為實數(shù))的“圖象數(shù)”,如:的“圖象數(shù)”為,若“圖象數(shù)”是的二次函數(shù)的圖象與軸只有一個交點,則的值為   .
15.(2023九上·鹽城期中)若一個點的縱坐標(biāo)是橫坐標(biāo)的2倍,則稱這個點為“二倍點”,如:,,等都是“二倍點”.在的范圍內(nèi),若二次函數(shù)的圖像上至少存在一個“二倍點”,則的取值范圍是   .
16.(2024九上·英吉沙期末)在平面直角坐標(biāo)系中,設(shè)二次函數(shù)(a,b是常數(shù),).
(1)若時,圖象經(jīng)過點,求二次函數(shù)的表達式.
(2)寫出一組a,b的值,使函數(shù)的圖象與x軸只有一個公共點,并求此二次函數(shù)的頂點坐標(biāo).
(3)已知,二次函數(shù)的圖象和直線都經(jīng)過點,求證:.
17.(2023九上·義烏期末)在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線的頂點為P,且該拋物線與x軸交于A,B兩點(點A在點B的左側(cè)).我們規(guī)定;拋物線與x軸圍成的封閉區(qū)域稱為“G區(qū)城”(不包含邊界),橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點稱為整點.
(1)求拋物線的頂點P的坐標(biāo)(用含a的代數(shù)式表示);
(2)如果拋物線經(jīng)過(1,3).
①求a的值
②在①的條件下,直接寫出“G區(qū)域”內(nèi)整點的坐標(biāo);
(3)如果拋物線在“G區(qū)域”內(nèi)有4個整點,求a的取值范圍,
六、二次函數(shù)的應(yīng)用(拋物線形問題)
18.(2024九上·西城期中)利用以下素材解決問題.
問題驅(qū)動 十一假期時,我校初三年級進行了“我是橋梁專家——探秘橋洞形狀”的數(shù)學(xué)活動,某小組探究的一座拱橋如圖1,圖2是其橋拱的示意圖,測得橋拱間水面寬AB端點到拱頂點C距離,拱頂離水面的距離
設(shè)計方案 方案一:圓弧型 方案二:拋物線型
任務(wù)一 設(shè)計成圓弧型,求該圓弧所在圓的半徑. 設(shè)計成拋物線型,以所在直線為x軸,的垂直平分線為y軸建立坐標(biāo)系,求橋拱的函數(shù)表達式.
任務(wù)二 如圖,一艘貨船露出水面部分的橫截面為矩形,測得,.請你通過計算說明貨船能否分別順利通過這兩種情況的橋梁.
19.(2024九上·漢陽期中)如圖為拋物線形拱橋平面示意圖,拱頂離水面,水面寬.以現(xiàn)有水平面的水平直線為軸,與拋物線形拱橋左邊交點為原點建立平面直角坐標(biāo)系.
(1)求此拋物線解析式;
(2)如圖(1),若水面下降,水面寬度增加多少?
(3)如圖(2),為保證行船安全,在汛期來臨之前,管理部門需要用一定長度的鋼板搭建一個可調(diào)節(jié)大小的矩形“安全架”,露出水平面部分為,使點,在拋物線上,點,為露出水面的端點,若確保點,的間距不少于,求的最大長度.
20.(2024九上·浙江期中)某游樂園要建造一個直徑為的圓形噴水池,計劃在噴水池的周邊安裝一圈噴水頭,使噴出的水柱距池中心處達到最高,高度為.
(1)以水平方向為軸,噴水池中心為原點建立直角坐標(biāo)系,求在軸右側(cè)拋物線的函數(shù)表達式;
(2)要在噴水池的中心設(shè)計一個裝飾物,使各方向噴出的水柱在此匯合,求這個裝飾物的設(shè)計高度.
21.(2024九上·青秀月考)綜合與實踐:根據(jù)以下素材,探索完成任務(wù).
如何設(shè)計大棚苗木種植方案?
【素材1】如圖①是一個大棚苗木種植基地及其截面圖,其下半部分是一個長為,寬為的矩形,其上半部分是一條拋物線,現(xiàn)測得,大棚頂部的最高點距離地面.
【素材2】種植苗木時,每棵苗木高.為了保證生長空間,相鄰兩棵苗木種植點之間間隔,苗木頂部不觸碰大棚,且種植后苗木成軸對稱分布.(即苗木的數(shù)目為偶數(shù)個)
【解決問題】
(1)大棚上半部分形狀是一條拋物線,設(shè)大棚的高度為y,種植點的橫坐標(biāo)為x.根據(jù)圖②建立的平面直角坐標(biāo)系,通過素材1提供的信息確定點的坐標(biāo),求出拋物線的解析式;
(2)探究種植范圍.在圖②的坐標(biāo)系中,在不影響苗木生長的情況下(即),確定種植點的橫坐標(biāo)x的取值范圍;
(3)擬定種植方案.給出最前排符合所有種植條件的苗木數(shù)量,并求出最左邊一棵苗木種植點的橫坐標(biāo)x的值.
22.(2024九上·柳州模擬)2023年第十九屆亞運會在杭州舉行,這是我國第三次舉辦亞運會,在中國隊對陣韓國隊的男籃四分之一決賽中,中國隊表現(xiàn)出色,贏得了比賽.如圖,一名中國運動員在距離籃球框中心A點4(水平距離)遠(yuǎn)處跳起投籃,籃球準(zhǔn)確落入籃框,已知籃球運行的路線為拋物線,當(dāng)籃球運行水平距離為2.5時,籃球達到最大高度B點處,且最大高度為3.5,以地面水平線為x軸,過最高點B垂直地面的直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系,如果籃框中心A距離地面3.05,那么籃球在該運動員出手時的高度是多少米?
23.(2024九上·貴州期末)排球場的長度為,球網(wǎng)在場地中央且高度為. 排球出手后的運動路線可以看作是拋物線的一部分,建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,排球運動過程中的豎直高度(單位:)與水平距離(單位:) 近似滿足函數(shù)關(guān)系.
(1)某運動員第一次發(fā)球時,測得水平距離與豎直高度的幾組數(shù)據(jù)如下:
水平距離
豎直高度
①根據(jù)上述數(shù)據(jù),求這些數(shù)據(jù)滿足的函數(shù)關(guān)系;
②判斷該運動員第一次發(fā)球能否過網(wǎng),并說明理由.
(2)該運動員第二次發(fā)球時,排球運動過程中的豎直高度(單位:) 與水平距離(單位:) 近似滿足函數(shù)關(guān)系,請問該運動員此次發(fā)球是否出界,并說明理由.
七、二次函的數(shù)應(yīng)用(利潤問題)
24.(2024九上·無錫期末)2024年“五一”假期期間,閬中古城景區(qū)某特產(chǎn)店銷售A,B兩類特產(chǎn).A類特產(chǎn)進價50元/件,B類特產(chǎn)進價60元/件.已知購買1件A類特產(chǎn)和1件B類特產(chǎn)需132元,購買3件A類特產(chǎn)和5件B類特產(chǎn)需540元.
(1)求A類特產(chǎn)和B類特產(chǎn)每件的售價各是多少元?
(2)A類特產(chǎn)供貨充足,按原價銷售每天可售出60件.市場調(diào)查反映,若每降價1元,每天可多售出10件(每件售價不低于進價).設(shè)每件A類特產(chǎn)降價x元,每天的銷售量為y件,求y與x的函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量x的取值范圍.
(3)在(2)的條件下,由于B類特產(chǎn)供貨緊張,每天只能購進100件且能按原價售完.設(shè)該店每天銷售這兩類特產(chǎn)的總利潤為w元,求w與x的函數(shù)關(guān)系式,并求出每件A類特產(chǎn)降價多少元時總利潤w最大,最大利潤是多少元?(利潤=售價-進價)
25.(2024九上·黔南期末)為了振興鄉(xiāng)村經(jīng)濟,增加村民收入,某村委會干部帶領(lǐng)村民把一片坡地改造后種植了優(yōu)質(zhì)葡萄,今年正式上市銷售,并在網(wǎng)上直播推銷優(yōu)質(zhì)葡萄.在銷售的30天中,第一天賣出20千克,為了擴大銷量,采取了降價措施,以后每天比前一天多賣出4千克.第天的售價為y元/千克,y關(guān)于x的函數(shù)解析式為且第12天的售價為32元/千克,第26天的售價為25元/千克.已知種植銷售葡萄的成本是18元/千克,每天的利潤是元.
(1)   ,   ;
(2)銷售優(yōu)質(zhì)葡萄第幾天時,當(dāng)天的利潤最大?最大利潤是多少?
26.(2024九上·寶安模擬)某經(jīng)銷商到“幸福村”蔬菜種植基地定點采購甲種蔬菜,已知甲種蔬菜的單價(元千克)與采購量(千克)之間的函數(shù)關(guān)系如圖中折線所示(不包括端點).
(1)當(dāng)時,直接寫出與之間的函數(shù)解析式;
(2)若甲種蔬菜的種植成本為元/千克,采購量不超過千克,那么當(dāng)采購量是多少時,蔬菜種植基地獲利最大,最大利潤是多少元?
(3)在(2)的條件下,求采購甲種蔬菜多少千克時,蔬菜種植基地能獲利元?
27.(2024九上·遵義期末)近段時間,位于匯川區(qū)泗渡鎮(zhèn)泗渡農(nóng)場的125畝草莓迎來了冬季采摘期,該農(nóng)場以優(yōu)良的生態(tài)環(huán)境為基礎(chǔ),采用蜜蜂自然授粉的方式,提升草莓的產(chǎn)量和品質(zhì)使得草莓香甜可口,果實飽滿,吸引了不少游客前往采摘.請閱讀以下材料,幫助農(nóng)戶解決問題.
材料1:某農(nóng)戶承包了一塊矩形土地,建立了三個草莓種植大棚,其布局如圖所示,其中米,米,陰影部分規(guī)劃為大棚種植草莓,其余部分是等寬的通道.
材料2:當(dāng)售價為60元時,每天可銷售40,該農(nóng)戶調(diào)查發(fā)現(xiàn),決定降價銷售,若銷售單價每降低1元,每天可多銷售2千克.已知每千克草莓的成本為20元.
(1)若三個大棚的面積是1400,求道路的寬度;
(2)當(dāng)售價定為多少元時,利潤最大?并求出最大利潤.
八、二次函數(shù)的應(yīng)用(存在性問題)
28.(2023九上·霞山月考)如圖所示,已知拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)經(jīng)過點A(﹣2,0)、B(4,0)、C(0,﹣8),與直線y=x﹣4交于B,D兩點
(1)求拋物線的解析式并直接寫出D點的坐標(biāo);
(2)點P為直線BD下方拋物線上的一個動點,試求出△BDP面積的最大值及此時點P的坐標(biāo);
(3)點Q是線段BD上異于B、D的動點,過點Q作QF⊥x軸于點F,交拋物線于點G,當(dāng)△QDG為直角三角形時,直接寫出點Q的坐標(biāo).
29.(2024九上·高邑期末)如圖,拋物線經(jīng)過,兩點,并且與軸交于點.
(1)求此拋物線的解析式;
(2)直接寫出直線的解析式為   ;
(3)若點是第一象限的拋物線上的點,且橫坐標(biāo)為,過點作軸的垂線交于點,設(shè)的長為,求與之間的函數(shù)關(guān)系式及的最大值;
(4)在軸的負(fù)半軸上是否存在點,使以,,三點為頂點的三角形為等腰三角形?如果存在,直接寫出點的坐標(biāo);如果不存在,說明理由.
30.(2022九上·紹興期中)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線(,是常數(shù))經(jīng)過點,點.點在此拋物線上,其橫坐標(biāo)為.
(1)求此拋物線的解析式;
(2)當(dāng)點在軸上方時,結(jié)合圖象,直接寫出的取值范圍;
(3)若此拋物線在點左側(cè)部分(包括點)的最低點的縱坐標(biāo)為.
①求的值;
②以為邊作等腰直角三角形,當(dāng)點在此拋物線的對稱軸上時,直接寫出點的坐標(biāo).
31.(2023九上·濱州期中)綜合與實踐
如圖,拋物線與x軸交于A,B兩點(點A在點B的左側(cè)),與y軸交于點C,點B的坐標(biāo)是,點C的坐標(biāo)是,拋物線的對稱軸交x軸于點D.連接.
(1)求拋物線的解析式:
(2)在拋物線的對稱軸上是否存在點P,使是以為腰的等腰三角形?如果存在,求出點P的坐標(biāo);如果不存在,請說明理由;
(3)點E在x軸上運動,點F在拋物線上運動,當(dāng)以點B,C,E,F(xiàn)為頂點的四邊形是平行四邊形,直接寫出點E的坐標(biāo).
32.(2024九上·四平期末)如圖,拋物線與軸交于、兩點(點在點的左側(cè)),點的坐標(biāo)為,與軸交于點,作直線.動點在軸上運動,過點作軸,交拋物線于點,交直線于點,設(shè)點的橫坐標(biāo)為.
(1)求拋物線的解析式和直線的解析式;
(2)當(dāng)點在線段上運動時,求線段的最大值;
(3)當(dāng)點在線段上運動時,若是以為腰的等腰直角三角形時,求的值;
(4)當(dāng)以、、、為頂點的四邊形是平行四邊形時,直接寫出的值.
33.(2023九上·崇陽月考)如圖,拋物線與軸交于點和點,與軸交于點,點在拋物線上.
(1)求拋物線的解析式;
(2)點在第一象限內(nèi),過點作軸,交于點,作軸,交拋物線于點,點在點的左側(cè),以線段為鄰邊作矩形,當(dāng)矩形的周長為11時,求線段的長;
(3)點在直線上,點在平面內(nèi),當(dāng)四邊形是正方形時,請直接寫出點的坐標(biāo).
34.(2024九上·義烏月考)如圖,拋物線交x軸于點和點,交y軸于點C.
(1)求拋物線的表達式;
(2)若點P是直線下方拋物線上一動點,連接,當(dāng)?shù)拿娣e最大時,求點P的坐標(biāo)及面積的最大值;
(3)在(2)的條件下,若點N是直線上的動點,在平面內(nèi)的是否存在點Q,使得以為邊、以P、B、N、Q為頂點的四邊形是菱形?若存在,請求出符合條件的所有Q點的坐標(biāo):若不存在,請說明理由.
35.(2024九上·紹興月考)如圖,已知直線與x軸交于點A,與y軸交于點C,拋物線經(jīng)過A,C兩點,且與x軸的另一個交點為B,對稱軸為直線.
(1)求拋物線的表達式;
(2)D是第二象限內(nèi)拋物線上的動點,設(shè)點D的橫坐標(biāo)為m,求四邊形面積S的最大值及此時D點的坐標(biāo);
(3)若點P在拋物線對稱軸上,是否存在點P,Q,使以點A,C,P,Q為頂點的四邊形是以為對角線的菱形?若存在,請求出P,Q兩點的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
九、二次函數(shù)的應(yīng)用(面積問題)
36.(2024九上·八步期末) 如圖,已知拋物線與軸交于點,與軸交于兩點,點在點左側(cè).點的坐標(biāo)為,點的坐標(biāo)為.
(1)求拋物線的解析式;
(2)當(dāng)點是拋物線對稱軸上的一個動點時,求當(dāng)最小時,點的坐標(biāo);
(3)若點是線段下方拋物線上的動點,求面積的最大值.
37.(2024九上·信豐期末)直線yx+c與x軸交于點A(3,0),與y軸交于點B,拋物線yx2+bx+c經(jīng)過點A,B.M(m,0)為x軸上一動點,過點M且垂直于x軸的直線與直線AB及拋物線分別交于點P,N.
(1)求點B的坐標(biāo);
(2)求拋物線的解析式;
(3)點M在線段OA上運動,
①求線段PN的最大長度.
②連接AN,求△ABN面積的最大值.
38.(2024九上·蕭山月考)某農(nóng)場擬建兩間矩形飼養(yǎng)室,一面靠現(xiàn)有墻(墻足夠長),中間用一道墻隔開(如圖1所示).已知計劃中的材料可建墻體總長46米,設(shè)兩間飼養(yǎng)室合計長(米),總占地面積為.
(1)求關(guān)于的函數(shù)表達式和自變量的取值范圍.
(2)現(xiàn)需要設(shè)計這兩間飼養(yǎng)室各開一扇門(如圖2所示),每扇門寬1米,門不采用計劃中的材料.求總占地面積最大為多少
39.(2022九上·天津期中)為落實國家《關(guān)于全面加強新時代大中小學(xué)勞動教育的意見》,某校準(zhǔn)備在校園里利用圍墻(墻長)和長的籬笆墻,圍成Ⅰ、Ⅱ兩塊矩形勞動實踐基地.某數(shù)學(xué)興趣小組設(shè)計了兩種方案(除圍墻外,實線部分為籬笆墻,且不浪費籬笆墻),請根據(jù)設(shè)計方案回答下列問題:
(1)方案一:如圖①,全部利用圍墻的長度,但要在Ⅰ區(qū)中留一個寬度的水池且需保證總種植面積為,試分別確定、的長;
(2)方案二:如圖②,使圍成的兩塊矩形總種植面積最大,請問應(yīng)設(shè)計為多長?此時最大面積為多少?
40.(2024九上·杭州期中)有這樣一個例題:有一個窗戶形狀如圖1,上部是一個半圓,下部是一個矩形,如果制作窗框的材料總長為,如何設(shè)計這個窗戶,使透光面積最大?
這個例題的答案是:當(dāng)窗戶半圓的半徑約為時,透光面積最大值約為.我們?nèi)绻淖冞@個窗戶的形狀,上部改為由兩個正方形組成的矩形,如圖2,材料總長仍為,利用圖3,解答下列問題:
(1)若為,求此時窗戶的透光面積?
(2)與上一個例題比較,改變窗戶形狀后,若設(shè)的長度為,請問當(dāng)x的值為多少時窗戶透光面積最大?與例題相比透光的最大面積是否變大?通過計算說明.
十、二次函數(shù)的應(yīng)用(增減性問題)
41.(2025九上·慈溪期末)已知二次函數(shù) ( 為常數(shù))的圖象經(jīng)過點 ,對稱軸是直線 。
(1)求此二次函數(shù)的表達式。
(2)求二次函數(shù) 的最大值。
(3)當(dāng) 時,二次函數(shù) 的最大值與最小值的差為 ,求 的取值范圍。
42.(2024九上·溫州月考)已知二次函數(shù)(b,c為常數(shù))的頂點坐標(biāo)為
(1)求二次函數(shù)的表達式;
(2)將頂點向左平移2個單位長度,再向上平移個單位長度后,恰好落在的圖象上,求m的值;
(3)當(dāng)時, 二次函數(shù)的最大值與最小值差為5,則n的值為 .
43.(2024九上·余姚期中)已知二次函數(shù)(b,c為常數(shù))的圖象經(jīng)過點,對稱軸為直線.
(1)求二次函數(shù)的表達式;
(2)若點向左平移m()個單位長度,向上平移()個單位長度后,恰好落在的圖象上,求m的值并判斷點是否落在的圖像上;
(3)當(dāng)時,二次函數(shù)的最大值與最小值的差為2.25,求n的取值范圍.
44.(2025九上·錢塘期末)已知二次函數(shù)(為常數(shù))的圖象與軸有交點,且當(dāng)時,隨的增大而增大,則的取值范圍是   .
答案解析部分
1.【答案】B
【知識點】二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系;利用二次函數(shù)圖象判斷一元二次方程根的情況
【解析】【解答】
解:根據(jù)題意,則,,
∵,
∴,
∴,故①錯誤;
由拋物線與x軸有兩個交點,則,故②正確;
∵,
令時,,
∴,故③正確;
在中,
令時,則,
令時,,
由兩式相加,得,故④正確;
∴正確的結(jié)論有:②③④,共3個;
故答案為:B.
【分析】首先根據(jù)函數(shù)圖象,可得出a<0,b>0,c>0的正負(fù)號,故而得出①錯誤;根據(jù)拋物線與x軸的交點個數(shù),可得出②正確;由,得,令,求函數(shù)值,即可判斷③正確;令時,則,令時,,再把兩個式子相加,即可判斷④正確;綜上即可得出答案。
2.【答案】C
【知識點】二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系;二次函數(shù)的最值;二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象;二次函數(shù)y=ax²+bx+c的性質(zhì)
【解析】【解答】解:②、∵拋物線開口向上,則,
∵對稱軸為直線,則,
∴,故②正確;
①、拋物線與軸交于負(fù)半軸,則,
∴,故①錯誤;
③、∵當(dāng)時,取得小值,
∴,
當(dāng)m為任意實數(shù),則,故③正確,
④、∵拋物線關(guān)于對稱,
∴和的函數(shù)值相同,
即:,
由圖象知,當(dāng)時,函數(shù)值大于0,
∴,故④正確;
⑤、當(dāng)關(guān)于對稱時:即:時,
對應(yīng)的函數(shù)值相同,
即:,

∴若,且,則;故⑤正確;
綜上所述,正確的是②③④⑤,共4個,
故答案為:C.
【分析】
根據(jù)開口方向得,根據(jù)對稱軸可得,與軸的交點位置交于負(fù)半軸,則,可判斷 ①② ;利用最值當(dāng)時,取得小值可判斷③;根據(jù)對稱性和圖象上的點,可判斷④;利用對稱性可判斷⑤;逐一判斷即可解答.
3.【答案】A
【知識點】二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系;二次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點問題
4.【答案】C
【知識點】二次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點問題;二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象;二次函數(shù)y=ax²+bx+c的性質(zhì)
【解析】【解答】解:∵當(dāng)y> 0時,-1∴函數(shù)與x軸的交點為(-1,0)和(2,0),且開口向下,故A、B、D選項錯誤;
故答案為:C.
【分析】根據(jù)圖象分析即可.
5.【答案】①②③
【知識點】二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系;二次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點問題
6.【答案】B
【知識點】二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系;二次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點問題
【解析】【解答】解:二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點,對稱軸為直線,
二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點,
即時,,
,故①正確;

點,關(guān)于直線對稱,
,故②正確;
二次函數(shù)的圖象過點和,

解得,

當(dāng)時,拋物線開口向上,當(dāng)時,為最小值,
若為任意實數(shù),則;
當(dāng)時,拋物線開口向下,當(dāng)時,為最大值,
若為任意實數(shù),則;
故③錯誤;
由得,

又,,
得,,
則△,
關(guān)于的方程必有兩個不相等的實數(shù)根,
故④正確.
故選:B.
【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖象,性質(zhì)與系數(shù)的關(guān)系逐項進行判斷即可求出答案.
7.【答案】B
【知識點】二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系;二次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點問題;利用二次函數(shù)圖象求一元二次方程的近似根;利用二次函數(shù)圖象判斷一元二次方程根的情況;數(shù)形結(jié)合
【解析】【解答】解:①、∵拋物線開口向上,
∴a>0,
∵對稱軸在y軸的右側(cè),
∴x=->0
∴b<0,
∵拋物線與軸交于負(fù)半軸,
∴c<0,
∴abc>0,故①正確,
②、∵二次函數(shù)y= ax2 + bx + c(a≠0)的圖象過(-1,0),
∴a-b+c=0,
∴二次函數(shù)y=ax2 + bx +c(a≠0 )的圖象與x軸交于兩點(-1,0),(x1,0),且2∴對稱軸
∴a<-b<2a,
∴a-b+c>a+a+c=2a+c,2a+b>0
∴2a+c<0,故②正確;
③、∵b=a+c
∴4a-b+2c=4a- b+2(b-a)= 2a+b>0,
∴4a-b+2c>0,故③錯誤;
④、如圖,
關(guān)于x的一元二次方程a(x+ 1)(x-x1)+c=0(a≠0)的兩個根,即兩數(shù)y=ax2 +bx+c(a≠0)與y=-c交點的橫坐標(biāo).
∵m<-1<2∴ 若m和n是關(guān)于x的一元二次方程)的兩根,且,則,; 故④正確;
⑤、∵二次函數(shù)的圖像與x軸交于兩點,
∴y=ax2 +bx+c=a(x+1)(x-x1)=ax2+a(1-x1)x-ax1,
∴b=a(1-x1), c=-ax1,
∴b-a=-ax1,
∴ax2+bx+c>可化為ax2+(b-a)x>0,
即ax2- ax1x>0,
∵a>0,
∴x2-x1x>0,
解得: x<0或x>x1,
∴ 于x的不等式)的解集為,故⑤錯誤
故正確的有①②④,共3個,
故答案為:B.
【分析】根據(jù)拋物線開口,對稱軸,以及與y軸的交點,確定a,b,c的符號,即可判斷①,根據(jù)二次函數(shù)y= ax2 + bx + c(a≠0)的圖象過(-1,0),得出a- b+c=0,進而判斷對稱軸,得出a< -b<2a,進而判斷②和③,根據(jù)函數(shù)圖象判斷④.將一般式寫成交點式得出b=a(1-x1),c=-ax1, 化簡不等式為x2 -x1x>0求得解集,逐一判斷即可解答.
8.【答案】B
【知識點】二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系;二次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點問題;二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征;二次函數(shù)y=a(x-h)²+k的性質(zhì);利用二次函數(shù)圖象判斷一元二次方程根的情況
【解析】【解答】解:根據(jù)函數(shù)圖象可得拋物線開口向下,則a<0,對稱軸為直線x=1,則
∴b=-2a>0,
又∵拋物線與y軸交點坐標(biāo)是(0,m), 即c=m,
∵20,
∴abc<0, 故①正確;
∵拋物線與x軸的一個交點坐標(biāo)是(4,0),對稱軸為直線x=1,
∴另一個交點坐標(biāo)為(-2,0),
∴當(dāng)x=﹣3時, y=9a﹣3b+c<0,故②錯誤;
∵(-2,0), (4,0)在拋物線 的圖象上,
∴4a-2b+c=0,
又∵b=-2a,
∴4a+4a+c=0,
∴8a+c=0即c=-8a,
∵2∴2<-8a<3,

當(dāng) 時,y取得最大值,最大值為
故③正確;


對稱軸為直線 當(dāng) 時,
Δ的值隨a的增大而增大,
又∵
∴當(dāng) 時,
∴當(dāng) 時, 恒成立,即
有兩個不相等實根,故④正確;
若點在拋物線 上, 且

解得: 且
故⑤錯誤;
故正確的有①③④,共3個.
故答案為:B.
【分析】根據(jù)函數(shù)圖象結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì),先判斷a,b,c的符號即可判斷①;進而根據(jù)對稱性得出另一個交點坐標(biāo)為 則當(dāng) 時,即可判斷②;根據(jù) , ,結(jié)合拋物線的頂點坐標(biāo),即可判斷③;求得a的范圍進而根據(jù)一元二次方程根的判別式判斷一元二次方程的解情況即可判斷④;根據(jù) 結(jié)合函數(shù)圖象分析,即可得出 進而判斷⑤, 即可求解.
9.【答案】(1)解:根據(jù)題意可得,解得
則解析式為;
(2)解:由可得,
由頂點坐標(biāo)為,可得
可得,代入可得,
即;
(3)解: 二次函數(shù)圖象經(jīng)過兩點
則對稱軸為直線
∵,開口方向向下,
將代入可得,
,且
可得:,
則二次函數(shù)解析式為:,
頂點坐標(biāo)為,
令,即
方程的兩根滿足:,,

即拋物線與直線y=-7的兩個交點的橫坐標(biāo)之差為4,
若 若時 , 總有 ,則 q-p 的最大值為;
當(dāng)或時,有最小值,為,
∴;
【知識點】列二次函數(shù)關(guān)系式;二次函數(shù)y=ax²+bx+c的性質(zhì);二次函數(shù)y=ax²+bx+c與二次函數(shù)y=a(x-h)²+k的轉(zhuǎn)化;利用一般式求二次函數(shù)解析式
【解析】【分析】(1)根據(jù)題意可得,解得,即可求解;
(2) 由題意可得,由頂點坐標(biāo)為,可得,求解即可.
(3) 根據(jù)題意將兩點坐標(biāo)代入解析式得到,再令將函數(shù)解析式轉(zhuǎn)化為方程,根據(jù)一元二次方程兩個根的關(guān)系,求出拋物線與直線兩個交點的橫坐標(biāo)之差為4,再根據(jù)拋物線的對稱性和增減性得出結(jié)論.
10.【答案】A
【知識點】二次函數(shù)的最值;偶次方的非負(fù)性
【解析】【解答】解:
∴c≥b;

由②-①得
2b=2a2-2a+5,

∴a<b,
∴a<b≤c.
故答案為:A.
【分析】將c-b轉(zhuǎn)化為完全平方式,利用偶次方的非負(fù)性,可得到c與b的大小關(guān)系;再將兩個等式相減消去c,可得到2b-2a的值,再將其配方,可得到2b-2a≥3,據(jù)此兩端的a、b的大小關(guān)系,由此可推出a、b、c之間的大小關(guān)系.
11.【答案】(1)解:將代入中,
得,
解得,
(2)解:拋物線對稱軸為.
若,當(dāng)時,函數(shù)值最小,

解得.

若,當(dāng)時,函數(shù)值最小,

解得(不合題意,舍去)
綜上所述
(3)解:關(guān)于對稱軸對稱
,且A在對稱軸左側(cè),C在對稱軸右側(cè)
拋物線與y軸交點為,拋物線對稱軸為直線,
此交點關(guān)于對稱軸的對稱點為

,解得.
當(dāng)A,B都在對稱軸左邊時,

解得,
當(dāng)A,B分別在對稱軸兩側(cè)時
到對稱軸的距離大于A到對稱軸的距離

解得
綜上所述或
【知識點】二次函數(shù)的最值;二次函數(shù)的對稱性及應(yīng)用
【解析】【分析】(1)將 點 代入函數(shù)解析式,可求出t的值.
(2)確定拋物線的對稱軸,對待定參數(shù)分類討論:當(dāng),當(dāng)時,函數(shù)值最小,以及,當(dāng)時,函數(shù)值最小,可得到符合題意的t的值.
(3)利用點A、C的坐標(biāo)j及二次函數(shù)的對稱性,可得到,且A在對稱軸左側(cè),C在對稱軸右側(cè);確定拋物線與y軸交點,此交點關(guān)于對稱軸的對稱點為,結(jié)合已知確定出;再分類討論:A,B都在對稱軸左邊時,A,B分別在對稱軸兩側(cè)時,分別列出不等式進行求解即可.
12.【答案】C
【知識點】二次函數(shù)的最值;二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征;相似三角形的判定-AA;相似三角形的性質(zhì)-對應(yīng)邊;二次函數(shù)-面積問題
【解析】【解答】解:由題知,,
如圖,過點P作x軸的平行線交的延長線于點M,
∵軸,
∴,
∴.
令,則有,解得,
∴,
∴.
將代入,得:,
∴點C的坐標(biāo)為.
令直線的函數(shù)解析式為,
則,
解得,
∴直線的函數(shù)解析式為.
∵,
令點P坐標(biāo)為,
則,

∴,
則,
∴,
則當(dāng)時,有最大值為:,
即的最大值為.
故選:C.
【分析】
觀察圖象知,可過點P作x軸的平行線交的延長線于點M,顯然可證,由相似比得,由于AB是定值,則當(dāng)PM最小時最大,此時可利用拋物線上點的坐標(biāo)特征設(shè)出P點坐標(biāo),再利用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式,則點M坐標(biāo)可表示,則線段PM即為P、M兩點橫坐標(biāo)的差,即PM是關(guān)于m的二次函數(shù),且二次項系數(shù)為負(fù),則PM有最大值,再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出這個最大值即可.
13.【答案】;
【知識點】二次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點問題;二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征;二次函數(shù)與一元二次方程的綜合應(yīng)用
【解析】【解答】解:(1)若2是此函數(shù)的不動點,則拋物線經(jīng)過,
將代入得,
解得:,
故答案為:;
(2)由題意可知二次函數(shù)有兩個相異不動點與,
則與是方程的兩個不相等實根,且,
整理得,

解得,
令,

當(dāng)時,,
解得:,
故答案為:.
【分析】
(1)根據(jù)函數(shù)不動點的概念將代入函數(shù)解析式得關(guān)于m的一元一次方程并求解即可;
(2)先由函數(shù)的不動點概念可得方程,又因為與同時滿足這個方程,即與 是該方程兩個不相等的實數(shù)根,則一元二次方程根的判別式,可得關(guān)于的不等式并解不等式;再令,則是拋物線與軸兩個交點坐標(biāo),由于拋物線開口向下,則當(dāng)時,函數(shù)值,再解關(guān)于的不等式,最后再求出兩個不等式解集的公共部分即可.
14.【答案】或
【知識點】二次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點問題
15.【答案】
【知識點】二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系;二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征
【解析】【解答】解:由題意得,二倍點所在的直線為,
在的范圍內(nèi),二次函數(shù)的圖象上至少存在一個“二倍點”,
即在的范圍內(nèi),二次函數(shù)和至少有一個交點,
令,整理得,,
∴,
解得,
把代入得,代入得,
,解得;
把代入得,代入得,
,解得:,
綜上,c的取值范圍為:.
故答案為:.
【分析】由題意得,二倍點所在的直線為,根據(jù)二次函數(shù)的圖象上至少存在一個“二倍點”轉(zhuǎn)化為和至少有一個交點,求,再根據(jù)和時兩個函數(shù)值大小即可求解.
16.【答案】(1)解:把代入得:,
∵當(dāng)時,,
∴,
∴,
∴二次函數(shù)的關(guān)系式為.
(2)解:令,則,
當(dāng)時,則,
∴,
∴若,時,函數(shù)的圖象與x軸只有一個公共點,
∴此時函數(shù)為,
∴此函數(shù)的頂點坐標(biāo)為(答案不唯一) .
(3)證明:∵二次函數(shù)的圖象和直線都經(jīng)過點,
∴,
∴,
∴,
∴,
∴.
【知識點】二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系;待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式;二次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點問題;二次函數(shù)y=ax²+bx+c與二次函數(shù)y=a(x-h)²+k的轉(zhuǎn)化
【解析】【分析】(1)根據(jù)待定系數(shù)法將a=2,,,代入二次函數(shù)表達式即可求出答案.
(2)根據(jù)y軸上點的坐標(biāo)特征令,則,根據(jù)與x軸只有一個交點,則對應(yīng)一元二次方程有一個解,則,即,據(jù)此寫出一組a,b的值,化成頂點式即可求得頂點坐標(biāo).
(3)根據(jù)題意得到,整理得,再代入不等式,結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出答案.
(1)解:把代入得:,
∵當(dāng)時,,
∴,
∴,
∴二次函數(shù)的關(guān)系式為.
(2)解:令,則,
當(dāng)時,則,
∴,
∴若,時,函數(shù)的圖象與x軸只有一個公共點,
∴此時函數(shù)為,
∴此函數(shù)的頂點坐標(biāo)為(答案不唯一) .
(3)證明:∵二次函數(shù)的圖象和直線都經(jīng)過點,
∴,
∴,
∴,
∴,
∴.
17.【答案】(1)解:∵,
∴頂點P的坐標(biāo)為;
(2)解:①∵拋物線經(jīng)過,
∴,解得;
②由①得:,
令得,,
解得,,
∴點,點.
當(dāng)時,,
∴,兩個整點在“G區(qū)域”;
當(dāng)時,,
∴,兩個整點在“G區(qū)域”;
當(dāng)時,,
∴,兩個整點在“G區(qū)域”;
(3)解:
當(dāng)時,,
∴拋物線與y軸的交點坐標(biāo)為.
當(dāng)時,如圖1所示,
此時有,解得;
當(dāng)時,如圖2所示,
此時有,解得;
綜上,如果“G區(qū)域”內(nèi)僅有4個整點時,則a的取值范圍為或.
【知識點】二次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點問題;二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征;二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象;二次函數(shù)y=ax²+bx+c的性質(zhì)
【解析】【分析】(1)將拋物線的解析式配成頂點式即可得出頂點的坐標(biāo);
(2)①將點(1,3)代入y=ax2-2ax-3a可算出a的值;②易得拋物線的解析式,令解析式中的y=0算出對應(yīng)的自變量的值,可得點A、B的坐標(biāo),再令解析式中的x=0、x=1、x=2,算出對應(yīng)的函數(shù)值即可判斷得出 “G區(qū)域”內(nèi)整點的坐標(biāo);
(3)令解析式中的x=0算出對應(yīng)的函數(shù)值可得拋物線與y軸交點的坐標(biāo),分a<0及a>0兩種情況考慮,依照題意畫出圖形,結(jié)合圖形找出關(guān)于a的不等式組,解之即可得出結(jié)論.
18.【答案】【解答】解:任務(wù)一:方案一,設(shè)圓的圓心為O,連接.∵,
∴.
∵,
∴,直線過點O.
∵,
∴.
∴.
∴.
∵,
∴是等邊三角形.
∴.
故半徑為.
方案二,
∵頂點C坐標(biāo)為,
∴設(shè)橋拱的函數(shù)解析式為.
∵,
∴.
代入得.
解得.
故函數(shù)解析式為.
任務(wù)二:
方案一,
如圖,連接,設(shè)交于I.
由上知,
∵矩形中,,
∴.
∴.
∴.
∵,
∴.
故貨船能順利通過.
方案二,
如圖,∵,
∴H橫坐標(biāo)為5.
∴.
故貨船不能順利通過.
【知識點】待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式;矩形的性質(zhì);垂徑定理的實際應(yīng)用;二次函數(shù)的實際應(yīng)用-拱橋問題;解直角三角形—三邊關(guān)系(勾股定理)
【解析】【分析】任務(wù)一:方案一,設(shè)圓心為O,連接,首先根據(jù)AC和CD的長度。可得出,進而得出∠ACD=60°,即可得出是等邊三角形,可得出圓弧的半徑為10m;方案二, 以所在直線為x軸,的垂直平分線為y軸建立坐標(biāo)系, 可得出頂點C坐標(biāo)為,再根據(jù)點,利用待定系數(shù)法,即可得出函數(shù)解析式為;
任務(wù)二:方案一,連接,設(shè)交于I,根據(jù)矩形性質(zhì)得,得,得,結(jié)合半徑為10得到,得,即可判斷;方案二,當(dāng)H點的橫坐標(biāo)為5時,,即可判斷.
19.【答案】(1)
(2)
(3)
【知識點】二次函數(shù)的實際應(yīng)用-拱橋問題
20.【答案】(1);
(2)m.
【知識點】二次函數(shù)的實際應(yīng)用-噴水問題;利用頂點式求二次函數(shù)解析式
21.【答案】(1)
(2)
(3)最前排符合所有種植條件的苗木數(shù)量為18棵,最左邊一棵苗木種植點的橫坐標(biāo)為
【知識點】待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式
22.【答案】解:根據(jù)題意可得,A點坐標(biāo)為(1.5,3.05),B點坐標(biāo)為(0,3.5),
設(shè)拋物線的解析式為,
將A(1.5,3.05),B(0,3.5)代入得二元一次方程組:

解這個方程組得,,
因此該拋物線的解析式為,
當(dāng)時,,
答:籃球在該運動員出手時的高度為2.25.
【知識點】二次函數(shù)的實際應(yīng)用-拋球問題
【解析】【分析】根據(jù)題意設(shè)拋物線的解析式為,待定系數(shù)法求得解析式后再代入計算求解即可.
23.【答案】(1)①由表中數(shù)據(jù)可得頂點,
則,
把代入得:,
解得:,
所求函數(shù)關(guān)系為;
②能,
當(dāng)時,,
該運動員第一次發(fā)球能過網(wǎng)
(2)判斷:沒有出界,
在中,令,則,
解得:(舍),,

沒有出界
【知識點】二次函數(shù)的實際應(yīng)用-拋球問題
【解析】【分析】(1)①分析表格得到拋物線頂點,然后利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可;
②把代入,求得y的值,再與球網(wǎng)高度比較解題;
(2)令,求出拋物線與軸的交點即可解題.
(1)①由表中數(shù)據(jù)可得頂點,
則,
把代入得:,
解得:,
所求函數(shù)關(guān)系為;
②能,
當(dāng)時,,
該運動員第一次發(fā)球能過網(wǎng);
(2)判斷:沒有出界,
在中,令,則,
解得:(舍),,

沒有出界.
24.【答案】(1)解:設(shè)每件A類特產(chǎn)的售價為x元,則每件B類特產(chǎn)的售價為元.
根據(jù)題意得.
解得.
則每件B類特產(chǎn)的售價(元).
答:A類特產(chǎn)的售價為60元/件,B類特產(chǎn)的售價為72元/件.
(2)解:由題意得
∵A類特產(chǎn)進價50元/件,售價為60元/件,且每件售價不低于進價
∴.
答:().
(3)解:.
∴當(dāng)時,w有最大值1840.
答:A類特產(chǎn)每件售價降價2元時,每天銷售利潤最大,最大利潤為1840元.
【知識點】二次函數(shù)的最值;一元一次方程的實際應(yīng)用-銷售問題;二次函數(shù)的實際應(yīng)用-銷售問題;一次函數(shù)的其他應(yīng)用
【解析】【分析】
根據(jù)題意設(shè)每件A類特產(chǎn)的售價為x元,則每件B類特產(chǎn)的售價為元,根據(jù)相等關(guān)系“ 購買1件A類特產(chǎn)和1件B類特產(chǎn)需132元,購買3件A類特產(chǎn)和5件B類特產(chǎn)需540元 ”列方程并求解即可;
由每降價1元則每天可多售出10件列出函數(shù)關(guān)系式,結(jié)合進價與售價,且每件售價不低于進價得到x得取值范圍;
結(jié)合(2)中A類特產(chǎn)降價x元與每天的銷售量y件,得到A類特產(chǎn)的利潤,同時求得B類特產(chǎn)的利潤再求和即可得出每天的總利潤w,可發(fā)現(xiàn)w是關(guān)于x的二次函數(shù),由于二次項系數(shù)為負(fù),則w有最大值,再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可.
(1)解:設(shè)每件A類特產(chǎn)的售價為x元,則每件B類特產(chǎn)的售價為元.
根據(jù)題意得.
解得.
則每件B類特產(chǎn)的售價(元).
答:A類特產(chǎn)的售價為60元/件,B類特產(chǎn)的售價為72元/件.
(2)由題意得
∵A類特產(chǎn)進價50元/件,售價為60元/件,且每件售價不低于進價
∴.
答:().
(3).
∴當(dāng)時,w有最大值1840.
答:A類特產(chǎn)每件售價降價2元時,每天銷售利潤最大,最大利潤為1840元.
25.【答案】(1);25
(2)解:由(1)知第天的銷售量為千克.
當(dāng)時,

當(dāng)時,取得最大值,最大值為968.
當(dāng)時,.
,隨的增大而增大,

,當(dāng)時,.
答:銷售優(yōu)質(zhì)葡萄第18天時,當(dāng)天的利潤最大,最大利潤是968元.
【知識點】二次函數(shù)的實際應(yīng)用-銷售問題
【解析】【解答】(1)根據(jù)題意可得:32=12m-76m,n=25,
解得:m=,n=25,
故答案為:;25.
【分析】(1)根據(jù)“ 第12天的售價為32元/千克,第26天的售價為25元/千克 ”列出方程32=12m-76m,n=25,再求解即可;
(2)利用“總利潤=每件利潤×數(shù)量”列出函數(shù)解析式,再利用二次函數(shù)的性質(zhì)分析求解即可.
26.【答案】(1)解:設(shè)當(dāng)時,與之間的函數(shù)解析式為:.
把,代入函數(shù)關(guān)系式得:

解得,
與之間的函數(shù)解析式為:;
(2)解:設(shè)當(dāng)采購量是千克時,蔬菜種植基地獲利元,
當(dāng)時,,
當(dāng)時,有最大值元,
當(dāng)時,,

當(dāng)時,有最大值為元,
綜上所述,當(dāng)采購甲種蔬菜千克時,蔬菜種植基地能獲得最大利潤,最大利潤為元;
(3)解:由,根據(jù)()可得,,
解得:,,
采購甲種蔬菜是千克或千克時,蔬菜種植基地能獲利元.
【知識點】一元二次方程的實際應(yīng)用-銷售問題;二次函數(shù)的實際應(yīng)用-銷售問題;一次函數(shù)的其他應(yīng)用
【解析】【分析】(1)設(shè)當(dāng)時,與之間的函數(shù)解析式為:,進而運用待定系數(shù)法即可求解;
(2)設(shè)當(dāng)采購量是千克時,蔬菜種植基地獲利元,根據(jù)題意分別求出當(dāng)時,當(dāng)時,與的函數(shù)關(guān)系式,進而根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)和一次函數(shù)的性質(zhì)求出其最值即可求解;
(3)由,根據(jù)()可得,,進而解一元二次方程即可求解。
(1)解:設(shè)當(dāng)時,與之間的函數(shù)解析式為:.
把,代入函數(shù)關(guān)系式得:

解得,
與之間的函數(shù)解析式為:;
(2)設(shè)當(dāng)采購量是千克時,蔬菜種植基地獲利元,
當(dāng)時,,
當(dāng)時,有最大值元,
當(dāng)時,,

當(dāng)時,有最大值為元,
綜上所述,當(dāng)采購甲種蔬菜千克時,蔬菜種植基地能獲得最大利潤,最大利潤為元;
(3)由,根據(jù)()可得,,
解得:,,
采購甲種蔬菜是千克或千克時,蔬菜種植基地能獲利元.
27.【答案】(1)解:設(shè)道路的寬度是x 米,
根據(jù)題意,可列方程為(52-2x)(30-2x)=1400,
解這個方程,得x1=1,x2=40(不符合題意,舍去),
答:道路的寬度是1米.
(2)解:設(shè),定價為y元/kg,利潤為w元,
根據(jù)題意可知:w=(y-20)[40+2(60-y)]
整理,得:w=-2y2+200y-3600=-2(y-50)2+1800
∴當(dāng)y=50時,w取得最大值,最大值為1800,
答: 當(dāng)售價定為50元時,利潤最大,最大利潤是1800元.
【知識點】一元二次方程的應(yīng)用-幾何問題;二次函數(shù)的實際應(yīng)用-銷售問題
【解析】【分析】(1)設(shè)通道的寬為米,根據(jù)矩形面積公式建立方程即可;
(2)設(shè)售價定為y元,利潤為元,根據(jù)題意可以得到一個關(guān)于的二次函數(shù),再利用配方法求最值即可.
(1)解:設(shè)通道的寬為米,
根據(jù)題意得:,
解得:(舍去)或,
答:通道的寬為1米;
(2)解:設(shè)售價定為元,利潤為元
則由題意得:,
化簡得:

∵,
∴當(dāng)時,利潤最大,為元.
28.【答案】解:(1)∵拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)與x軸的交點坐標(biāo)是A(﹣2,0)、B(4,0),
∴設(shè)該拋物線解析式為y=a(x+2)(x﹣4),
將點C(0,﹣8)代入函數(shù)解析式代入,得a(0+2)(0﹣4)=﹣8,
解得a=1,
∴該拋物線的解析式為:y=(x+2)(x﹣4)或y=x2﹣2x﹣8.
聯(lián)立方程組:
解得(舍去)或,
即點D的坐標(biāo)是(﹣1,﹣5);
(2)如圖所示:
過點P作PE∥y軸,交直線AB與點E,設(shè)P(x,x2﹣2x﹣8),則E(x,x﹣4).
∴PE=x﹣4﹣(x2﹣2x﹣8)=﹣x2+3x+4.
∴S△BDP=S△DPE+S△BPE=PE (xp﹣xD)+PE (xB﹣xE)=PE (xB﹣xD)=(﹣x2+3x+4)=﹣(x﹣)2+.
∴當(dāng)x=時,△BDP的面積的最大值為.
∴P(,﹣).
(3)(2,﹣2)或(3,﹣1).
【知識點】點的坐標(biāo);二次函數(shù)的最值;待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式;三角形的面積;二次函數(shù)-面積問題
【解析】【解答】
解:(3)設(shè)直線y=x﹣4與y軸相交于點K,則K(0,﹣4),設(shè)G點坐標(biāo)為(x,x2﹣2x﹣8),點Q點坐標(biāo)為(x,x﹣4).
∵B(4,0),
∴OB=OK=4.
∴∠OKB=∠OBK=45°.
∵QF⊥x軸,
∴∠DQG=45°.
若△QDG為直角三角形,則△QDG是等腰直角三角形.
①當(dāng)∠QDG=90°時,過點D作DH⊥QG于H,
∴QG=2DH,QG=﹣x2+3x+4,DH=x+1,
∴﹣x2+3x+4=2(x+1),解得:x=﹣1(舍去)或x=2,
∴Q1(2,﹣2).
②當(dāng)∠DGQ=90°,則DH=QH.
∴﹣x2+3x+4=x+1,解得x=﹣1(舍去)或x=3,
∴Q2(3,﹣1).
綜上所述,當(dāng)△QDG為直角三角形時,點Q的坐標(biāo)為(2,﹣2)或(3,﹣1).
故答案為:(2,﹣2)或(3,﹣1).
【分析】
(1)設(shè)拋物線的解析式為y=a(x+2)(x﹣4),將點C的坐標(biāo)代入可求得a的值,然后將y=x﹣4與拋物線的解析式聯(lián)立方程組并求解即可解答;
(2)過點P作PE∥y軸,交直線AB與點E,設(shè)P(x,x2﹣2x﹣8),則E(x,x﹣4),則PE═﹣x2+3x+4,然后依據(jù)S△BDP=S△DPE+S△BPE,列出△BDP的面積與x的函數(shù)關(guān)系式,然后依據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可解答;
(3)設(shè)直線y=x﹣4與y軸相交于點K,則K(0,﹣4),設(shè)G點坐標(biāo)為(x,x2﹣2x﹣8),點Q點坐標(biāo)為(x,x﹣4),先證明△QDG為等腰直角三角形,然后根據(jù)∠QDG=90°和∠DGQ=90°兩種情況求解即可解答.
29.【答案】(1)解:拋物線經(jīng)過,兩點,

解得:,
拋物線的解析式為;
(2)
(3)解:如圖,
點是第一象限的拋物線上的點,且橫坐標(biāo)為,
點,
軸,
點,


當(dāng)時,h的值最大,最大值為4;
(4)在軸的負(fù)半軸上存在點或,使以,,三點為頂點的三角形為等腰三角形
【知識點】待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式;二次函數(shù)的最值;二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合應(yīng)用;二次函數(shù)-動態(tài)幾何問題
【解析】【解答】解:(2)當(dāng)時,,
點,
設(shè)直線的解析式為,
把點,代入得:,
解得:,
直線的解析式為;
(4)在軸的負(fù)半軸上存在點,使以,,三點為頂點的三角形為等腰三角形,理由如下:
當(dāng)時,


點,點在軸的負(fù)半軸上,
點;
當(dāng)時,
點,,
,,


點在軸的負(fù)半軸上,
點;
當(dāng)時,點位于的垂直平分線上,

點位于的垂直平分線上,
此時點與點重合,不合題意,舍去;
綜上所述,在軸的負(fù)半軸上存在點或,使以,,三點為頂點的三角形為等腰三角形.
【分析】(1)根據(jù)題意代入點A和點B即可求解;
(2)先求出點C的坐標(biāo),進而運用待定系數(shù)法即可得到直線BC的解析式;
(3)先根據(jù)題意設(shè)點,進而得到點,再表示出MN,從而根據(jù)二次函數(shù)的最值即可求解;
(4)根據(jù)等腰三角形的判定與性質(zhì)分類討論:當(dāng)時,當(dāng)時,當(dāng)時,進而運用勾股定理結(jié)合垂直平分線的性質(zhì)即可求解。
30.【答案】(1)解:將點代入得:,
解得,
則此拋物線的解析式為.

(2)或
(3)解:①二次函數(shù)的對稱軸為直線,頂點坐標(biāo)為,
當(dāng)時,,
即,
(Ⅰ)如圖,當(dāng)時,
當(dāng)時,隨的增大而減小,
則此時點即為最低點,
所以,
解得或(不符題設(shè),舍去);
(Ⅱ)如圖,當(dāng)時,
當(dāng)時,隨的增大而減小;當(dāng)時,隨的增大而增大,
則此時拋物線的頂點即為最低點,
所以,
解得,符合題設(shè),
綜上,的值為或3;
②或或
【知識點】一元二次方程的其他應(yīng)用;二次函數(shù)的最值;待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式;二次函數(shù)-特殊三角形存在性問題
【解析】【解答】(2)解:對于二次函數(shù),
當(dāng)時,,解得或,
則此拋物線與軸的另一個交點坐標(biāo)為,
畫出函數(shù)圖象如下:
則當(dāng)點在軸上方時,的取值范圍為或.
(3)②設(shè)點的坐標(biāo)為,
由題意,分以下兩種情況:
(Ⅰ)如圖,當(dāng)時,設(shè)對稱軸直線與軸的交點為點,
則在等腰中,只能是,
垂直平分,且,
(等腰三角形的三線合一),

解得,
則此時點的坐標(biāo)為或;
(Ⅱ)當(dāng)時,
由(3)①可知,此時,
則點,



當(dāng)時,是等腰直角三角形,
則,即,
方程組無解,
所以此時不存在符合條件的點;
當(dāng)時,是等腰直角三角形,
則,即,
解得,
所以此時點的坐標(biāo)為;
當(dāng)時,是等腰直角三角形,
則,即,
方程組無解,
所以此時不存在符合條件的點;
綜上,點的坐標(biāo)為或或.
【分析】(1)根據(jù)待定系數(shù)法將點A,B坐標(biāo)代入拋物線解析式即可求出答案.
(2)根據(jù)x軸上點的坐標(biāo)特征可得拋物線與軸的另一個交點坐標(biāo)為,結(jié)合函數(shù)圖象即可求出答案.
(3)①求出頂點坐標(biāo)可得,分情況討論:當(dāng)時,當(dāng)時,根據(jù)題意建立方程,解方程即可求出答案.
②設(shè)點的坐標(biāo)為,當(dāng)時,設(shè)對稱軸直線與軸的交點為點,根據(jù)等腰三角形性質(zhì)建立方程,解方程即可求出答案;當(dāng)時,由(3)①可知,,根據(jù)兩點間距離可得,,,根據(jù)等腰直角三角形分類討論,建立方程,解方程即可求出答案.
(1)解:將點代入得:,
解得,
則此拋物線的解析式為.
(2)解:對于二次函數(shù),
當(dāng)時,,解得或,
則此拋物線與軸的另一個交點坐標(biāo)為,
畫出函數(shù)圖象如下:
則當(dāng)點在軸上方時,的取值范圍為或.
(3)解:①二次函數(shù)的對稱軸為直線,頂點坐標(biāo)為,
當(dāng)時,,
即,
(Ⅰ)如圖,當(dāng)時,
當(dāng)時,隨的增大而減小,
則此時點即為最低點,
所以,
解得或(不符題設(shè),舍去);
(Ⅱ)如圖,當(dāng)時,
當(dāng)時,隨的增大而減小;當(dāng)時,隨的增大而增大,
則此時拋物線的頂點即為最低點,
所以,
解得,符合題設(shè),
綜上,的值為或3;
②設(shè)點的坐標(biāo)為,
由題意,分以下兩種情況:
(Ⅰ)如圖,當(dāng)時,設(shè)對稱軸直線與軸的交點為點,
則在等腰中,只能是,
垂直平分,且,
(等腰三角形的三線合一),

解得,
則此時點的坐標(biāo)為或;
(Ⅱ)當(dāng)時,
由(3)①可知,此時,
則點,



當(dāng)時,是等腰直角三角形,
則,即,
方程組無解,
所以此時不存在符合條件的點;
當(dāng)時,是等腰直角三角形,
則,即,
解得,
所以此時點的坐標(biāo)為;
當(dāng)時,是等腰直角三角形,
則,即,
方程組無解,
所以此時不存在符合條件的點;
綜上,點的坐標(biāo)為或或.
31.【答案】(1)
(2)存在,或或
(3)或或或
【知識點】待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式;二次函數(shù)-特殊三角形存在性問題;二次函數(shù)-特殊四邊形存在性問題
32.【答案】(1)解:∵拋物線過、兩點,,
∴代入拋物線解析式可得,
解得:,
∴拋物線解析式為,
令可得,,解,
∵點在點右側(cè),
∴點坐標(biāo)為,
設(shè)直線解析式為,
把、坐標(biāo)代入可得,
解得:,
∴直線解析式為;
(2)解:∵軸,點的橫坐標(biāo)為,
∴,,
∵在線段上運動,
∴點在點上方,
∴,
∴當(dāng)時,有最大值,的最大值為.
(3)解:由(1)(2)得點坐標(biāo)為,點坐標(biāo)為,



∵軸,軸,


∴當(dāng)是以為腰的等腰直角三角形時,,
∴點縱坐標(biāo)為,
∴,
解得:或,
當(dāng)時,則、重合,不能構(gòu)成三角形,不符合題意,舍去,
∴.
(4)的值為或
【知識點】待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式;待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式;二次函數(shù)-線段周長問題;二次函數(shù)-特殊四邊形存在性問題
【解析】【解答】(4)解:由()得,,
當(dāng)以、、、為頂點的四邊形是平行四邊形時,則有,
當(dāng)點在線段上時,由()得,
∴,此方程無實數(shù)根,
當(dāng)點不在線段上時,則有,
∴,解得或,
綜上可知當(dāng)以、、、為頂點的四邊形是平行四邊形時,的值為或.
故答案為:或.
【分析】(1)利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式,再求出點B的坐標(biāo),再利用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式即可;
(2)先求出,,再利用兩點之間的距離公式求出,最后利用二次函數(shù)的性質(zhì)分析求解即可;
(3)當(dāng)是以為腰的等腰直角三角形時,,求出點縱坐標(biāo)為,列出方程,再求出m的值即可;
(4)分類討論:①當(dāng)點在線段上時,②當(dāng)點不在線段上時,再分別列出方程求解即可.
(1)解:∵拋物線過、兩點,
∴代入拋物線解析式可得,
解得,
∴拋物線解析式為,
令可得,,解,
∵點在點右側(cè),
∴點坐標(biāo)為,
設(shè)直線解析式為,
把、坐標(biāo)代入可得,解得,
∴直線解析式為;
(2)解:∵軸,點的橫坐標(biāo)為,
∴,,
∵在線段上運動,
∴點在點上方,
∴,
∴當(dāng)時,有最大值,的最大值為;
(3)解:由(1)(2)得點坐標(biāo)為,點坐標(biāo)為,



∵軸,軸,


∴當(dāng)是以為腰的等腰直角三角形時,,
∴點縱坐標(biāo)為,
∴,解得或,
當(dāng)時,則、重合,不能構(gòu)成三角形,不符合題意,舍去,
∴;
(4)解:由()得,,
當(dāng)以、、、為頂點的四邊形是平行四邊形時,則有,
當(dāng)點在線段上時,由()得,
∴,此方程無實數(shù)根,
當(dāng)點不在線段上時,則有,
∴,解得或,
綜上可知當(dāng)以、、、為頂點的四邊形是平行四邊形時,的值為或.
33.【答案】(1)解:∵拋物線經(jīng)過點和,
∴,
解得,
∴拋物線的解析式為;
(2)解:∵點和,設(shè)直線的解析式為,則,
解得,
∴直線的解析式為,
設(shè),且,則,
∴,
∵拋物線的對稱軸為直線,
∴,
∴,
依題意得,
解得(舍去)或,
∴;
(3)點的坐標(biāo)為或或或
【知識點】待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式;二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征;一線三等角相似模型(K字型相似模型);二次函數(shù)-線段周長問題;二次函數(shù)-特殊四邊形存在性問題
【解析】【解答】
(3)
解:令,則,
解得或,
∴,
同理,直線的解析式為,
∵四邊形是正方形,
∴,,分別過點M、E作y的垂線,垂足分別為P、Q,如圖,
,,
∴,
∴,,
設(shè),
∴,,
則,
∵點M在直線上,
∴,
解得或,
當(dāng)時,,,
即點M與點C重合,點E與點B重合時,四邊形是正方形,此時;
當(dāng)時,,,
點O向左平移個單位,再向下平移1個單位,得到點M,
則點E向左平移個單位,再向下平移1個單位,得到點N,
∴,即;
設(shè)點,則點,
當(dāng)繞著點O逆時針旋轉(zhuǎn)得到時,如圖,
∵點E在的圖象上,
∴,
∴點,
∵點E在的圖象上,
∴,
解得:或0,
∴,,
當(dāng)點M繞點O逆時針得到點E時,點,,
∵點E在的圖象上,
∴,
解得:,
∴點,,,,
∴點N的坐標(biāo)為或;
綜上,點的坐標(biāo)為或或或.
【分析】
(1)直接利用待定系數(shù)法即可;
(2)先利用待定系數(shù)法求出直線的解析式,再利用二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征設(shè)出點E的坐標(biāo),由于EF平行y軸交BC于點F,則點F坐標(biāo)可表示,再利用二次函數(shù)的對稱性質(zhì)可表示出點H的坐標(biāo),則線段EF和EH均可表示,則矩形的周長也表示,由于矩形周長已知,則解得出的一元二次方程即可;
(3)先利用拋物線上點的坐標(biāo)特征分別求出A、C兩點坐標(biāo),現(xiàn)利用待定系數(shù)法求得直線的解析式為,此時分別過點M、E作y的垂線,垂足分別為P、Q,可利用正方形的性質(zhì)證明,則有,,再設(shè),則,由直線上點的坐標(biāo)特征把M坐標(biāo)代入到直線的解析式中可求得m的值,此時再根據(jù)正方形的性質(zhì)可利用平移的性質(zhì)可得點N的坐標(biāo);設(shè)點,則點,當(dāng)繞著點O逆時針旋轉(zhuǎn)得到時,當(dāng)點M繞點O逆時針得到點E時,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),可得點N的坐標(biāo).
(1)解:∵拋物線經(jīng)過點和,
∴,
解得,
∴拋物線的解析式為;
(2)解:∵點和,
設(shè)直線的解析式為,則,
解得,
∴直線的解析式為,
設(shè),且,則,
∴,
∵拋物線的對稱軸為直線,
∴,
∴,
依題意得,
解得(舍去)或,
∴;
(3)解:令,則,
解得或,
∴,
同理,直線的解析式為,
∵四邊形是正方形,
∴,,分別過點M、E作y的垂線,垂足分別為P、Q,如圖,
,,
∴,
∴,,
設(shè),
∴,,
則,
∵點M在直線上,
∴,
解得或,
當(dāng)時,,,
即點M與點C重合,點E與點B重合時,四邊形是正方形,此時;
當(dāng)時,,,
點O向左平移個單位,再向下平移1個單位,得到點M,
則點E向左平移個單位,再向下平移1個單位,得到點N,
∴,即;
設(shè)點,則點,
當(dāng)繞著點O逆時針旋轉(zhuǎn)得到時,如圖,
∵點E在的圖象上,
∴,
∴點,
∵點E在的圖象上,
∴,
解得:或0,
∴,,
當(dāng)點M繞點O逆時針得到點E時,點,,
∵點E在的圖象上,
∴,
解得:,
∴點,,,,
∴點N的坐標(biāo)為或;
綜上,點的坐標(biāo)為或或或.
34.【答案】(1)解:交軸于點和點,



(2)解:當(dāng)時,,

過點作軸交于點,
設(shè)直線的解析式為,
代入,,
得:,
解得,
直線的解析式為:,
設(shè)點,



,且,
當(dāng),即點時,的面積取得最大值,最大值為4
(3)解:,,設(shè),,
①以、為對角線時,,

或(舍,

②以、為對角線時,,

或,
或;
綜上所述:或或
【知識點】待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式;二次函數(shù)-動態(tài)幾何問題;二次函數(shù)-面積問題;二次函數(shù)-特殊四邊形存在性問題
【解析】【分析】本題考查二次函數(shù)的綜合運用,二次函數(shù)的性質(zhì),點的特征.
(1)將點和點代入解析式可列出方程組,解方程組可求出a和b的值,據(jù)此可求出拋物線表達式;
(2)過點作軸交于點,設(shè)直線的解析式為,將,代入解析式可得,解方程組可求出k和t的值,據(jù)此可求出直線的解析式,設(shè)點,,利用三角形的面積計算公式進行計算可得:
,利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求出最值,據(jù)此可求出答案;
(3),,,,分①以、為對角線,,②以、為對角線,,兩種情況分別列出方程組和,解方程組可求出x,m,n的值,據(jù)此可求出點Q的坐標(biāo).
(1)解:交軸于點和點,



(2)解:當(dāng)時,,

過點作軸交于點,
設(shè)直線的解析式為,
代入,,
得:,
解得,
直線的解析式為:,
設(shè)點,



,且,
當(dāng),即點時,的面積取得最大值,最大值為4;
(3)解:,,設(shè),,
①以、為對角線時,,

或(舍,

②以、為對角線時,,

或,
或;
綜上所述:或或.
35.【答案】(1)
(2),
(3)存在,;
【知識點】待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式;菱形的性質(zhì);二次函數(shù)-面積問題;二次函數(shù)-特殊四邊形存在性問題
36.【答案】(1)解:根據(jù)題意得:,
解得:
∴拋物線的解析式為:;
(2)解:如圖,點關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點為點,連接交拋物線對稱軸于點,則此時,的值最小,
理由:為最小,
由拋物線的表達式知,點,拋物線的對稱軸為直線,
由點的坐標(biāo)得,直線的表達式為:,
當(dāng)時,,
即點;
(3)解:過點作軸,交于點,如圖所示:
由(2)知,直線的解析式為.
設(shè),則.

當(dāng)時,有最大值,最大值為.
的最大面積.
【知識點】軸對稱的應(yīng)用-最短距離問題;二次函數(shù)-動態(tài)幾何問題;二次函數(shù)的實際應(yīng)用-幾何問題;利用一般式求二次函數(shù)解析式
【解析】【分析】(1)將點B、C的坐標(biāo)代入可得,再求出b、c的值即可;
(2)點關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點為點,連接交拋物線對稱軸于點,則此時,的值最小,先求出直線AC的解析式,再將x=-1代入解析式求出y的值,可得點M的坐標(biāo);
(3)過點作軸,交于點,設(shè),則,先利用兩點之間的距離公式求出DE的長,再利用配方法求出DE的最大值,最后利用三角形的面積公式求出△ADC的面積即可.
37.【答案】(1)解:將A(3,0)代入yx+c,得c=2,
∴直線解析式為yx+2,
當(dāng)x=0時,y=2,
∴B(0,2);
(2)解:將A(3,0),B(0,2)代入yx2+bx+c,
∴,
解得,
∴yx2x+2;
(3)解:①∵M(m,0),
∴N(m,m2m+2),P(m,m+2),
∴PNm2m+2﹣(m+2)(m)2+3,
∵0<m<3,
∴m時,PN有最大值3;
②△ABN的面積3PN=﹣2(m)2,
∴△ABN面積的最大值為.
【知識點】待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式;一次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸交點問題;二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合應(yīng)用;二次函數(shù)的實際應(yīng)用-幾何問題
【解析】【分析】(1)將點A的坐標(biāo)代入yx+c求出c的值可得直線解析式,再將x=0代入解析式求出y的值即可得到點B的坐標(biāo);
(2)將點A、B的坐標(biāo)分別代入yx2+bx+c, 求出b、c的值即可;
(3)①先求出點P、N的坐標(biāo),再利用兩點之間距離公式求出PNm2m+2﹣(m+2)(m)2+3,最后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出PN的最大值即可;
②利用三角形的面積公式求出△ABN的面積3PN=﹣2(m)2,最后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可.
38.【答案】(1)解:由題意得:,


故:,;
(2)解:由題意得:,
故:當(dāng)時,由最大值192平方米
【知識點】二次函數(shù)的實際應(yīng)用-幾何問題
【解析】【分析】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)在實際生活中的應(yīng)用.
(1)利用據(jù)此的面積計算公式可得:,根據(jù)題意可得,解不等式可求出自變量x的取值范圍;
(2)利用據(jù)此的面積計算公式可得:,利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求出最值,據(jù)此可求出答案.
(1)解:由題意得:,


故:,;
(2)解:由題意得:,
故:當(dāng)時,由最大值192平方米;
39.【答案】(1)解:兩塊籬笆墻的長為12m,籬笆墻的寬為AD=GH=BC=(21-12)÷3=3m,
設(shè)CG為am,DG為(12-a)m,那么
AD×DC-AE×AH=32
即12×3-1×(12-a)=32
解得:a=8
∴CG=8m,DG=4m.
(2)解:設(shè)兩塊矩形總種植面積為ym2,BC長為xm,那么AD=HG=BC=xm,DC=(21-3x)m,由題意得,
兩塊矩形總種植面積=BC×DC
即y=x·(21-3x)
∴y=-3x2+21x
=-3(x- )2+
∵21-3x≤12
∴x≥3
∴當(dāng)BC= m時,y最大= m2.
【知識點】二次函數(shù)的實際應(yīng)用-幾何問題
【解析】【分析】(1)根據(jù)題意先求出 12×3-1×(12-a)=32 ,再求解即可;
(2)根據(jù)題意先求出 y=x·(21-3x) ,再根據(jù)函數(shù)解析式的性質(zhì)計算求解即可。
40.【答案】(1)解:由題意,,,
∴,
∴此時窗戶的透光面積為
(2)解:設(shè),則,
∵,
∴,
則窗戶的透光面積,
∵,
∴當(dāng)時,S有最大值,最大值為,即當(dāng)時,窗戶透光面積最大;
∵,
∴與例題相比透光的最大面積變大
【知識點】正方形的性質(zhì);二次函數(shù)的實際應(yīng)用-幾何問題
【解析】【分析】(1)根據(jù)矩形和正方形的性質(zhì)得到:,,進而即可求出AD的長度,最后根據(jù)面積計算公式計算即可;
(2)設(shè),則,根據(jù)矩形性質(zhì)得窗戶的透光面積,進而利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得最大面積為,即可求解.
(1)解:由題意,,,
∴,
∴此時窗戶的透光面積為;
(2)解:設(shè),則,
∵,
∴,
則窗戶的透光面積,
∵,
∴當(dāng)時,S有最大值,最大值為,即當(dāng)時,窗戶透光面積最大;
∵,
∴與例題相比透光的最大面積變大.
41.【答案】(1)解: 對稱軸是直線 .
的圖象經(jīng)過點 .

(2)解: ,
其最大值為
(3)解: 的對稱軸是直線 .
當(dāng) 時,二次函數(shù)取得最大值 .
當(dāng) 時,二次函數(shù)值為 2 .
而 當(dāng) 時,恰好符合.
根據(jù)二次函數(shù)的對稱性可得,
當(dāng) 時,最大值仍然為函數(shù)本身的最大值,最小值為 時對應(yīng)的函數(shù)值,亦符合.

【知識點】二次函數(shù)的最值;利用一般式求二次函數(shù)解析式
【解析】【分析】(1)利用點A(3,2)和對稱軸求出函數(shù)表達式;
(2)利用公式求出函數(shù)最大值;
(3)利用圖象分析即可.
42.【答案】(1)
(2)m的值為
(3)的值為:或
【知識點】待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式
43.【答案】(1)解:二次函數(shù)(b,c為常數(shù))的圖象經(jīng)過點,對稱軸為直線,
可得:解得
即;
(2)解:點B平移后的點為
代入得:
解得 (不合舍去)
∴m的值為

當(dāng)
∴點C落在的圖像上
(3)解:當(dāng)時,
由題意,當(dāng)時,最大值與最小值的差為
∴(不合舍去)
當(dāng)時,
當(dāng)時y最大,最大值為2.75
∴最大值與最小值的差為,符合題意.
當(dāng)時,最大值與最小值的差為
解得,,(不合均舍去).
綜上所述,n的取值范圍為.
【知識點】二次函數(shù)-動態(tài)幾何問題;二次函數(shù)圖象的平移變換
【解析】【分析】(1)根據(jù)對稱軸以及點 ,列出方程組,求解即可;
(2)先求出點B平移后的坐標(biāo)為,代入二次函數(shù),求得m,表示出點,代入二次函數(shù),求解即可;
(3)由二次函數(shù)的對稱軸為,分三種情況討論,當(dāng),,,分別求解即可.
44.【答案】
【知識點】二次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點問題;二次函數(shù)y=ax²+bx+c的性質(zhì)
【解析】【解答】解:∵二次函數(shù)(m為常數(shù))的圖象與軸有交點,
∴.
解得:;
∵拋物線的對稱軸為直線,拋物線開口向上,且當(dāng)時,隨的增大而增大,
∴,
∴m的取值范圍是.
故答案為:.
【分析】由題可得判別式,再根據(jù)增減性得到,解出m的取值范圍即可.
1 / 1滬科版數(shù)學(xué)九年級上冊二次函數(shù)重難點題型梳理
一、二次函數(shù)與系數(shù)關(guān)系
1.(2023九上·惠陽期中)如圖,拋物線的對稱軸是.下列結(jié)論:①;②;③;④,正確的有(  )
A.4個 B.3個 C.2個 D.1個
【答案】B
【知識點】二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系;利用二次函數(shù)圖象判斷一元二次方程根的情況
【解析】【解答】
解:根據(jù)題意,則,,
∵,
∴,
∴,故①錯誤;
由拋物線與x軸有兩個交點,則,故②正確;
∵,
令時,,
∴,故③正確;
在中,
令時,則,
令時,,
由兩式相加,得,故④正確;
∴正確的結(jié)論有:②③④,共3個;
故答案為:B.
【分析】首先根據(jù)函數(shù)圖象,可得出a<0,b>0,c>0的正負(fù)號,故而得出①錯誤;根據(jù)拋物線與x軸的交點個數(shù),可得出②正確;由,得,令,求函數(shù)值,即可判斷③正確;令時,則,令時,,再把兩個式子相加,即可判斷④正確;綜上即可得出答案。
2.(2024九上·潮南期中)二次函數(shù)的圖象如圖所示,下列結(jié)論:①;②;③m為任意實數(shù),則;④;⑤若,且,則.其中正確的個數(shù)是(  )
A.2個 B.3個 C.4個 D.5個
【答案】C
【知識點】二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系;二次函數(shù)的最值;二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象;二次函數(shù)y=ax²+bx+c的性質(zhì)
【解析】【解答】解:②、∵拋物線開口向上,則,
∵對稱軸為直線,則,
∴,故②正確;
①、拋物線與軸交于負(fù)半軸,則,
∴,故①錯誤;
③、∵當(dāng)時,取得小值,
∴,
當(dāng)m為任意實數(shù),則,故③正確,
④、∵拋物線關(guān)于對稱,
∴和的函數(shù)值相同,
即:,
由圖象知,當(dāng)時,函數(shù)值大于0,
∴,故④正確;
⑤、當(dāng)關(guān)于對稱時:即:時,
對應(yīng)的函數(shù)值相同,
即:,

∴若,且,則;故⑤正確;
綜上所述,正確的是②③④⑤,共4個,
故答案為:C.
【分析】
根據(jù)開口方向得,根據(jù)對稱軸可得,與軸的交點位置交于負(fù)半軸,則,可判斷 ①② ;利用最值當(dāng)時,取得小值可判斷③;根據(jù)對稱性和圖象上的點,可判斷④;利用對稱性可判斷⑤;逐一判斷即可解答.
3.(2023九上·古藺期末)在平面直角坐標(biāo)系中,二次函數(shù)的圖象如圖所示,現(xiàn)給以下結(jié)論:①;②③;④(為實數(shù));⑤.其中錯誤結(jié)論的個數(shù)有(  )
A.1個 B.2個 C.3個 D.4個
【答案】A
【知識點】二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系;二次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點問題
4.(2024九上·杭州期末)已知二次函數(shù)為常數(shù),,當(dāng)時,,則二次函數(shù)的圖象可能為(  )
A. B.
C. D.
【答案】C
【知識點】二次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點問題;二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象;二次函數(shù)y=ax²+bx+c的性質(zhì)
【解析】【解答】解:∵當(dāng)y> 0時,-1∴函數(shù)與x軸的交點為(-1,0)和(2,0),且開口向下,故A、B、D選項錯誤;
故答案為:C.
【分析】根據(jù)圖象分析即可.
5.(2024九上·武漢月考)拋物線(,、、為常數(shù))的部分圖象如圖所示,對稱軸是直線,且與軸的一個交點在點和之間.則下列結(jié)論:
①;②;③一元二次方程的兩根為、,則;④對于任意實數(shù),不等式恒成立.則上述說法正確的是   .(填序號)
【答案】①②③
【知識點】二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系;二次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點問題
二、二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系
6.(2024九上·武漢月考)已知二次函數(shù)的圖像過點,對稱軸為直線.下列四個結(jié)論:①;②若點,均在該二次函數(shù)圖象上,則;③若m為任意實數(shù),則;④對于任何實數(shù)k,關(guān)于x的方程必有兩個不相等的實數(shù)根,其中正確的(  )
A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④
【答案】B
【知識點】二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系;二次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點問題
【解析】【解答】解:二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點,對稱軸為直線,
二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點,
即時,,
,故①正確;

點,關(guān)于直線對稱,
,故②正確;
二次函數(shù)的圖象過點和,

解得,

當(dāng)時,拋物線開口向上,當(dāng)時,為最小值,
若為任意實數(shù),則;
當(dāng)時,拋物線開口向下,當(dāng)時,為最大值,
若為任意實數(shù),則;
故③錯誤;
由得,

又,,
得,,
則△,
關(guān)于的方程必有兩個不相等的實數(shù)根,
故④正確.
故選:B.
【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖象,性質(zhì)與系數(shù)的關(guān)系逐項進行判斷即可求出答案.
7.(2025·齊齊哈爾)如圖,二次函數(shù)的圖像與x軸交于兩點,,且.下列結(jié)論:
①;②;③;④若m和n是關(guān)于x的一元二次方程)的兩根,且,則,;⑤關(guān)于x的不等式)的解集為.其中正確結(jié)論的個數(shù)是(  )
A.2 B.3 C.4 D.5
【答案】B
【知識點】二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系;二次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點問題;利用二次函數(shù)圖象求一元二次方程的近似根;利用二次函數(shù)圖象判斷一元二次方程根的情況;數(shù)形結(jié)合
【解析】【解答】解:①、∵拋物線開口向上,
∴a>0,
∵對稱軸在y軸的右側(cè),
∴x=->0
∴b<0,
∵拋物線與軸交于負(fù)半軸,
∴c<0,
∴abc>0,故①正確,
②、∵二次函數(shù)y= ax2 + bx + c(a≠0)的圖象過(-1,0),
∴a-b+c=0,
∴二次函數(shù)y=ax2 + bx +c(a≠0 )的圖象與x軸交于兩點(-1,0),(x1,0),且2∴對稱軸
∴a<-b<2a,
∴a-b+c>a+a+c=2a+c,2a+b>0
∴2a+c<0,故②正確;
③、∵b=a+c
∴4a-b+2c=4a- b+2(b-a)= 2a+b>0,
∴4a-b+2c>0,故③錯誤;
④、如圖,
關(guān)于x的一元二次方程a(x+ 1)(x-x1)+c=0(a≠0)的兩個根,即兩數(shù)y=ax2 +bx+c(a≠0)與y=-c交點的橫坐標(biāo).
∵m<-1<2∴ 若m和n是關(guān)于x的一元二次方程)的兩根,且,則,; 故④正確;
⑤、∵二次函數(shù)的圖像與x軸交于兩點,
∴y=ax2 +bx+c=a(x+1)(x-x1)=ax2+a(1-x1)x-ax1,
∴b=a(1-x1), c=-ax1,
∴b-a=-ax1,
∴ax2+bx+c>可化為ax2+(b-a)x>0,
即ax2- ax1x>0,
∵a>0,
∴x2-x1x>0,
解得: x<0或x>x1,
∴ 于x的不等式)的解集為,故⑤錯誤
故正確的有①②④,共3個,
故答案為:B.
【分析】根據(jù)拋物線開口,對稱軸,以及與y軸的交點,確定a,b,c的符號,即可判斷①,根據(jù)二次函數(shù)y= ax2 + bx + c(a≠0)的圖象過(-1,0),得出a- b+c=0,進而判斷對稱軸,得出a< -b<2a,進而判斷②和③,根據(jù)函數(shù)圖象判斷④.將一般式寫成交點式得出b=a(1-x1),c=-ax1, 化簡不等式為x2 -x1x>0求得解集,逐一判斷即可解答.
8.(2025·遂寧)如圖,已知拋物線(為常數(shù),且)的對稱軸是直線,且拋物線與軸的一個交點坐標(biāo)是,與軸交點坐標(biāo)是且.有下列結(jié)論:①;②;③;④關(guān)于的一元二次方程必有兩個不相等實根;⑤若點在拋物線上,
且,當(dāng)時,則的取值范圍為.
其中正確的有(  )
A.2個 B.3個 C.4個 D.5個
【答案】B
【知識點】二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系;二次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點問題;二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征;二次函數(shù)y=a(x-h)²+k的性質(zhì);利用二次函數(shù)圖象判斷一元二次方程根的情況
【解析】【解答】解:根據(jù)函數(shù)圖象可得拋物線開口向下,則a<0,對稱軸為直線x=1,則
∴b=-2a>0,
又∵拋物線與y軸交點坐標(biāo)是(0,m), 即c=m,
∵20,
∴abc<0, 故①正確;
∵拋物線與x軸的一個交點坐標(biāo)是(4,0),對稱軸為直線x=1,
∴另一個交點坐標(biāo)為(-2,0),
∴當(dāng)x=﹣3時, y=9a﹣3b+c<0,故②錯誤;
∵(-2,0), (4,0)在拋物線 的圖象上,
∴4a-2b+c=0,
又∵b=-2a,
∴4a+4a+c=0,
∴8a+c=0即c=-8a,
∵2∴2<-8a<3,

當(dāng) 時,y取得最大值,最大值為
故③正確;


對稱軸為直線 當(dāng) 時,
Δ的值隨a的增大而增大,
又∵
∴當(dāng) 時,
∴當(dāng) 時, 恒成立,即
有兩個不相等實根,故④正確;
若點在拋物線 上, 且

解得: 且
故⑤錯誤;
故正確的有①③④,共3個.
故答案為:B.
【分析】根據(jù)函數(shù)圖象結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì),先判斷a,b,c的符號即可判斷①;進而根據(jù)對稱性得出另一個交點坐標(biāo)為 則當(dāng) 時,即可判斷②;根據(jù) , ,結(jié)合拋物線的頂點坐標(biāo),即可判斷③;求得a的范圍進而根據(jù)一元二次方程根的判別式判斷一元二次方程的解情況即可判斷④;根據(jù) 結(jié)合函數(shù)圖象分析,即可得出 進而判斷⑤, 即可求解.
三、二次函數(shù)與解不等式
9.(2024九上·寧波期中)已知二次函數(shù)(b,c為常數(shù)),
(1)若拋物線與x軸正半軸的交點坐標(biāo)是(1,0),對稱軸為直線,求拋物線的解析式;
(2)若,設(shè)函數(shù)圖象的頂點坐標(biāo)為,當(dāng)b的值變化時,求m與n的關(guān)系式;
(3)已知二次函數(shù)圖象經(jīng)過兩點,若時,總有,求q-p的取值范圍.
【答案】(1)解:根據(jù)題意可得,解得
則解析式為;
(2)解:由可得,
由頂點坐標(biāo)為,可得
可得,代入可得,
即;
(3)解: 二次函數(shù)圖象經(jīng)過兩點
則對稱軸為直線
∵,開口方向向下,
將代入可得,
,且
可得:,
則二次函數(shù)解析式為:,
頂點坐標(biāo)為,
令,即
方程的兩根滿足:,,

即拋物線與直線y=-7的兩個交點的橫坐標(biāo)之差為4,
若 若時 , 總有 ,則 q-p 的最大值為;
當(dāng)或時,有最小值,為,
∴;
【知識點】列二次函數(shù)關(guān)系式;二次函數(shù)y=ax²+bx+c的性質(zhì);二次函數(shù)y=ax²+bx+c與二次函數(shù)y=a(x-h)²+k的轉(zhuǎn)化;利用一般式求二次函數(shù)解析式
【解析】【分析】(1)根據(jù)題意可得,解得,即可求解;
(2) 由題意可得,由頂點坐標(biāo)為,可得,求解即可.
(3) 根據(jù)題意將兩點坐標(biāo)代入解析式得到,再令將函數(shù)解析式轉(zhuǎn)化為方程,根據(jù)一元二次方程兩個根的關(guān)系,求出拋物線與直線兩個交點的橫坐標(biāo)之差為4,再根據(jù)拋物線的對稱性和增減性得出結(jié)論.
10.(2025九上·金華競賽) 都是實數(shù),且 ,則 之間的大小關(guān)系是 (  )
A. B. C. D.
【答案】A
【知識點】二次函數(shù)的最值;偶次方的非負(fù)性
【解析】【解答】解:
∴c≥b;

由②-①得
2b=2a2-2a+5,

∴a<b,
∴a<b≤c.
故答案為:A.
【分析】將c-b轉(zhuǎn)化為完全平方式,利用偶次方的非負(fù)性,可得到c與b的大小關(guān)系;再將兩個等式相減消去c,可得到2b-2a的值,再將其配方,可得到2b-2a≥3,據(jù)此兩端的a、b的大小關(guān)系,由此可推出a、b、c之間的大小關(guān)系.
11.(2024九上·綏陽期末)在二次函數(shù)中,
(1)若它的圖象過點,則t的值為多少?
(2)當(dāng)時,y的最小值為,求出t的值:
(3)如果都在這個二次函數(shù)的圖象上,且,求m的取值范圍.
【答案】(1)解:將代入中,
得,
解得,
(2)解:拋物線對稱軸為.
若,當(dāng)時,函數(shù)值最小,

解得.

若,當(dāng)時,函數(shù)值最小,

解得(不合題意,舍去)
綜上所述
(3)解:關(guān)于對稱軸對稱
,且A在對稱軸左側(cè),C在對稱軸右側(cè)
拋物線與y軸交點為,拋物線對稱軸為直線,
此交點關(guān)于對稱軸的對稱點為

,解得.
當(dāng)A,B都在對稱軸左邊時,

解得,
當(dāng)A,B分別在對稱軸兩側(cè)時
到對稱軸的距離大于A到對稱軸的距離

解得
綜上所述或
【知識點】二次函數(shù)的最值;二次函數(shù)的對稱性及應(yīng)用
【解析】【分析】(1)將 點 代入函數(shù)解析式,可求出t的值.
(2)確定拋物線的對稱軸,對待定參數(shù)分類討論:當(dāng),當(dāng)時,函數(shù)值最小,以及,當(dāng)時,函數(shù)值最小,可得到符合題意的t的值.
(3)利用點A、C的坐標(biāo)j及二次函數(shù)的對稱性,可得到,且A在對稱軸左側(cè),C在對稱軸右側(cè);確定拋物線與y軸交點,此交點關(guān)于對稱軸的對稱點為,結(jié)合已知確定出;再分類討論:A,B都在對稱軸左邊時,A,B分別在對稱軸兩側(cè)時,分別列出不等式進行求解即可.
四、構(gòu)造二次函數(shù)解決最值問題
12.(2025九上·柯橋期末)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,與軸交于兩點(A在的左側(cè)),與軸交于點,點是上方拋物線上一點,連結(jié)交于點,連結(jié),記的面積為,的面積為,則的最大值為(  )
A. B. C. D.1
【答案】C
【知識點】二次函數(shù)的最值;二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征;相似三角形的判定-AA;相似三角形的性質(zhì)-對應(yīng)邊;二次函數(shù)-面積問題
【解析】【解答】解:由題知,,
如圖,過點P作x軸的平行線交的延長線于點M,
∵軸,
∴,
∴.
令,則有,解得,
∴,
∴.
將代入,得:,
∴點C的坐標(biāo)為.
令直線的函數(shù)解析式為,
則,
解得,
∴直線的函數(shù)解析式為.
∵,
令點P坐標(biāo)為,
則,

∴,
則,
∴,
則當(dāng)時,有最大值為:,
即的最大值為.
故選:C.
【分析】
觀察圖象知,可過點P作x軸的平行線交的延長線于點M,顯然可證,由相似比得,由于AB是定值,則當(dāng)PM最小時最大,此時可利用拋物線上點的坐標(biāo)特征設(shè)出P點坐標(biāo),再利用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式,則點M坐標(biāo)可表示,則線段PM即為P、M兩點橫坐標(biāo)的差,即PM是關(guān)于m的二次函數(shù),且二次項系數(shù)為負(fù),則PM有最大值,再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出這個最大值即可.
五、二次函數(shù)的新定義問題
13.(2024九上·蕭山月考)對于一個函數(shù),當(dāng)自變量取時,函數(shù)值也等于,則稱是這個函數(shù)的不動點.已知二次函數(shù).
(1)若2是此函數(shù)的不動點,則的值為   .
(2)若此函數(shù)有兩個相異不動點與,且,則的取值范圍是   .
【答案】;
【知識點】二次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點問題;二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征;二次函數(shù)與一元二次方程的綜合應(yīng)用
【解析】【解答】解:(1)若2是此函數(shù)的不動點,則拋物線經(jīng)過,
將代入得,
解得:,
故答案為:;
(2)由題意可知二次函數(shù)有兩個相異不動點與,
則與是方程的兩個不相等實根,且,
整理得,

解得,
令,

當(dāng)時,,
解得:,
故答案為:.
【分析】
(1)根據(jù)函數(shù)不動點的概念將代入函數(shù)解析式得關(guān)于m的一元一次方程并求解即可;
(2)先由函數(shù)的不動點概念可得方程,又因為與同時滿足這個方程,即與 是該方程兩個不相等的實數(shù)根,則一元二次方程根的判別式,可得關(guān)于的不等式并解不等式;再令,則是拋物線與軸兩個交點坐標(biāo),由于拋物線開口向下,則當(dāng)時,函數(shù)值,再解關(guān)于的不等式,最后再求出兩個不等式解集的公共部分即可.
14.(2024九上·義烏月考)新定義:為二次函數(shù)(,,,為實數(shù))的“圖象數(shù)”,如:的“圖象數(shù)”為,若“圖象數(shù)”是的二次函數(shù)的圖象與軸只有一個交點,則的值為   .
【答案】或
【知識點】二次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點問題
15.(2023九上·鹽城期中)若一個點的縱坐標(biāo)是橫坐標(biāo)的2倍,則稱這個點為“二倍點”,如:,,等都是“二倍點”.在的范圍內(nèi),若二次函數(shù)的圖像上至少存在一個“二倍點”,則的取值范圍是   .
【答案】
【知識點】二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系;二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征
【解析】【解答】解:由題意得,二倍點所在的直線為,
在的范圍內(nèi),二次函數(shù)的圖象上至少存在一個“二倍點”,
即在的范圍內(nèi),二次函數(shù)和至少有一個交點,
令,整理得,,
∴,
解得,
把代入得,代入得,
,解得;
把代入得,代入得,
,解得:,
綜上,c的取值范圍為:.
故答案為:.
【分析】由題意得,二倍點所在的直線為,根據(jù)二次函數(shù)的圖象上至少存在一個“二倍點”轉(zhuǎn)化為和至少有一個交點,求,再根據(jù)和時兩個函數(shù)值大小即可求解.
16.(2024九上·英吉沙期末)在平面直角坐標(biāo)系中,設(shè)二次函數(shù)(a,b是常數(shù),).
(1)若時,圖象經(jīng)過點,求二次函數(shù)的表達式.
(2)寫出一組a,b的值,使函數(shù)的圖象與x軸只有一個公共點,并求此二次函數(shù)的頂點坐標(biāo).
(3)已知,二次函數(shù)的圖象和直線都經(jīng)過點,求證:.
【答案】(1)解:把代入得:,
∵當(dāng)時,,
∴,
∴,
∴二次函數(shù)的關(guān)系式為.
(2)解:令,則,
當(dāng)時,則,
∴,
∴若,時,函數(shù)的圖象與x軸只有一個公共點,
∴此時函數(shù)為,
∴此函數(shù)的頂點坐標(biāo)為(答案不唯一) .
(3)證明:∵二次函數(shù)的圖象和直線都經(jīng)過點,
∴,
∴,
∴,
∴,
∴.
【知識點】二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系;待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式;二次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點問題;二次函數(shù)y=ax²+bx+c與二次函數(shù)y=a(x-h)²+k的轉(zhuǎn)化
【解析】【分析】(1)根據(jù)待定系數(shù)法將a=2,,,代入二次函數(shù)表達式即可求出答案.
(2)根據(jù)y軸上點的坐標(biāo)特征令,則,根據(jù)與x軸只有一個交點,則對應(yīng)一元二次方程有一個解,則,即,據(jù)此寫出一組a,b的值,化成頂點式即可求得頂點坐標(biāo).
(3)根據(jù)題意得到,整理得,再代入不等式,結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出答案.
(1)解:把代入得:,
∵當(dāng)時,,
∴,
∴,
∴二次函數(shù)的關(guān)系式為.
(2)解:令,則,
當(dāng)時,則,
∴,
∴若,時,函數(shù)的圖象與x軸只有一個公共點,
∴此時函數(shù)為,
∴此函數(shù)的頂點坐標(biāo)為(答案不唯一) .
(3)證明:∵二次函數(shù)的圖象和直線都經(jīng)過點,
∴,
∴,
∴,
∴,
∴.
17.(2023九上·義烏期末)在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線的頂點為P,且該拋物線與x軸交于A,B兩點(點A在點B的左側(cè)).我們規(guī)定;拋物線與x軸圍成的封閉區(qū)域稱為“G區(qū)城”(不包含邊界),橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點稱為整點.
(1)求拋物線的頂點P的坐標(biāo)(用含a的代數(shù)式表示);
(2)如果拋物線經(jīng)過(1,3).
①求a的值
②在①的條件下,直接寫出“G區(qū)域”內(nèi)整點的坐標(biāo);
(3)如果拋物線在“G區(qū)域”內(nèi)有4個整點,求a的取值范圍,
【答案】(1)解:∵,
∴頂點P的坐標(biāo)為;
(2)解:①∵拋物線經(jīng)過,
∴,解得;
②由①得:,
令得,,
解得,,
∴點,點.
當(dāng)時,,
∴,兩個整點在“G區(qū)域”;
當(dāng)時,,
∴,兩個整點在“G區(qū)域”;
當(dāng)時,,
∴,兩個整點在“G區(qū)域”;
(3)解:
當(dāng)時,,
∴拋物線與y軸的交點坐標(biāo)為.
當(dāng)時,如圖1所示,
此時有,解得;
當(dāng)時,如圖2所示,
此時有,解得;
綜上,如果“G區(qū)域”內(nèi)僅有4個整點時,則a的取值范圍為或.
【知識點】二次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點問題;二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征;二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象;二次函數(shù)y=ax²+bx+c的性質(zhì)
【解析】【分析】(1)將拋物線的解析式配成頂點式即可得出頂點的坐標(biāo);
(2)①將點(1,3)代入y=ax2-2ax-3a可算出a的值;②易得拋物線的解析式,令解析式中的y=0算出對應(yīng)的自變量的值,可得點A、B的坐標(biāo),再令解析式中的x=0、x=1、x=2,算出對應(yīng)的函數(shù)值即可判斷得出 “G區(qū)域”內(nèi)整點的坐標(biāo);
(3)令解析式中的x=0算出對應(yīng)的函數(shù)值可得拋物線與y軸交點的坐標(biāo),分a<0及a>0兩種情況考慮,依照題意畫出圖形,結(jié)合圖形找出關(guān)于a的不等式組,解之即可得出結(jié)論.
六、二次函數(shù)的應(yīng)用(拋物線形問題)
18.(2024九上·西城期中)利用以下素材解決問題.
問題驅(qū)動 十一假期時,我校初三年級進行了“我是橋梁專家——探秘橋洞形狀”的數(shù)學(xué)活動,某小組探究的一座拱橋如圖1,圖2是其橋拱的示意圖,測得橋拱間水面寬AB端點到拱頂點C距離,拱頂離水面的距離
設(shè)計方案 方案一:圓弧型 方案二:拋物線型
任務(wù)一 設(shè)計成圓弧型,求該圓弧所在圓的半徑. 設(shè)計成拋物線型,以所在直線為x軸,的垂直平分線為y軸建立坐標(biāo)系,求橋拱的函數(shù)表達式.
任務(wù)二 如圖,一艘貨船露出水面部分的橫截面為矩形,測得,.請你通過計算說明貨船能否分別順利通過這兩種情況的橋梁.
【答案】【解答】解:任務(wù)一:方案一,設(shè)圓的圓心為O,連接.∵,
∴.
∵,
∴,直線過點O.
∵,
∴.
∴.
∴.
∵,
∴是等邊三角形.
∴.
故半徑為.
方案二,
∵頂點C坐標(biāo)為,
∴設(shè)橋拱的函數(shù)解析式為.
∵,
∴.
代入得.
解得.
故函數(shù)解析式為.
任務(wù)二:
方案一,
如圖,連接,設(shè)交于I.
由上知,
∵矩形中,,
∴.
∴.
∴.
∵,
∴.
故貨船能順利通過.
方案二,
如圖,∵,
∴H橫坐標(biāo)為5.
∴.
故貨船不能順利通過.
【知識點】待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式;矩形的性質(zhì);垂徑定理的實際應(yīng)用;二次函數(shù)的實際應(yīng)用-拱橋問題;解直角三角形—三邊關(guān)系(勾股定理)
【解析】【分析】任務(wù)一:方案一,設(shè)圓心為O,連接,首先根據(jù)AC和CD的長度。可得出,進而得出∠ACD=60°,即可得出是等邊三角形,可得出圓弧的半徑為10m;方案二, 以所在直線為x軸,的垂直平分線為y軸建立坐標(biāo)系, 可得出頂點C坐標(biāo)為,再根據(jù)點,利用待定系數(shù)法,即可得出函數(shù)解析式為;
任務(wù)二:方案一,連接,設(shè)交于I,根據(jù)矩形性質(zhì)得,得,得,結(jié)合半徑為10得到,得,即可判斷;方案二,當(dāng)H點的橫坐標(biāo)為5時,,即可判斷.
19.(2024九上·漢陽期中)如圖為拋物線形拱橋平面示意圖,拱頂離水面,水面寬.以現(xiàn)有水平面的水平直線為軸,與拋物線形拱橋左邊交點為原點建立平面直角坐標(biāo)系.
(1)求此拋物線解析式;
(2)如圖(1),若水面下降,水面寬度增加多少?
(3)如圖(2),為保證行船安全,在汛期來臨之前,管理部門需要用一定長度的鋼板搭建一個可調(diào)節(jié)大小的矩形“安全架”,露出水平面部分為,使點,在拋物線上,點,為露出水面的端點,若確保點,的間距不少于,求的最大長度.
【答案】(1)
(2)
(3)
【知識點】二次函數(shù)的實際應(yīng)用-拱橋問題
20.(2024九上·浙江期中)某游樂園要建造一個直徑為的圓形噴水池,計劃在噴水池的周邊安裝一圈噴水頭,使噴出的水柱距池中心處達到最高,高度為.
(1)以水平方向為軸,噴水池中心為原點建立直角坐標(biāo)系,求在軸右側(cè)拋物線的函數(shù)表達式;
(2)要在噴水池的中心設(shè)計一個裝飾物,使各方向噴出的水柱在此匯合,求這個裝飾物的設(shè)計高度.
【答案】(1);
(2)m.
【知識點】二次函數(shù)的實際應(yīng)用-噴水問題;利用頂點式求二次函數(shù)解析式
21.(2024九上·青秀月考)綜合與實踐:根據(jù)以下素材,探索完成任務(wù).
如何設(shè)計大棚苗木種植方案?
【素材1】如圖①是一個大棚苗木種植基地及其截面圖,其下半部分是一個長為,寬為的矩形,其上半部分是一條拋物線,現(xiàn)測得,大棚頂部的最高點距離地面.
【素材2】種植苗木時,每棵苗木高.為了保證生長空間,相鄰兩棵苗木種植點之間間隔,苗木頂部不觸碰大棚,且種植后苗木成軸對稱分布.(即苗木的數(shù)目為偶數(shù)個)
【解決問題】
(1)大棚上半部分形狀是一條拋物線,設(shè)大棚的高度為y,種植點的橫坐標(biāo)為x.根據(jù)圖②建立的平面直角坐標(biāo)系,通過素材1提供的信息確定點的坐標(biāo),求出拋物線的解析式;
(2)探究種植范圍.在圖②的坐標(biāo)系中,在不影響苗木生長的情況下(即),確定種植點的橫坐標(biāo)x的取值范圍;
(3)擬定種植方案.給出最前排符合所有種植條件的苗木數(shù)量,并求出最左邊一棵苗木種植點的橫坐標(biāo)x的值.
【答案】(1)
(2)
(3)最前排符合所有種植條件的苗木數(shù)量為18棵,最左邊一棵苗木種植點的橫坐標(biāo)為
【知識點】待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式
22.(2024九上·柳州模擬)2023年第十九屆亞運會在杭州舉行,這是我國第三次舉辦亞運會,在中國隊對陣韓國隊的男籃四分之一決賽中,中國隊表現(xiàn)出色,贏得了比賽.如圖,一名中國運動員在距離籃球框中心A點4(水平距離)遠(yuǎn)處跳起投籃,籃球準(zhǔn)確落入籃框,已知籃球運行的路線為拋物線,當(dāng)籃球運行水平距離為2.5時,籃球達到最大高度B點處,且最大高度為3.5,以地面水平線為x軸,過最高點B垂直地面的直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系,如果籃框中心A距離地面3.05,那么籃球在該運動員出手時的高度是多少米?
【答案】解:根據(jù)題意可得,A點坐標(biāo)為(1.5,3.05),B點坐標(biāo)為(0,3.5),
設(shè)拋物線的解析式為,
將A(1.5,3.05),B(0,3.5)代入得二元一次方程組:

解這個方程組得,,
因此該拋物線的解析式為,
當(dāng)時,,
答:籃球在該運動員出手時的高度為2.25.
【知識點】二次函數(shù)的實際應(yīng)用-拋球問題
【解析】【分析】根據(jù)題意設(shè)拋物線的解析式為,待定系數(shù)法求得解析式后再代入計算求解即可.
23.(2024九上·貴州期末)排球場的長度為,球網(wǎng)在場地中央且高度為. 排球出手后的運動路線可以看作是拋物線的一部分,建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,排球運動過程中的豎直高度(單位:)與水平距離(單位:) 近似滿足函數(shù)關(guān)系.
(1)某運動員第一次發(fā)球時,測得水平距離與豎直高度的幾組數(shù)據(jù)如下:
水平距離
豎直高度
①根據(jù)上述數(shù)據(jù),求這些數(shù)據(jù)滿足的函數(shù)關(guān)系;
②判斷該運動員第一次發(fā)球能否過網(wǎng),并說明理由.
(2)該運動員第二次發(fā)球時,排球運動過程中的豎直高度(單位:) 與水平距離(單位:) 近似滿足函數(shù)關(guān)系,請問該運動員此次發(fā)球是否出界,并說明理由.
【答案】(1)①由表中數(shù)據(jù)可得頂點,
則,
把代入得:,
解得:,
所求函數(shù)關(guān)系為;
②能,
當(dāng)時,,
該運動員第一次發(fā)球能過網(wǎng)
(2)判斷:沒有出界,
在中,令,則,
解得:(舍),,

沒有出界
【知識點】二次函數(shù)的實際應(yīng)用-拋球問題
【解析】【分析】(1)①分析表格得到拋物線頂點,然后利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可;
②把代入,求得y的值,再與球網(wǎng)高度比較解題;
(2)令,求出拋物線與軸的交點即可解題.
(1)①由表中數(shù)據(jù)可得頂點,
則,
把代入得:,
解得:,
所求函數(shù)關(guān)系為;
②能,
當(dāng)時,,
該運動員第一次發(fā)球能過網(wǎng);
(2)判斷:沒有出界,
在中,令,則,
解得:(舍),,

沒有出界.
七、二次函的數(shù)應(yīng)用(利潤問題)
24.(2024九上·無錫期末)2024年“五一”假期期間,閬中古城景區(qū)某特產(chǎn)店銷售A,B兩類特產(chǎn).A類特產(chǎn)進價50元/件,B類特產(chǎn)進價60元/件.已知購買1件A類特產(chǎn)和1件B類特產(chǎn)需132元,購買3件A類特產(chǎn)和5件B類特產(chǎn)需540元.
(1)求A類特產(chǎn)和B類特產(chǎn)每件的售價各是多少元?
(2)A類特產(chǎn)供貨充足,按原價銷售每天可售出60件.市場調(diào)查反映,若每降價1元,每天可多售出10件(每件售價不低于進價).設(shè)每件A類特產(chǎn)降價x元,每天的銷售量為y件,求y與x的函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量x的取值范圍.
(3)在(2)的條件下,由于B類特產(chǎn)供貨緊張,每天只能購進100件且能按原價售完.設(shè)該店每天銷售這兩類特產(chǎn)的總利潤為w元,求w與x的函數(shù)關(guān)系式,并求出每件A類特產(chǎn)降價多少元時總利潤w最大,最大利潤是多少元?(利潤=售價-進價)
【答案】(1)解:設(shè)每件A類特產(chǎn)的售價為x元,則每件B類特產(chǎn)的售價為元.
根據(jù)題意得.
解得.
則每件B類特產(chǎn)的售價(元).
答:A類特產(chǎn)的售價為60元/件,B類特產(chǎn)的售價為72元/件.
(2)解:由題意得
∵A類特產(chǎn)進價50元/件,售價為60元/件,且每件售價不低于進價
∴.
答:().
(3)解:.
∴當(dāng)時,w有最大值1840.
答:A類特產(chǎn)每件售價降價2元時,每天銷售利潤最大,最大利潤為1840元.
【知識點】二次函數(shù)的最值;一元一次方程的實際應(yīng)用-銷售問題;二次函數(shù)的實際應(yīng)用-銷售問題;一次函數(shù)的其他應(yīng)用
【解析】【分析】
根據(jù)題意設(shè)每件A類特產(chǎn)的售價為x元,則每件B類特產(chǎn)的售價為元,根據(jù)相等關(guān)系“ 購買1件A類特產(chǎn)和1件B類特產(chǎn)需132元,購買3件A類特產(chǎn)和5件B類特產(chǎn)需540元 ”列方程并求解即可;
由每降價1元則每天可多售出10件列出函數(shù)關(guān)系式,結(jié)合進價與售價,且每件售價不低于進價得到x得取值范圍;
結(jié)合(2)中A類特產(chǎn)降價x元與每天的銷售量y件,得到A類特產(chǎn)的利潤,同時求得B類特產(chǎn)的利潤再求和即可得出每天的總利潤w,可發(fā)現(xiàn)w是關(guān)于x的二次函數(shù),由于二次項系數(shù)為負(fù),則w有最大值,再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可.
(1)解:設(shè)每件A類特產(chǎn)的售價為x元,則每件B類特產(chǎn)的售價為元.
根據(jù)題意得.
解得.
則每件B類特產(chǎn)的售價(元).
答:A類特產(chǎn)的售價為60元/件,B類特產(chǎn)的售價為72元/件.
(2)由題意得
∵A類特產(chǎn)進價50元/件,售價為60元/件,且每件售價不低于進價
∴.
答:().
(3).
∴當(dāng)時,w有最大值1840.
答:A類特產(chǎn)每件售價降價2元時,每天銷售利潤最大,最大利潤為1840元.
25.(2024九上·黔南期末)為了振興鄉(xiāng)村經(jīng)濟,增加村民收入,某村委會干部帶領(lǐng)村民把一片坡地改造后種植了優(yōu)質(zhì)葡萄,今年正式上市銷售,并在網(wǎng)上直播推銷優(yōu)質(zhì)葡萄.在銷售的30天中,第一天賣出20千克,為了擴大銷量,采取了降價措施,以后每天比前一天多賣出4千克.第天的售價為y元/千克,y關(guān)于x的函數(shù)解析式為且第12天的售價為32元/千克,第26天的售價為25元/千克.已知種植銷售葡萄的成本是18元/千克,每天的利潤是元.
(1)   ,   ;
(2)銷售優(yōu)質(zhì)葡萄第幾天時,當(dāng)天的利潤最大?最大利潤是多少?
【答案】(1);25
(2)解:由(1)知第天的銷售量為千克.
當(dāng)時,

當(dāng)時,取得最大值,最大值為968.
當(dāng)時,.
,隨的增大而增大,

,當(dāng)時,.
答:銷售優(yōu)質(zhì)葡萄第18天時,當(dāng)天的利潤最大,最大利潤是968元.
【知識點】二次函數(shù)的實際應(yīng)用-銷售問題
【解析】【解答】(1)根據(jù)題意可得:32=12m-76m,n=25,
解得:m=,n=25,
故答案為:;25.
【分析】(1)根據(jù)“ 第12天的售價為32元/千克,第26天的售價為25元/千克 ”列出方程32=12m-76m,n=25,再求解即可;
(2)利用“總利潤=每件利潤×數(shù)量”列出函數(shù)解析式,再利用二次函數(shù)的性質(zhì)分析求解即可.
26.(2024九上·寶安模擬)某經(jīng)銷商到“幸福村”蔬菜種植基地定點采購甲種蔬菜,已知甲種蔬菜的單價(元千克)與采購量(千克)之間的函數(shù)關(guān)系如圖中折線所示(不包括端點).
(1)當(dāng)時,直接寫出與之間的函數(shù)解析式;
(2)若甲種蔬菜的種植成本為元/千克,采購量不超過千克,那么當(dāng)采購量是多少時,蔬菜種植基地獲利最大,最大利潤是多少元?
(3)在(2)的條件下,求采購甲種蔬菜多少千克時,蔬菜種植基地能獲利元?
【答案】(1)解:設(shè)當(dāng)時,與之間的函數(shù)解析式為:.
把,代入函數(shù)關(guān)系式得:

解得,
與之間的函數(shù)解析式為:;
(2)解:設(shè)當(dāng)采購量是千克時,蔬菜種植基地獲利元,
當(dāng)時,,
當(dāng)時,有最大值元,
當(dāng)時,,

當(dāng)時,有最大值為元,
綜上所述,當(dāng)采購甲種蔬菜千克時,蔬菜種植基地能獲得最大利潤,最大利潤為元;
(3)解:由,根據(jù)()可得,,
解得:,,
采購甲種蔬菜是千克或千克時,蔬菜種植基地能獲利元.
【知識點】一元二次方程的實際應(yīng)用-銷售問題;二次函數(shù)的實際應(yīng)用-銷售問題;一次函數(shù)的其他應(yīng)用
【解析】【分析】(1)設(shè)當(dāng)時,與之間的函數(shù)解析式為:,進而運用待定系數(shù)法即可求解;
(2)設(shè)當(dāng)采購量是千克時,蔬菜種植基地獲利元,根據(jù)題意分別求出當(dāng)時,當(dāng)時,與的函數(shù)關(guān)系式,進而根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)和一次函數(shù)的性質(zhì)求出其最值即可求解;
(3)由,根據(jù)()可得,,進而解一元二次方程即可求解。
(1)解:設(shè)當(dāng)時,與之間的函數(shù)解析式為:.
把,代入函數(shù)關(guān)系式得:

解得,
與之間的函數(shù)解析式為:;
(2)設(shè)當(dāng)采購量是千克時,蔬菜種植基地獲利元,
當(dāng)時,,
當(dāng)時,有最大值元,
當(dāng)時,,

當(dāng)時,有最大值為元,
綜上所述,當(dāng)采購甲種蔬菜千克時,蔬菜種植基地能獲得最大利潤,最大利潤為元;
(3)由,根據(jù)()可得,,
解得:,,
采購甲種蔬菜是千克或千克時,蔬菜種植基地能獲利元.
27.(2024九上·遵義期末)近段時間,位于匯川區(qū)泗渡鎮(zhèn)泗渡農(nóng)場的125畝草莓迎來了冬季采摘期,該農(nóng)場以優(yōu)良的生態(tài)環(huán)境為基礎(chǔ),采用蜜蜂自然授粉的方式,提升草莓的產(chǎn)量和品質(zhì)使得草莓香甜可口,果實飽滿,吸引了不少游客前往采摘.請閱讀以下材料,幫助農(nóng)戶解決問題.
材料1:某農(nóng)戶承包了一塊矩形土地,建立了三個草莓種植大棚,其布局如圖所示,其中米,米,陰影部分規(guī)劃為大棚種植草莓,其余部分是等寬的通道.
材料2:當(dāng)售價為60元時,每天可銷售40,該農(nóng)戶調(diào)查發(fā)現(xiàn),決定降價銷售,若銷售單價每降低1元,每天可多銷售2千克.已知每千克草莓的成本為20元.
(1)若三個大棚的面積是1400,求道路的寬度;
(2)當(dāng)售價定為多少元時,利潤最大?并求出最大利潤.
【答案】(1)解:設(shè)道路的寬度是x 米,
根據(jù)題意,可列方程為(52-2x)(30-2x)=1400,
解這個方程,得x1=1,x2=40(不符合題意,舍去),
答:道路的寬度是1米.
(2)解:設(shè),定價為y元/kg,利潤為w元,
根據(jù)題意可知:w=(y-20)[40+2(60-y)]
整理,得:w=-2y2+200y-3600=-2(y-50)2+1800
∴當(dāng)y=50時,w取得最大值,最大值為1800,
答: 當(dāng)售價定為50元時,利潤最大,最大利潤是1800元.
【知識點】一元二次方程的應(yīng)用-幾何問題;二次函數(shù)的實際應(yīng)用-銷售問題
【解析】【分析】(1)設(shè)通道的寬為米,根據(jù)矩形面積公式建立方程即可;
(2)設(shè)售價定為y元,利潤為元,根據(jù)題意可以得到一個關(guān)于的二次函數(shù),再利用配方法求最值即可.
(1)解:設(shè)通道的寬為米,
根據(jù)題意得:,
解得:(舍去)或,
答:通道的寬為1米;
(2)解:設(shè)售價定為元,利潤為元
則由題意得:,
化簡得:

∵,
∴當(dāng)時,利潤最大,為元.
八、二次函數(shù)的應(yīng)用(存在性問題)
28.(2023九上·霞山月考)如圖所示,已知拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)經(jīng)過點A(﹣2,0)、B(4,0)、C(0,﹣8),與直線y=x﹣4交于B,D兩點
(1)求拋物線的解析式并直接寫出D點的坐標(biāo);
(2)點P為直線BD下方拋物線上的一個動點,試求出△BDP面積的最大值及此時點P的坐標(biāo);
(3)點Q是線段BD上異于B、D的動點,過點Q作QF⊥x軸于點F,交拋物線于點G,當(dāng)△QDG為直角三角形時,直接寫出點Q的坐標(biāo).
【答案】解:(1)∵拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)與x軸的交點坐標(biāo)是A(﹣2,0)、B(4,0),
∴設(shè)該拋物線解析式為y=a(x+2)(x﹣4),
將點C(0,﹣8)代入函數(shù)解析式代入,得a(0+2)(0﹣4)=﹣8,
解得a=1,
∴該拋物線的解析式為:y=(x+2)(x﹣4)或y=x2﹣2x﹣8.
聯(lián)立方程組:
解得(舍去)或,
即點D的坐標(biāo)是(﹣1,﹣5);
(2)如圖所示:
過點P作PE∥y軸,交直線AB與點E,設(shè)P(x,x2﹣2x﹣8),則E(x,x﹣4).
∴PE=x﹣4﹣(x2﹣2x﹣8)=﹣x2+3x+4.
∴S△BDP=S△DPE+S△BPE=PE (xp﹣xD)+PE (xB﹣xE)=PE (xB﹣xD)=(﹣x2+3x+4)=﹣(x﹣)2+.
∴當(dāng)x=時,△BDP的面積的最大值為.
∴P(,﹣).
(3)(2,﹣2)或(3,﹣1).
【知識點】點的坐標(biāo);二次函數(shù)的最值;待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式;三角形的面積;二次函數(shù)-面積問題
【解析】【解答】
解:(3)設(shè)直線y=x﹣4與y軸相交于點K,則K(0,﹣4),設(shè)G點坐標(biāo)為(x,x2﹣2x﹣8),點Q點坐標(biāo)為(x,x﹣4).
∵B(4,0),
∴OB=OK=4.
∴∠OKB=∠OBK=45°.
∵QF⊥x軸,
∴∠DQG=45°.
若△QDG為直角三角形,則△QDG是等腰直角三角形.
①當(dāng)∠QDG=90°時,過點D作DH⊥QG于H,
∴QG=2DH,QG=﹣x2+3x+4,DH=x+1,
∴﹣x2+3x+4=2(x+1),解得:x=﹣1(舍去)或x=2,
∴Q1(2,﹣2).
②當(dāng)∠DGQ=90°,則DH=QH.
∴﹣x2+3x+4=x+1,解得x=﹣1(舍去)或x=3,
∴Q2(3,﹣1).
綜上所述,當(dāng)△QDG為直角三角形時,點Q的坐標(biāo)為(2,﹣2)或(3,﹣1).
故答案為:(2,﹣2)或(3,﹣1).
【分析】
(1)設(shè)拋物線的解析式為y=a(x+2)(x﹣4),將點C的坐標(biāo)代入可求得a的值,然后將y=x﹣4與拋物線的解析式聯(lián)立方程組并求解即可解答;
(2)過點P作PE∥y軸,交直線AB與點E,設(shè)P(x,x2﹣2x﹣8),則E(x,x﹣4),則PE═﹣x2+3x+4,然后依據(jù)S△BDP=S△DPE+S△BPE,列出△BDP的面積與x的函數(shù)關(guān)系式,然后依據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可解答;
(3)設(shè)直線y=x﹣4與y軸相交于點K,則K(0,﹣4),設(shè)G點坐標(biāo)為(x,x2﹣2x﹣8),點Q點坐標(biāo)為(x,x﹣4),先證明△QDG為等腰直角三角形,然后根據(jù)∠QDG=90°和∠DGQ=90°兩種情況求解即可解答.
29.(2024九上·高邑期末)如圖,拋物線經(jīng)過,兩點,并且與軸交于點.
(1)求此拋物線的解析式;
(2)直接寫出直線的解析式為   ;
(3)若點是第一象限的拋物線上的點,且橫坐標(biāo)為,過點作軸的垂線交于點,設(shè)的長為,求與之間的函數(shù)關(guān)系式及的最大值;
(4)在軸的負(fù)半軸上是否存在點,使以,,三點為頂點的三角形為等腰三角形?如果存在,直接寫出點的坐標(biāo);如果不存在,說明理由.
【答案】(1)解:拋物線經(jīng)過,兩點,

解得:,
拋物線的解析式為;
(2)
(3)解:如圖,
點是第一象限的拋物線上的點,且橫坐標(biāo)為,
點,
軸,
點,


當(dāng)時,h的值最大,最大值為4;
(4)在軸的負(fù)半軸上存在點或,使以,,三點為頂點的三角形為等腰三角形
【知識點】待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式;二次函數(shù)的最值;二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合應(yīng)用;二次函數(shù)-動態(tài)幾何問題
【解析】【解答】解:(2)當(dāng)時,,
點,
設(shè)直線的解析式為,
把點,代入得:,
解得:,
直線的解析式為;
(4)在軸的負(fù)半軸上存在點,使以,,三點為頂點的三角形為等腰三角形,理由如下:
當(dāng)時,


點,點在軸的負(fù)半軸上,
點;
當(dāng)時,
點,,
,,


點在軸的負(fù)半軸上,
點;
當(dāng)時,點位于的垂直平分線上,

點位于的垂直平分線上,
此時點與點重合,不合題意,舍去;
綜上所述,在軸的負(fù)半軸上存在點或,使以,,三點為頂點的三角形為等腰三角形.
【分析】(1)根據(jù)題意代入點A和點B即可求解;
(2)先求出點C的坐標(biāo),進而運用待定系數(shù)法即可得到直線BC的解析式;
(3)先根據(jù)題意設(shè)點,進而得到點,再表示出MN,從而根據(jù)二次函數(shù)的最值即可求解;
(4)根據(jù)等腰三角形的判定與性質(zhì)分類討論:當(dāng)時,當(dāng)時,當(dāng)時,進而運用勾股定理結(jié)合垂直平分線的性質(zhì)即可求解。
30.(2022九上·紹興期中)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線(,是常數(shù))經(jīng)過點,點.點在此拋物線上,其橫坐標(biāo)為.
(1)求此拋物線的解析式;
(2)當(dāng)點在軸上方時,結(jié)合圖象,直接寫出的取值范圍;
(3)若此拋物線在點左側(cè)部分(包括點)的最低點的縱坐標(biāo)為.
①求的值;
②以為邊作等腰直角三角形,當(dāng)點在此拋物線的對稱軸上時,直接寫出點的坐標(biāo).
【答案】(1)解:將點代入得:,
解得,
則此拋物線的解析式為.

(2)或
(3)解:①二次函數(shù)的對稱軸為直線,頂點坐標(biāo)為,
當(dāng)時,,
即,
(Ⅰ)如圖,當(dāng)時,
當(dāng)時,隨的增大而減小,
則此時點即為最低點,
所以,
解得或(不符題設(shè),舍去);
(Ⅱ)如圖,當(dāng)時,
當(dāng)時,隨的增大而減小;當(dāng)時,隨的增大而增大,
則此時拋物線的頂點即為最低點,
所以,
解得,符合題設(shè),
綜上,的值為或3;
②或或
【知識點】一元二次方程的其他應(yīng)用;二次函數(shù)的最值;待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式;二次函數(shù)-特殊三角形存在性問題
【解析】【解答】(2)解:對于二次函數(shù),
當(dāng)時,,解得或,
則此拋物線與軸的另一個交點坐標(biāo)為,
畫出函數(shù)圖象如下:
則當(dāng)點在軸上方時,的取值范圍為或.
(3)②設(shè)點的坐標(biāo)為,
由題意,分以下兩種情況:
(Ⅰ)如圖,當(dāng)時,設(shè)對稱軸直線與軸的交點為點,
則在等腰中,只能是,
垂直平分,且,
(等腰三角形的三線合一),

解得,
則此時點的坐標(biāo)為或;
(Ⅱ)當(dāng)時,
由(3)①可知,此時,
則點,



當(dāng)時,是等腰直角三角形,
則,即,
方程組無解,
所以此時不存在符合條件的點;
當(dāng)時,是等腰直角三角形,
則,即,
解得,
所以此時點的坐標(biāo)為;
當(dāng)時,是等腰直角三角形,
則,即,
方程組無解,
所以此時不存在符合條件的點;
綜上,點的坐標(biāo)為或或.
【分析】(1)根據(jù)待定系數(shù)法將點A,B坐標(biāo)代入拋物線解析式即可求出答案.
(2)根據(jù)x軸上點的坐標(biāo)特征可得拋物線與軸的另一個交點坐標(biāo)為,結(jié)合函數(shù)圖象即可求出答案.
(3)①求出頂點坐標(biāo)可得,分情況討論:當(dāng)時,當(dāng)時,根據(jù)題意建立方程,解方程即可求出答案.
②設(shè)點的坐標(biāo)為,當(dāng)時,設(shè)對稱軸直線與軸的交點為點,根據(jù)等腰三角形性質(zhì)建立方程,解方程即可求出答案;當(dāng)時,由(3)①可知,,根據(jù)兩點間距離可得,,,根據(jù)等腰直角三角形分類討論,建立方程,解方程即可求出答案.
(1)解:將點代入得:,
解得,
則此拋物線的解析式為.
(2)解:對于二次函數(shù),
當(dāng)時,,解得或,
則此拋物線與軸的另一個交點坐標(biāo)為,
畫出函數(shù)圖象如下:
則當(dāng)點在軸上方時,的取值范圍為或.
(3)解:①二次函數(shù)的對稱軸為直線,頂點坐標(biāo)為,
當(dāng)時,,
即,
(Ⅰ)如圖,當(dāng)時,
當(dāng)時,隨的增大而減小,
則此時點即為最低點,
所以,
解得或(不符題設(shè),舍去);
(Ⅱ)如圖,當(dāng)時,
當(dāng)時,隨的增大而減小;當(dāng)時,隨的增大而增大,
則此時拋物線的頂點即為最低點,
所以,
解得,符合題設(shè),
綜上,的值為或3;
②設(shè)點的坐標(biāo)為,
由題意,分以下兩種情況:
(Ⅰ)如圖,當(dāng)時,設(shè)對稱軸直線與軸的交點為點,
則在等腰中,只能是,
垂直平分,且,
(等腰三角形的三線合一),

解得,
則此時點的坐標(biāo)為或;
(Ⅱ)當(dāng)時,
由(3)①可知,此時,
則點,



當(dāng)時,是等腰直角三角形,
則,即,
方程組無解,
所以此時不存在符合條件的點;
當(dāng)時,是等腰直角三角形,
則,即,
解得,
所以此時點的坐標(biāo)為;
當(dāng)時,是等腰直角三角形,
則,即,
方程組無解,
所以此時不存在符合條件的點;
綜上,點的坐標(biāo)為或或.
31.(2023九上·濱州期中)綜合與實踐
如圖,拋物線與x軸交于A,B兩點(點A在點B的左側(cè)),與y軸交于點C,點B的坐標(biāo)是,點C的坐標(biāo)是,拋物線的對稱軸交x軸于點D.連接.
(1)求拋物線的解析式:
(2)在拋物線的對稱軸上是否存在點P,使是以為腰的等腰三角形?如果存在,求出點P的坐標(biāo);如果不存在,請說明理由;
(3)點E在x軸上運動,點F在拋物線上運動,當(dāng)以點B,C,E,F(xiàn)為頂點的四邊形是平行四邊形,直接寫出點E的坐標(biāo).
【答案】(1)
(2)存在,或或
(3)或或或
【知識點】待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式;二次函數(shù)-特殊三角形存在性問題;二次函數(shù)-特殊四邊形存在性問題
32.(2024九上·四平期末)如圖,拋物線與軸交于、兩點(點在點的左側(cè)),點的坐標(biāo)為,與軸交于點,作直線.動點在軸上運動,過點作軸,交拋物線于點,交直線于點,設(shè)點的橫坐標(biāo)為.
(1)求拋物線的解析式和直線的解析式;
(2)當(dāng)點在線段上運動時,求線段的最大值;
(3)當(dāng)點在線段上運動時,若是以為腰的等腰直角三角形時,求的值;
(4)當(dāng)以、、、為頂點的四邊形是平行四邊形時,直接寫出的值.
【答案】(1)解:∵拋物線過、兩點,,
∴代入拋物線解析式可得,
解得:,
∴拋物線解析式為,
令可得,,解,
∵點在點右側(cè),
∴點坐標(biāo)為,
設(shè)直線解析式為,
把、坐標(biāo)代入可得,
解得:,
∴直線解析式為;
(2)解:∵軸,點的橫坐標(biāo)為,
∴,,
∵在線段上運動,
∴點在點上方,
∴,
∴當(dāng)時,有最大值,的最大值為.
(3)解:由(1)(2)得點坐標(biāo)為,點坐標(biāo)為,



∵軸,軸,


∴當(dāng)是以為腰的等腰直角三角形時,,
∴點縱坐標(biāo)為,
∴,
解得:或,
當(dāng)時,則、重合,不能構(gòu)成三角形,不符合題意,舍去,
∴.
(4)的值為或
【知識點】待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式;待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式;二次函數(shù)-線段周長問題;二次函數(shù)-特殊四邊形存在性問題
【解析】【解答】(4)解:由()得,,
當(dāng)以、、、為頂點的四邊形是平行四邊形時,則有,
當(dāng)點在線段上時,由()得,
∴,此方程無實數(shù)根,
當(dāng)點不在線段上時,則有,
∴,解得或,
綜上可知當(dāng)以、、、為頂點的四邊形是平行四邊形時,的值為或.
故答案為:或.
【分析】(1)利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式,再求出點B的坐標(biāo),再利用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式即可;
(2)先求出,,再利用兩點之間的距離公式求出,最后利用二次函數(shù)的性質(zhì)分析求解即可;
(3)當(dāng)是以為腰的等腰直角三角形時,,求出點縱坐標(biāo)為,列出方程,再求出m的值即可;
(4)分類討論:①當(dāng)點在線段上時,②當(dāng)點不在線段上時,再分別列出方程求解即可.
(1)解:∵拋物線過、兩點,
∴代入拋物線解析式可得,
解得,
∴拋物線解析式為,
令可得,,解,
∵點在點右側(cè),
∴點坐標(biāo)為,
設(shè)直線解析式為,
把、坐標(biāo)代入可得,解得,
∴直線解析式為;
(2)解:∵軸,點的橫坐標(biāo)為,
∴,,
∵在線段上運動,
∴點在點上方,
∴,
∴當(dāng)時,有最大值,的最大值為;
(3)解:由(1)(2)得點坐標(biāo)為,點坐標(biāo)為,



∵軸,軸,


∴當(dāng)是以為腰的等腰直角三角形時,,
∴點縱坐標(biāo)為,
∴,解得或,
當(dāng)時,則、重合,不能構(gòu)成三角形,不符合題意,舍去,
∴;
(4)解:由()得,,
當(dāng)以、、、為頂點的四邊形是平行四邊形時,則有,
當(dāng)點在線段上時,由()得,
∴,此方程無實數(shù)根,
當(dāng)點不在線段上時,則有,
∴,解得或,
綜上可知當(dāng)以、、、為頂點的四邊形是平行四邊形時,的值為或.
33.(2023九上·崇陽月考)如圖,拋物線與軸交于點和點,與軸交于點,點在拋物線上.
(1)求拋物線的解析式;
(2)點在第一象限內(nèi),過點作軸,交于點,作軸,交拋物線于點,點在點的左側(cè),以線段為鄰邊作矩形,當(dāng)矩形的周長為11時,求線段的長;
(3)點在直線上,點在平面內(nèi),當(dāng)四邊形是正方形時,請直接寫出點的坐標(biāo).
【答案】(1)解:∵拋物線經(jīng)過點和,
∴,
解得,
∴拋物線的解析式為;
(2)解:∵點和,設(shè)直線的解析式為,則,
解得,
∴直線的解析式為,
設(shè),且,則,
∴,
∵拋物線的對稱軸為直線,
∴,
∴,
依題意得,
解得(舍去)或,
∴;
(3)點的坐標(biāo)為或或或
【知識點】待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式;二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征;一線三等角相似模型(K字型相似模型);二次函數(shù)-線段周長問題;二次函數(shù)-特殊四邊形存在性問題
【解析】【解答】
(3)
解:令,則,
解得或,
∴,
同理,直線的解析式為,
∵四邊形是正方形,
∴,,分別過點M、E作y的垂線,垂足分別為P、Q,如圖,
,,
∴,
∴,,
設(shè),
∴,,
則,
∵點M在直線上,
∴,
解得或,
當(dāng)時,,,
即點M與點C重合,點E與點B重合時,四邊形是正方形,此時;
當(dāng)時,,,
點O向左平移個單位,再向下平移1個單位,得到點M,
則點E向左平移個單位,再向下平移1個單位,得到點N,
∴,即;
設(shè)點,則點,
當(dāng)繞著點O逆時針旋轉(zhuǎn)得到時,如圖,
∵點E在的圖象上,
∴,
∴點,
∵點E在的圖象上,
∴,
解得:或0,
∴,,
當(dāng)點M繞點O逆時針得到點E時,點,,
∵點E在的圖象上,
∴,
解得:,
∴點,,,,
∴點N的坐標(biāo)為或;
綜上,點的坐標(biāo)為或或或.
【分析】
(1)直接利用待定系數(shù)法即可;
(2)先利用待定系數(shù)法求出直線的解析式,再利用二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征設(shè)出點E的坐標(biāo),由于EF平行y軸交BC于點F,則點F坐標(biāo)可表示,再利用二次函數(shù)的對稱性質(zhì)可表示出點H的坐標(biāo),則線段EF和EH均可表示,則矩形的周長也表示,由于矩形周長已知,則解得出的一元二次方程即可;
(3)先利用拋物線上點的坐標(biāo)特征分別求出A、C兩點坐標(biāo),現(xiàn)利用待定系數(shù)法求得直線的解析式為,此時分別過點M、E作y的垂線,垂足分別為P、Q,可利用正方形的性質(zhì)證明,則有,,再設(shè),則,由直線上點的坐標(biāo)特征把M坐標(biāo)代入到直線的解析式中可求得m的值,此時再根據(jù)正方形的性質(zhì)可利用平移的性質(zhì)可得點N的坐標(biāo);設(shè)點,則點,當(dāng)繞著點O逆時針旋轉(zhuǎn)得到時,當(dāng)點M繞點O逆時針得到點E時,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),可得點N的坐標(biāo).
(1)解:∵拋物線經(jīng)過點和,
∴,
解得,
∴拋物線的解析式為;
(2)解:∵點和,
設(shè)直線的解析式為,則,
解得,
∴直線的解析式為,
設(shè),且,則,
∴,
∵拋物線的對稱軸為直線,
∴,
∴,
依題意得,
解得(舍去)或,
∴;
(3)解:令,則,
解得或,
∴,
同理,直線的解析式為,
∵四邊形是正方形,
∴,,分別過點M、E作y的垂線,垂足分別為P、Q,如圖,
,,
∴,
∴,,
設(shè),
∴,,
則,
∵點M在直線上,
∴,
解得或,
當(dāng)時,,,
即點M與點C重合,點E與點B重合時,四邊形是正方形,此時;
當(dāng)時,,,
點O向左平移個單位,再向下平移1個單位,得到點M,
則點E向左平移個單位,再向下平移1個單位,得到點N,
∴,即;
設(shè)點,則點,
當(dāng)繞著點O逆時針旋轉(zhuǎn)得到時,如圖,
∵點E在的圖象上,
∴,
∴點,
∵點E在的圖象上,
∴,
解得:或0,
∴,,
當(dāng)點M繞點O逆時針得到點E時,點,,
∵點E在的圖象上,
∴,
解得:,
∴點,,,,
∴點N的坐標(biāo)為或;
綜上,點的坐標(biāo)為或或或.
34.(2024九上·義烏月考)如圖,拋物線交x軸于點和點,交y軸于點C.
(1)求拋物線的表達式;
(2)若點P是直線下方拋物線上一動點,連接,當(dāng)?shù)拿娣e最大時,求點P的坐標(biāo)及面積的最大值;
(3)在(2)的條件下,若點N是直線上的動點,在平面內(nèi)的是否存在點Q,使得以為邊、以P、B、N、Q為頂點的四邊形是菱形?若存在,請求出符合條件的所有Q點的坐標(biāo):若不存在,請說明理由.
【答案】(1)解:交軸于點和點,



(2)解:當(dāng)時,,

過點作軸交于點,
設(shè)直線的解析式為,
代入,,
得:,
解得,
直線的解析式為:,
設(shè)點,



,且,
當(dāng),即點時,的面積取得最大值,最大值為4
(3)解:,,設(shè),,
①以、為對角線時,,

或(舍,

②以、為對角線時,,

或,
或;
綜上所述:或或
【知識點】待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式;二次函數(shù)-動態(tài)幾何問題;二次函數(shù)-面積問題;二次函數(shù)-特殊四邊形存在性問題
【解析】【分析】本題考查二次函數(shù)的綜合運用,二次函數(shù)的性質(zhì),點的特征.
(1)將點和點代入解析式可列出方程組,解方程組可求出a和b的值,據(jù)此可求出拋物線表達式;
(2)過點作軸交于點,設(shè)直線的解析式為,將,代入解析式可得,解方程組可求出k和t的值,據(jù)此可求出直線的解析式,設(shè)點,,利用三角形的面積計算公式進行計算可得:
,利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求出最值,據(jù)此可求出答案;
(3),,,,分①以、為對角線,,②以、為對角線,,兩種情況分別列出方程組和,解方程組可求出x,m,n的值,據(jù)此可求出點Q的坐標(biāo).
(1)解:交軸于點和點,



(2)解:當(dāng)時,,

過點作軸交于點,
設(shè)直線的解析式為,
代入,,
得:,
解得,
直線的解析式為:,
設(shè)點,



,且,
當(dāng),即點時,的面積取得最大值,最大值為4;
(3)解:,,設(shè),,
①以、為對角線時,,

或(舍,

②以、為對角線時,,

或,
或;
綜上所述:或或.
35.(2024九上·紹興月考)如圖,已知直線與x軸交于點A,與y軸交于點C,拋物線經(jīng)過A,C兩點,且與x軸的另一個交點為B,對稱軸為直線.
(1)求拋物線的表達式;
(2)D是第二象限內(nèi)拋物線上的動點,設(shè)點D的橫坐標(biāo)為m,求四邊形面積S的最大值及此時D點的坐標(biāo);
(3)若點P在拋物線對稱軸上,是否存在點P,Q,使以點A,C,P,Q為頂點的四邊形是以為對角線的菱形?若存在,請求出P,Q兩點的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
【答案】(1)
(2),
(3)存在,;
【知識點】待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式;菱形的性質(zhì);二次函數(shù)-面積問題;二次函數(shù)-特殊四邊形存在性問題
九、二次函數(shù)的應(yīng)用(面積問題)
36.(2024九上·八步期末) 如圖,已知拋物線與軸交于點,與軸交于兩點,點在點左側(cè).點的坐標(biāo)為,點的坐標(biāo)為.
(1)求拋物線的解析式;
(2)當(dāng)點是拋物線對稱軸上的一個動點時,求當(dāng)最小時,點的坐標(biāo);
(3)若點是線段下方拋物線上的動點,求面積的最大值.
【答案】(1)解:根據(jù)題意得:,
解得:
∴拋物線的解析式為:;
(2)解:如圖,點關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點為點,連接交拋物線對稱軸于點,則此時,的值最小,
理由:為最小,
由拋物線的表達式知,點,拋物線的對稱軸為直線,
由點的坐標(biāo)得,直線的表達式為:,
當(dāng)時,,
即點;
(3)解:過點作軸,交于點,如圖所示:
由(2)知,直線的解析式為.
設(shè),則.

當(dāng)時,有最大值,最大值為.
的最大面積.
【知識點】軸對稱的應(yīng)用-最短距離問題;二次函數(shù)-動態(tài)幾何問題;二次函數(shù)的實際應(yīng)用-幾何問題;利用一般式求二次函數(shù)解析式
【解析】【分析】(1)將點B、C的坐標(biāo)代入可得,再求出b、c的值即可;
(2)點關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點為點,連接交拋物線對稱軸于點,則此時,的值最小,先求出直線AC的解析式,再將x=-1代入解析式求出y的值,可得點M的坐標(biāo);
(3)過點作軸,交于點,設(shè),則,先利用兩點之間的距離公式求出DE的長,再利用配方法求出DE的最大值,最后利用三角形的面積公式求出△ADC的面積即可.
37.(2024九上·信豐期末)直線yx+c與x軸交于點A(3,0),與y軸交于點B,拋物線yx2+bx+c經(jīng)過點A,B.M(m,0)為x軸上一動點,過點M且垂直于x軸的直線與直線AB及拋物線分別交于點P,N.
(1)求點B的坐標(biāo);
(2)求拋物線的解析式;
(3)點M在線段OA上運動,
①求線段PN的最大長度.
②連接AN,求△ABN面積的最大值.
【答案】(1)解:將A(3,0)代入yx+c,得c=2,
∴直線解析式為yx+2,
當(dāng)x=0時,y=2,
∴B(0,2);
(2)解:將A(3,0),B(0,2)代入yx2+bx+c,
∴,
解得,
∴yx2x+2;
(3)解:①∵M(m,0),
∴N(m,m2m+2),P(m,m+2),
∴PNm2m+2﹣(m+2)(m)2+3,
∵0<m<3,
∴m時,PN有最大值3;
②△ABN的面積3PN=﹣2(m)2,
∴△ABN面積的最大值為.
【知識點】待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式;一次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸交點問題;二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合應(yīng)用;二次函數(shù)的實際應(yīng)用-幾何問題
【解析】【分析】(1)將點A的坐標(biāo)代入yx+c求出c的值可得直線解析式,再將x=0代入解析式求出y的值即可得到點B的坐標(biāo);
(2)將點A、B的坐標(biāo)分別代入yx2+bx+c, 求出b、c的值即可;
(3)①先求出點P、N的坐標(biāo),再利用兩點之間距離公式求出PNm2m+2﹣(m+2)(m)2+3,最后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出PN的最大值即可;
②利用三角形的面積公式求出△ABN的面積3PN=﹣2(m)2,最后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可.
38.(2024九上·蕭山月考)某農(nóng)場擬建兩間矩形飼養(yǎng)室,一面靠現(xiàn)有墻(墻足夠長),中間用一道墻隔開(如圖1所示).已知計劃中的材料可建墻體總長46米,設(shè)兩間飼養(yǎng)室合計長(米),總占地面積為.
(1)求關(guān)于的函數(shù)表達式和自變量的取值范圍.
(2)現(xiàn)需要設(shè)計這兩間飼養(yǎng)室各開一扇門(如圖2所示),每扇門寬1米,門不采用計劃中的材料.求總占地面積最大為多少
【答案】(1)解:由題意得:,


故:,;
(2)解:由題意得:,
故:當(dāng)時,由最大值192平方米
【知識點】二次函數(shù)的實際應(yīng)用-幾何問題
【解析】【分析】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)在實際生活中的應(yīng)用.
(1)利用據(jù)此的面積計算公式可得:,根據(jù)題意可得,解不等式可求出自變量x的取值范圍;
(2)利用據(jù)此的面積計算公式可得:,利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求出最值,據(jù)此可求出答案.
(1)解:由題意得:,


故:,;
(2)解:由題意得:,
故:當(dāng)時,由最大值192平方米;
39.(2022九上·天津期中)為落實國家《關(guān)于全面加強新時代大中小學(xué)勞動教育的意見》,某校準(zhǔn)備在校園里利用圍墻(墻長)和長的籬笆墻,圍成Ⅰ、Ⅱ兩塊矩形勞動實踐基地.某數(shù)學(xué)興趣小組設(shè)計了兩種方案(除圍墻外,實線部分為籬笆墻,且不浪費籬笆墻),請根據(jù)設(shè)計方案回答下列問題:
(1)方案一:如圖①,全部利用圍墻的長度,但要在Ⅰ區(qū)中留一個寬度的水池且需保證總種植面積為,試分別確定、的長;
(2)方案二:如圖②,使圍成的兩塊矩形總種植面積最大,請問應(yīng)設(shè)計為多長?此時最大面積為多少?
【答案】(1)解:兩塊籬笆墻的長為12m,籬笆墻的寬為AD=GH=BC=(21-12)÷3=3m,
設(shè)CG為am,DG為(12-a)m,那么
AD×DC-AE×AH=32
即12×3-1×(12-a)=32
解得:a=8
∴CG=8m,DG=4m.
(2)解:設(shè)兩塊矩形總種植面積為ym2,BC長為xm,那么AD=HG=BC=xm,DC=(21-3x)m,由題意得,
兩塊矩形總種植面積=BC×DC
即y=x·(21-3x)
∴y=-3x2+21x
=-3(x- )2+
∵21-3x≤12
∴x≥3
∴當(dāng)BC= m時,y最大= m2.
【知識點】二次函數(shù)的實際應(yīng)用-幾何問題
【解析】【分析】(1)根據(jù)題意先求出 12×3-1×(12-a)=32 ,再求解即可;
(2)根據(jù)題意先求出 y=x·(21-3x) ,再根據(jù)函數(shù)解析式的性質(zhì)計算求解即可。
40.(2024九上·杭州期中)有這樣一個例題:有一個窗戶形狀如圖1,上部是一個半圓,下部是一個矩形,如果制作窗框的材料總長為,如何設(shè)計這個窗戶,使透光面積最大?
這個例題的答案是:當(dāng)窗戶半圓的半徑約為時,透光面積最大值約為.我們?nèi)绻淖冞@個窗戶的形狀,上部改為由兩個正方形組成的矩形,如圖2,材料總長仍為,利用圖3,解答下列問題:
(1)若為,求此時窗戶的透光面積?
(2)與上一個例題比較,改變窗戶形狀后,若設(shè)的長度為,請問當(dāng)x的值為多少時窗戶透光面積最大?與例題相比透光的最大面積是否變大?通過計算說明.
【答案】(1)解:由題意,,,
∴,
∴此時窗戶的透光面積為
(2)解:設(shè),則,
∵,
∴,
則窗戶的透光面積,
∵,
∴當(dāng)時,S有最大值,最大值為,即當(dāng)時,窗戶透光面積最大;
∵,
∴與例題相比透光的最大面積變大
【知識點】正方形的性質(zhì);二次函數(shù)的實際應(yīng)用-幾何問題
【解析】【分析】(1)根據(jù)矩形和正方形的性質(zhì)得到:,,進而即可求出AD的長度,最后根據(jù)面積計算公式計算即可;
(2)設(shè),則,根據(jù)矩形性質(zhì)得窗戶的透光面積,進而利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得最大面積為,即可求解.
(1)解:由題意,,,
∴,
∴此時窗戶的透光面積為;
(2)解:設(shè),則,
∵,
∴,
則窗戶的透光面積,
∵,
∴當(dāng)時,S有最大值,最大值為,即當(dāng)時,窗戶透光面積最大;
∵,
∴與例題相比透光的最大面積變大.
十、二次函數(shù)的應(yīng)用(增減性問題)
41.(2025九上·慈溪期末)已知二次函數(shù) ( 為常數(shù))的圖象經(jīng)過點 ,對稱軸是直線 。
(1)求此二次函數(shù)的表達式。
(2)求二次函數(shù) 的最大值。
(3)當(dāng) 時,二次函數(shù) 的最大值與最小值的差為 ,求 的取值范圍。
【答案】(1)解: 對稱軸是直線 .
的圖象經(jīng)過點 .

(2)解: ,
其最大值為
(3)解: 的對稱軸是直線 .
當(dāng) 時,二次函數(shù)取得最大值 .
當(dāng) 時,二次函數(shù)值為 2 .
而 當(dāng) 時,恰好符合.
根據(jù)二次函數(shù)的對稱性可得,
當(dāng) 時,最大值仍然為函數(shù)本身的最大值,最小值為 時對應(yīng)的函數(shù)值,亦符合.

【知識點】二次函數(shù)的最值;利用一般式求二次函數(shù)解析式
【解析】【分析】(1)利用點A(3,2)和對稱軸求出函數(shù)表達式;
(2)利用公式求出函數(shù)最大值;
(3)利用圖象分析即可.
42.(2024九上·溫州月考)已知二次函數(shù)(b,c為常數(shù))的頂點坐標(biāo)為
(1)求二次函數(shù)的表達式;
(2)將頂點向左平移2個單位長度,再向上平移個單位長度后,恰好落在的圖象上,求m的值;
(3)當(dāng)時, 二次函數(shù)的最大值與最小值差為5,則n的值為 .
【答案】(1)
(2)m的值為
(3)的值為:或
【知識點】待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式
43.(2024九上·余姚期中)已知二次函數(shù)(b,c為常數(shù))的圖象經(jīng)過點,對稱軸為直線.
(1)求二次函數(shù)的表達式;
(2)若點向左平移m()個單位長度,向上平移()個單位長度后,恰好落在的圖象上,求m的值并判斷點是否落在的圖像上;
(3)當(dāng)時,二次函數(shù)的最大值與最小值的差為2.25,求n的取值范圍.
【答案】(1)解:二次函數(shù)(b,c為常數(shù))的圖象經(jīng)過點,對稱軸為直線,
可得:解得
即;
(2)解:點B平移后的點為
代入得:
解得 (不合舍去)
∴m的值為

當(dāng)
∴點C落在的圖像上
(3)解:當(dāng)時,
由題意,當(dāng)時,最大值與最小值的差為
∴(不合舍去)
當(dāng)時,
當(dāng)時y最大,最大值為2.75
∴最大值與最小值的差為,符合題意.
當(dāng)時,最大值與最小值的差為
解得,,(不合均舍去).
綜上所述,n的取值范圍為.
【知識點】二次函數(shù)-動態(tài)幾何問題;二次函數(shù)圖象的平移變換
【解析】【分析】(1)根據(jù)對稱軸以及點 ,列出方程組,求解即可;
(2)先求出點B平移后的坐標(biāo)為,代入二次函數(shù),求得m,表示出點,代入二次函數(shù),求解即可;
(3)由二次函數(shù)的對稱軸為,分三種情況討論,當(dāng),,,分別求解即可.
44.(2025九上·錢塘期末)已知二次函數(shù)(為常數(shù))的圖象與軸有交點,且當(dāng)時,隨的增大而增大,則的取值范圍是   .
【答案】
【知識點】二次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點問題;二次函數(shù)y=ax²+bx+c的性質(zhì)
【解析】【解答】解:∵二次函數(shù)(m為常數(shù))的圖象與軸有交點,
∴.
解得:;
∵拋物線的對稱軸為直線,拋物線開口向上,且當(dāng)時,隨的增大而增大,
∴,
∴m的取值范圍是.
故答案為:.
【分析】由題可得判別式,再根據(jù)增減性得到,解出m的取值范圍即可.
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