資源簡介

浙教版數(shù)學(xué)八年級上學(xué)期重難點復(fù)習(xí)4：等腰三角形的分類討論
一、對邊或角的討論
1．（2020八上·長春月考）已知等腰三角形兩邊的長分別為3和7，則此等腰三角形的周長為（　　）
A．13 B．17 C．13或17 D．13或10
【答案】B
【知識點】三角形三邊關(guān)系；等腰三角形的性質(zhì)
【解析】【解答】解：當(dāng)腰為3，底邊為7時，由于3+3＜7，不能構(gòu)成三角形，故此種情況須舍去；
當(dāng)腰為7，底邊為3時，能構(gòu)成三角形，此時三角形的周長=7+7+3=17．
故答案為：B．
【分析】分腰為3和腰為7兩種情況并結(jié)合三角形的三邊關(guān)系解答即可．
2．（2023八上·鳳凰月考）定義；等腰三角形的底邊長與其腰長的比值k稱為這個等腰三角形的“優(yōu)美比”．若等腰三角形的周長為，，則它的“優(yōu)美比”k為（　　）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【知識點】等腰三角形的概念
3．（2024八上·東臺期中）在等腰三角形ABC中，若∠A＝70°，則∠B的度數(shù)是（　　）
A．40° B．55°
C．70° D．40°或55°或70°
【答案】D
【知識點】三角形內(nèi)角和定理；等腰三角形的性質(zhì)
【解析】【解答】解：當(dāng)∠A是頂角時，，
當(dāng)∠C是頂角時，∠A=∠B=70°，
當(dāng)∠B是頂角時，，
故∠B的度數(shù)是40°或55°或70°，
故答案為：D．
【分析】由于所給∠A是銳角，故根據(jù)等腰三角形的兩底角相等及三角形的內(nèi)角和定理，分①當(dāng)∠A是頂角時，② 當(dāng)∠C是頂角時，③當(dāng)∠B是頂角時三種情況求解即可.
4．已知一等腰三角形的一個內(nèi)角為80°，則這個等腰三角形頂角的度數(shù)為　 　
【答案】或
【知識點】等腰三角形的性質(zhì)
【解析】【解答】解：由已知等腰三角形的一個內(nèi)角為80°，可知：有兩種情況：
①如果這個角是頂角，那么可知： 這個等腰三角形頂角的度數(shù)為 80°；
②如果這個角是底角時，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)：等腰三角形，兩底角相等，∴另一個底角也是80°。由三角形內(nèi)角和為180°可知：頂角是20°.
綜上所述： 一等腰三角形的一個內(nèi)角為80° ，這個等腰三角形頂角的度數(shù)為：80°或20°.
【分析】由于已知沒有說這個80°的內(nèi)角是這個等腰三角形的底角還是頂角，所以要分兩種情況討論：這個角是底角時或這個角是頂角時。再結(jié)合三角形內(nèi)角和是180度，即可得到答案.
5．若一個等腰三角形的三邊長分別為x，2x，5x-3，則這個等腰三角形的周長為　 　.
【答案】5
【知識點】三角形三邊關(guān)系；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：∵一個等腰三角形的三邊長分別為x，2x，5x-3，
∴x=5x-3或2x=5x-3，
當(dāng)x=5x-3時，有，
∴，
∵，
∴此時三邊不構(gòu)成三角形；
當(dāng)2x=5x-3時，有x=1，
∴2x=5x-3=2，
∵1+2=3>2，
∴此時三邊構(gòu)成三角形；
綜上，這個等腰三角形的周長為2+2+1=5，
故答案為：5.
【分析】由于未明確哪條邊作為等腰三角形的腰和底邊，則需分類討論，明顯x≠2x，于是分兩種情況討論：x=5x-3或2x=5x-3，然后解方程求出x的值，得每條邊的長，最后利用三角形三邊關(guān)系即可求解.
6．（2023八上·海曙期中）概念學(xué)習(xí)
規(guī)定：如果一個三角形的三個角分別等于另一個三角形的三個角，那么稱這兩個三角形互為“等角三角形”．
從三角形不是等腰三角形一個頂點引出一條射線與對邊相交，頂點與交點之間的線段把這個三角形分割成兩個小三角形，如果分得的兩個小三角形中一個為等腰三角形，另一個與原來三角形是“等角三角形”，我們把這條線段叫做這個三角形的“等角分割線”．
（1）理解概念：判斷下列說法是否正確（對的打√，錯的打×）
①全等三角形是“等角三角形”（　　）
②如圖，在中，，，圖中共有2對“等角三角形”（　　）
③如圖，在中，，，無論為何值，都不可能是的“等角分割線”（　　）
（2）概念應(yīng)用：如圖，在中，為角平分線，，求證：為的等角分割線．
（3）在中，，是的等角分割線，直接寫出的度數(shù)．
【答案】（1）①√；②×；③√
（2）解：，，，
∵平分，
，
，
∴是等腰三角形，
，，，
為的“等角分割線”；
（3）或或或
【知識點】三角形外角的概念及性質(zhì)；等腰三角形的判定與性質(zhì)
【解析】【解答】解：（1）①根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可知三角形對應(yīng)角相等，則有全等三角形是“等角三角形”成立；
②根據(jù)題意可以寫出三對“等角三角形”，分別為與，與，與，答案錯誤；
③假設(shè)與成“等角三角形”，則要為等腰三角形，
∵，
∴，
∴，
∴，則，與矛盾；
同理如果與成“等角三角形”，也有上述結(jié)論，
故無論為何值，都不可能是的“等角分割線”正確．
（3）①當(dāng)是等腰三角形，時，，
∴；
②當(dāng)是等腰三角形，時，，
∴，
∴；
③當(dāng)是等腰三角形，時，，
∴；
④當(dāng)是等腰三角形，時，，
設(shè)，則，
則，
∵，解得，
∴，
∴；
故的度數(shù)為或或或．
【分析】（1）①根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可判斷；②根據(jù)題意可以寫出三對等角三角形可判斷②錯誤；③如果與成“等角三角形”，則要為等腰三角形，根據(jù)等角三角形的定義即可判斷；
（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到，由角平分線的定義得，則有，然后根據(jù)等角三角形的定義即可證明；
（3）分類討論：當(dāng)是等腰三角形，和，當(dāng)是等腰三角形，和，等腰三角形的性質(zhì)、等角分割線定義和三角形外角和求得；
（1）解：①根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可知三角形對應(yīng)角相等，則有全等三角形是“等角三角形”成立；
②根據(jù)題意可以寫出三對“等角三角形”，分別為與，與，與，答案錯誤；
③假設(shè)與成“等角三角形”，則要為等腰三角形，
∵，
∴，
∴，
∴，則，與矛盾；
同理如果與成“等角三角形”，也有上述結(jié)論，
故無論為何值，都不可能是的“等角分割線”正確．
（2），，
，
∵平分，
，
，
∴是等腰三角形，
，，，
為的“等角分割線”；
（3）解：①當(dāng)是等腰三角形，時，，
∴；
②當(dāng)是等腰三角形，時，，
∴，
∴；
③當(dāng)是等腰三角形，時，，
∴；
④當(dāng)是等腰三角形，時，，
設(shè)，則，
則，
∵，解得，
∴，
∴；
故的度數(shù)為或或或．
7．?dāng)?shù)學(xué)課上，張老師舉了下面的例題：
例1 在等腰三角形ABC 中，∠A=110°，求∠B 的度數(shù).(答案：35°)
例2 在等腰三角形ABC 中，∠A=40°，求∠B 的度數(shù).(答案：40°或70°或100°)
張老師啟發(fā)同學(xué)們進(jìn)行變式，小敏編了如下一題：
變式 在等腰三角形ABC 中，∠A=80°，求∠B 的度數(shù).
（1）請你解答以上的變式題.
（2）解(1)后，小敏發(fā)現(xiàn)，∠A 的度數(shù)不同，得到∠B 的度數(shù)的個數(shù)也可能不同.如果在等腰三角形ABC中，設(shè) ，當(dāng)∠B 有三個不同的度數(shù)時，請你探索x 的取值范圍.
【答案】（1）若∠A為頂角，則∠B＝（180°﹣∠A）÷2＝35°；
若∠A為底角，∠B為頂角，則∠B＝180°﹣2×70°＝40°；
若∠A為底角，∠B為底角，則∠B＝70°；
∴∠B＝35°或40°或70°
（2）解：①當(dāng) 時，∠A 只能為頂角，∴∠B 的度數(shù)只有一個.
②當(dāng) 時，若∠A 為頂角，則 若∠A 為底角，則. 或∠B=(180-2x)°，當(dāng) 且 且180-2x≠x，即x≠60時，∠B 有三個不同的度數(shù).
綜上，當(dāng)0【知識點】三角形內(nèi)角和定理；等腰三角形的性質(zhì)
【解析】【分析】（1）本題問 在等腰三角形ABC 中，∠A=80°，求∠B 的度數(shù) ，由于∠A和∠B的位置不確定，所以需進(jìn)行分類討論，在等腰三角形中，角可分為頂角和底角，所以可分為：①∠A為頂角，則∠B必為底角；②∠為底角，則∠B可為頂角或底角，在此分類下需進(jìn)行再次分類討論即可；
（2）通過（1）問的三個問題，我們發(fā)現(xiàn)，∠B的度數(shù)的個數(shù)∠A度數(shù)的影響，例1中，∠A為鈍角，∠B的度數(shù)只有一種可能，例2中，∠A為銳角，∠B的度數(shù)有三種可能，變式里，∠B的度數(shù)同樣有三種可能，所以在分類討論時，可把∠A分為鈍角和銳角進(jìn)行討論.
二、遇中線，高或垂直平分線的討論
8．（2023八上·海曙期中）等腰三角形一腰上的中線把這個三角形的周長分成兩部分，已知這個等腰三角形的周長為，則這個等腰三角形的底邊為（　　）．
A．8 B．20 C．40 D．8或40
【答案】A
【知識點】三角形三邊關(guān)系；二元一次方程組的應(yīng)用-幾何問題；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：設(shè)等腰三角形的腰長xcm，底邊長分別為ycm，
由題意得：
或，
解得或，
當(dāng)時，該等腰三角形的三邊長為，，，
∵，
∴不能組成三角形，故舍去；
當(dāng)時，該等腰三角形的三邊長為，，，能構(gòu)成三角形，
∴該等腰三角形的底邊為，
故答案為：A．
【分析】設(shè)等腰三角形的腰長和底邊長分別為、，根據(jù)題意分兩種情況，分別列關(guān)于x、y的二元一次方程組，解方程組求出x、y的值，然后由三角形三邊關(guān)系定理“三角形任意兩邊之和大于第三邊”檢驗即可判斷求解．
9．（2024八上·吳江月考）如圖，是等邊的中線，，是直線上一動點，以為邊作等邊三角形，連接，下列說法正確的是（　　）
A．的最小值是2 B．的最大值是2
C．的最小值是4 D．的最大值是4
【答案】A
【知識點】等邊三角形的性質(zhì)；含30°角的直角三角形；三角形全等的判定-SAS
10．（2024八上·昌樂期末）在中，，的垂直平分線交于點E，交于點D，的垂直平分線交于點G，交于點F．當(dāng)是等腰三角形時，與的不可能的數(shù)量關(guān)系是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知識點】三角形內(nèi)角和定理；三角形外角的概念及性質(zhì)；線段垂直平分線的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)
11．（2024八上·嘉善月考）等腰三角形一腰上的中線將這個等腰三角形的周長分為和兩部分，那么這個等腰三角形的底邊長是．
【答案】
【知識點】三角形三邊關(guān)系；二元一次方程組的應(yīng)用-幾何問題；等腰三角形的概念
12．（2024八上·重慶市月考）在中，，的垂直平分線與所在直線的夾角為，則這個等腰三角形的底角為　 　．
【答案】或
【知識點】三角形內(nèi)角和定理；三角形外角的概念及性質(zhì)；線段垂直平分線的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)
13．（2024八上·長樂期末）等腰三角形有一內(nèi)角的度數(shù)為40°，一腰的垂直平分線與另一腰所在直線相交所成的銳角的度數(shù)為　 　．
【答案】50°或
【知識點】三角形內(nèi)角和定理；線段垂直平分線的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；直角三角形的性質(zhì)
14．（2024八上·廣州期中）已知等腰中．，兩腰的垂直平分線交于點，已知，則等腰三角形的頂角為　 　．
【答案】或
【知識點】三角形內(nèi)角和定理；線段垂直平分線的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；多邊形內(nèi)角與外角
15．（2025八上·上海市期末）如圖，在中，，點P為上一點，將線段繞點P順時針旋轉(zhuǎn)得線段，點Q在射線上，當(dāng)?shù)拇怪逼椒志€經(jīng)過一邊中點時，的長為 　 　．
【答案】2或3或5
【知識點】等邊三角形的判定與性質(zhì)；含30°角的直角三角形；勾股定理；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)
16．（2024八上·北京市期中）利用垂直平分線將三角形分割出等腰三角形：
（1）如圖1所示，中，，的垂直平分線交于點，連接，那么圖中出現(xiàn)的等腰三角形是 ；
（2）如圖2所示，中，，的垂直平分線交于點，連接，那么圖中出現(xiàn)的等腰三角形是 ；
（3）請利用上述方法，將圖3中的直角三角形分割成三個等腰三角形．
【答案】（1）
（2），
（3）解：如圖，作的垂直平分線交于點，連接，作的垂直平分線交于點，連接，
∴，，
∴，都是等腰三角形，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形，
∴圖中出現(xiàn)的等腰三角形是，和．
【知識點】線段垂直平分線的性質(zhì)；等腰三角形的判定與性質(zhì)；直角三角形的性質(zhì)
【解析】【解答】（1）解：∵的垂直平分線交于點，
∴，
∴是等腰三角形，
∴圖中出現(xiàn)的等腰三角形是，
故答案為：；
（2）解：∵的垂直平分線交于點，
∴，
∴是等腰三角形，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形，
∴圖中出現(xiàn)的等腰三角形是，，
故答案為：，；
【分析】（1）根據(jù)垂直平分線性質(zhì)可得，再根據(jù)等腰直角三角形判定定理即可求出答案.
（2）根據(jù)垂直平分線性質(zhì)可得，再根據(jù)等腰三角形判定定理可得是等腰三角形，，再根據(jù)角之間的關(guān)系可得，再根據(jù)等腰三角形判定定理即可求出答案.
（3）作的垂直平分線交于點，連接，作的垂直平分線交于點，連接，根據(jù)垂直平分線性質(zhì)可得，，再根據(jù)等腰三角形判定定理可得，都是等腰三角形，，再根據(jù)角之間的關(guān)系可得，再根據(jù)等腰三角形判定定理即可求出答案.
（1）解：∵的垂直平分線交于點，
∴，
∴是等腰三角形，
∴圖中出現(xiàn)的等腰三角形是，
故答案為：；
（2）解：∵的垂直平分線交于點，
∴，
∴是等腰三角形，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形，
∴圖中出現(xiàn)的等腰三角形是，，
故答案為：，；
（3）解：如圖，作的垂直平分線交于點，連接，作的垂直平分線交于點，連接，
∴，，
∴，都是等腰三角形，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形，
∴圖中出現(xiàn)的等腰三角形是，和．
17．（2024八上·上城期中）定義：如果經(jīng)過三角形一個頂點的線段把這個三角形分成兩個小三角形，其中一個三角形是等腰三角形，另外一個三角形和原三角形的三個內(nèi)角分別相等，那么這條線段稱為原三角形的“和諧分割線”，例如：如圖1，等腰直角三角形斜邊上的中線就是一條“和諧分割線”．
（1）判斷命題真假：等邊三角形存在“和諧分割線”是______命題；（填“真”或“假”）
（2）如圖2，在Rt△ABC中，，試探索Rt△ABC是否存在“和諧分割線”？若存在，求出“和諧分割線”的長度；若不存在，請說明理由；
（3）如圖3，在中，，若線段 是的“和諧分割線”，且 是等腰三角形，求出所有符合條件的的度數(shù)．
【答案】（1）假
（2）解：存在“和諧分割線”，理由如下：作的平分線交于點，如圖
，，
，
，
在中，，
的三個內(nèi)角與的三個內(nèi)角相等，
，
是等腰三角形，
是“和諧分割線”；
過點作交于，如圖，
，
，，
，
．
（3）解：
①如圖所示：
當(dāng)時，
，
根據(jù)“和諧分割線”的概念可知，，
，
，
，
解得；
②如圖所示：
當(dāng)時，
，
根據(jù)“和諧分割線”的概念可知，，
，
，
解得；
綜上所述：的值為或．
【知識點】三角形內(nèi)角和定理；三角形外角的概念及性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)；勾股定理
【解析】【解答】
（1）
解：等邊三角形過一個頂點的線段不能分成一個等邊三角形和一個等腰三角形，等邊三角形存在“和諧分割線”是假命題．
故答案為：假．
【分析】
（1）由“和諧分割線”的概念知等邊三角形中不可能存在“和諧分割線”；
（2）由直角三角形兩銳角互余可得，則作的平分線交于點，則，即為“和諧分割線”，再在中應(yīng)用特殊角的性質(zhì)結(jié)合勾股定理即可求出的長；
（3）由“和諧分割線”的概念可分兩種情況討論：①當(dāng)時，則，又，則，再由三角形的內(nèi)角和定理可得，再求解即可；
②當(dāng)時，則，又，則由三角形的外角性質(zhì)知，再由三角形內(nèi)角和定理知，再求解即可．
（1）解：等邊三角形過一個頂點的線段不能分成一個等邊三角形和一個等腰三角形，
等邊三角形存在“和諧分割線”是假命題．
故答案為：假．
（2）解：存在“和諧分割線”，理由如下：
作的平分線交于點，如圖
，，
，
，
在中，，
的三個內(nèi)角與的三個內(nèi)角相等，
，
是等腰三角形，
是“和諧分割線”；
過點作交于，如圖，
，
，，
，
．
（3）解：①當(dāng)時，
，
根據(jù)“和諧分割線”的概念可知，，
，
，
，
解得；
②當(dāng)時，
，
根據(jù)“和諧分割線”的概念可知，，
，
，
解得；
綜上所述：的值為或．
三、遇動點和動線段需要討論
18．（2024八上·樂清月考）如圖，在中，，，動點P從點C出發(fā)，以的速度沿折線移動到B，當(dāng)點P在上運(yùn)動時，則點P出發(fā)　 　秒時，為等腰三角形；當(dāng)點P在上運(yùn)動時，則點P出發(fā)　 　秒時，為等腰三角形．
【答案】6；12或13或
【知識點】等腰三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理
19．（2024八上·余杭期中）在中，，將一塊足夠大的直角三角尺按如圖所示放置，頂點在線段AB上滑動，PM始終經(jīng)過點，斜邊PN交AC于點.在點滑動過程中，為等腰三角形時，則點與點的距離BP為　 　.
【答案】0或或 （不化簡也對）
【知識點】等腰三角形的判定與性質(zhì)；含30°角的直角三角形；勾股定理；等腰直角三角形；分類討論
【解析】【解答】解：在點P滑動過程中，為等腰三角形，共三種情況，
①當(dāng)時，則
∴
過點P作于D，如圖，
則為等腰直角三角形，
∴
∵
∴
在中，
∴
∵
∴
∴
∴
②當(dāng)時，則
∴如圖，
在中，
∴
∴
∴
∴
③當(dāng)時，則
此時點B與點P重合，點D與點A重合，過點C作于E，如圖，
∴
綜上所述，點與點的距離BP為：0或或
故答案為：0或或.
【分析】在點P滑動過程中，為等腰三角形，需分三種情況討論，①當(dāng)時，則進(jìn)而得到過點P作于D，則為等腰直角三角形，然后根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)和含30°角的直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理求出BP即可；②當(dāng)時，則進(jìn)而得到然后在中根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理求出BP即可；③當(dāng)時，則此時點B與點P重合，點D與點A重合，過點C作于E，由此可得到BP的長度，綜上所述即可求解.
20．如圖，四邊形ABCD是長方形，AB=x，BC=4，點P為直線AD上的一點．若滿足△BCP為等腰三角形的點P有且僅有3個，則x=　 　.
【答案】4或
【知識點】等腰三角形的性質(zhì)；含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【解答】①如圖，當(dāng)AB=BC時，滿足△PBC是等腰三角形的點P有且只有3個，
△P1BC，△P2BC是等腰直角三角形，△P3BC是等腰三角形(P3B=P3C).
則AB=BC=4.
②當(dāng)AB則△P2BC是等邊三角形，可知P2是AD的中點，BC=BP1=BP2=CP2=CP3，
在Rt△ABP2中，∵BP2=4，∠ABP2=30°，
∴AP2=2，
∴AB=.
③當(dāng)AB>BC時，直線AD上只有一個點P滿足△PBC是等腰三角形.
故答案為4或.
【分析】分三種情況：AB=AD，AB當(dāng)AB=AD時，AB=BC=4；
當(dāng)AB當(dāng)AB>BC時，不符合題意.
21．（2022八上·杭州期中）如圖，在中，，，，動點從點出發(fā)，沿線段以每秒個單位的速度向運(yùn)動，過點作交所在的直線于點，連結(jié)，設(shè)點運(yùn)動時間為秒．當(dāng)是等腰三角形時，則　 　秒．
【答案】或或
【知識點】三角形的面積；等腰三角形的性質(zhì)；勾股定理
【解析】【解答】解： 在中由勾股定理可得：
①當(dāng)AB=BF=10時，
因為BC=6，
所以
在中由勾股定理可得：
又因為
所以
又在中：
所以
②當(dāng)AF=BF時，
因為
所以
所以
③當(dāng)時，
因為
所以
又
所以
由勾股定理得：
所以
所以綜上：t的值為或或.
故答案為：或或.
【分析】分AB=BF=10、AF=BF、三種情況，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，運(yùn)用勾股定理及等面積法進(jìn)行計算即可求解.
22．（2024八上·義烏月考）如圖，長方形ABCD中，AB＝4cm，BC＝6cm，現(xiàn)有一動點P從A出發(fā)以2cm/秒的速度，沿矩形的邊A—B—C—D—A返回到點A停止，點P的運(yùn)動時間為t秒．
（1）當(dāng)t＝3秒時，BP＝ cm；
（2）當(dāng)t為何值時，連結(jié)CP，DP，△CDP為等腰三角形；
（3）Q為AD邊上的點，且DQ＝5，當(dāng)t為何值時，以長方形的兩個頂點及點P為頂點的三角形與△DCQ全等．
【答案】（1）2
（2）①當(dāng)P在AB上時，△PCD為等腰三角形，
∴ ，
在矩形ABCD中， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ .
②當(dāng)P在BC上時，△DCP為等腰三角形，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
③當(dāng)P在AD上時，△DCP為等腰三角形，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
綜上所述或或時，△CDP為等腰三角形．
（3）根據(jù)題意，如圖，連接CQ，則AB＝CD＝4，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝，DQ＝5，
∴要使一個三角形與△DCQ全等，則另一條直角邊必須等于DQ，
①當(dāng)點P運(yùn)動到時，C＝DQ＝5，此時△DCQ≌△CD，
∴點P的路程為：AB＋B＝4＋1＝5，
∴t＝5÷2＝2.5s，
②當(dāng)點P運(yùn)動到時，B＝DQ＝5，此時△CDQ≌△AB，
∴點P的路程為：AB＋B＝4＋5＝9，
∴t＝9÷2＝4.5s，
③當(dāng)點P運(yùn)動到時，A＝DQ＝5，此時△CDQ≌△AB，
∴點P的路程為：AB＋BC＋CD＋D＝4＋6＋4＋1＝15，
∴t＝15÷2＝7.5s，
④當(dāng)點P運(yùn)動到時，即P與Q重合時，D＝DQ＝5，此時△CDQ≌△CD，
∴點P的路程為：AB＋BC＋CD＋D＝4＋6＋4＋5＝19，
∴t＝19÷2＝9.5s，
綜上所述，時間的值可以是：t＝2.5s，4.5s，7.5s或9.5s．
【知識點】三角形全等及其性質(zhì)；等腰三角形的判定與性質(zhì)；矩形的性質(zhì)；四邊形-動點問題
【解析】【解答】解：（1）當(dāng)t＝3秒時，點P走過的路程為：2×3＝6，
∵AB＝4，
∴點P運(yùn)動到線段BC上，
∴BP＝6 4＝2cm，
故答案是：2；
【分析】（1）根據(jù)題意知點P的速度為2cm/秒，當(dāng)t＝3秒時，運(yùn)動路程為6cm，此時點P運(yùn)動到線段BC上，然后得到BP的長度；
（2）根據(jù)題意可知點P分別在AB、BC、 CD和AD 上運(yùn)動，要使△CDP為等腰三角形，分情況討論：①當(dāng)P在CD上時，不存在三角形；②當(dāng)點P在AB上時，PC=PD；③當(dāng)P在BC上時，CD=CP；④當(dāng)P在AD上時，CD=DP，分別計算點P的路徑長即可計算出時間．
（3）根據(jù)題意， 連接CQ ，要使一個三角形與△DCQ全等， 則另一條直角邊必須等于DQ ，然后確定則點P的位置可以有四個，根據(jù)點P運(yùn)動的位置，即可計算出時間．
23．（2022八上·蘭溪期中）如圖，在直角三角形中，，點從開始沿邊向點以的速度移動，點從點開始沿邊向點以的速度移動． 分別從同時出發(fā)，當(dāng)一個動點到達(dá)終點則另一動點也隨之停止運(yùn)動，
（1）求為何值時，為等腰三角形？
（2）是否存在某一時刻，使點在線段的垂直平分線上？
（3）點在運(yùn)動的過程中，是否存在某時刻， 直線把的周長分為兩部分？若存在，求出，若不存在，請說明理由．
【答案】（1）2；（2）存在，；（3）存在，
【知識點】線段垂直平分線的性質(zhì)；等腰三角形的概念
四、構(gòu)造等腰三角形需要討論
24．（2024八上·南湖月考）某項目化學(xué)習(xí)小組研究“等腰三角形”課題，將三根木棒首尾相連圍成一個等腰三角形，其中一根木棒的長為，請在下列四個選項中選出另一邊的長，使其能構(gòu)成兩種不同的等腰三角形（　　）
A．3 B．10 C． D．11
【答案】A
【知識點】三角形三邊關(guān)系；等腰三角形的概念
25．（2023八上·齊齊哈爾期中）如圖，是等腰三角形，在所在平面內(nèi)有一點，且使得，，均為等腰三角形，則符合條件的點共有（　　）
A．1個 B．4個 C．5個 D．6個
【答案】D
【知識點】三角形全等及其性質(zhì)；線段垂直平分線的性質(zhì)；等腰三角形的判定與性質(zhì)
26．已知在等腰三角形ABC中，AB=AC，∠CAB=108°，D是直線BC上一點(不與點B，C重合)，連結(jié)AD，若△ABD是等腰三角形，則∠DAC=　 　．
【答案】36°或126°或72°
【知識點】等腰三角形的性質(zhì)
【解析】【解答】解：如圖，
第一種情況，當(dāng)AB=BD1時，∵∠CAB=108°，∴ ∠ABC=36°，
∵ AB=BD1，∴ ∠D1AB=∠D1=18°，∴ ∠D1AC=∠D1AB+∠CAB=126°；
第二種情況，當(dāng)AB=BD2時，∵∠CAB=108°，∴ ∠ABC=36°，
∵AB=BD2，∴ ∠BAD2=72°，∴ ∠D2AC=∠CAB-∠BAD2=36°；
第三種情況，當(dāng)AD3=BD3時，∵∠CAB=108°，∴ ∠ABC=36°，
∵AC=BD3，∴ ∠BAD3=36°，∴∠D3AC=∠CAB-∠BAD3=72°；
綜上∠DAC=36°或126°或72°.
故答案為：36°或126°或72°.
【分析】分三種情況，畫出圖形，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)分別計算即可求出.
27．（2024八上·鼓樓期中）如圖，中，，已知平面內(nèi)有一點，使得與均為等腰三角形，則所有滿足條件的點有　 　個．
【答案】
【知識點】等腰三角形的概念
28．如圖所示的直角三角形ABD是某等腰三角形對稱軸的一側(cè)，請補(bǔ)全該等腰三角形.(只需畫出圖形)
【答案】解：如圖，即為所求.
【知識點】等腰三角形的對稱性；尺規(guī)作圖-等腰（等邊）三角形
【解析】【分析】分兩種情況進(jìn)行討論：當(dāng)AD或BD所在直線作為等腰三角形對稱軸時，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)直接畫出圖形即可.
29．（2024八上·江北期中）如圖是由25個邊長為1的小正方形組成的5×5網(wǎng)格，請分別在3個網(wǎng)格圖中畫出3個互不全等的等腰三角形，要求：等腰三角形頂點在格點上，且腰長為5．
【答案】解：
【知識點】等腰三角形的概念
【解析】【分析】根據(jù)等腰三角形的特點，等腰三角形的腰是相等的，這樣可以畫出腰為5等腰直角三角形，還可以畫出角度完全不同的兩個腰為5的等腰三角形.
30．（2023八上·婺城月考）（1）如圖1，線段的一個端點O在直線l上，且與直線l所成的銳角為50°，以為一邊畫等腰三角形，并且使另一個頂點P在直線l上，這樣的等腰三角形能畫　 　個．
（2）如圖1，如果與直線l所成的銳角為60°，以為一邊畫等腰三角形，并使另一個頂點P在直線l上，這樣的等腰三角形能畫　 　個．
想一想：如圖2，中， ，過頂點C作一條直線，分割出一個等腰三角形這樣的直線最多可以畫　 　條．
算一算：如圖3，在中，，若存在過點C的一條直線，能把該三角形分成兩個等腰三角形，試求∠B的度數(shù)．
【答案】（1）4；（2）2；想一想：5；算一算：5°或20°或80°或140°或42.5°．
【知識點】三角形內(nèi)角和定理；等腰三角形的性質(zhì)；等腰三角形的概念
31．（2024八上·南山開學(xué)考）如果一個三角形被一條線段分割成兩個等腰三角形，那么這種分割叫做等腰分割，這條線段稱為這個三角形的等腰分割線．如圖1，當(dāng)和為等腰三角形時，為的等腰分割線．
（1）如圖2，中，，線段的垂直平分線交于點，交于點．求證：是的一條等腰分割線．
（2）如圖3，在中，，，，請你用兩種不同的方法完成的等腰分割，并直接寫出每種分割之后兩個等腰三角形的頂角度數(shù)．
（3）在中，為的等腰分割線，且，，請直接寫出的度數(shù)．
【答案】（1）證明：是的垂直平分線，
，
，是等腰三角形，
，
，
，
，
是等腰三角形，
是的一條等腰分割線.
（2）第一種：等腰的頂角，等腰的頂角；第二種：等腰的頂角，等腰的頂角；等腰分割見解析
（3）或或
【知識點】三角形內(nèi)角和定理；線段垂直平分線的性質(zhì)；等腰三角形的判定與性質(zhì)；分類討論
【解析】【解答】解：（2）解：如圖1，
第一種：等腰的頂角，等腰的頂角；
第二種：等腰的頂角，等腰的頂角．
（3）解：如圖2，
當(dāng)，時，，
如圖3，
當(dāng)，時，，
如圖4，
當(dāng)，時，，
綜上所述：或或。
【分析】（1）根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)，可得AE=CE，然后再根據(jù)是等腰三角形，易證，，進(jìn)而即可求解。
（2）根據(jù)題意，可分為兩種情況：當(dāng)AC是腰時，然后再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和等腰分割的定義，可得AD=AC，AD=BD；當(dāng)AC是底時，然后再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和等腰分割的定義，可得，AD=CD，AB=BD，據(jù)此即可畫出圖形；
（3）根據(jù)等腰分割的定義，可將情況分為：AD=AC，AD=CD及AC=CD三種情形，然后再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，即可求解。
（1）證明：是的垂直平分線，
，
，是等腰三角形，
，
，
，
，
是等腰三角形，
是的一條等腰分割線；
（2）解：如圖1，
第一種：等腰的頂角，等腰的頂角；
第二種：等腰的頂角，等腰的頂角．
（3）解：如圖2，
當(dāng)，時，，
如圖3，
當(dāng)，時，，
如圖4，
當(dāng)，時，，
綜上所述：或或．
32．（2024八上·北京市期中）為等邊三角形，射線經(jīng)過點A，，畫點B關(guān)于射線的對稱點D，連接、交直線于點E．
（1）如圖，當(dāng)時
①依題意補(bǔ)全圖形；
②用等式表示線段、、的數(shù)量關(guān)系，并證明；
（2）若為等腰三角形，直接寫出的度數(shù)．
【答案】（1）解：①過點作的垂線，交于點，截取，則點是點關(guān)于射線的對稱點，連接、交直線于點E，如圖：
②，證明如下：
在上截取，如圖：
∵是等邊三角形，
∴
由對稱可知：
，
∵，
∴，，
∵
∴，
由對稱可知：，，
∴，
∴是等邊三角形，
∴， ，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）的值為或．
【知識點】三角形外角的概念及性質(zhì)；線段垂直平分線的性質(zhì)；等邊三角形的判定與性質(zhì)
【解析】【解答】（2）解：當(dāng)是等腰三角形，①當(dāng)時，如圖：
∵垂直平分，
∴，
∴，
∴是等邊三角形，
∴；
②當(dāng)時，如圖：
∴垂直平分，
∵垂直平分，
，
③當(dāng)時，如圖：
∴垂直平分，
∴，，三點在同一條直線上，
(不合題意，舍去)，
綜上所述，是等腰三角形，的值為或．
【分析】本題考查等邊三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)．
（1）①根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得：過點作的垂線，交于點，截取，連接、交直線于點E；
②在上截取，則是等邊三角形，利用等邊三角形的性質(zhì)可得：利用對稱的性質(zhì)可得：利用角的運(yùn)算可推出，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可推出，利用全等三角形的判定定理可證明，利用全等三角形的性質(zhì)可得：，根據(jù)，利用線段的運(yùn)算可證明；
（2）分三種情況：①當(dāng)時，②當(dāng)時，③當(dāng)時，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，利用線段垂直平分線的性質(zhì)，再結(jié)合三點共線的性質(zhì)可求出角的度數(shù)．
（1）解：①過點作的垂線，交于點，截取，則點是點關(guān)于射線的對稱點，連接、交直線于點E，如圖：
②，證明如下：
在上截取，如圖：
∵是等邊三角形，
∴
由對稱可知：
，
∵，
∴，，
∵
∴，
由對稱可知：，，
∴，
∴是等邊三角形，
∴， ，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：當(dāng)是等腰三角形，
①當(dāng)時，如圖：
∵垂直平分，
∴，
∴，
∴是等邊三角形，
∴；
②當(dāng)時，如圖：
∴垂直平分，
∵垂直平分，
，
③當(dāng)時，如圖：
∴垂直平分，
∴，，三點在同一條直線上，
(不合題意，舍去)，
綜上所述，是等腰三角形，的值為或．
33．如圖，已知是等邊三角形，，點P從點A出發(fā)，沿射線以的速度運(yùn)動，過點P作交射線于點E，同時點Q從點C出發(fā)沿的延長線以的速度運(yùn)動，連接、，設(shè)點P的運(yùn)動時間為．
（1）當(dāng)點P在邊上，且不與點、重合時，求證：；
（2）直接寫出的長（用含t的代數(shù)式表示）；
（3）在不添加字母和連接其它線段的條件下，當(dāng)圖中等腰三角形的個數(shù)大于3時，直接寫出t的值和對應(yīng)的等腰三角形的個數(shù)．（請寫出所有的可能性）
【答案】（1）證明：∵是等邊三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，，
∴是等邊三角形，，
∴，
∴，
根據(jù)點的運(yùn)動過程可知，，
∴，
在和中，
，
∴
（2）解：根據(jù)題意可知，點從點到點所需時間為，
當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
答：當(dāng)時，的長為；當(dāng)時，的長為
（3）解：當(dāng)時，如圖，
有5個等腰三角形：、、、、，
當(dāng)時，如圖，有4個等腰三角形：、、、，
答：當(dāng)時，等腰三角形有5個；當(dāng)時，等腰三角形有4個
【知識點】等邊三角形的判定與性質(zhì)；三角形全等的判定-SAS；三角形-動點問題
【解析】【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)證明△APE兩個角是60°，然后根據(jù)SAS證明△BPE≌△ECQ；
（2）先表示AP＝AE＝t，當(dāng)E在AC上時，EC＝2 t，當(dāng)E在射線AC上時，EC＝t 2；
（3）當(dāng)t＝1和t＝4時，圖中等腰三角形的個數(shù)大于3，根據(jù)圖形寫出等腰三角形即可．
1 / 1浙教版數(shù)學(xué)八年級上學(xué)期重難點復(fù)習(xí)4：等腰三角形的分類討論
一、對邊或角的討論
1．（2020八上·長春月考）已知等腰三角形兩邊的長分別為3和7，則此等腰三角形的周長為（　　）
A．13 B．17 C．13或17 D．13或10
2．（2023八上·鳳凰月考）定義；等腰三角形的底邊長與其腰長的比值k稱為這個等腰三角形的“優(yōu)美比”．若等腰三角形的周長為，，則它的“優(yōu)美比”k為（　　）
A． B． C．或 D．或
3．（2024八上·東臺期中）在等腰三角形ABC中，若∠A＝70°，則∠B的度數(shù)是（　　）
A．40° B．55°
C．70° D．40°或55°或70°
4．已知一等腰三角形的一個內(nèi)角為80°，則這個等腰三角形頂角的度數(shù)為　 　
5．若一個等腰三角形的三邊長分別為x，2x，5x-3，則這個等腰三角形的周長為　 　.
6．（2023八上·海曙期中）概念學(xué)習(xí)
規(guī)定：如果一個三角形的三個角分別等于另一個三角形的三個角，那么稱這兩個三角形互為“等角三角形”．
從三角形不是等腰三角形一個頂點引出一條射線與對邊相交，頂點與交點之間的線段把這個三角形分割成兩個小三角形，如果分得的兩個小三角形中一個為等腰三角形，另一個與原來三角形是“等角三角形”，我們把這條線段叫做這個三角形的“等角分割線”．
（1）理解概念：判斷下列說法是否正確（對的打√，錯的打×）
①全等三角形是“等角三角形”（　　）
②如圖，在中，，，圖中共有2對“等角三角形”（　　）
③如圖，在中，，，無論為何值，都不可能是的“等角分割線”（　　）
（2）概念應(yīng)用：如圖，在中，為角平分線，，求證：為的等角分割線．
（3）在中，，是的等角分割線，直接寫出的度數(shù)．
7．?dāng)?shù)學(xué)課上，張老師舉了下面的例題：
例1 在等腰三角形ABC 中，∠A=110°，求∠B 的度數(shù).(答案：35°)
例2 在等腰三角形ABC 中，∠A=40°，求∠B 的度數(shù).(答案：40°或70°或100°)
張老師啟發(fā)同學(xué)們進(jìn)行變式，小敏編了如下一題：
變式 在等腰三角形ABC 中，∠A=80°，求∠B 的度數(shù).
（1）請你解答以上的變式題.
（2）解(1)后，小敏發(fā)現(xiàn)，∠A 的度數(shù)不同，得到∠B 的度數(shù)的個數(shù)也可能不同.如果在等腰三角形ABC中，設(shè) ，當(dāng)∠B 有三個不同的度數(shù)時，請你探索x 的取值范圍.
二、遇中線，高或垂直平分線的討論
8．（2023八上·海曙期中）等腰三角形一腰上的中線把這個三角形的周長分成兩部分，已知這個等腰三角形的周長為，則這個等腰三角形的底邊為（　　）．
A．8 B．20 C．40 D．8或40
9．（2024八上·吳江月考）如圖，是等邊的中線，，是直線上一動點，以為邊作等邊三角形，連接，下列說法正確的是（　　）
A．的最小值是2 B．的最大值是2
C．的最小值是4 D．的最大值是4
10．（2024八上·昌樂期末）在中，，的垂直平分線交于點E，交于點D，的垂直平分線交于點G，交于點F．當(dāng)是等腰三角形時，與的不可能的數(shù)量關(guān)系是（　　）
A． B．
C． D．
11．（2024八上·嘉善月考）等腰三角形一腰上的中線將這個等腰三角形的周長分為和兩部分，那么這個等腰三角形的底邊長是．
12．（2024八上·重慶市月考）在中，，的垂直平分線與所在直線的夾角為，則這個等腰三角形的底角為　 　．
13．（2024八上·長樂期末）等腰三角形有一內(nèi)角的度數(shù)為40°，一腰的垂直平分線與另一腰所在直線相交所成的銳角的度數(shù)為　 　．
14．（2024八上·廣州期中）已知等腰中．，兩腰的垂直平分線交于點，已知，則等腰三角形的頂角為　 　．
15．（2025八上·上海市期末）如圖，在中，，點P為上一點，將線段繞點P順時針旋轉(zhuǎn)得線段，點Q在射線上，當(dāng)?shù)拇怪逼椒志€經(jīng)過一邊中點時，的長為 　 　．
16．（2024八上·北京市期中）利用垂直平分線將三角形分割出等腰三角形：
（1）如圖1所示，中，，的垂直平分線交于點，連接，那么圖中出現(xiàn)的等腰三角形是 ；
（2）如圖2所示，中，，的垂直平分線交于點，連接，那么圖中出現(xiàn)的等腰三角形是 ；
（3）請利用上述方法，將圖3中的直角三角形分割成三個等腰三角形．
17．（2024八上·上城期中）定義：如果經(jīng)過三角形一個頂點的線段把這個三角形分成兩個小三角形，其中一個三角形是等腰三角形，另外一個三角形和原三角形的三個內(nèi)角分別相等，那么這條線段稱為原三角形的“和諧分割線”，例如：如圖1，等腰直角三角形斜邊上的中線就是一條“和諧分割線”．
（1）判斷命題真假：等邊三角形存在“和諧分割線”是______命題；（填“真”或“假”）
（2）如圖2，在Rt△ABC中，，試探索Rt△ABC是否存在“和諧分割線”？若存在，求出“和諧分割線”的長度；若不存在，請說明理由；
（3）如圖3，在中，，若線段 是的“和諧分割線”，且 是等腰三角形，求出所有符合條件的的度數(shù)．
三、遇動點和動線段需要討論
18．（2024八上·樂清月考）如圖，在中，，，動點P從點C出發(fā)，以的速度沿折線移動到B，當(dāng)點P在上運(yùn)動時，則點P出發(fā)　 　秒時，為等腰三角形；當(dāng)點P在上運(yùn)動時，則點P出發(fā)　 　秒時，為等腰三角形．
19．（2024八上·余杭期中）在中，，將一塊足夠大的直角三角尺按如圖所示放置，頂點在線段AB上滑動，PM始終經(jīng)過點，斜邊PN交AC于點.在點滑動過程中，為等腰三角形時，則點與點的距離BP為　 　.
20．如圖，四邊形ABCD是長方形，AB=x，BC=4，點P為直線AD上的一點．若滿足△BCP為等腰三角形的點P有且僅有3個，則x=　 　.
21．（2022八上·杭州期中）如圖，在中，，，，動點從點出發(fā)，沿線段以每秒個單位的速度向運(yùn)動，過點作交所在的直線于點，連結(jié)，設(shè)點運(yùn)動時間為秒．當(dāng)是等腰三角形時，則　 　秒．
22．（2024八上·義烏月考）如圖，長方形ABCD中，AB＝4cm，BC＝6cm，現(xiàn)有一動點P從A出發(fā)以2cm/秒的速度，沿矩形的邊A—B—C—D—A返回到點A停止，點P的運(yùn)動時間為t秒．
（1）當(dāng)t＝3秒時，BP＝ cm；
（2）當(dāng)t為何值時，連結(jié)CP，DP，△CDP為等腰三角形；
（3）Q為AD邊上的點，且DQ＝5，當(dāng)t為何值時，以長方形的兩個頂點及點P為頂點的三角形與△DCQ全等．
23．（2022八上·蘭溪期中）如圖，在直角三角形中，，點從開始沿邊向點以的速度移動，點從點開始沿邊向點以的速度移動． 分別從同時出發(fā)，當(dāng)一個動點到達(dá)終點則另一動點也隨之停止運(yùn)動，
（1）求為何值時，為等腰三角形？
（2）是否存在某一時刻，使點在線段的垂直平分線上？
（3）點在運(yùn)動的過程中，是否存在某時刻， 直線把的周長分為兩部分？若存在，求出，若不存在，請說明理由．
四、構(gòu)造等腰三角形需要討論
24．（2024八上·南湖月考）某項目化學(xué)習(xí)小組研究“等腰三角形”課題，將三根木棒首尾相連圍成一個等腰三角形，其中一根木棒的長為，請在下列四個選項中選出另一邊的長，使其能構(gòu)成兩種不同的等腰三角形（　　）
A．3 B．10 C． D．11
25．（2023八上·齊齊哈爾期中）如圖，是等腰三角形，在所在平面內(nèi)有一點，且使得，，均為等腰三角形，則符合條件的點共有（　　）
A．1個 B．4個 C．5個 D．6個
26．已知在等腰三角形ABC中，AB=AC，∠CAB=108°，D是直線BC上一點(不與點B，C重合)，連結(jié)AD，若△ABD是等腰三角形，則∠DAC=　 　．
27．（2024八上·鼓樓期中）如圖，中，，已知平面內(nèi)有一點，使得與均為等腰三角形，則所有滿足條件的點有　 　個．
28．如圖所示的直角三角形ABD是某等腰三角形對稱軸的一側(cè)，請補(bǔ)全該等腰三角形.(只需畫出圖形)
29．（2024八上·江北期中）如圖是由25個邊長為1的小正方形組成的5×5網(wǎng)格，請分別在3個網(wǎng)格圖中畫出3個互不全等的等腰三角形，要求：等腰三角形頂點在格點上，且腰長為5．
30．（2023八上·婺城月考）（1）如圖1，線段的一個端點O在直線l上，且與直線l所成的銳角為50°，以為一邊畫等腰三角形，并且使另一個頂點P在直線l上，這樣的等腰三角形能畫　 　個．
（2）如圖1，如果與直線l所成的銳角為60°，以為一邊畫等腰三角形，并使另一個頂點P在直線l上，這樣的等腰三角形能畫　 　個．
想一想：如圖2，中， ，過頂點C作一條直線，分割出一個等腰三角形這樣的直線最多可以畫　 　條．
算一算：如圖3，在中，，若存在過點C的一條直線，能把該三角形分成兩個等腰三角形，試求∠B的度數(shù)．
31．（2024八上·南山開學(xué)考）如果一個三角形被一條線段分割成兩個等腰三角形，那么這種分割叫做等腰分割，這條線段稱為這個三角形的等腰分割線．如圖1，當(dāng)和為等腰三角形時，為的等腰分割線．
（1）如圖2，中，，線段的垂直平分線交于點，交于點．求證：是的一條等腰分割線．
（2）如圖3，在中，，，，請你用兩種不同的方法完成的等腰分割，并直接寫出每種分割之后兩個等腰三角形的頂角度數(shù)．
（3）在中，為的等腰分割線，且，，請直接寫出的度數(shù)．
32．（2024八上·北京市期中）為等邊三角形，射線經(jīng)過點A，，畫點B關(guān)于射線的對稱點D，連接、交直線于點E．
（1）如圖，當(dāng)時
①依題意補(bǔ)全圖形；
②用等式表示線段、、的數(shù)量關(guān)系，并證明；
（2）若為等腰三角形，直接寫出的度數(shù)．
33．如圖，已知是等邊三角形，，點P從點A出發(fā)，沿射線以的速度運(yùn)動，過點P作交射線于點E，同時點Q從點C出發(fā)沿的延長線以的速度運(yùn)動，連接、，設(shè)點P的運(yùn)動時間為．
（1）當(dāng)點P在邊上，且不與點、重合時，求證：；
（2）直接寫出的長（用含t的代數(shù)式表示）；
（3）在不添加字母和連接其它線段的條件下，當(dāng)圖中等腰三角形的個數(shù)大于3時，直接寫出t的值和對應(yīng)的等腰三角形的個數(shù)．（請寫出所有的可能性）
答案解析部分
1．【答案】B
【知識點】三角形三邊關(guān)系；等腰三角形的性質(zhì)
【解析】【解答】解：當(dāng)腰為3，底邊為7時，由于3+3＜7，不能構(gòu)成三角形，故此種情況須舍去；
當(dāng)腰為7，底邊為3時，能構(gòu)成三角形，此時三角形的周長=7+7+3=17．
故答案為：B．
【分析】分腰為3和腰為7兩種情況并結(jié)合三角形的三邊關(guān)系解答即可．
2．【答案】C
【知識點】等腰三角形的概念
3．【答案】D
【知識點】三角形內(nèi)角和定理；等腰三角形的性質(zhì)
【解析】【解答】解：當(dāng)∠A是頂角時，，
當(dāng)∠C是頂角時，∠A=∠B=70°，
當(dāng)∠B是頂角時，，
故∠B的度數(shù)是40°或55°或70°，
故答案為：D．
【分析】由于所給∠A是銳角，故根據(jù)等腰三角形的兩底角相等及三角形的內(nèi)角和定理，分①當(dāng)∠A是頂角時，② 當(dāng)∠C是頂角時，③當(dāng)∠B是頂角時三種情況求解即可.
4．【答案】或
【知識點】等腰三角形的性質(zhì)
【解析】【解答】解：由已知等腰三角形的一個內(nèi)角為80°，可知：有兩種情況：
①如果這個角是頂角，那么可知： 這個等腰三角形頂角的度數(shù)為 80°；
②如果這個角是底角時，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)：等腰三角形，兩底角相等，∴另一個底角也是80°。由三角形內(nèi)角和為180°可知：頂角是20°.
綜上所述： 一等腰三角形的一個內(nèi)角為80° ，這個等腰三角形頂角的度數(shù)為：80°或20°.
【分析】由于已知沒有說這個80°的內(nèi)角是這個等腰三角形的底角還是頂角，所以要分兩種情況討論：這個角是底角時或這個角是頂角時。再結(jié)合三角形內(nèi)角和是180度，即可得到答案.
5．【答案】5
【知識點】三角形三邊關(guān)系；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：∵一個等腰三角形的三邊長分別為x，2x，5x-3，
∴x=5x-3或2x=5x-3，
當(dāng)x=5x-3時，有，
∴，
∵，
∴此時三邊不構(gòu)成三角形；
當(dāng)2x=5x-3時，有x=1，
∴2x=5x-3=2，
∵1+2=3>2，
∴此時三邊構(gòu)成三角形；
綜上，這個等腰三角形的周長為2+2+1=5，
故答案為：5.
【分析】由于未明確哪條邊作為等腰三角形的腰和底邊，則需分類討論，明顯x≠2x，于是分兩種情況討論：x=5x-3或2x=5x-3，然后解方程求出x的值，得每條邊的長，最后利用三角形三邊關(guān)系即可求解.
6．【答案】（1）①√；②×；③√
（2）解：，，，
∵平分，
，
，
∴是等腰三角形，
，，，
為的“等角分割線”；
（3）或或或
【知識點】三角形外角的概念及性質(zhì)；等腰三角形的判定與性質(zhì)
【解析】【解答】解：（1）①根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可知三角形對應(yīng)角相等，則有全等三角形是“等角三角形”成立；
②根據(jù)題意可以寫出三對“等角三角形”，分別為與，與，與，答案錯誤；
③假設(shè)與成“等角三角形”，則要為等腰三角形，
∵，
∴，
∴，
∴，則，與矛盾；
同理如果與成“等角三角形”，也有上述結(jié)論，
故無論為何值，都不可能是的“等角分割線”正確．
（3）①當(dāng)是等腰三角形，時，，
∴；
②當(dāng)是等腰三角形，時，，
∴，
∴；
③當(dāng)是等腰三角形，時，，
∴；
④當(dāng)是等腰三角形，時，，
設(shè)，則，
則，
∵，解得，
∴，
∴；
故的度數(shù)為或或或．
【分析】（1）①根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可判斷；②根據(jù)題意可以寫出三對等角三角形可判斷②錯誤；③如果與成“等角三角形”，則要為等腰三角形，根據(jù)等角三角形的定義即可判斷；
（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到，由角平分線的定義得，則有，然后根據(jù)等角三角形的定義即可證明；
（3）分類討論：當(dāng)是等腰三角形，和，當(dāng)是等腰三角形，和，等腰三角形的性質(zhì)、等角分割線定義和三角形外角和求得；
（1）解：①根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可知三角形對應(yīng)角相等，則有全等三角形是“等角三角形”成立；
②根據(jù)題意可以寫出三對“等角三角形”，分別為與，與，與，答案錯誤；
③假設(shè)與成“等角三角形”，則要為等腰三角形，
∵，
∴，
∴，
∴，則，與矛盾；
同理如果與成“等角三角形”，也有上述結(jié)論，
故無論為何值，都不可能是的“等角分割線”正確．
（2），，
，
∵平分，
，
，
∴是等腰三角形，
，，，
為的“等角分割線”；
（3）解：①當(dāng)是等腰三角形，時，，
∴；
②當(dāng)是等腰三角形，時，，
∴，
∴；
③當(dāng)是等腰三角形，時，，
∴；
④當(dāng)是等腰三角形，時，，
設(shè)，則，
則，
∵，解得，
∴，
∴；
故的度數(shù)為或或或．
7．【答案】（1）若∠A為頂角，則∠B＝（180°﹣∠A）÷2＝35°；
若∠A為底角，∠B為頂角，則∠B＝180°﹣2×70°＝40°；
若∠A為底角，∠B為底角，則∠B＝70°；
∴∠B＝35°或40°或70°
（2）解：①當(dāng) 時，∠A 只能為頂角，∴∠B 的度數(shù)只有一個.
②當(dāng) 時，若∠A 為頂角，則 若∠A 為底角，則. 或∠B=(180-2x)°，當(dāng) 且 且180-2x≠x，即x≠60時，∠B 有三個不同的度數(shù).
綜上，當(dāng)0【知識點】三角形內(nèi)角和定理；等腰三角形的性質(zhì)
【解析】【分析】（1）本題問 在等腰三角形ABC 中，∠A=80°，求∠B 的度數(shù) ，由于∠A和∠B的位置不確定，所以需進(jìn)行分類討論，在等腰三角形中，角可分為頂角和底角，所以可分為：①∠A為頂角，則∠B必為底角；②∠為底角，則∠B可為頂角或底角，在此分類下需進(jìn)行再次分類討論即可；
（2）通過（1）問的三個問題，我們發(fā)現(xiàn)，∠B的度數(shù)的個數(shù)∠A度數(shù)的影響，例1中，∠A為鈍角，∠B的度數(shù)只有一種可能，例2中，∠A為銳角，∠B的度數(shù)有三種可能，變式里，∠B的度數(shù)同樣有三種可能，所以在分類討論時，可把∠A分為鈍角和銳角進(jìn)行討論.
8．【答案】A
【知識點】三角形三邊關(guān)系；二元一次方程組的應(yīng)用-幾何問題；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：設(shè)等腰三角形的腰長xcm，底邊長分別為ycm，
由題意得：
或，
解得或，
當(dāng)時，該等腰三角形的三邊長為，，，
∵，
∴不能組成三角形，故舍去；
當(dāng)時，該等腰三角形的三邊長為，，，能構(gòu)成三角形，
∴該等腰三角形的底邊為，
故答案為：A．
【分析】設(shè)等腰三角形的腰長和底邊長分別為、，根據(jù)題意分兩種情況，分別列關(guān)于x、y的二元一次方程組，解方程組求出x、y的值，然后由三角形三邊關(guān)系定理“三角形任意兩邊之和大于第三邊”檢驗即可判斷求解．
9．【答案】A
【知識點】等邊三角形的性質(zhì)；含30°角的直角三角形；三角形全等的判定-SAS
10．【答案】C
【知識點】三角形內(nèi)角和定理；三角形外角的概念及性質(zhì)；線段垂直平分線的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)
11．【答案】
【知識點】三角形三邊關(guān)系；二元一次方程組的應(yīng)用-幾何問題；等腰三角形的概念
12．【答案】或
【知識點】三角形內(nèi)角和定理；三角形外角的概念及性質(zhì)；線段垂直平分線的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)
13．【答案】50°或
【知識點】三角形內(nèi)角和定理；線段垂直平分線的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；直角三角形的性質(zhì)
14．【答案】或
【知識點】三角形內(nèi)角和定理；線段垂直平分線的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；多邊形內(nèi)角與外角
15．【答案】2或3或5
【知識點】等邊三角形的判定與性質(zhì)；含30°角的直角三角形；勾股定理；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)
16．【答案】（1）
（2），
（3）解：如圖，作的垂直平分線交于點，連接，作的垂直平分線交于點，連接，
∴，，
∴，都是等腰三角形，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形，
∴圖中出現(xiàn)的等腰三角形是，和．
【知識點】線段垂直平分線的性質(zhì)；等腰三角形的判定與性質(zhì)；直角三角形的性質(zhì)
【解析】【解答】（1）解：∵的垂直平分線交于點，
∴，
∴是等腰三角形，
∴圖中出現(xiàn)的等腰三角形是，
故答案為：；
（2）解：∵的垂直平分線交于點，
∴，
∴是等腰三角形，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形，
∴圖中出現(xiàn)的等腰三角形是，，
故答案為：，；
【分析】（1）根據(jù)垂直平分線性質(zhì)可得，再根據(jù)等腰直角三角形判定定理即可求出答案.
（2）根據(jù)垂直平分線性質(zhì)可得，再根據(jù)等腰三角形判定定理可得是等腰三角形，，再根據(jù)角之間的關(guān)系可得，再根據(jù)等腰三角形判定定理即可求出答案.
（3）作的垂直平分線交于點，連接，作的垂直平分線交于點，連接，根據(jù)垂直平分線性質(zhì)可得，，再根據(jù)等腰三角形判定定理可得，都是等腰三角形，，再根據(jù)角之間的關(guān)系可得，再根據(jù)等腰三角形判定定理即可求出答案.
（1）解：∵的垂直平分線交于點，
∴，
∴是等腰三角形，
∴圖中出現(xiàn)的等腰三角形是，
故答案為：；
（2）解：∵的垂直平分線交于點，
∴，
∴是等腰三角形，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形，
∴圖中出現(xiàn)的等腰三角形是，，
故答案為：，；
（3）解：如圖，作的垂直平分線交于點，連接，作的垂直平分線交于點，連接，
∴，，
∴，都是等腰三角形，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形，
∴圖中出現(xiàn)的等腰三角形是，和．
17．【答案】（1）假
（2）解：存在“和諧分割線”，理由如下：作的平分線交于點，如圖
，，
，
，
在中，，
的三個內(nèi)角與的三個內(nèi)角相等，
，
是等腰三角形，
是“和諧分割線”；
過點作交于，如圖，
，
，，
，
．
（3）解：
①如圖所示：
當(dāng)時，
，
根據(jù)“和諧分割線”的概念可知，，
，
，
，
解得；
②如圖所示：
當(dāng)時，
，
根據(jù)“和諧分割線”的概念可知，，
，
，
解得；
綜上所述：的值為或．
【知識點】三角形內(nèi)角和定理；三角形外角的概念及性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)；勾股定理
【解析】【解答】
（1）
解：等邊三角形過一個頂點的線段不能分成一個等邊三角形和一個等腰三角形，等邊三角形存在“和諧分割線”是假命題．
故答案為：假．
【分析】
（1）由“和諧分割線”的概念知等邊三角形中不可能存在“和諧分割線”；
（2）由直角三角形兩銳角互余可得，則作的平分線交于點，則，即為“和諧分割線”，再在中應(yīng)用特殊角的性質(zhì)結(jié)合勾股定理即可求出的長；
（3）由“和諧分割線”的概念可分兩種情況討論：①當(dāng)時，則，又，則，再由三角形的內(nèi)角和定理可得，再求解即可；
②當(dāng)時，則，又，則由三角形的外角性質(zhì)知，再由三角形內(nèi)角和定理知，再求解即可．
（1）解：等邊三角形過一個頂點的線段不能分成一個等邊三角形和一個等腰三角形，
等邊三角形存在“和諧分割線”是假命題．
故答案為：假．
（2）解：存在“和諧分割線”，理由如下：
作的平分線交于點，如圖
，，
，
，
在中，，
的三個內(nèi)角與的三個內(nèi)角相等，
，
是等腰三角形，
是“和諧分割線”；
過點作交于，如圖，
，
，，
，
．
（3）解：①當(dāng)時，
，
根據(jù)“和諧分割線”的概念可知，，
，
，
，
解得；
②當(dāng)時，
，
根據(jù)“和諧分割線”的概念可知，，
，
，
解得；
綜上所述：的值為或．
18．【答案】6；12或13或
【知識點】等腰三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理
19．【答案】0或或 （不化簡也對）
【知識點】等腰三角形的判定與性質(zhì)；含30°角的直角三角形；勾股定理；等腰直角三角形；分類討論
【解析】【解答】解：在點P滑動過程中，為等腰三角形，共三種情況，
①當(dāng)時，則
∴
過點P作于D，如圖，
則為等腰直角三角形，
∴
∵
∴
在中，
∴
∵
∴
∴
∴
②當(dāng)時，則
∴如圖，
在中，
∴
∴
∴
∴
③當(dāng)時，則
此時點B與點P重合，點D與點A重合，過點C作于E，如圖，
∴
綜上所述，點與點的距離BP為：0或或
故答案為：0或或.
【分析】在點P滑動過程中，為等腰三角形，需分三種情況討論，①當(dāng)時，則進(jìn)而得到過點P作于D，則為等腰直角三角形，然后根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)和含30°角的直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理求出BP即可；②當(dāng)時，則進(jìn)而得到然后在中根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理求出BP即可；③當(dāng)時，則此時點B與點P重合，點D與點A重合，過點C作于E，由此可得到BP的長度，綜上所述即可求解.
20．【答案】4或
【知識點】等腰三角形的性質(zhì)；含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【解答】①如圖，當(dāng)AB=BC時，滿足△PBC是等腰三角形的點P有且只有3個，
△P1BC，△P2BC是等腰直角三角形，△P3BC是等腰三角形(P3B=P3C).
則AB=BC=4.
②當(dāng)AB則△P2BC是等邊三角形，可知P2是AD的中點，BC=BP1=BP2=CP2=CP3，
在Rt△ABP2中，∵BP2=4，∠ABP2=30°，
∴AP2=2，
∴AB=.
③當(dāng)AB>BC時，直線AD上只有一個點P滿足△PBC是等腰三角形.
故答案為4或.
【分析】分三種情況：AB=AD，AB當(dāng)AB=AD時，AB=BC=4；
當(dāng)AB當(dāng)AB>BC時，不符合題意.
21．【答案】或或
【知識點】三角形的面積；等腰三角形的性質(zhì)；勾股定理
【解析】【解答】解： 在中由勾股定理可得：
①當(dāng)AB=BF=10時，
因為BC=6，
所以
在中由勾股定理可得：
又因為
所以
又在中：
所以
②當(dāng)AF=BF時，
因為
所以
所以
③當(dāng)時，
因為
所以
又
所以
由勾股定理得：
所以
所以綜上：t的值為或或.
故答案為：或或.
【分析】分AB=BF=10、AF=BF、三種情況，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，運(yùn)用勾股定理及等面積法進(jìn)行計算即可求解.
22．【答案】（1）2
（2）①當(dāng)P在AB上時，△PCD為等腰三角形，
∴ ，
在矩形ABCD中， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ .
②當(dāng)P在BC上時，△DCP為等腰三角形，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
③當(dāng)P在AD上時，△DCP為等腰三角形，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
綜上所述或或時，△CDP為等腰三角形．
（3）根據(jù)題意，如圖，連接CQ，則AB＝CD＝4，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝，DQ＝5，
∴要使一個三角形與△DCQ全等，則另一條直角邊必須等于DQ，
①當(dāng)點P運(yùn)動到時，C＝DQ＝5，此時△DCQ≌△CD，
∴點P的路程為：AB＋B＝4＋1＝5，
∴t＝5÷2＝2.5s，
②當(dāng)點P運(yùn)動到時，B＝DQ＝5，此時△CDQ≌△AB，
∴點P的路程為：AB＋B＝4＋5＝9，
∴t＝9÷2＝4.5s，
③當(dāng)點P運(yùn)動到時，A＝DQ＝5，此時△CDQ≌△AB，
∴點P的路程為：AB＋BC＋CD＋D＝4＋6＋4＋1＝15，
∴t＝15÷2＝7.5s，
④當(dāng)點P運(yùn)動到時，即P與Q重合時，D＝DQ＝5，此時△CDQ≌△CD，
∴點P的路程為：AB＋BC＋CD＋D＝4＋6＋4＋5＝19，
∴t＝19÷2＝9.5s，
綜上所述，時間的值可以是：t＝2.5s，4.5s，7.5s或9.5s．
【知識點】三角形全等及其性質(zhì)；等腰三角形的判定與性質(zhì)；矩形的性質(zhì)；四邊形-動點問題
【解析】【解答】解：（1）當(dāng)t＝3秒時，點P走過的路程為：2×3＝6，
∵AB＝4，
∴點P運(yùn)動到線段BC上，
∴BP＝6 4＝2cm，
故答案是：2；
【分析】（1）根據(jù)題意知點P的速度為2cm/秒，當(dāng)t＝3秒時，運(yùn)動路程為6cm，此時點P運(yùn)動到線段BC上，然后得到BP的長度；
（2）根據(jù)題意可知點P分別在AB、BC、 CD和AD 上運(yùn)動，要使△CDP為等腰三角形，分情況討論：①當(dāng)P在CD上時，不存在三角形；②當(dāng)點P在AB上時，PC=PD；③當(dāng)P在BC上時，CD=CP；④當(dāng)P在AD上時，CD=DP，分別計算點P的路徑長即可計算出時間．
（3）根據(jù)題意， 連接CQ ，要使一個三角形與△DCQ全等， 則另一條直角邊必須等于DQ ，然后確定則點P的位置可以有四個，根據(jù)點P運(yùn)動的位置，即可計算出時間．
23．【答案】（1）2；（2）存在，；（3）存在，
【知識點】線段垂直平分線的性質(zhì)；等腰三角形的概念
24．【答案】A
【知識點】三角形三邊關(guān)系；等腰三角形的概念
25．【答案】D
【知識點】三角形全等及其性質(zhì)；線段垂直平分線的性質(zhì)；等腰三角形的判定與性質(zhì)
26．【答案】36°或126°或72°
【知識點】等腰三角形的性質(zhì)
【解析】【解答】解：如圖，
第一種情況，當(dāng)AB=BD1時，∵∠CAB=108°，∴ ∠ABC=36°，
∵ AB=BD1，∴ ∠D1AB=∠D1=18°，∴ ∠D1AC=∠D1AB+∠CAB=126°；
第二種情況，當(dāng)AB=BD2時，∵∠CAB=108°，∴ ∠ABC=36°，
∵AB=BD2，∴ ∠BAD2=72°，∴ ∠D2AC=∠CAB-∠BAD2=36°；
第三種情況，當(dāng)AD3=BD3時，∵∠CAB=108°，∴ ∠ABC=36°，
∵AC=BD3，∴ ∠BAD3=36°，∴∠D3AC=∠CAB-∠BAD3=72°；
綜上∠DAC=36°或126°或72°.
故答案為：36°或126°或72°.
【分析】分三種情況，畫出圖形，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)分別計算即可求出.
27．【答案】
【知識點】等腰三角形的概念
28．【答案】解：如圖，即為所求.
【知識點】等腰三角形的對稱性；尺規(guī)作圖-等腰（等邊）三角形
【解析】【分析】分兩種情況進(jìn)行討論：當(dāng)AD或BD所在直線作為等腰三角形對稱軸時，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)直接畫出圖形即可.
29．【答案】解：
【知識點】等腰三角形的概念
【解析】【分析】根據(jù)等腰三角形的特點，等腰三角形的腰是相等的，這樣可以畫出腰為5等腰直角三角形，還可以畫出角度完全不同的兩個腰為5的等腰三角形.
30．【答案】（1）4；（2）2；想一想：5；算一算：5°或20°或80°或140°或42.5°．
【知識點】三角形內(nèi)角和定理；等腰三角形的性質(zhì)；等腰三角形的概念
31．【答案】（1）證明：是的垂直平分線，
，
，是等腰三角形，
，
，
，
，
是等腰三角形，
是的一條等腰分割線.
（2）第一種：等腰的頂角，等腰的頂角；第二種：等腰的頂角，等腰的頂角；等腰分割見解析
（3）或或
【知識點】三角形內(nèi)角和定理；線段垂直平分線的性質(zhì)；等腰三角形的判定與性質(zhì)；分類討論
【解析】【解答】解：（2）解：如圖1，
第一種：等腰的頂角，等腰的頂角；
第二種：等腰的頂角，等腰的頂角．
（3）解：如圖2，
當(dāng)，時，，
如圖3，
當(dāng)，時，，
如圖4，
當(dāng)，時，，
綜上所述：或或。
【分析】（1）根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)，可得AE=CE，然后再根據(jù)是等腰三角形，易證，，進(jìn)而即可求解。
（2）根據(jù)題意，可分為兩種情況：當(dāng)AC是腰時，然后再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和等腰分割的定義，可得AD=AC，AD=BD；當(dāng)AC是底時，然后再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和等腰分割的定義，可得，AD=CD，AB=BD，據(jù)此即可畫出圖形；
（3）根據(jù)等腰分割的定義，可將情況分為：AD=AC，AD=CD及AC=CD三種情形，然后再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，即可求解。
（1）證明：是的垂直平分線，
，
，是等腰三角形，
，
，
，
，
是等腰三角形，
是的一條等腰分割線；
（2）解：如圖1，
第一種：等腰的頂角，等腰的頂角；
第二種：等腰的頂角，等腰的頂角．
（3）解：如圖2，
當(dāng)，時，，
如圖3，
當(dāng)，時，，
如圖4，
當(dāng)，時，，
綜上所述：或或．
32．【答案】（1）解：①過點作的垂線，交于點，截取，則點是點關(guān)于射線的對稱點，連接、交直線于點E，如圖：
②，證明如下：
在上截取，如圖：
∵是等邊三角形，
∴
由對稱可知：
，
∵，
∴，，
∵
∴，
由對稱可知：，，
∴，
∴是等邊三角形，
∴， ，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）的值為或．
【知識點】三角形外角的概念及性質(zhì)；線段垂直平分線的性質(zhì)；等邊三角形的判定與性質(zhì)
【解析】【解答】（2）解：當(dāng)是等腰三角形，①當(dāng)時，如圖：
∵垂直平分，
∴，
∴，
∴是等邊三角形，
∴；
②當(dāng)時，如圖：
∴垂直平分，
∵垂直平分，
，
③當(dāng)時，如圖：
∴垂直平分，
∴，，三點在同一條直線上，
(不合題意，舍去)，
綜上所述，是等腰三角形，的值為或．
【分析】本題考查等邊三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)．
（1）①根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得：過點作的垂線，交于點，截取，連接、交直線于點E；
②在上截取，則是等邊三角形，利用等邊三角形的性質(zhì)可得：利用對稱的性質(zhì)可得：利用角的運(yùn)算可推出，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可推出，利用全等三角形的判定定理可證明，利用全等三角形的性質(zhì)可得：，根據(jù)，利用線段的運(yùn)算可證明；
（2）分三種情況：①當(dāng)時，②當(dāng)時，③當(dāng)時，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，利用線段垂直平分線的性質(zhì)，再結(jié)合三點共線的性質(zhì)可求出角的度數(shù)．
（1）解：①過點作的垂線，交于點，截取，則點是點關(guān)于射線的對稱點，連接、交直線于點E，如圖：
②，證明如下：
在上截取，如圖：
∵是等邊三角形，
∴
由對稱可知：
，
∵，
∴，，
∵
∴，
由對稱可知：，，
∴，
∴是等邊三角形，
∴， ，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：當(dāng)是等腰三角形，
①當(dāng)時，如圖：
∵垂直平分，
∴，
∴，
∴是等邊三角形，
∴；
②當(dāng)時，如圖：
∴垂直平分，
∵垂直平分，
，
③當(dāng)時，如圖：
∴垂直平分，
∴，，三點在同一條直線上，
(不合題意，舍去)，
綜上所述，是等腰三角形，的值為或．
33．【答案】（1）證明：∵是等邊三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，，
∴是等邊三角形，，
∴，
∴，
根據(jù)點的運(yùn)動過程可知，，
∴，
在和中，
，
∴
（2）解：根據(jù)題意可知，點從點到點所需時間為，
當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
答：當(dāng)時，的長為；當(dāng)時，的長為
（3）解：當(dāng)時，如圖，
有5個等腰三角形：、、、、，
當(dāng)時，如圖，有4個等腰三角形：、、、，
答：當(dāng)時，等腰三角形有5個；當(dāng)時，等腰三角形有4個
【知識點】等邊三角形的判定與性質(zhì)；三角形全等的判定-SAS；三角形-動點問題
【解析】【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)證明△APE兩個角是60°，然后根據(jù)SAS證明△BPE≌△ECQ；
（2）先表示AP＝AE＝t，當(dāng)E在AC上時，EC＝2 t，當(dāng)E在射線AC上時，EC＝t 2；
（3）當(dāng)t＝1和t＝4時，圖中等腰三角形的個數(shù)大于3，根據(jù)圖形寫出等腰三角形即可．
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