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浙教版數學八年級上學期重難點復習5：一元一次不等式（組）含參問題
一、根據不等式(組)的解集求參數
1．（2025八上·麗水期末）已知不等式組的解為，則下列各式正確的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知識點】解一元一次不等式組
【解析】【解答】解：∵不等式組的解為，
∴
∴
即a>b.
故答案為：A.
【分析】不等式組的解集確定規律“同大取較大，同小取較小，小大大小中間找，大大小小解不了”，由此列出再根據不等式的基本性質即可作答.
2． 若關于x的不等式組 的解集為x<3，則k的取值范圍為(　　)
A．k>1 B．k<1 C．k≥1 D．k≤1
【答案】C
【知識點】一元一次不等式組的含參問題
【解析】【解答】
由得 x<3
由得 x不等式組的解集為x<3
k+23
即 k≥1
故答案為：D
【分析】先求出不等式組中每個不等式的解集，根據不等式組的解集為x<3可得k+23，則k≥1。
3．（2024八上·杭州期中）不等式組的解集是，則的取值范圍是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知識點】一元一次不等式組的含參問題
【解析】【解答】解：解不等式，
可得：，
∵原不等式組的解集是，
∴，
解得：，
故答案為：C．
【分析】先求出不等式組中的每一個不等式的解集，再根據不等式的解集為x＞2，可得到關于m的不等式，解不等式求出m的取值范圍.
4．（2025八上·余姚期末）關于x的不等式組有四個整數解，則a的取值范圍是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知識點】一元一次不等式組的特殊解
【解析】【解答】解：解不等式得，，
解不等式得，，
∵關于x的不等式組有四個整數解，
∴ 該不等式組的解集為8＜x＜2-4a，
∵的四個整數是9，10，11，12，
∴，
解得，
∴a的取值范圍是，
故答案為：A．
【分析】首先根據解不等式的步驟分別解出不等式中每一個不等式的解集，再根據不等式組有且只有四個整數解，結合口訣“大小小大中間找”得到該不等式組的解集，然后找出解集范圍內的四個整數解，即可得出a的取值范圍．
5．（2023八上·寧波月考）若不等式有解，則實數最小值是　 　 ．
【答案】4
【知識點】解一元一次不等式；一元一次不等式組的特殊解
【解析】【解答】解：當x＜1時， ，-2(x-1)-3(x-3)≤a，
解得，x≥，
∵ x＜1，
∴＜1，
∴ a＞6；
當1≤x≤3時，
∴2(x-1)-3(x-3)≤a，
解得，x≥7-a，
∴1≤7-a≤3，
解之：4≤a≤6；
當x＞3時，原不等式變形為
2（x-1）+3（x-3）≤a，
解之：x≤，
∴＞3，
解之：a＞4，
∴實數a的最小值為4.
故答案為：4.
【分析】分情況討論：當x＜1時，可緩解絕對值，可得到不等式的解集為x≥，代入可得到關于a的不等式，解不等式求出a的取值范圍；當1≤x≤3時，可得到x≥7-a，據此可得到關于a的不等式，然后求出a的取值范圍；當x＞3時可得到x≤，據此可得到關于a的不等式，然后求出a的取值范圍；根據a的取值范圍，可得到a的最小值.
6．（2019八上·無錫開學考）是否存在這樣的整數m，使得關于x，y的方程組 的解滿足x<0且y>0？若存在，求出整數m；若不存在，請說明理由。
【答案】解：解方程組 得： ，
根據題意，得： ，
解得：-2＜m＜1
則整數m=-1，0.
【知識點】解二元一次方程組；解一元一次不等式組；一元一次不等式組的特殊解
【解析】【分析】觀察方程組中同一個未知數的系數特點：y的系數互為相反數，因此將兩方程相加，消去y，可求出x的值，再將y的值代入原方程組中的第一個方程，求出x的值，即可得到方程組的解；再根據x<0且y>0，建立關于m的不等式組，解不等式組求出m的取值范圍，就可得到整數m的值。
7． 已知關于x，y的方程組 的解滿足x為非正數，y為負數，求a的取值范圍.
【答案】解：
得 2x=2a-6，x=a-3
得 2y=-8-4a，y=-4-2a
x為非正數，y為負數，
a-30，即a≤3
-4-2a<0，即a>-2
-2【知識點】不等式組和二元一次方程（組）的綜合應用
【解析】【分析】方程組的兩個方程相加可得x=a-3，相減可得y=-4-2a，由x為非正數和y為負數可得a-30，即a≤3，-4-2a<0，即a>-2，則a的取值范圍為-28．（2024八上·天心開學考）若一個不等式組A有解且解集為，則稱為A的解集中點值，若A的解集中點值是不等式組B的解(即中點值滿足不等式組)，則稱不等式組B對于不等式組A中點包含．
（1）已知關于的不等式組：，以及不等式：，請判斷不等式對于不等式組是否中點包含，并寫出判斷過程；
（2）已知關于的不等式組：和不等式組：，若對于不等式組中點包含，求的取值范圍．
（3）關于的不等式組：和不等式組：，若不等式組對于不等式組中點包含，且所有符合要求的整數之和為，求的取值范圍．
【答案】（1）解：不等式對于不等式組中點包含，判斷過程如下：
解不等式組：，得，
的中點值為，
在范圍內，
不等式對于不等式組中點包含；
（2）解：對于不等式組中點包含，
不等式組和不等式組有解，
解不等式組：，得，
不等式組：，得，
，
解得：，
當時，不等式組的解集為，不等式組的解集為，
的中點值為，
對于不等式組中點包含，
，
解得：，
又，
．
（3）解：解不等式組得，，解不等式組得，，
的中點值為，
不等式組對于不等式組中點包含，
，
解得：，
所有符合要求的整數之和為，
整數可取，、，，或整數可取、、、、、，．
或．
【知識點】解一元一次不等式組；一元一次不等式組的含參問題
【解析】【分析】（1）先求出不等式組A的解集，再結合A的中點值為，最后判斷即可；
（2）先求出不等式組C和D的解集，再求出C的中點值為，結合D對于不等式組中點包含，可得，最后求出m的取值范圍即可；
（3）先求出不等式組E和F的解集，再結合不等式組對于不等式組中點包含，可得，求出m的取值范圍，再求出n的取值范圍即可.
二、有解無解問題
9．（2025八上·余姚期末）若關于 的方程 的解為自然數，且關于 的不等式組 無解，則符合條件的整數 的值的和為（ ）
A．5 B．2 C．4 D．6
【答案】C
【知識點】解一元一次不等式組
【解析】【解答】解：∵ 關于 的不等式組 無解，不等式組變形得到，∴k＞-1；
變形為，
∵ 方程 的解為自然數 ，
∴9-3k≥0，綜合得到 1 當k=0時，
當k=1時，
當k=2時，
當k=3時，
∴只有當k=1、3，滿足整數 和方程 的解為自然數的條件。
∴ 符合條件的整數 的值的和為1+3=4.
故答案為：C。
【分析】本題首先求出不等式組中x的取值范圍，然后根據“x無解”確定k＞-1；隨后將關于x的方程變形，因為方程的解為自然數，而最小的自然數是0，這樣就可以進一步確定k的取值范圍。最后在k的取值范圍內分別計算出k的整數對應的x的值，滿足x是整數的值對應的k的值就是“符合條件的整數 的值”，最后求和即可。
10．（2023八上·長沙開學考）已知關于的不等式組無解，則的取值范圍是　 　．
【答案】
【知識點】一元一次不等式組的特殊解
【解析】【解答】解：解5-2x＞-3，解得：x＜4
解x-a＞0，解得：x＞a
此不等式無解，故a≥4
故答案為：a≥4
【分析】先把a看作已知數把兩個不等式分別解出來，再由不等式組解題口訣求解即可。
11．（1）不等式組有解，求利用數軸m的取值范圍．
（2）表示不等式組{x＞ax＞b的解集如圖所示，求不等式組{x＜ax≤b的解集．
【答案】解：（1）m＜8；
（2）不等式組的解集圖示，可得a＜b，
則不等式組的解集是：x＜a．
【知識點】在數軸上表示不等式組的解集；解一元一次不等式組
【解析】【分析】根據不等式組解集的確定方法：同大取較大，同小取較小，小大大小中間找，大大小小解不了，即可求解．
12．（2024八上·新會開學考）若不等式（組）①的解集中的任意解都滿足不等式（組）②，則稱不等式（組）①被不等式（組）②“包含”，其中不等式（組）①與不等式（組）②均有解．
例如：不等式被不等式“包含”．
（1）下列不等式（組）中，能被不等式“包含”的是 ．
A、 B、 C、 D、
（2）若關于x的不等式被“包含”，若且，求M的最小值．
（3）已知 ，，且k為整數，關于x的不等式P：，Q：，請分析是否存在k，使得P和Q存在“包含”關系，且Q被P“包含”，若存在，請求出k的值，若不存在，請說明理由．
【答案】（1）C
（2）解：關于x的不等式被“包含”，
∴
解得 ，
又∵，
解得．
∴，
∵，
∴，
∴M的最小值是19。
（3）解：解方程組得
∵，，
∴
解得，
∵k為整數，
∴k的值為，0，1，2；
不等式P：整理得，；
不等式Q：的解集為 ，
∵P和Q存在“包含”關系，且Q被P“包含”
∴不等式P：的解集為 ，
∴，且，
解得，
∴。
【知識點】解一元一次不等式；解一元一次不等式組；加減消元法解二元一次方程組
【解析】【解答】（1）解：A、不等式的解集為，
∴不等式不能被不等式“包含”，不符合題意
B、不等式的解集為，
∴不等式不能被不等式“包含”，不符合題意
C、不等式的解集為，
∴不等式能被不等式“包含”，符合題意
D、不等式組無解，
∴不等式組不能被不等式“包含”，不符合題意
故答案為：C。
【分析】（1）對選項中的各個不等式和不等式組進行求解，然后再根據題干要求，確定即可。
（2）根據題干信息，可得，求出a的解集，然后再根據已知條件：，求出b、c關于a的關系式，然后再將以上關系式代入 ，求出，最后再結合a的取值，即可求出M的最小值。
（3）根據已知條件，解方程組：解方程組，求出m、n關于k的值，然后再根據，，求出，然后再根據K的取值特性，求出k的值；最后再根據P、Q之間的包含關系：，進而求出k的，由此即可得到答案。
（1）解：A、不等式的解集為，
∴不等式不能被不等式“包含”，不符合題意
B、不等式的解集為，
∴不等式不能被不等式“包含”，不符合題意
C、不等式的解集為，
∴不等式能被不等式“包含”，符合題意
D、不等式組無解，
∴不等式組不能被不等式“包含”，不符合題意
故選C；
（2）解：關于x的不等式被“包含”，
∴
解得 ，
又∵，
解得．
∴，
∵，
∴，
∴M的最小值是19．
（3）解：解方程組得
∵，，
∴
解得，
∵k為整數，
∴k的值為，0，1，2；
不等式P：整理得，；不等式Q：的解集為 ，
∵P和Q存在“包含”關系，且Q被P“包含”
∴不等式P：的解集為 ，
∴，且，
解得，
∴．
三、整數解問題
13．（2024八上·婺城期末）已知關于x的不等式組的整數解為1，2（其中m，n為整數），則滿足條件的共有（　　）
A．1對 B．2對 C．3對 D．4對
【答案】C
【知識點】解一元一次不等式組；一元一次不等式組的特殊解；一元一次不等式組的含參問題
【解析】【解答】解：解不等式得，；
解不等式得，；
∵不等式組的整數解為1，2，
∴，且，
則，．
∵，為整數，
∴，，8，9，
∴滿足條件的（m，n）共有3對．
故選：C.
【分析】根據所給不等式組的整數解為1，2，得出，的取值范圍，再根據，為整數即可解決問題．
14．（2025八上·蒼南期末）不等式x-3≤0的非負整數解有（　　）個
A．3 B．4 C．2 D．5
【答案】B
【知識點】一元一次不等式的特殊解
【解析】【解答】解：x-3≤0
x≤3
∴非負整數解有：0，1，2，3共4個。
故答案為：B.
【分析】 本題考查不等式的非負整數解的求解方法 . 解決此類問題的關鍵在于準確理解題目要求的非負整數解，先求出解集，再篩選出符合條件的整數解。解題過程中，清晰地列出了滿足條件的整數解，確保了答案的準確性。
15．（2021八上·金東期中）不等式 的整數解是1，2，3，4.則實數a的取值范圍是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知識點】一元一次不等式組的特殊解
【解析】【解答】解：
顯然：
當 時，不等式的解集為： ，
不等式沒有正整數解，不符合題意，
當 時，不等式的解集為：
不等式 的整數解是1，2，3，4，
由①得：
由②得：
所以不等式組的解集為：
故答案為：A.
【分析】當a>0時，不等式組的解集為：≤x≤，此時不等式組沒有正整數解；當a<0時，不等式組的解集為≤x≤，結合不等式組的整數解可得0<≤1、4≤<5，聯立可得a的范圍.
16．（2020八上·下城期末）設m，n是實數，a，b是正整數，若 ，則（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知識點】不等式的性質
【解析】【解答】解：m，n是實數，則 、 和 都有可能，
①當 時，
∵ ，a，b是正整數
∴ ，
∴ ，
此時四個選項均成立；
②當 時，
a和b的大小不能確定，
此時A、B不一定成立，C不成立，D一定成立；
③當 時，
∵ ，a，b是正整數
∴ ，
∴ ，
此時A、B不成立，C、D成立；
綜上可知D一定成立，
故答案為：D.
【分析】分別討論 、 和 ，利用不等式的性質進行判斷.
17．（2023八上·蕭山月考）若不等式組，若不等式組有解，則a的取值范圍是　 　，若不等式組剛好有兩個整數解，則a的取值范圍是　 　．
【答案】a＞-1；1≤a＜2
【知識點】一元一次不等式的特殊解；解一元一次不等式組
【解析】【解答】解： x+a≥0，則x≥-a；
1-2x＞x-2，則x＜1；
若不等式組有解，則-a＜1，a＞-1.
若不等式組剛好有兩個整數解，則-2＜-a≤-1，解得：1≤a＜2.
故答案為：a＞-1，1≤a＜2.
【分析】先解出兩個不等式的解集，根據不等式組有解，可得-a＜1，即可求得a的取值范圍；再根據不等式組剛好有兩個整數解，可得-2＜-a≤-1，即可求得.
18．（2023八上·佳木斯開學考）關于x的不等式組只有4個整數解，則a的取值范圍是　 　．
【答案】
【知識點】解一元一次不等式組；一元一次不等式組的特殊解
【解析】【解答】解： 解不等式，得x≤4，
解不等式，得a-2＜x，
∴不等式組的解為：a-2＜x≤4，
∵關于x的不等式組只有4個整數解，
∴這4個整數分別是4，3，2，1，
∴
解得.
故答案為：.
【分析】先解得不等式組的解，再根據整數解的個數，列出關于待定字母的不等式組（連不等式），解這個不等式組（連不等式）即可.
19．（2025八上·海曙期末）已知：點在第四象限．
（1）求的取值范圍．
（2）我們把橫、縱坐標均為整數的點稱為“整數點”，請直接寫出符合條件的“整數點” ．
【答案】解：（1）根據題意，得，解得；
（2）∵，
∴m的整數解為：0，1，2，
∴符合條件的“整數點A”有、、．
【知識點】解一元一次不等式組；點的坐標與象限的關系
【解析】【分析】（1）根據點的位置可得2m+1>0，3m-9<0，求出m的取值范圍即可；
（2）然后取m的整數解，即可得到“整數點A”．
四、方程組與不等式組的結合
20．已知的解滿足，則的取值范圍是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知識點】解一元一次不等式；加減消元法解二元一次方程組
【解析】【解答】解：
①-②得：
∵，
∴
∴
故答案為：C.
【分析】用①-②得到：結合""，即可得到：進而即可求解.
21．（2022八上·九龍開學考）若關于x的不等式組恰好有3個整數解，且關于y的方程的解是非負數，則符合條件的所有整數m之和是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知識點】解一元一次不等式組；一元一次不等式組的特殊解；解含分數系數的一元一次方程
【解析】【解答】解： 不等式組
，恰好有3個整數解，它們應該是3，2，1，故
又關于y的方程 解得
得到關于m的不等式組
解得
符合條件的所以m值：-3，-2，-1，0，1
它們的和是-5
故答案為：B
【分析】根據題意解不等式組和方程，找到公共解集；公共解集又組成新的不等式組，再次求解即能找到符合條件的所有整數。
22．（2024八上·九龍坡月考）定義一種新運算：
①若，則或；
②若，則；
③若，則的最小值為14；
④若關于的二元一次方程組的解為，則關于的方程組
的解滿足：．
以上說法正確的有（　　）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】A
【知識點】完全平方公式及運用；解二元一次方程組；解一元一次不等式組
23．（2024八上·寧波月考）若，且，，設，則t的取值范圍為　 　．
【答案】
【知識點】二元一次方程的解；不等式的性質
24．（2023八上·古南開學考） 若整數使得關于，的二元一次方程組的解為整數，且關于的不等式組有且只有個整數解，則符合條件的所有的和為　 　 ．
【答案】34
【知識點】二元一次方程組的解；一元一次不等式組的特殊解
【解析】【解答】
∵的不等式組有且只有個整數解，
解得：
則
解得13＜m≤19
∵關于，的二元一次方程組的解為整數
解得
∴ 滿足條件的m的值是：15，19
則符合條件的所有的和為 34.
故答案為：34.
【分析】本題考查二元一次方程組和一元一次不等式組的特殊解。根據不等式組的解集和要求，得出m的取值范圍，根據二元一次方程的解和要求，共同得出符合條件的m的值即可。
25．（2023八上·自貢開學考）若數a使關于x的方程有非負數解，且關于y的不等式恰好有兩個偶數解，則符合條件的所有整數a的和是 　 　．
【答案】-27
【知識點】一元一次方程的其他應用；一元一次不等式組的應用
【解析】【解答】解：
去分母得：，
去括號得：，
移項得：，
合并同類項得：，
解得：，
∵方程有非負數解，
∴，
即，
解得：，
不等式組，
由①得， ，
，
，
由②得，，
，
∴，
∵不等式恰好有兩個偶數解，
∴偶數解為：2，0，
∴，
解得：，
∴，
因此滿足題意的a值有：-7，-6，-5，-4，-3，-2，
則符合題意的所有整數a的和是：
.
故答案為：-27.
【分析】先求出關于x的方程的解，由方程有非負數解得到a的取值范圍，再求出不等式組的解集，由不等式組恰好有兩個偶數解，得到a的取值范圍，綜合兩個取值范圍得到符合條件的a值，相加即可.
26．（2024八上·錢塘期中）已知方程組的解滿足x為非正數，y為負數．
（1）求m的取值范圍；
（2）化簡：；
（3）在m的取值范圍內，當m為何整數時，不等式的解為．
【答案】（1）解：∵方程組，
解得：，
∵ 方程組的解滿足為非正數，為負數，
∴，
解得：；
（2）解：由（1）得，
∴，，
∴原式；
（3）解：∵，
∴，
∵不等式的解為，
∴，
解得：，
由（1）得，
∴，
∵為整數，
∴．
【知識點】解一元一次不等式組；不等式的性質；加減消元法解二元一次方程組；絕對值的概念與意義；一元一次不等式的含參問題
【解析】【分析】（1）利用“加減消元法”解方程組得出，由方程組的解滿足的條件得到關于的不等式組并解之即可；
（2）結合（1）中的取值范圍判斷出，，然后利用絕對值的意義進行化簡即可；
（3）利用不等式的基本性質可得，結合（1）所求的范圍知，繼而可得整數的值．
27．已知方程組的解滿足不等式4x﹣5y＜9．求a的取值范圍．
【答案】解：兩個方程相加得，x=5a，
兩個方程相減得，y=﹣a+5，
∵4x﹣5y＜9，
∴20a﹣5（﹣a+5）＜9
∴a＜
【知識點】二元一次方程組的解；解二元一次方程組；解一元一次不等式
【解析】【分析】先利用加減消元法解二元一次方程組，求得用a表示的x、y，根據方程組的解滿足不等式4x﹣5y＜9可得關于a的不等式，解不等式即可.
28．（2024八上·開福開學考）解決含有絕對值符號的問題，通常根據絕對值符號里所含式子的正負性，去掉絕對值符號，轉化為不含絕對值符號的問題再解答例如：解不等式解：
①當，即時，原式化為：，解得，此時，不等式的解集為；當，即時，原式化為：，解得，此時，不等式的解集為；綜上可知，原不等式的解集為或．
（1）請用以上方法解不等式關于的不等式：；
（2）已知關于，的二元一次方程組的解滿足，求整數的和；
（3）已知關于，的方程組滿足方程組的未知數的值為整數，系數也為整數且求滿足條件的和的值．
【答案】（1）解：當時，即時，
原式化為：，
解得：，此時，不等式的解集為；
當時，即時，
原式化為：，
解得：，此時，不等式的解集為；
綜上可知，原不等式的解集為或；
（2）解：，
得，，
，
，
當時，即時，
原式化為：，
解得：，此時，不等式的解集為；
當時，即時，
原式化為：，
解得：，此時，不等式的解集為；
綜上可知，原不等式的解集為，
為整數，
，，，，，，
它們的和為．
（3）解：，
得，，
，
，
未知數的值為整數，系數也為整數且，
，，
或，．
【知識點】解一元一次不等式；二元一次方程（組）的新定義問題；不等式組和二元一次方程（組）的綜合應用
【解析】【分析】（1）參照題干中的定義及計算方法分類討論：①當時，即時，②當時，即時，再分別列出不等式求解即可；
（2）先利用加減消元法的計算方法求出方程組的解，再分類討論：①當時，即時，②當時，即時，再分別列出不等式求解即可；
（3）先利用加減消元法的計算方法求出方程組的解，再求出，最后參照題干的定義及計算方法求出x和n的值即可.
1 / 1浙教版數學八年級上學期重難點復習5：一元一次不等式（組）含參問題
一、根據不等式(組)的解集求參數
1．（2025八上·麗水期末）已知不等式組的解為，則下列各式正確的是（　　）
A． B． C． D．
2． 若關于x的不等式組 的解集為x<3，則k的取值范圍為(　　)
A．k>1 B．k<1 C．k≥1 D．k≤1
3．（2024八上·杭州期中）不等式組的解集是，則的取值范圍是（　　）
A． B． C． D．
4．（2025八上·余姚期末）關于x的不等式組有四個整數解，則a的取值范圍是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2023八上·寧波月考）若不等式有解，則實數最小值是　 　 ．
6．（2019八上·無錫開學考）是否存在這樣的整數m，使得關于x，y的方程組 的解滿足x<0且y>0？若存在，求出整數m；若不存在，請說明理由。
7． 已知關于x，y的方程組 的解滿足x為非正數，y為負數，求a的取值范圍.
8．（2024八上·天心開學考）若一個不等式組A有解且解集為，則稱為A的解集中點值，若A的解集中點值是不等式組B的解(即中點值滿足不等式組)，則稱不等式組B對于不等式組A中點包含．
（1）已知關于的不等式組：，以及不等式：，請判斷不等式對于不等式組是否中點包含，并寫出判斷過程；
（2）已知關于的不等式組：和不等式組：，若對于不等式組中點包含，求的取值范圍．
（3）關于的不等式組：和不等式組：，若不等式組對于不等式組中點包含，且所有符合要求的整數之和為，求的取值范圍．
二、有解無解問題
9．（2025八上·余姚期末）若關于 的方程 的解為自然數，且關于 的不等式組 無解，則符合條件的整數 的值的和為（ ）
A．5 B．2 C．4 D．6
10．（2023八上·長沙開學考）已知關于的不等式組無解，則的取值范圍是　 　．
11．（1）不等式組有解，求利用數軸m的取值范圍．
（2）表示不等式組{x＞ax＞b的解集如圖所示，求不等式組{x＜ax≤b的解集．
12．（2024八上·新會開學考）若不等式（組）①的解集中的任意解都滿足不等式（組）②，則稱不等式（組）①被不等式（組）②“包含”，其中不等式（組）①與不等式（組）②均有解．
例如：不等式被不等式“包含”．
（1）下列不等式（組）中，能被不等式“包含”的是 ．
A、 B、 C、 D、
（2）若關于x的不等式被“包含”，若且，求M的最小值．
（3）已知 ，，且k為整數，關于x的不等式P：，Q：，請分析是否存在k，使得P和Q存在“包含”關系，且Q被P“包含”，若存在，請求出k的值，若不存在，請說明理由．
三、整數解問題
13．（2024八上·婺城期末）已知關于x的不等式組的整數解為1，2（其中m，n為整數），則滿足條件的共有（　　）
A．1對 B．2對 C．3對 D．4對
14．（2025八上·蒼南期末）不等式x-3≤0的非負整數解有（　　）個
A．3 B．4 C．2 D．5
15．（2021八上·金東期中）不等式 的整數解是1，2，3，4.則實數a的取值范圍是（　　）
A． B．
C． D．
16．（2020八上·下城期末）設m，n是實數，a，b是正整數，若 ，則（　　）
A． B．
C． D．
17．（2023八上·蕭山月考）若不等式組，若不等式組有解，則a的取值范圍是　 　，若不等式組剛好有兩個整數解，則a的取值范圍是　 　．
18．（2023八上·佳木斯開學考）關于x的不等式組只有4個整數解，則a的取值范圍是　 　．
19．（2025八上·海曙期末）已知：點在第四象限．
（1）求的取值范圍．
（2）我們把橫、縱坐標均為整數的點稱為“整數點”，請直接寫出符合條件的“整數點” ．
四、方程組與不等式組的結合
20．已知的解滿足，則的取值范圍是（　　）
A． B． C． D．
21．（2022八上·九龍開學考）若關于x的不等式組恰好有3個整數解，且關于y的方程的解是非負數，則符合條件的所有整數m之和是（　　）
A． B． C． D．
22．（2024八上·九龍坡月考）定義一種新運算：
①若，則或；
②若，則；
③若，則的最小值為14；
④若關于的二元一次方程組的解為，則關于的方程組
的解滿足：．
以上說法正確的有（　　）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
23．（2024八上·寧波月考）若，且，，設，則t的取值范圍為　 　．
24．（2023八上·古南開學考） 若整數使得關于，的二元一次方程組的解為整數，且關于的不等式組有且只有個整數解，則符合條件的所有的和為　 　 ．
25．（2023八上·自貢開學考）若數a使關于x的方程有非負數解，且關于y的不等式恰好有兩個偶數解，則符合條件的所有整數a的和是 　 　．
26．（2024八上·錢塘期中）已知方程組的解滿足x為非正數，y為負數．
（1）求m的取值范圍；
（2）化簡：；
（3）在m的取值范圍內，當m為何整數時，不等式的解為．
27．已知方程組的解滿足不等式4x﹣5y＜9．求a的取值范圍．
28．（2024八上·開福開學考）解決含有絕對值符號的問題，通常根據絕對值符號里所含式子的正負性，去掉絕對值符號，轉化為不含絕對值符號的問題再解答例如：解不等式解：
①當，即時，原式化為：，解得，此時，不等式的解集為；當，即時，原式化為：，解得，此時，不等式的解集為；綜上可知，原不等式的解集為或．
（1）請用以上方法解不等式關于的不等式：；
（2）已知關于，的二元一次方程組的解滿足，求整數的和；
（3）已知關于，的方程組滿足方程組的未知數的值為整數，系數也為整數且求滿足條件的和的值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知識點】解一元一次不等式組
【解析】【解答】解：∵不等式組的解為，
∴
∴
即a>b.
故答案為：A.
【分析】不等式組的解集確定規律“同大取較大，同小取較小，小大大小中間找，大大小小解不了”，由此列出再根據不等式的基本性質即可作答.
2．【答案】C
【知識點】一元一次不等式組的含參問題
【解析】【解答】
由得 x<3
由得 x不等式組的解集為x<3
k+23
即 k≥1
故答案為：D
【分析】先求出不等式組中每個不等式的解集，根據不等式組的解集為x<3可得k+23，則k≥1。
3．【答案】C
【知識點】一元一次不等式組的含參問題
【解析】【解答】解：解不等式，
可得：，
∵原不等式組的解集是，
∴，
解得：，
故答案為：C．
【分析】先求出不等式組中的每一個不等式的解集，再根據不等式的解集為x＞2，可得到關于m的不等式，解不等式求出m的取值范圍.
4．【答案】A
【知識點】一元一次不等式組的特殊解
【解析】【解答】解：解不等式得，，
解不等式得，，
∵關于x的不等式組有四個整數解，
∴ 該不等式組的解集為8＜x＜2-4a，
∵的四個整數是9，10，11，12，
∴，
解得，
∴a的取值范圍是，
故答案為：A．
【分析】首先根據解不等式的步驟分別解出不等式中每一個不等式的解集，再根據不等式組有且只有四個整數解，結合口訣“大小小大中間找”得到該不等式組的解集，然后找出解集范圍內的四個整數解，即可得出a的取值范圍．
5．【答案】4
【知識點】解一元一次不等式；一元一次不等式組的特殊解
【解析】【解答】解：當x＜1時， ，-2(x-1)-3(x-3)≤a，
解得，x≥，
∵ x＜1，
∴＜1，
∴ a＞6；
當1≤x≤3時，
∴2(x-1)-3(x-3)≤a，
解得，x≥7-a，
∴1≤7-a≤3，
解之：4≤a≤6；
當x＞3時，原不等式變形為
2（x-1）+3（x-3）≤a，
解之：x≤，
∴＞3，
解之：a＞4，
∴實數a的最小值為4.
故答案為：4.
【分析】分情況討論：當x＜1時，可緩解絕對值，可得到不等式的解集為x≥，代入可得到關于a的不等式，解不等式求出a的取值范圍；當1≤x≤3時，可得到x≥7-a，據此可得到關于a的不等式，然后求出a的取值范圍；當x＞3時可得到x≤，據此可得到關于a的不等式，然后求出a的取值范圍；根據a的取值范圍，可得到a的最小值.
6．【答案】解：解方程組 得： ，
根據題意，得： ，
解得：-2＜m＜1
則整數m=-1，0.
【知識點】解二元一次方程組；解一元一次不等式組；一元一次不等式組的特殊解
【解析】【分析】觀察方程組中同一個未知數的系數特點：y的系數互為相反數，因此將兩方程相加，消去y，可求出x的值，再將y的值代入原方程組中的第一個方程，求出x的值，即可得到方程組的解；再根據x<0且y>0，建立關于m的不等式組，解不等式組求出m的取值范圍，就可得到整數m的值。
7．【答案】解：
得 2x=2a-6，x=a-3
得 2y=-8-4a，y=-4-2a
x為非正數，y為負數，
a-30，即a≤3
-4-2a<0，即a>-2
-2【知識點】不等式組和二元一次方程（組）的綜合應用
【解析】【分析】方程組的兩個方程相加可得x=a-3，相減可得y=-4-2a，由x為非正數和y為負數可得a-30，即a≤3，-4-2a<0，即a>-2，則a的取值范圍為-28．【答案】（1）解：不等式對于不等式組中點包含，判斷過程如下：
解不等式組：，得，
的中點值為，
在范圍內，
不等式對于不等式組中點包含；
（2）解：對于不等式組中點包含，
不等式組和不等式組有解，
解不等式組：，得，
不等式組：，得，
，
解得：，
當時，不等式組的解集為，不等式組的解集為，
的中點值為，
對于不等式組中點包含，
，
解得：，
又，
．
（3）解：解不等式組得，，解不等式組得，，
的中點值為，
不等式組對于不等式組中點包含，
，
解得：，
所有符合要求的整數之和為，
整數可取，、，，或整數可取、、、、、，．
或．
【知識點】解一元一次不等式組；一元一次不等式組的含參問題
【解析】【分析】（1）先求出不等式組A的解集，再結合A的中點值為，最后判斷即可；
（2）先求出不等式組C和D的解集，再求出C的中點值為，結合D對于不等式組中點包含，可得，最后求出m的取值范圍即可；
（3）先求出不等式組E和F的解集，再結合不等式組對于不等式組中點包含，可得，求出m的取值范圍，再求出n的取值范圍即可.
9．【答案】C
【知識點】解一元一次不等式組
【解析】【解答】解：∵ 關于 的不等式組 無解，不等式組變形得到，∴k＞-1；
變形為，
∵ 方程 的解為自然數 ，
∴9-3k≥0，綜合得到 1 當k=0時，
當k=1時，
當k=2時，
當k=3時，
∴只有當k=1、3，滿足整數 和方程 的解為自然數的條件。
∴ 符合條件的整數 的值的和為1+3=4.
故答案為：C。
【分析】本題首先求出不等式組中x的取值范圍，然后根據“x無解”確定k＞-1；隨后將關于x的方程變形，因為方程的解為自然數，而最小的自然數是0，這樣就可以進一步確定k的取值范圍。最后在k的取值范圍內分別計算出k的整數對應的x的值，滿足x是整數的值對應的k的值就是“符合條件的整數 的值”，最后求和即可。
10．【答案】
【知識點】一元一次不等式組的特殊解
【解析】【解答】解：解5-2x＞-3，解得：x＜4
解x-a＞0，解得：x＞a
此不等式無解，故a≥4
故答案為：a≥4
【分析】先把a看作已知數把兩個不等式分別解出來，再由不等式組解題口訣求解即可。
11．【答案】解：（1）m＜8；
（2）不等式組的解集圖示，可得a＜b，
則不等式組的解集是：x＜a．
【知識點】在數軸上表示不等式組的解集；解一元一次不等式組
【解析】【分析】根據不等式組解集的確定方法：同大取較大，同小取較小，小大大小中間找，大大小小解不了，即可求解．
12．【答案】（1）C
（2）解：關于x的不等式被“包含”，
∴
解得 ，
又∵，
解得．
∴，
∵，
∴，
∴M的最小值是19。
（3）解：解方程組得
∵，，
∴
解得，
∵k為整數，
∴k的值為，0，1，2；
不等式P：整理得，；
不等式Q：的解集為 ，
∵P和Q存在“包含”關系，且Q被P“包含”
∴不等式P：的解集為 ，
∴，且，
解得，
∴。
【知識點】解一元一次不等式；解一元一次不等式組；加減消元法解二元一次方程組
【解析】【解答】（1）解：A、不等式的解集為，
∴不等式不能被不等式“包含”，不符合題意
B、不等式的解集為，
∴不等式不能被不等式“包含”，不符合題意
C、不等式的解集為，
∴不等式能被不等式“包含”，符合題意
D、不等式組無解，
∴不等式組不能被不等式“包含”，不符合題意
故答案為：C。
【分析】（1）對選項中的各個不等式和不等式組進行求解，然后再根據題干要求，確定即可。
（2）根據題干信息，可得，求出a的解集，然后再根據已知條件：，求出b、c關于a的關系式，然后再將以上關系式代入 ，求出，最后再結合a的取值，即可求出M的最小值。
（3）根據已知條件，解方程組：解方程組，求出m、n關于k的值，然后再根據，，求出，然后再根據K的取值特性，求出k的值；最后再根據P、Q之間的包含關系：，進而求出k的，由此即可得到答案。
（1）解：A、不等式的解集為，
∴不等式不能被不等式“包含”，不符合題意
B、不等式的解集為，
∴不等式不能被不等式“包含”，不符合題意
C、不等式的解集為，
∴不等式能被不等式“包含”，符合題意
D、不等式組無解，
∴不等式組不能被不等式“包含”，不符合題意
故選C；
（2）解：關于x的不等式被“包含”，
∴
解得 ，
又∵，
解得．
∴，
∵，
∴，
∴M的最小值是19．
（3）解：解方程組得
∵，，
∴
解得，
∵k為整數，
∴k的值為，0，1，2；
不等式P：整理得，；不等式Q：的解集為 ，
∵P和Q存在“包含”關系，且Q被P“包含”
∴不等式P：的解集為 ，
∴，且，
解得，
∴．
13．【答案】C
【知識點】解一元一次不等式組；一元一次不等式組的特殊解；一元一次不等式組的含參問題
【解析】【解答】解：解不等式得，；
解不等式得，；
∵不等式組的整數解為1，2，
∴，且，
則，．
∵，為整數，
∴，，8，9，
∴滿足條件的（m，n）共有3對．
故選：C.
【分析】根據所給不等式組的整數解為1，2，得出，的取值范圍，再根據，為整數即可解決問題．
14．【答案】B
【知識點】一元一次不等式的特殊解
【解析】【解答】解：x-3≤0
x≤3
∴非負整數解有：0，1，2，3共4個。
故答案為：B.
【分析】 本題考查不等式的非負整數解的求解方法 . 解決此類問題的關鍵在于準確理解題目要求的非負整數解，先求出解集，再篩選出符合條件的整數解。解題過程中，清晰地列出了滿足條件的整數解，確保了答案的準確性。
15．【答案】A
【知識點】一元一次不等式組的特殊解
【解析】【解答】解：
顯然：
當 時，不等式的解集為： ，
不等式沒有正整數解，不符合題意，
當 時，不等式的解集為：
不等式 的整數解是1，2，3，4，
由①得：
由②得：
所以不等式組的解集為：
故答案為：A.
【分析】當a>0時，不等式組的解集為：≤x≤，此時不等式組沒有正整數解；當a<0時，不等式組的解集為≤x≤，結合不等式組的整數解可得0<≤1、4≤<5，聯立可得a的范圍.
16．【答案】D
【知識點】不等式的性質
【解析】【解答】解：m，n是實數，則 、 和 都有可能，
①當 時，
∵ ，a，b是正整數
∴ ，
∴ ，
此時四個選項均成立；
②當 時，
a和b的大小不能確定，
此時A、B不一定成立，C不成立，D一定成立；
③當 時，
∵ ，a，b是正整數
∴ ，
∴ ，
此時A、B不成立，C、D成立；
綜上可知D一定成立，
故答案為：D.
【分析】分別討論 、 和 ，利用不等式的性質進行判斷.
17．【答案】a＞-1；1≤a＜2
【知識點】一元一次不等式的特殊解；解一元一次不等式組
【解析】【解答】解： x+a≥0，則x≥-a；
1-2x＞x-2，則x＜1；
若不等式組有解，則-a＜1，a＞-1.
若不等式組剛好有兩個整數解，則-2＜-a≤-1，解得：1≤a＜2.
故答案為：a＞-1，1≤a＜2.
【分析】先解出兩個不等式的解集，根據不等式組有解，可得-a＜1，即可求得a的取值范圍；再根據不等式組剛好有兩個整數解，可得-2＜-a≤-1，即可求得.
18．【答案】
【知識點】解一元一次不等式組；一元一次不等式組的特殊解
【解析】【解答】解： 解不等式，得x≤4，
解不等式，得a-2＜x，
∴不等式組的解為：a-2＜x≤4，
∵關于x的不等式組只有4個整數解，
∴這4個整數分別是4，3，2，1，
∴
解得.
故答案為：.
【分析】先解得不等式組的解，再根據整數解的個數，列出關于待定字母的不等式組（連不等式），解這個不等式組（連不等式）即可.
19．【答案】解：（1）根據題意，得，解得；
（2）∵，
∴m的整數解為：0，1，2，
∴符合條件的“整數點A”有、、．
【知識點】解一元一次不等式組；點的坐標與象限的關系
【解析】【分析】（1）根據點的位置可得2m+1>0，3m-9<0，求出m的取值范圍即可；
（2）然后取m的整數解，即可得到“整數點A”．
20．【答案】C
【知識點】解一元一次不等式；加減消元法解二元一次方程組
【解析】【解答】解：
①-②得：
∵，
∴
∴
故答案為：C.
【分析】用①-②得到：結合""，即可得到：進而即可求解.
21．【答案】B
【知識點】解一元一次不等式組；一元一次不等式組的特殊解；解含分數系數的一元一次方程
【解析】【解答】解： 不等式組
，恰好有3個整數解，它們應該是3，2，1，故
又關于y的方程 解得
得到關于m的不等式組
解得
符合條件的所以m值：-3，-2，-1，0，1
它們的和是-5
故答案為：B
【分析】根據題意解不等式組和方程，找到公共解集；公共解集又組成新的不等式組，再次求解即能找到符合條件的所有整數。
22．【答案】A
【知識點】完全平方公式及運用；解二元一次方程組；解一元一次不等式組
23．【答案】
【知識點】二元一次方程的解；不等式的性質
24．【答案】34
【知識點】二元一次方程組的解；一元一次不等式組的特殊解
【解析】【解答】
∵的不等式組有且只有個整數解，
解得：
則
解得13＜m≤19
∵關于，的二元一次方程組的解為整數
解得
∴ 滿足條件的m的值是：15，19
則符合條件的所有的和為 34.
故答案為：34.
【分析】本題考查二元一次方程組和一元一次不等式組的特殊解。根據不等式組的解集和要求，得出m的取值范圍，根據二元一次方程的解和要求，共同得出符合條件的m的值即可。
25．【答案】-27
【知識點】一元一次方程的其他應用；一元一次不等式組的應用
【解析】【解答】解：
去分母得：，
去括號得：，
移項得：，
合并同類項得：，
解得：，
∵方程有非負數解，
∴，
即，
解得：，
不等式組，
由①得， ，
，
，
由②得，，
，
∴，
∵不等式恰好有兩個偶數解，
∴偶數解為：2，0，
∴，
解得：，
∴，
因此滿足題意的a值有：-7，-6，-5，-4，-3，-2，
則符合題意的所有整數a的和是：
.
故答案為：-27.
【分析】先求出關于x的方程的解，由方程有非負數解得到a的取值范圍，再求出不等式組的解集，由不等式組恰好有兩個偶數解，得到a的取值范圍，綜合兩個取值范圍得到符合條件的a值，相加即可.
26．【答案】（1）解：∵方程組，
解得：，
∵ 方程組的解滿足為非正數，為負數，
∴，
解得：；
（2）解：由（1）得，
∴，，
∴原式；
（3）解：∵，
∴，
∵不等式的解為，
∴，
解得：，
由（1）得，
∴，
∵為整數，
∴．
【知識點】解一元一次不等式組；不等式的性質；加減消元法解二元一次方程組；絕對值的概念與意義；一元一次不等式的含參問題
【解析】【分析】（1）利用“加減消元法”解方程組得出，由方程組的解滿足的條件得到關于的不等式組并解之即可；
（2）結合（1）中的取值范圍判斷出，，然后利用絕對值的意義進行化簡即可；
（3）利用不等式的基本性質可得，結合（1）所求的范圍知，繼而可得整數的值．
27．【答案】解：兩個方程相加得，x=5a，
兩個方程相減得，y=﹣a+5，
∵4x﹣5y＜9，
∴20a﹣5（﹣a+5）＜9
∴a＜
【知識點】二元一次方程組的解；解二元一次方程組；解一元一次不等式
【解析】【分析】先利用加減消元法解二元一次方程組，求得用a表示的x、y，根據方程組的解滿足不等式4x﹣5y＜9可得關于a的不等式，解不等式即可.
28．【答案】（1）解：當時，即時，
原式化為：，
解得：，此時，不等式的解集為；
當時，即時，
原式化為：，
解得：，此時，不等式的解集為；
綜上可知，原不等式的解集為或；
（2）解：，
得，，
，
，
當時，即時，
原式化為：，
解得：，此時，不等式的解集為；
當時，即時，
原式化為：，
解得：，此時，不等式的解集為；
綜上可知，原不等式的解集為，
為整數，
，，，，，，
它們的和為．
（3）解：，
得，，
，
，
未知數的值為整數，系數也為整數且，
，，
或，．
【知識點】解一元一次不等式；二元一次方程（組）的新定義問題；不等式組和二元一次方程（組）的綜合應用
【解析】【分析】（1）參照題干中的定義及計算方法分類討論：①當時，即時，②當時，即時，再分別列出不等式求解即可；
（2）先利用加減消元法的計算方法求出方程組的解，再分類討論：①當時，即時，②當時，即時，再分別列出不等式求解即可；
（3）先利用加減消元法的計算方法求出方程組的解，再求出，最后參照題干的定義及計算方法求出x和n的值即可.
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