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6.3.2 角的比較與運算
一、選擇題

1.如圖，一副三角板(直角頂點重合)擺放在桌面上，若，則等于（ ）
A. B. C. D.

2.可化為（ ）
A. B. C. D.

3.若，″，，則有（ ）
A. B. C. D.

4.如圖，點為線段外一點，點，，，為上任意四點，連接，，，，下列結論不正確的是（ ）
A.以為頂點的角共有個
B.若，，則
C.若為中點，為中點，則
D.若平分，平分，，則

5.一副三角板、，如圖放置，＝、＝，將三角板繞點逆時針旋轉一定角度，如圖所示，且，有下列四個結論：（ ）
①在圖的情況下，在內作＝，則平分．
②在旋轉過程中，若平分，平分，的角度恒為定值；
③在旋轉過程中，兩塊三角板的邊所在直線夾角成的次數為次；
④的角度恒為；
A.個 B.個 C.個 D.個
二、填空題

1.如圖，直線相交于點平分，若，則 ．

2.如圖，在中，，且，，為的角平分線，交于點，交于點，若的面積為，則圖中陰影部分四邊形的面積為______________．

3.定義：從一個角的頂點出發，把這個角分成兩個部分的射線，叫作這個角的三分線，一個角的三分線有兩條．如圖，，則是的一條三分線．
若，則_________________；
如圖，若，，是的兩條三分線，且．若以點為中心，將順時針旋轉得到，當恰好是的三分線時，的值為_________________
三、解答題

1.一副三角尺按如圖方式疊放，，，點，重合．為探索與的關系，某研究小組甲、乙、丙三位同學先假設，求得，于是三位同學得出不同猜想，甲：；乙：；丙：．
（1）為驗證猜想，他們再次假設，并求出的度數．請寫出求解過程；
（2）①根據題的結果，猜想一定錯誤的兩位同學是________；
②剩下這位同學的猜想正確嗎？請說明理由．

2.將一副三角板按如圖所示擺放，點，，在直線上，現將三角板進行下面的操作．
操作一：保持三角板位置不動，將三角板繞點順時針旋轉（如圖，圖），當三角板的邊第一次與直線重合為止．
思考并回答下列問題：
（1）當_____時，是的一條三等分線．
（2）如圖，當，位于直線的兩側時，與的數量關系是_____．
（3）如圖，當，位于直線的同側時，中結論是否仍然成立？若成立，請說明理由；若不成立，請寫出正確的結論，并說明理由．
操作二：在三角板繞點順時針開始旋轉的同時，另一個三角板也繞點順時針旋轉，當三角板的邊第一次與直線重合時，兩三角板同時停止旋轉．
（4）若在旋轉過程中，始終是的倍，請直接寫出與的數量關系．

3.下列各題中，是的三等分線，是的三等分線，且，．
（1）如圖，若點，，在一條直線上，則______；
（2）如圖，若點，，不在一條直線上，且，求的度數；
（3）如圖，若在的內部，則______．

4.如圖所示，．射線從位置出發，繞點每秒逆時針旋轉．射線從位置出發，繞點每秒逆時針旋轉，當其與射線或射線相遇時，保持運動速度不變但運動方向發生改變，如此往返．當時，運動停止．設運動時間為秒．
（1）當時，求與的度數；
（2）如圖，當射線還未與射線相遇，且其為的平分線時，求的值；
（3）試求出整個運動過程中，射線與射線一共相遇了幾次？
參考答案與試題解析
一、選擇題
1.
【答案】
B
【考點】
角的計算
【解析】
，，計算求解即可．
【解答】
解：，，
，
，，
，
故此題答案為：．
2.
【答案】
D
【考點】
角的單位與角度制
【解析】
本題考查度分秒的換算，解題的關鍵是熟練掌握度分秒的換算進制；
根據，進行計算即可．
【解答】
解：，
故選：
3.
【答案】
C
【考點】
角的大小比較
【解析】
根據度分秒之間的換算，先把的度數化成度、分、秒的形式，再根據角的大小比較的法則進行比較，即可得出答案．
【解答】
解：，
，
故選：．
4.
【答案】
B
【考點】
角平分線的有關計算
【解析】
由于選項中的結論是,而,因此只要判斷和是否相等即可，根據,而,因此得到，由此得出選項錯誤．
【解答】
解：以為頂點的角有個，
所以選項正確；
，
,
,即 ,
所以選項錯誤；
由中點定義可得：,
，
,
,
所以選項正確；
由角平分線的定義可得：,
,
,
,
,
,
所以選項正確，
所以不正確的只有，
故選：
5.
【答案】
C
【考點】
角平分線的定義
【解析】
①計算旋轉角度大于時，的大小與比較便可得結論；
②利用角的和差與角的平分線得＝，便可求出其值；
③由當旋轉時，，當旋轉時，，當旋轉時，，便可得結論；
④當在外時，作圖判斷便可．
【解答】
①如圖可得 ，所以平分，①正確；
②設旋轉角度為，＝＝＝＝，于是此小題的結論正確；
③當旋轉時，，當旋轉時，，當旋轉時，，則在旋轉過程中，兩塊三角板的邊所在直線夾角成的次數為次，于是此小題結論正確；
④當時，＝＝，于是此小題結論錯誤；
綜上，正確的結論個數有個，
二、填空題
1.
【答案】
【考點】
角平分線的定義
【解析】
此題考查與角平分線有關的計算．找準角度之間的數量關系，是解題的關鍵．根據角平分線的性質，平角的定義，得到，結合，求出的度數，進而求出的度數，利用對頂角即可得出結果．
【解答】
解：平分，
，
，
，
又，
，
，
，
；
故此題答案為：．
2.
【答案】
【考點】
角平分線的性質
【解析】
本題主要考查了角平分線的性質，三角形面積計算，設，則有，，過點作于點，即可得到，然后根據可得，然后可得，則，根據，得到；同理可得，可證明，則，即可得到．
【解答】
解：設，則，
，
，
，
過點作于點，過點分別作的垂線，垂足分別為、，
平分，，
，
，
，
，
，
，
；
同理可得，
，
，
，
，
，
故答案為：．
3.
【答案】
,或
【考點】
幾何圖形中角度計算問題
角n等分線的有關計算
【解析】
本題屬于新定義類型的問題，考查角的計算，
根據，則，由此可得出結論；
根據，是的三分線，且，可得，，據此可得的度數；然后分兩種情況：當是的三分線，且時，；當是的三分線，且時，，分別求得的值；
解題的關鍵是掌握角的三分線的定義，解題時注意分類思想的運用，分類時不能重復，也不能遺漏．
【解答】
解：（1），，
，
，
故答案為：；
是的一條三分線，，且，
，，
，
將順時針旋轉得到，
，
分兩種情況：
如圖，當是的三分線，且時，
，
，
，
，
即的值為；
如圖，當是的三分線，且時，
，
，
，
即的值為；
綜上所述，的值為或．
三、解答題
1.
【答案】
（1），過程見解析
①甲，乙；②丙同學的猜想正確，理由見解析
【考點】
三角板中角度計算問題
【解析】
（1）先根據求得，然后根據求得；
（2）①由可知，甲，乙錯誤；②先求得，再利用得到，從而知道，從而得證．
【解答】
（1）解：，

（2）解：①甲，乙，理由如下
由可知，
，
故甲，乙的猜想錯誤；
②正確，理由如下：
丙同學的猜想正確．
2.
【答案】
（1）或
（2）
（3）成立，理由見解析
（4）
【考點】
幾何圖形中角度計算問題
【解析】
（1）分類討論：當時，當時，即可求解；
（2）由角的和差得，，即可求解；
（3）由角的和差得，，即可求解；
（4）分類討論：①當，位于直線的兩側時，由角的和差得 ， ，即可求解；②如圖，當，位于直線的同側時，同理可求；
【解答】
解：（1）如圖，當時，
則；
如圖，當時，
則；
所以 ；
故答案為：或；
（2）因為，，
所以，，
所以；
故答案為：；
（3）成立；
理由如下：
如圖，
因為，
所以 ，
所以，
因為，
所以 ，
所以，
所以；
（4）
①如圖，當，位于直線的兩側時，
因為，
所以，
因為，
所以 ，
因為，
所以
，
所以；
②如圖，當，位于直線的同側時，
因為，
所以，
因為，
所以 ，
因為，
所以
，
所以，
綜上：．
3.
【答案】
（2）
【考點】
幾何圖形中角度計算問題
角n等分線的有關計算
【解析】
（1）根據題意可知，，再根據求解即可；
（2）由同理可知，即可求解；
（3）由同理可知，，再根據即可求解．
【解答】
（1）解：是的三等分線，是的三等分線，且，，
，，
．
故答案為：；
（2）解：由可知；
（3）解：是的三等分線，是的三等分線，且，，
，，
，
．
故答案為：．
4.
【答案】
（1），
（2）或
（3）次
【考點】
幾何問題(一元一次方程的應用)
實際問題中角度計算問題
【解析】
（1）當時，，．此時射線在射線與之間．即可由，求解；
（2）分兩種情況：情況一：當時，情況二：當且未與射線相遇（即）時，分別求解即可；
（3）運動終止時，時間為秒，設射線與射線某一次相遇時，且下一次相遇時，考慮兩次相遇間過程：時，；時，，在該過程中，射線一直逆時針旋轉，所花時間為：秒，射線先回到射線，再追到射線，所花時間為：秒，故，即，再由第一次相遇時間為秒，則可求得第二次相遇時間為秒；第三次相遇時間為秒；第四次相遇時間約為秒；第五次相遇時間約為秒；第六次相遇時間約為，即可得出答案．
【解答】
（1）解：當時，，．
此時射線在射線與之間．
，
．
（2）解：設射線第一次與射線相遇時運動時間為，
則．
．
情況一：當時，
，，
射線為的角平分線，
，
；
情況二：當且未與射線相遇（即）時，
，，
射線為的角平分線，
，
，
綜上，或．
（3）解：運動終止時，時間為秒，
設射線與射線某一次相遇時，且下一次相遇時，考慮兩次相遇間過程：
時，；
時，，
在該過程中，射線一直逆時針旋轉，所花時間為：
秒，
射線先回到射線，再追到射線，所花時間為：
秒，
故，即，
已知第一次相遇時間為秒，則：
第二次相遇時間：秒；
第三次相遇時間：秒；
第四次相遇時間：秒；
第五次相遇時間：秒；
第六次相遇時間：，
故全過程一共相遇了次．
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