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第2課時　函數極值的綜合問題
【課中探究】
探究點一
例1　解:由f(x)=+x+1,得f'(x)=1-=.①當a≤0時,f'(x)>0恒成立, f(x)在R上為增函數, f(x)無極值.②當a>0時,令f'(x)=0,得ex=a, 即x=ln a.易知當x∈(-∞,ln a)時,f'(x)<0,當 x∈(ln a,+∞)時, f'(x)>0,∴f(x)在(-∞,ln a)上單調遞減,在(ln a,+∞)上單調遞增,∴f(x)在x=ln a處取得極小值,極小值為f(ln a)=ln a+2,無極大值.綜上所述,當a≤0時,f(x)無極值;當a>0時,f(x)有極小值ln a+2,無極大值.
變式　解:函數f(x)=ln x+ax2-(2a+1)x的定義域為(0,+∞),f'(x)=+2ax-(2a+1)=.
①當a>時,函數f(x)的單調遞增區間為,(1,+∞),單調遞減區間為,所以當x=時,f(x)取得極大值f=-ln(2a)-,
當x=1時,f(x)取得極小值f(1)=-a-1;
②當0③當a=時,f'(x)≥0恒成立且f'(x)不恒為0,故函數f(x)的單調遞增區間為(0,+∞),無極值.
綜上,當a>時,f(x)的極大值為-ln(2a)-,極小值為-a-1;當0探究點二
例2　(1)　(2)　[解析] (1)f'(x)=-a,由題意得f'(x)=-a=0在(0,+∞)上有解,可得x=且a>0,此時f=ln=1,所以a=.檢驗:當a=時,f'(x)=-,當00,f(x)單調遞增,當x>e時,f'(x)<0,f(x)單調遞減,所以當x=e時,f(x)取得極大值,極大值為f(e)=ln e-·e+1=1,符合題意.故a=.
(2)f'(x)=xex-2kx=x(ex-2k),當k≤0時,ex-2k>0恒成立,此時f(x)在(-∞,0)上單調遞減,在(0,+∞)上單調遞增,f(x)在x=0處取得極小值,不符合題意.當k>0時,令f'(x)=x(ex-2k)=0,得x=0或x=ln(2k),若當x=0時,f(x)有極大值,則ln(2k)>0,得k>.所以k的取值范圍為.
變式　2　9　[解析] 因為f(x)=x3+3ax2+bx+a2,所以f'(x)=3x2+6ax+b,由題意可知,即解得或當a=1,b=3時,f'(x)=3x2+6x+3=3(x+1)2≥0且f'(x)不恒為0,函數f(x)為(-∞,+∞)上的增函數,此時函數f(x)無極值,不合題意;當a=2,b=9時,f'(x)=3x2+12x+9=3(x+1)(x+3),令f'(x)>0,得x<-3或x>-1,令f'(x)<0,得-3探究點三
例3　解:函數f(x)=x2-2x+ln x的定義域為(0,+∞),且f'(x)=ax-2+.由題可知f'(x)=0(x>0)有解,可得a=-=-+1≤1.當a=1時,f'(x)=x-2+=≥0恒成立,且f'(x)不恒為0,不符合題意.因此實數a的取值范圍是(-∞,1).
變式1　(-1,)　[解析] 由f(x)=ex(sin x-a),得
f'(x)=ex(sin x+cos x-a)=ex.
因為函數f(x)=ex(sin x-a)在區間(0,π)上存在極值,
所以f'(x)=ex在(0,π)上有變號零點.
因為00,即sin-a=0在(0,π)上有解,
即a=sin在(0,π)上有解.
因為0于是得-1變式2　解:由f(x)=,x∈(0,+∞),得f'(x)=-,x∈(0,+∞).令f'(x)=0,得x=1,當00,當x>1時,f'(x)<0,所以函數f(x)存在唯一的極大值點x=1.由題意可得解得1.D　[解析] 由題可得f'(x)=a(ln x+1)-2e2x-2,因為x=1是函數f(x)的極值點,所以f'(1)=a(ln 1+1)-2e2-2=a-2=0,所以a=2,經驗證符合題意.故選D.
2.B　[解析] 由題意可知,f'(x)=(x-a+1)·ex.令f'(x)=0,解得x=a-1.當x>a-1時,f'(x)>0;當x1,解得a>2.所以“a>1”是“函數f(x)=(x-a)·ex在(1,+∞)上有極值”的必要不充分條件.故選B.
3.D　[解析] 由題可得,f(x)的定義域是(0,+∞),f'(x)=x-2+=.若函數f(x)有兩個不同的極值點,則x2-2x+a=0在(0,+∞)上有兩個不同的實數根,故解得04.B　[解析] 由題知a≠0,y'=aex+3,令y'=0,則ex=-,則->0,又由題知-<1,所以a<-3.
5.B　[解析] 因為f(x)=x2-(a+2)x+aln x既有極大值又有極小值,且f'(x)=2x-a-2+==(x>0),所以f'(x)=0有兩個不等的正實數解,所以>0且≠1,解得a>0且a≠2,故選B.
6.B　[解析] f(x)的定義域為(0,+∞),f'(x)=-ax-b,由f'(1)=0,得b=1-a,所以f'(x)=.①若a≥0,則由f'(x)=0,得x=1.當00,此時f(x)單調遞增;當x>1時,f'(x)<0,此時f(x)單調遞減,所以x=1是f(x)的極大值點.②若a<0,則由f'(x)=0,得x=1或x=-.因為x=1是f(x)的極大值點,所以->1,解得-1-1.故選B.
7.AC　[解析] 由題意知f'(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1),所以f(x)在(-∞,-1),(1,+∞)上單調遞增,在(-1,1)上單調遞減,所以f(x)的極大值為f(-1),極小值為f(1).因為函數f(x)=x3-3x+c的圖象與x軸恰有兩個交點,所以f(-1)=0或f(1)=0,可得c=-2或c=2,故選AC.
8.AD　[解析] 因為f(x)=x3-ax2-a2x+3,所以f'(x)=3x2-2ax-a2.由函數f(x)=x3-ax2-a2x+3在x=-1處取得極大值,可得f'(-1)=3+2a-a2=0,解得a=3或a=-1.當a=3時,f'(x)=3x2-6x-9=3(x-3)(x+1),此時當x∈(-∞,-1)時,f'(x)>0,當x∈(-1,3)時,f'(x)<0,則函數f(x)=x3-ax2-a2x+3在x=-1處取得極大值,符合題意.當a=-1時,f'(x)=3x2+2x-1=(3x-1)(x+1),此時當x∈(-∞,-1)時,f'(x)>0,當x∈時,f'(x)<0,則函數f(x)=x3-ax2-a2x+3在x=-1處取得極大值,符合題意.故a=3或a=-1,故選AD.
9.2　[解析] 由f(x)=ax2-4ln x,得f'(x)=2ax-,因為函數f(x)=ax2-4ln x在x=1處取得極值,所以f'(1)=0,即2a-4=0,得a=2.所以f'(x)=4x-=(x>0),當01時,f'(x)>0,所以x=1為函數f(x)的極小值點,滿足條件.所以a=2.
10.a>24　[解析] 當a=0時,f(x)是增函數,無極值.當a<0時,f'(x)=6x2-ax+a,令f'(x)=0,其判別式Δ=a2-24a>0,又f'(0)=a<0,所以函數f(x)在(0,+∞)上有一個極值.當a>0時,令f'(x)=0,其判別式Δ=a2-24a,令Δ>0,則a>24,又f'(0)=a>0,所以f(x)在(0,+∞)上有兩個極值.故a>24.
11.　[解析] 由f(x)=ln x+,得f'(x)=.因為函數f(x)=ln x+在內有極值,所以f'(x)=0在內有解,即x2-(a+2)x+1=0當x∈時有解.由x2-(a+2)x+1=0,x>0,得a=x+-2.設h(x)=x+-2,x∈(0,+∞),則h'(x)=1-=,當x∈時,h'(x)<0,h(x)單調遞減,所以當x∈時,h(x)>h=e+-2.要使方程a=x+-2當x∈時有解,只需a>e+-2,故實數a的取值范圍是.
12.a<-27或a>5　[解析] f'(x)=-3x2+6x+9,令f'(x)=0,解得x1=-1,x2=3.列表如下:
x (-∞,-1) -1 (-1,3) 3 (3,+∞)
f'(x) - 0 + 0 -
f(x) ↘ 極小值 ↗ 極大值 ↘
所以當x=-1時,f(x)取得極小值f(-1)=a-5;當x=3時,f(x)取得極大值f(3)=a+27.畫出f(x)的大致圖象,要使f(x)的圖象與x軸只有一個交點,只需f(x)的極小值大于0(如圖①)或f(x)的極大值小于0(如圖②).所以a+27<0或a-5>0,解得a<-27或a>5.故實數a的取值范圍為a<-27或a>5.
13.解:(1)當a=3時,f(x)=x-4ln x-,定義域為(0,+∞),則f'(x)=1-+==.由f'(x)>0,得03;由f'(x)<0,得1(2)由題意得,f'(x)=,當01時,f(x)的單調遞增區間為(0,1),(a,+∞),單調遞減區間為(1,a),此時f(x)的極大值為f(1)=1-a,極小值為f(a)=a-1-(a+1)ln a.綜上所述,當01時, f(x)的極大值為f(1)=1-a,極小值為f(a)=a-1-(a+1)ln a.
14.解:由題意知f'(x)=(2ax+1)·e-x+(ax2+x-1)·e-x·(-1)=-e-x·(ax+1)(x-2),令f'(x)=0,得x=-或x=2.
①當->2,即-x (-∞,2) 2 -
f'(x) + 0 - 0 +
f(x) ↗ 極大值 ↘ 極小值 ↗
故當x=-時,f(x)取得極小值.
②當-=2,即a=-時,f'(x)=·e-x·(x-2)2≥0,故f(x)在定義域內無極值.
③當-<2,即a<-時,隨著x的變化,f'(x)與f(x)的變化情況如下表:
x - 2 (2,+∞)
f'(x) + 0 - 0 +
f(x) ↗ 極大值 ↘ 極小值 ↗
故當x=2時,f(x)取得極小值.綜上,當-15.A　[解析] 由題意得f'(x)=x2+ax+1,因為函數f(x)存在兩個極值點,所以其導函數f'(x)有兩個變號零點,所以f'(x)=0的判別式Δ=a2-4>0,解得a>2或a<-2,所以實數a的取值范圍是(-∞,-2)∪(2,+∞).故選A.
16.解:由題知f'(x)=x2+mx-1,函數f(x)在區間(m,+∞)上存在極小值,則函數f(x)的極小值點在(m,+∞)內.
令f'(x)=x2+mx-1=0,得x1=,x2=,易知f(x)在(-∞,x1),(x2,+∞)上單調遞增,在(x1,x2)上單調遞減,所以x=x2是函數f(x)的極小值點,所以>m,得>3m,解得m<.第2課時　函數極值的綜合問題
【學習目標】
1.能利用極值解決含參問題.
2.能利用導數求某些含參函數的極大值、極小值.
◆ 探究點一　討論含參函數的極值
例1 已知函數f(x)=+x+1,討論函數f(x)的極值.
變式 討論函數f(x)=ln x+ax2-(2a+1)x(a>0)的極值.
[素養小結]
求含參函數f(x)的極值的步驟:
(1)求導數f'(x),令f'(x)=0,求方程的根,若根的大小不確定,則需要分類討論;
(2)列表,判斷極大值點和極小值點;
(3)求極值.
◆ 探究點二　已知函數的極值(點)求參數的值或范圍
例2 (1)[2023·江蘇阜寧中學高二期中] 已知函數f(x)=ln x-ax+1的極大值為1,則實數a=　　　　.
(2)若函數f(x)=ex(x-1)-kx2,當x=0時,f(x)有極大值,則k的取值范圍為　　　　.
變式 已知函數f(x)=x3+3ax2+bx+a2在x=-1處取得極值0,則a=　　　　,b=　　　　.
[素養小結]
1.可導函數在極值點處的導數一定為0,但導數為0的點不一定是函數的極值點;函數在極值點處的函數值稱為極值.
2.在已知函數的極值點的情況下求出參數值后,應將參數值代入原式檢驗是否滿足題意.
◆ 探究點三　函數極值的綜合問題
例3 若函數f(x)=x2-2x+ln x存在極值,求實數a的取值范圍.
變式1 若函數f(x)=ex(sin x-a)在區間(0,π)上存在極值,則實數a的取值范圍是　　　　.
變式2 已知函數f(x)=在區間(a>0)上存在極值,求實數a的取值范圍.
[素養小結]
已知函數的極值點,確定函數解析式中的參數時,需要注意以下兩點:
(1)根據極值點處的導數為0和極值這兩個條件列方程組,利用待定系數法求解;
(2)因為“f'(x0)=0”不是“x0為f(x)的極值點”的充要條件,所以利用待定系數法求解后必須驗證充分性.(共22張PPT)
§6 用導數研究函數的性質
6.2 函數的極值
第2課時 函數極值的綜合問題
探究點一 討論含參函數的極值
探究點二 已知函數的極值（點）求
參數的值或范圍
探究點三 函數極值的綜合問題
【學習目標】
1.能利用極值解決含參問題.
2.能利用導數求某些含參函數的極大值、極小值.
探究點一 討論含參函數的極值
例1 已知函數，討論函數 的極值.
解：由，得
當時， 恒成立，在上為增函數，無極值.
②當時，令 ，得，即.
易知當時，，當 時，，
在上單調遞減，在上單調遞增，
在處取得極小值，極小值為 ，無極大值.
綜上所述，當時，無極值；
當時，有極小值 ，無極大值.
變式 討論函數 的極值.
解：函數的定義域為 ，
.
①當時，函數的單調遞增區間為， ，單調遞減區間為
，所以當時，取得極大值 ，
當時，取得極小值 ；
②當時，函數的單調遞增區間為， ，單調遞減區間
為，所以當時，取得極大值，當時，
取得極小值 ；
③當時，恒成立且不恒為0，故函數 的單調遞增區間為
，無極值.
綜上，當時，的極大值為，極小值為 ；
當時，的極大值為，極小值為；
當 時， 無極值.
［素養小結］
求含參函數 的極值的步驟:
（1）求導數,令 ,求方程的根，若根的大小不確定，則需要分類討論;
（2）列表,判斷極大值點和極小值點;
（3）求極值.
探究點二 已知函數的極值（點）求參數的值或范圍
例2（1） [2023·江蘇阜寧中學高二期中] 已知函數 的極
大值為1，則實數 __.
[解析] ，由題意得在上有解，可得
且，此時，所以.
檢驗：當時, ，當時，，單調遞增，
當時，， 單調遞減，所以當時，取得極大值，
極大值為 ，符合題意.故 .
（2）若函數，當時，有極大值，則 的取
值范圍為_________.
[解析] ，當時， 恒成立，此
時在上單調遞減，在上單調遞增，在 處取得極小
值，不符合題意.
當時，令，得或 ，
若當時，有極大值，則,得.
所以 的取值范圍為 .
變式 已知函數在處取得極值0，則 __，
___.
2
9
[解析] 因為，所以 ，
由題意可知，即解得或
當 ,時，且不恒為0，
函數 為上的增函數，此時函數無極值，不合題意；
當, 時，，
令，得或 ，令，得，
所以函數在和 上單調遞增，在上單調遞減，
所以函數在 處取得極小值，符合題意. 故， .
［素養小結］
1.可導函數在極值點處的導數一定為0，但導數為0的點不一定是函數的極值點；
函數在極值點處的函數值稱為極值.
2.在已知函數的極值點的情況下求出參數值后，應將參數值代入原式檢驗是否
滿足題意.
探究點三 函數極值的綜合問題
例3 若函數存在極值，求實數 的取值范圍.
解:函數的定義域為，且 .
由題可知有解，可得.
當 時，恒成立，且不恒為0，不符合題意.
因此實數 的取值范圍是 .
變式1 若函數在區間上存在極值，則實數 的取值
范圍是_________.
[解析] 由 ，得
.
因為函數在區間 上存在極值，
所以在 上有變號零點.
因為 ，所以，即在 上有解，
即在 上有解.
因為 ，所以，即 ，
于是得.
當 時，在上恒成立且 不恒為0，
不符合題意，故 .
變式2 已知函數在區間上存在極值，求實數 的
取值范圍.
解:由，，得，.
令 ，得，當時，，當時，，
所以函數 存在唯一的極大值點.
由題意可得解得，故實數 的取值范圍是 .
［素養小結］
已知函數的極值點,確定函數解析式中的參數時,需要注意以下兩點:
（1）根據極值點處的導數為0和極值這兩個條件列方程組,利用待定系數法求解;
（2）因為“”不是“為 的極值點”的充要條件,所以利用待定系數
法求解后必須驗證充分性.
1.已知函數含有參數，求極值：
解題步驟同上節，但由于導數中含有參數，故需要對參數進行分類討論，以確定
所給函數的單調性和所給函數的極值（方法同含參函數單調性問題的解決策略）.
2.已知函數的極值，求參數：
抓住兩點：
（1）極值點處的導數為0；
（2）極值點處的函數值為極值.
由這兩點建立方程組，解出參數值.
例1 已知函數 .
（1）若函數在處取得極值，求 的值；
解：由，且，得 .
因為函數在處取得極值，所以，解得 ，
此時， .
當時，， 單調遞增；
當時，，單調遞減.
則函數在 處取得極值，符合題意.故 .
（2）討論函數 的極值.
解：的定義域為， .
①當時，，在 上單調遞減，無極值.
②當時，由，可得；由，可得 .
則當時， 單調遞增，
當時， 單調遞減.
故在處取得極大值，極大值為 ，無極小值.
例2 若函數在區間上存在單調遞減區間，則實數
的取值范圍是________.
[解析] 由，得 ，
函數在區間 上存在單調遞減區間，
只需一元二次方程在區間上有解，
記 ，則圖象的對稱軸為 ，圖象開口向下，
，只需，所以 ，
解得 .
例3 若是函數的極值點，則 的極小值為
( )
A
A. B. C. D.1
[解析] 因為 ，
所以 .
因為是函數的極值點，
所以 是的一個根，即，
所以 ，所以.
令，解得 或，令，解得，
所以在 上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增，
所以當時， 取得極小值，且 .故選A.第2課時　函數極值的綜合問題
一、選擇題
1.若x=1是函數f(x)=axln x-e2x-2的極值點,則a的值為 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.-1 B.0
C.1 D.2
2.若a∈R,則“a>1”是“函數f(x)=(x-a)·ex在(1,+∞)上有極值”的 (　 )
A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充要條件
D.既不充分也不必要條件
3.若函數f(x)=x2-2x+aln x(x>0)有兩個不同的極值點,則實數a的取值范圍是 (　 )
A.a≥1 B.a>1
C.a<1 D.04.若函數y=aex+3x在R上有小于零的極值點,則實數a的取值范圍是 (　 )
A.(-3,+∞) B.(-∞,-3)
C. D.
5.若函數f(x)=x2-(a+2)x+aln x(x>0)既有極大值又有極小值,則實數a的取值范圍是(　 )
A.(-∞,2)∪(2,+∞)
B.(0,2)∪(2,+∞)
C.(2,+∞)
D.{2}
6.設函數f(x)=ln x-ax2-bx,若x=1是f(x)的極大值點,則a的取值范圍是 (　 )
A.(-1,0) B.(-1,+∞)
C.(0,1) D.(1,+∞)
7.(多選題)[2023·四川雅安天立中學高二期中] 已知函數f(x)=x3-3x+c的圖象與x軸恰有兩個交點,則實數c的值可以為 (　 )
A.-2 B.-1
C.2 D.3
8.(多選題)[2023·陜西西安高二期末] 已知函數f(x)=x3-ax2-a2x+3在x=-1處取得極大值,則實數a的值可以為 (　 )
A.3 B.1
C.-3 D.-1
二、填空題
9.已知函數f(x)=ax2-4ln x在x=1處取得極值,則a=　　　　.
10.已知函數f(x)=2x3-ax2+ax+1在(0,+∞)上有兩個極值,則實數a的取值范圍為　　　　.
11.設函數f(x)=ln x+在內有極值,則實數a的取值范圍是　　　　.
12.已知函數f(x)=-x3+3x2+9x+a的圖象與x軸只有一個交點,則實數a的取值范圍為　　　　　　　　.
三、解答題
13.已知函數f(x)=x-(a+1)ln x-(a>0).
(1)當a=3時,求f(x)的單調區間;
(2)討論f(x)的極值.
14.設函數f(x)=(ax2+x-1)·e-x(e為自然對數的底數,a為常數且a<0,x∈R),求f(x)取得極小值時x的值.
15.[2023·江西宜春東煌中學高二月考] 若函數f(x)=x3+ax2+x-1存在兩個極值點,則實數a的取值范圍是 (　 )
A.(-∞,-2)∪(2,+∞)
B.(-∞,-2)
C.(-2,2)
D.[-2,2]
16.若函數f(x)=x3+x2-x+在區間(m,+∞)上存在極小值,求實數m的取值范圍.

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