資源簡介

6.3　函數的最值
第1課時　導數與函數的最值
【課前預習】
知識點
1.一條連續不斷的曲線　2.最值
診斷分析
1.(1)√　(2)×　(3)×
2.解:①函數的極值是函數在某一點附近的局部概念,函數的最值是函數在給定區間的整體概念.②函數極值只能在區間內部(除區間端點)取得,函數最值可能在區間端點取得.
【課中探究】
探究點一
例1　(1)D　(2)ABD　[解析] (1)A中,極大值不一定是最大值,故A錯誤;B中,極小值不一定是最小值,故B錯誤;C中,極大值不在區間端點取得,故C錯誤;D中,函數在閉區間上的圖象是一條連續曲線,則必存在最大值和最小值,故D正確.故選D.
(2)由題圖知,當x∈[a,c]時,f'(x)≥0,且只在有限個點為0,∴f(x)在[a,c]上單調遞增,故f(a)0,∴f(x)在[c,e]上單調遞減,在(e,+∞)上單調遞增,∴函數f(x)在x=c處取得極大值,在x=e處取得極小值,故C中結論正確,B中結論錯誤;f(c)>f(d)>f(e),∴D中結論錯誤.故選ABD.
變式　(1)B　(2)D　[解析] (1)函數的最大值有可能是函數的極大值,故A錯誤;函數的極大值可以小于該函數的極小值,故B正確;函數在某一個閉區間上的極小值不一定是該函數在這個閉區間上的最小值,故C錯誤;函數在開區間內有可能存在最大值和最小值,故D錯誤.故選B.
(2)由題圖可得,當x>-1時,y=(x+1)f'(x)>0 f'(x)>0,當x=-1時,y=(x+1)f'(x)=(-1+1)f'(-1)=0,f'(-1)的符號無法確定,當-30 f'(x)<0,當x=-3時,y=(x+1)f'(x)=(-3+1)f'(-3)=0 f'(-3)=0,當x<-3時,y=(x+1)f'(x)<0 f'(x)>0,故f(x)在(-∞,-3)上單調遞增,在(-3,-1)上單調遞減,在(-1,+∞)上單調遞增.f(-1)是函數f(x)的極小值,但不一定是最小值,故A錯誤;f(-3)是函數f(x)的極大值,故B錯誤;f(x)在(-3,1)上不單調,故C錯誤;由題圖知(0+1)f'(0)>0 f'(0)>0,所以f(x)的圖象在x=0處的切線斜率大于0,故D正確.故選D.
探究點二
例2　解:(1)由題可得f(x)的定義域為R,f'(x)=2x2-2x-4=2(x-2)(x+1).
令f'(x)=0,解得x1=-1,x2=2.
當x≤-1時,f'(x)≥0且f'(x)不恒為0,當-1所以函數f(x)的單調遞增區間為(-∞,-1],[2,+∞),單調遞減區間為(-1,2).
(2)由(1)知,當x在區間[-3,3]上變化時,f'(x),f(x)的變化情況如下表所示:
x [-3,-1) -1 (-1,2) 2 (2,3]
f'(x) + 0 - 0 +
f(x) ↗ 極大值 ↘ 極小值 ↗
又f(-3)=-10,f(-1)=,f(2)=-,f(3)=2,所以函數f(x)在區間[-3,3]上的最小值為-10,最大值為.
變式　解:因為f(x)=x+cos x,x∈[0,2π],所以f'(x)=-sin x.
令f'(x)=0,解得x=或x=,當0≤x≤時,f'(x)≥0且f'(x)不恒為0,當所以f(x)在和上單調遞增,在上單調遞減,
所以函數f(x)在x=處取得極大值,在x=處取得極小值.
可得f(0)=1,f=×+cos =+,
f=×+cos =-,f(2π)=×2π+cos 2π=π+1,
因為--1>0,所以f>f(0),
顯然π+1>+,即f(2π)>f,
所以函數f(x)的最大值為π+1,最小值為1.
探究點三
例3　證明:令g(x)=f(x)-(3x-8)=x3-x2-3x+9,則g'(x)=x2-2x-3=(x-3)(x+1),當x∈(3,+∞)時,g'(x)>0,函數g(x)單調遞增,又g(x)的圖象為一條連續曲線,所以當x∈(3,+∞)時,g(x)>g(3)=0,即f(x)>3x-8,得證.
變式1　證明:令f(x)=ex-x-1(x≥0),則f'(x)=ex-1≥0且f'(x)不恒為0,∴f(x)在[0,+∞)上是增函數,
∴對任意的x∈[0,+∞),有f(x)≥f(0),又f(0)=0,
∴f(x)≥0,即ex≥x+1(x≥0).
令g(x)=x-sin x(x≥0),則g'(x)=1-cos x≥0且g'(x)不恒為0,∴g(x)在[0,+∞)上是增函數,∴g(x)≥g(0),又g(0)=0,∴x-sin x≥0(x≥0),∴x+1≥sin x+1(x≥0).
綜上,ex≥x+1≥sin x+1(x≥0).
變式2　解:(1)f(x)=ex-1-a(x+1)的定義域為R,f'(x)=ex-1-a.
當a≤0時,f'(x)>0恒成立,所以f(x)在R上單調遞增.
當a>0時,令f'(x)>0,解得x>1+ln a,令f'(x)<0,解得x<1+ln a,故f(x)在(-∞,1+ln a)上單調遞減,在(1+ln a,+∞)上單調遞增.
綜上,當a≤0時,f(x)在R上單調遞增;當a>0時,f(x)在(-∞,1+ln a)上單調遞減,在(1+ln a,+∞)上單調遞增.
(2)證明:令h(x)=ln x-(x-1),x∈(1,+∞),
則h'(x)=-1=,當x∈(1,+∞)時,h'(x)<0,h(x)單調遞減,故h(x)當a=時,令F(x)=f(x)-(x-1)2=ex-1-(x+1)-(x-1)2,x∈(1,+∞),其中F(1)=0,
則F'(x)=ex-1-2x+,x∈(1,+∞).
令t(x)=ex-1-2x+,x∈(1,+∞),則t'(x)=ex-1-2,x∈(1,+∞),令t'(x)=0,解得x=1+ln 2.當x∈(1,1+ln 2)時,t'(x)<0,F'(x)單調遞減;當x∈(1+ln 2,+∞)時,t'(x)>0,F'(x)單調遞增.易知F'(x)的極小值即為F'(x)的最小值,最小值為F'(1+ln 2)=-2ln 2=,由于e3>16,故F'(x)min>0,所以F'(x)>0在(1,+∞)上恒成立,故F(x)在(1,+∞)上單調遞增,則F(x)>F(1)=0,所以f(x)>(x-1)2>(x-1)g(x),證畢.6.3　函數的最值
第1課時　導數與函數的最值
1.C　[解析] 由f(x)=x-ex可得f'(x)=1-ex,x∈R,當x<0時,f'(x)>0,當x>0時,f'(x)<0,故f(x)在(-∞,0)上單調遞增,在(0,+∞)上單調遞減,故f(x)max=f(0)=-1.故選C.
2.C　[解析] 由題意得f'(x)=1-cos x,當x∈[0,π]時,由f'(x)>0,得3.A　[解析] 由f(x)=x+e-x,得f'(x)=1-e-x=.當-1≤x<0時,f'(x)=<0,f(x)單調遞減;當00,f(x)單調遞增.則f(x)在x=0處取得極小值,即最小值,最小值為f(0)=0+e0=1.故選A.
4.B　[解析] 由f(x)=excos x,得f'(x)=excos x-exsin x=excos.當x∈時,令f'(x)=0,解得x=.當0≤x<時,f'(x)>0,f(x)單調遞增,當5.D　[解析] f'(x)===,當x∈(0,)時,f'(x)<0,f(x)單調遞減,當x∈(,+∞)時,f'(x)>0,f(x)單調遞增,所以f(x)在區間(0,+∞)上的最小值為f()===2-1.故選D.
6.B　[解析] f(x)=-f'(1)x-4ln x,則f'(x)=-f'(1)-,令x=1,可得f'(1)=-f'(1)-4,解得f'(1)=-2,則f(x)=2x-4ln x,f'(x)=2-=(x>0).當x∈(0,2)時,f'(x)<0,f(x)在(0,2)上單調遞減;當x∈(2,+∞)時,f'(x)>0,f(x)在(2,+∞)上單調遞增.所以f(x)有最小值f(2)=4-4ln 2,無最大值.故選B.
7.BC　[解析] 由f(x)的導函數f'(x)的圖象可知,函數f(x)在(-∞,-2),上單調遞減,在,(2,+∞)上單調遞增,故當x=-2和x=2時,f(x)取得極小值,當x=時,f(x)取得極大值,故B,C一定正確,A不一定正確,D錯誤.故選BC.
8.CD　[解析] ∵f(x)=(x2-3)ex,∴f'(x)=2xex+(x2-3)ex=(x+3)(x-1)ex,∴當x∈(-∞,-3)時,f'(x)>0,函數f(x)單調遞增,當x∈(1,+∞)時,f'(x)>0,函數f(x)單調遞增,當x∈(-3,1)時,f'(x)<0,函數f(x)單調遞減,當x→-∞時,f(x)→0且f(x)>0,當x→+∞時,f(x)→+∞.∴當x=1時,f(x)取得極小值-2e,也為最小值,故D正確.當x=-3時,f(x)取得極大值,f(x)無最大值,故C正確.由上述分析可知,若方程f(x)=b恰有三個不同的實數根,則09.2　[解析] 由題意得f'(x)=ex+1-1,由f'(x)>0得x>-1,由f'(x)<0得x<-1,所以f(x)在(-∞,-1)上單調遞減,在(-1,+∞)上單調遞增,所以f(x)在x=-1處取得極小值,也是最小值,故f(x)的最小值為f(-1)=2.
10.2+e　[解析] 由題意得f'(x)=ex(-2x+1),令f'(x)=0,解得x=.當x∈時,f'(x)>0,f(x)單調遞增;當x∈時,f'(x)<0,f(x)單調遞減.所以f為f(x)的極大值,也是f(x)在[0,1]上的最大值,因為f(0)=3,f=2,f(1)=e,所以M=2,N=e,所以M+N=2+e.
11.2ln 2　[解析] 函數f(x)=2ef'(e)ln x-的定義域為(0,+∞),f'(x)=-,令x=e,得f'(e)=-,解得f'(e)=,因此函數f(x)=2ln x-,f'(x)=-.當00,當x>2e時,f'(x)<0,則函數f(x)在(0,2e)上單調遞增,在(2e,+∞)上單調遞減,所以f(x)max=f(2e)=2ln(2e)-2=2ln 2.
12.3-2ln 2　[解析] 當x=t時,|AB|=|f(t)-g(t)|=|et+t-3t+1|=|et-2t+1|.令h(t)=et-2t+1,則h'(t)=et-2,令h'(t)=0,則t=ln 2.易知h(t)在(-∞,ln 2)上單調遞減,在(ln 2,+∞)上單調遞增,所以當t=ln 2時,h(t)取得極小值,也為最小值,則h(t)min=h(ln 2)=3-2ln 2>0,所以|h(t)|∈[3-2ln 2,+∞),所以|AB|的最小值為3-2ln 2.
13.解:(1)由題意得,f'(x)==,則f'(0)=2,f(0)=-1,所以曲線y=f(x)在點(0,f(0))處的切線方程為y+1=2x,即y=2x-1.
(2)由f'(x)=,得當1≤x<2時,f'(x)>0,當214.證明:易知函數f(x)的定義域為(0,+∞).要證f(x)0).令g'(x)==0,解得x=1,所以當x∈(0,1)時,g'(x)>0,g(x)單調遞增,當x∈(1,+∞)時,g'(x)<0,g(x)單調遞減.所以g(x)max=g(1)=-2<0,所以ln x-x-1<0恒成立,即f(x)15.B　[解析] 由yln y=e2x-yln(2x),得yln y+yln(2x)=e2x(x>0,y>0),則yln(2xy)=e2x,所以2xyln(2xy)=2xe2x,即eln(2xy)ln(2xy)=2xe2x,又x>0,所以ln(2xy)>0.設f(x)=xex(x>0),則f'(x)=(x+1)ex>0,可知f(x)在(0,+∞)上為增函數,所以ln(2xy)=2x,則2xy=e2x,即y=.令g(x)=(x>0),則g'(x)==,當0時,g'(x)>0,所以g(x)在上單調遞減,在上單調遞增,所以ymin=g(x)min=g=e.故選B.
16.解:(1)由題意知f'(x)=e-x(cos x-sin x)=e-xcos,x∈[0,π],令f'(x)=0,得x=.當x∈時,f'(x)>0,f(x)單調遞增;當x∈時,f'(x)<0,f(x)單調遞減.∴f(x)的單調遞增區間為,單調遞減區間為.
(2)證明:設h(x)=f'(x),x∈[0,π],則h'(x)=-2e-xcos x,
令h'(x)=0,得x=,易知f'(x)在上單調遞減,在上單調遞增,∵f'=-,f'(0)=1,f'(π)=-e-π,∴|f'(x)|max即為,|f'(0)|,|f'(π)|中的最大值1,∴|f'(x)|≤1.6.3　函數的最值
第1課時　導數與函數的最值
【學習目標】
理解函數最大值、最小值的定義以及與極值的關系,能利用導數求函數的最大值、最小值.
◆ 知識點　函數最值的定義
1.一般地,如果在區間[a,b]上函數y=f(x)的圖象是　　　　　　　　　　　　,那么它必有最大值和最小值.
2.一般地,設函數y=f(x)的定義域為I,如果存在實數M滿足:
(1)對任意x∈I,都有f(x)≤M(或f(x)≥M);
(2)存在x∈I,使得f(x)=M.
那么,我們稱M是函數y=f(x)的最大值(或最小值).
函數的最大值和最小值統稱為　　　　.
【診斷分析】 1.判斷正誤.(請在括號中打“√”或“×”)
(1)有些函數的最值不能通過求導數得到. (　 )
(2)有極值的函數一定有最值,有最值的函數不一定有極值. (　 )
(3)圖象是一條連續曲線的函數在區間(a,b)上一定有最大值或最小值. (　 )
2.函數的極值與最值有什么區別
◆ 探究點一　極值與最值的關系
例1 (1)下列說法中正確的是 (　 )
A.若f(x)在[a,b]上有極大值,則極大值一定是f(x)在[a,b]上的最大值
B.若f(x)在[a,b]上有極小值,則極小值一定是f(x)在[a,b]上的最小值
C.若f(x)在[a,b]上有極大值,則極大值一定是在x=a和x=b處取得
D.若f(x)在[a,b]上的圖象是一條連續曲線,則f(x)在[a,b]上存在最大值和最小值
(2)(多選題)已知定義在R上的函數f(x),其導函數f'(x)的大致圖象如圖所示,則下列結論錯誤的是(　 )
A.f(b)>f(a)>f(c)
B.函數f(x)在x=c處取得極小值,在x=e處取得極大值
C.函數f(x)在x=c處取得極大值,在x=e處取得極小值
D.函數f(x)的最小值為f(d)
變式 (1)下列說法正確的是 (　 )
A.函數的最大值一定不是該函數的極大值
B.函數的極大值可以小于該函數的極小值
C.函數在某一個閉區間上的極小值就是該函數在這個閉區間上的最小值
D.函數在開區間內不存在最大值和最小值
(2)[2024·安徽六安高二期末] 已知函數f(x)在R上的圖象連續不斷,f'(x)為f(x)的導函數,y=(x+1)f'(x)的大致圖象如圖所示,則下列結論正確的是 (　 )
A.f(-1)是函數f(x)的最小值
B.f(-3)是函數f(x)的極小值
C.f(x)在(-3,1)上單調遞增
D.f(x)的圖象在x=0處的切線斜率大于0
[素養小結]
注意區分極值與最值:極值是函數的局部性質,最值是函數的整體性質;極值不可能在區間端點取到,最值可能在區間端點取到.
◆ 探究點二　求函數的最值
例2 已知函數f(x)=x3-x2-4x+5.
(1)求函數f(x)的單調區間;
(2)求函數f(x)在區間[-3,3]上的最大值和最小值.
變式 求函數f(x)=x+cos x,x∈[0,2π]的最值.
[素養小結]
求函數最值的步驟:先求出函數在給定區間內的極值,再比較極值與區間端點處的函數值的大小,其中最大(或最小)的值即為函數的最大值(或最小值).
◆ 探究點三　利用最值證明不等式
例3 已知函數f(x)=x3-x2+1,證明:當x∈(3,+∞)時,f(x)>3x-8.
變式1 證明:ex≥x+1≥sin x+1(x≥0).
變式2 已知函數f(x)=ex-1-a(x+1)(a∈R),g(x)=ln x.
(1)討論f(x)的單調性;
(2)當a=,x∈(1,+∞)時,求證:f(x)>(x-1)g(x).
[素養小結]
證明不等式的一般思路:證明不等式可以通過構造函數將不等式問題等價轉化為函數最值問題,如要證明不等式f(x)>g(x)成立,可以構造函數h(x)=f(x)-g(x),轉化為證明h(x)>0成立,由h'(x)判斷h(x)的單調性,確定h(x)的最小值,從而證明結論.(共31張PPT)
§6 用導數研究函數的性質
6.3 函數的最值
第1課時 導數與函數的最值
探究點一 極值與最值的關系
探究點二 求函數的最值
探究點三 利用最值證明不等式
【學習目標】
理解函數最大值、最小值的定義以及與極值的關系，能利用導數求函數的
最大值、最小值.
知識點 函數最值的定義
1.一般地,如果在區間上函數 的圖象是____________________,那
么它必有最大值和最小值.
2.一般地,設函數的定義域為,如果存在實數 滿足:
（1）對任意,都有（或 ）;
一條連續不斷的曲線
（2）存在,使得 .
那么,我們稱是函數 的最大值（或最小值）.
函數的最大值和最小值統稱為______.
最值
【診斷分析】
1.判斷正誤.（請在括號中打“√”或“×”）
（1）有些函數的最值不能通過求導數得到.( )
√
（2）有極值的函數一定有最值，有最值的函數不一定有極值. ( )
×
（3）圖象是一條連續曲線的函數在區間 上一定有最大值或最小值.( )
×
2.函數的極值與最值有什么區別
解：①函數的極值是函數在某一點附近的局部概念,函數的最值是函數在給定區
間的整體概念.②函數極值只能在區間內部（除區間端點）取得,函數最值可能在
區間端點取得.
探究點一 極值與最值的關系
例1（1） 下列說法中正確的是( )
D
A.若在上有極大值，則極大值一定是在 上的最大值
B.若在上有極小值，則極小值一定是在 上的最小值
C.若在上有極大值，則極大值一定是在和 處取得
D.若在上的圖象是一條連續曲線，則在 上存在最大值和最小值
[解析] A中，極大值不一定是最大值，故A錯誤；
B中，極小值不一定是最小值，故B錯誤；
C中，極大值不在區間端點取得，故C錯誤；
D中，函數在閉區間上的圖象是一條連續曲線，則必存在最大值和最小值，
故D正確.故選D.
（2）（多選題）已知定義在上的函數 ，其導函數
的大致圖象如圖所示，則下列結論錯誤的是
( )
ABD
A.
B.函數在處取得極小值，在 處取得極大值
C.函數在處取得極大值，在 處取得極小值
D.函數的最小值為
[解析] 由題圖知，當時，，且只在有限個點為0，
在上單調遞增，故，A中結論錯誤；
當 時，，且只在有限個點為0，
當時，，在 上單調遞減，在上單調遞增，
函數在處取得極大值，在 處取得極小值，
故C中結論正確，B中結論錯誤；
， 中結論錯誤.故選 .
變式（1） 下列說法正確的是( )
B
A.函數的最大值一定不是該函數的極大值
B.函數的極大值可以小于該函數的極小值
C.函數在某一個閉區間上的極小值就是該函數在這個閉區間上的最小值
D.函數在開區間內不存在最大值和最小值
[解析] 函數的最大值有可能是函數的極大值,故A錯誤;
函數的極大值可以小于該函數的極小值,故B正確;
函數在某一個閉區間上的極小值不一定是該函數在這個閉區間上的最小值,故C錯誤;
函數在開區間內有可能存在最大值和最小值,故D錯誤.故選B.
（2）[2024·安徽六安高二期末]已知函數在 上的
圖象連續不斷，為 的導函數，
的大致圖象如圖所示，則下列結論正
確的是( )
D
A.是函數 的最小值
B.是函數 的極小值
C.在 上單調遞增
D.的圖象在 處的切線斜率大于0
[解析] 由題圖可得，當時， ，
當時，， 的符號無法確定，
當時，，
當 時，，
當 時，，
故在上單調遞增，在 上單調遞減，在上單調遞增.
是函數 的極小值，但不一定是最小值，故A錯誤；
是函數的極大值，故B錯誤；
在 上不單調，故C錯誤；
由題圖知，
所以 的圖象在 處的切線斜率大于0，故D正確.故選D.
［素養小結］
注意區分極值與最值：極值是函數的局部性質，最值是函數的整體性質；極值
不可能在區間端點取到，最值可能在區間端點取到.
探究點二 求函數的最值
例2 已知函數 .
（1）求函數 的單調區間；
解：由題可得的定義域為, .
令，解得, .
當時，且不恒為0，當時,,當
時，且 不恒為0，
所以函數的單調遞增區間為,，單調遞減區間為 .
（2）求函數在區間 上的最大值和最小值.
解：由（1）知，當在區間上變化時，, 的變化情況如下表所示：
2
0 - 0
極大值 極小值
又，，，，所以函數 在區間
上的最小值為，最大值為 .
變式 求函數， 的最值.
解:因為，，所以 .
令，解得或，當時，且 不恒為0，
當時，，當 時，且 不恒為0，
所以在和上單調遞增，在 上單調遞減，
所以函數在處取得極大值，在 處取得極小值.
可得， ，
， ，
因為，所以 ，
顯然，即 ，
所以函數的最大值為 ，最小值為1.
［素養小結］
求函數最值的步驟：先求出函數在給定區間內的極值，再比較極值與區間端點
處的函數值的大小，其中最大（或最小）的值即為函數的最大值（或最小值）.
探究點三 利用最值證明不等式
例3 已知函數，證明：當時， .
證明：令 ，
則，
當時，，函數 單調遞增，
又的圖象為一條連續曲線，
所以當 時，，即 ，得證.
變式1 證明： .
證明：令，則且 不恒為0，
在 上是增函數，
對任意的，有，又 ，
，即 .
令，則且不恒為0，
在上是增函數，，
又， ， .
綜上， .
變式2 已知函數， .
（1）討論 的單調性；
解:的定義域為， .
當時，恒成立，所以在 上單調遞增.
當時，令，解得，令，解得 ，
故在上單調遞減，在 上單調遞增.
綜上，當時，在上單調遞增；當時，在 上單
調遞減，在 上單調遞增.
（2）當，時，求證： .
證明：令， ，
則，當時，， 單調遞減，
故，即，
故當 時， .
當時，令 ，
，其中 ，則， .
令，，則， ，
令，解得.
當時，， 單調遞減；
當時，，單調遞增.
易知 的極小值即為的最小值，
最小值為，
由于 ，故，
所以在上恒成立，故在 上單調遞增，
則，所以 ，證畢.
［素養小結］
證明不等式的一般思路:證明不等式可以通過構造函數將不等式問題等價轉化為
函數最值問題,如要證明不等式 成立,可以構造函數
,轉化為證明成立，由判斷 的單調性,確定
的最小值,從而證明結論.
1.函數的最值表示函數在定義域內的函數值的整體情況.在閉區間 上的圖象
是連續曲線的函數必有一個最大值和一個最小值,但是最值點可以不唯一;在開區
間 上的圖象是連續曲線的函數不一定有最大值和最小值.
2.函數在區間 上的最值情況
在區間上函數的圖象是一條連續的曲線時,在 上不一定有最
值.常見的情況有以下幾種:
如圖,圖①中的函數在 上有最大值
而無最小值;
圖②中的函數在 上有最小值而無
最大值;
圖③中的函數在 上既無最大值也
無最小值;
圖④中的函數在 上既有最大值也
有最小值.
3.一般地,求函數在區間 上的最大值與最小值的步驟如下:
（1）求函數在區間 上的極值;
（2）將函數的各極值與區間端點處的函數值, 比較,其中最大
的一個是最大值,最小的一個是最小值.
例1 已知函數，則在 上的最大值為____.
16
[解析] 由題意得，
令 ，則或 .
當時，，單調遞減；
當時，， 單調遞增.
所以在處取得極小值，
又， ，所以在 上的最大值為16．
例2 已知函數，則 的最小值是_ _____.
[解析] 由題意，可得 是 的一個周期，
故只需考慮在 上的最小值.易知
，
當時，令，可得或，可得或
或，的最小值只能在， ，
，中的一點處取到，
計算可得，， ，，
函數的最小值為 .
例3 [2023· 江西樂安二中高二期末]已知函數 的極值點為
，函數的最大值為 ，則( )
A
A. B.
C. D.， 的大小不確定
[解析] 的定義域為， ，
由題知，又在上單調遞增，且 ，
，所以,．
的定義域為 ， ，
當時，， 單調遞增，
當時，，單調遞減，
故在 處取得極大值，也是最大值，
，即.因為 ，所以 ．故選A.6.3　函數的最值
第1課時　導數與函數的最值
一、選擇題
1.[2023·吉林白山高二期末] 已知函數f(x)=x-ex,則f(x)的最大值為 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.1 B.0 C.-1 D.e
2.函數f(x)=x-sin x在區間[0,π]上的最大值、最小值分別為 (　 )
A.π,0 B.-,0
C.π,-1 D.0,-1
3.已知函數f(x)=x+e-x,則函數f(x)在[-1,1]上的最小值為 (　 )
A.1 B.1+
C.-1+e D.1-
4.已知函數f(x)=excos x在區間上的最大值為f(x0),則x0的值為(　 )
A.0 B. C. D.
5.[2023·山東威海高二期末] 函數f(x)=在區間(0,+∞)上的最小值為 (　 )
A.2 B.2
C.2-1 D.2-1
6.[2023·河北秦皇島高二期末] 已知函數f(x)=-f'(1)x-4ln x,則 (　 )
A.f(x)有最小值2-4ln 2
B.f(x)有最小值4-4ln 2
C.f(x)有最大值2-4ln 2
D.f(x)無最小值
7.(多選題)函數f(x)的導函數f'(x)的圖象如圖所示,則下列說法一定正確的有 (　 )
A.x=-2為函數f(x)的一個零點
B.x=為函數f(x)的極大值點
C.函數f(x)在區間上單調遞增
D.f(-1)是函數f(x)的最大值
8.(多選題)設函數f(x)=(x2-3)ex,則下列說法正確的是 (　 )
A.若方程f(x)=b恰有三個不同的實數根,則-2eB.若方程f(x)=b恰有一個實數根,則b>
C.f(x)有極大值,但無最大值
D.f(x)有極小值,也有最小值
二、填空題
9.函數f(x)=ex+1-x的最小值為　　　　.
10.若函數f(x)=(-2x+3)ex在區間[0,1]上的最大值和最小值分別記為M,N,則M+N=　　　　.
11.[2023·吉林長春十七中高二期末] 已知函數f(x)=2ef'(e)ln x-,則函數f(x)的最大值為　　　　.
12.已知直線x=t與函數f(x)=ex+x和g(x)=3x-1的圖象分別交于點A,B,則|AB|的最小值為　　　　.
三、解答題
13. 已知函數f(x)=.
(1)求曲線y=f(x)在點(0,f(0))處的切線方程;
(2)求函數f(x)在[1,3]上的最大值和最小值.
14.已知函數f(x)=xln x,求證:f(x)15.[2023·江西萍鄉安源中學高二期末] 已知實數x,y滿足yln y=e2x-yln(2x),則y的最小值為 (　 )
A. B.e
C. D.e2
16.已知函數f(x)=,x∈[0,π],函數f(x)的導函數為f'(x).
(1)求函數f(x)的單調區間;
(2)求證:|f'(x)|≤1.

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