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第2課時　函數最值的綜合問題
【課中探究】
探究點一
例1　解:(1)由題意得f'(x)=ex(x-a),因為ex>0恒成立,
所以當x∈(-∞,a)時,f'(x)<0,f(x)單調遞減,
當x∈(a,+∞)時,f'(x)>0,f(x)單調遞增.
(2)由(1)得,①當a≥1時,f(x)在[0,1]上單調遞減,則f(x)min=f(1)=-ae;
②當0③當a≤0時,f(x)在[0,1]上單調遞增,f(x)min=f(0)=-a-1.
綜上所述, 當a≤0時,f(x)在區間[0,1]上的最小值為f(0)=-a-1;
當0當a≥1時,f(x)在區間[0,1]上的最小值為f(1)=-ae.
變式　解:f'(x)=3x2-3a,令f'(x)=0,得x=±.
當<<1,即x -2 (-2,-) - (-,) (,1) 1
f'(x) + + 0 - 0 + +
f(x) -7+6a 單調遞增 極大值 單調遞減 極小值 單調調增 2-3a
因為f(-)=2a+1>2-3a,所以f(x)的最大值為2a+1.
當1≤<2,即1≤a<4時,f(x)和f'(x)隨x的變化情況如表:
x -2 (-2,-) - (-,1) 1
f'(x) + + 0 - -
f(x) -7+6a 單調遞增 極大值 單調遞減 2-3a
因為f(-)=2a+1,所以f(x)的最大值為2a+1.
當≥2,即a≥4時,f'(x)=3x2-3a≤0恒成立且f'(x)不恒為0,則f(x)在[-2,1]上單調遞減,所以f(x)的最大值為f(-2)=-7+6a.
綜上所述,當當a≥4時,f(x)的最大值為-7+6a.
拓展　解:f'(x)=ln x-a,當x∈[1,e]時,ln x∈[0,1].
(i)當a≤0時,f'(x)≥0在[1,e]上恒成立,函數f(x)在區間[1,e]上單調遞增,
所以m=f(e)=1-ae,n=f(1)=-a,
所以m-n=(1-e)a+1.
令p(a)=(1-e)a+1(a≤0),則函數p(a)在區間(-∞,0]上單調遞減,
所以p(a)的最小值為p(0)=1,即m-n的最小值為1.
(ii)當a≥1時,f'(x)≤0在[1,e]上恒成立,函數f(x)在區間[1,e]上單調遞減,
所以m=f(1)=-a,n=f(e)=1-ae,
所以m-n=(e-1)a-1.
令h(a)=(e-1)a-1(a≥1),則函數h(a)在區間[1,+∞)上單調遞增,
所以h(a)的最小值為h(1)=e-2,即m-n的最小值為e-2.
(iii)當00,得ea所以函數f(x)在區間[1,ea)上單調遞減,在區間(ea,e]上單調遞增,
所以n=f(ea)=1-ea.
①當≤a<1時,f(1)-f(e)=(e-1)a-1≥0,此時m=f(1)=-a,
所以m-n=f(1)-f(ea)=ea-a-1.
令φ(a)=ea-a-1,則φ'(a)=ea-1,由≤a<1,可得φ'(a)>0,
所以函數φ(a)在區間上單調遞增,
所以函數φ(a)的最小值為φ=--1=-.
②當0所以m-n=f(e)-f(ea)=ea-ae.
令q(a)=ea-ae,則q'(a)=ea-e,由0所以函數q(a)在區間上單調遞減,
所以q(a)>q=-.
可得當0綜上可知,當a≤0時,m-n的最小值為1,當0探究點二
例2　解:(1)由題意得f(x)的定義域是(0,+∞),且f'(x)=.
若a≥0,則f'(x)>0在(0,+∞)上恒成立,故f(x)在(0,+∞)上單調遞增,無極值.
若a<0,則當x>-a時,f'(x)>0,f(x)單調遞增;
當0(2)由(1)可得f'(x)=.
①當x∈[1,e]時,若a≥-1,則x+a≥0,即f'(x)≥0在[1,e]上恒成立,
此時f(x)在[1,e]上單調遞增,所以f(x)min=f(1)=-a=,所以a=-(不合題意,舍去).
②當x∈[1,e]時,若a≤-e,則x+a≤0,即f'(x)≤0在[1,e]上恒成立,
此時f(x)在[1,e]上單調遞減,所以f(x)min=f(e)=1-=,
所以a=-(不合題意,舍去).
③若-e則當1≤x<-a時,f'(x)<0,所以f(x)在[1,-a)上單調遞減;
當-a0,所以f(x)在(-a,e]上單調遞增.
所以f(x)min=f(-a)=ln(-a)+1=,所以a=-,符合題意.
綜上,a=-.
變式　解:(1)f'(x)=3ax2+2bx-3,由已知得
得解得
于是f'(x)=3x2+8x-3=(x+3)(3x-1).
由f'(x)>0,得x<-3或x>,由f'(x)<0,得-3可知x=-3是函數f(x)的極大值點,則a=1,b=4符合題意,
所以f(x)的單調遞增區間是(-∞,-3)和,單調遞減區間是.
(2)由(1)知f(x)=x3+4x2-3x+c,
且f(x)在區間上單調遞減,在上單調遞增,
又f(1)=2+c所以f(x)在區間[-1,1]上的最大值為f(-1)=6+c=10,解得c=4.
拓展　C　[解析] 因為函數f(x)=x3-3x,所以f'(x)=3x2-3,則當x<-1或x>1時,f'(x)>0,當-11.A　[解析] f'(x)=-3x2+6x+9=-3(x+1)(x-3),當x∈[-2,-1]時,f'(x)≤0且f'(x)不恒為0,函數f(x)單調遞減,所以函數f(x)在[-2,-1]上的最大值是f(-2)=8+12-18+a=2,得a=0,則函數f(x)在[-2,-1]上的最小值是f(-1)=1+3-9=-5.故選A.
2.B　[解析] 函數f(x)的定義域為(0,+∞),f'(x)=-,依題意可知,f(1)=-2,f'(1)=0,所以b=-2,a-b=0,則a=-2,b=-2,所以f'(x)=-+,則f'(2)=-1+=-.故選B.
3.A　[解析] 因為f(x)=3x-x3,所以f'(x)=3-3x2=3(1-x)(1+x),可得當x<-1時,f'(x)<0,f(x)單調遞減,當-10,f(x)單調遞增,當x>1時,f'(x)<0,f(x)單調遞減,所以函數f(x)的極小值為f(-1)=-2.由f(x)=-2,得3x-x3=-2,即x3-3x-2=0,即(x+1)2(x-2)=0,可得x=-1或x=2.要使函數f(x)在區間(a2-4,a)上有最小值,需滿足解得-14.C　[解析] 由題意得f'(x)=4ax3-12ax2,x∈[1,4],令f'(x)=0,得x=3或x=0(舍去),當1≤x<3時,f'(x)<0,函數f(x)單調遞減,當30,函數f(x)單調遞增,故x=3為f(x)的唯一極小值點,也是最小值點.因為a>0,且f(3)=b-27a,f(1)=b-3a,f(4)=b,所以f(x)的最小值為f(3)=b-27a,最大值為f(4)=b,所以解得所以a+b=.故選C.
5.C　[解析] 由題知f'(x)=x-a-=(x>0),函數f(x)在區間(1,2)內有最小值,則函數f(x)在區間(1,2)內必定存在極值點,由a2+4>0,可設x1,x2為一元二次方程x2-ax-1=0的兩根,有不妨設x16.A　[解析] 由y=3x-x3得y'=3-3x2,令y'>0,得-11,所以y=3x-x3在(-∞,-1)上單調遞減,在(-1,1)上單調遞增,在(1,+∞)上單調遞減,所以當x=-1時,y=3x-x3取得極小值,極小值為-2.因為f(x)=無最小值,所以解得a<-1.故選A.
7.BCD　[解析] f'(x)=3x2-3=3(x2-1),令f'(x)=0,得x=±1,易知f(x)在(-∞,-1),(1,+∞)上單調遞增,在(-1,1)上單調遞減,因為f(x)在(-2,m)上有最大值,所以f(x)的極大值點-1∈(-2,m),f(-1)=2,當x3-3x=2時,x=2或x=-1,所以-18.ABC　[解析] f'(x)=(x+1)(ex-m),當x∈[1,2]時,x+1>0,ex∈[e,e2].若m≤e,則ex-m≥0,所以f'(x)≥0,當且僅當x=1,m=e時取等號,則f(x)在[1,2]上單調遞增,f(x)min=f(1)=e-m;若e0,f(x)單調遞增,所以f(x)min=f(ln m)=-(ln m)2;若m≥e2,則ex-m≤0,所以f'(x)≤0,當且僅當x=2,m=e2時取等號,則f(x)在[1,2]上單調遞減,f(x)min=f(2)=2e2-4m.故選ABC.
9.2　[解析] 設f(x)=(x-2)ex+m,則f'(x)=(x-1)ex,令f'(x)=0,解得x=1.當x>1時,f'(x)=(x-1)ex>0,此時函數f(x)單調遞增,所以f(x)在區間(1,2]上單調遞增;當x<1時,f'(x)=(x-1)ex<0,此時函數f(x)單調遞減,所以f(x)在區間[0,1)上單調遞減.所以當x=1時,函數f(x)取得最小值-e+m=2-e,解得m=2.又f(0)=-2+m=0,f(2)=m=2,所以當x=2時,函數f(x)在[0,2]上取得最大值,最大值為2.
10.2　[解析] ∵f(x)在x=處取得最值,∴x=是函數f(x)的極值點.又∵f'(x)=acos x+cos 3x,∴f'=acos+cos π=0,解得a=2.
11.[0,1)　[解析] 令g(x)=3x-x3,x>0,則g'(x)=3-3x2=3(1-x2),令g'(x)>0,得01.
所以g(x)在(0,1)上單調遞增,在(1,+∞)上單調遞減.f(1)=2=f(-1),作出函數f(x)的大致圖象,如圖,由圖象及題意可得-1≤a-1<1<3-2a,解得0≤a<1,所以實數a的取值范圍是[0,1).
12.-3　[解析] 由已知得f'(x)=2x(3x-a),當x∈(0,+∞)時,若a≤0,則f'(x)>0,所以f(x)在(0,+∞)上單調遞增,則f(x)>f(0)=1,所以f(x)在(0,+∞)上沒有零點;若a>0,則當x>時,f'(x)>0,當0x -1 (-1,0) 0 (0,1) 1
f'(x) 12 + 0 - 0
f(x) -4 單調遞增 1 單調遞減 0
所以f(x)在[-1,1]上的最大值為1,最小值為-4,故f(x)在[-1,1]上的最大值與最小值的和為-3.
13.解:f'(x)=-1=,x>-2.
若a<0,則f'(x)<0在(-2,+∞)上恒成立,故f(x)在(-2,+∞)上單調遞減,
故f(x)無最值.
若a>0,則當x∈(-2,a-2)時,f'(x)>0;
當x∈(a-2,+∞)時,f'(x)<0.
故f(x)在(-2,a-2)上單調遞增,在(a-2,+∞)上單調遞減,
故f(x)有最大值f(a-2)=aln a-a+2,無最小值.
14.解:(1)因為a=-2,所以f(x)=,所以f'(x)=,則由f'(x)>0,得x<-1;由f'(x)<0,得x>-1.所以f(x)在(-∞,-1)上單調遞增,在(-1,+∞)上單調遞減,又f(-1)==e,所以f(x)有極大值e,無極小值.
(2)f'(x)=,由f'(x)=0,得x=a+1.①當a+1≥2,即a≥1時,f'(x)≥0在[1,2]上恒成立,所以f(x)在[1,2]上單調遞增,則f(x)在[1,2]上的最大值為f(2)==,可得a=1,滿足a≥1.②當a+1≤1,即a≤0時,f'(x)≤0在[1,2]上恒成立,所以f(x)在[1,2] 上單調遞減,則f(x)在[1,2]上的最大值為f(1)==,可得a=1-,不滿足a≤0,舍去.③當10,當x>a+1時,f'(x)<0,所以f(x)在[1,a+1)上單調遞增,在(a+1,2]上單調遞減,故f(x)的最大值為f(a+1)===,可得a=1,不滿足015.　[解析] 由f(x)=x+,得f'(x)=1-=,當x∈[1,2]時,f'(x)≤0且f'(x)不恒為0,所以f(x)在[1,2]上單調遞減,所以當x∈[1,2]時,f(2)≤f(x)≤f(1),即4≤f(x)≤5.由g(x)=x2-ln x+a,得g'(x)=x-=,當x∈[1,2]時,g'(x)≥0且g'(x)不恒為0,所以g(x)在[1,2]上單調遞增,所以當x∈[1,2]時,g(1)≤g(x)≤g(2),即+a≤g(x)≤2-ln 2+a.因為 x1,x2∈[1,2],使f(x1)=g(x2),所以解得2+ln 2≤a≤.
16.解:(1)當a=1時,f(x)=ln x+x2-3x,f'(x)=+2x-3=,則在區間[1,e]上,f'(x)≥0,f(x)單調遞增,所以f(x)在區間[1,e]上的最大值為f(e)=e2-3e+1.
(2)f'(x)=+2x-(a+2)=.當≤1,即a≤2時,在區間[1,e]上,f'(x)≥0,f(x)單調遞增,所以f(x)在區間[1,e]上的最小值為f(1)=1-(a+2)=-a-1.當1<0,f(x)單調遞增.所以f(x)在區間[1,e]上的最小值為f=aln +-(a+2)·=aln --a.當≥e,即a≥2e時,在區間(1,e)上,f'(x)<0,f(x)單調遞減,所以f(x)在區間[1,e]上的最小值為f(e)=a+e2-(a+2)e=(1-e)a+e2-2e.所以g(a)=第2課時　函數最值的綜合問題
【學習目標】
能利用導數求含參函數的最大值、最小值,能根據函數的最值求參數的取值范圍.
◆ 探究點一　求含參函數的最值
例1 已知函數f(x)=ex(x-a-1)(a∈R).
(1)討論f(x)的單調性;
(2)求函數f(x)在[0,1]上的最小值.
變式 已知函數f(x)=x3-3ax+1,其中a>,x∈[-2,1],求函數f(x)的最大值.
[素養小結]
求含參函數的最值時,步驟和方法與不含參函數是一致的,只是在判斷單調性和最值時需要對參數進行分類討論,注意分類討論時要做到不重不漏.
拓展 已知函數f(x)=xln x-(a+1)x+1(a∈R),若函數f(x)在區間[1,e]上的最大值為m,最小值為n,求m-n的最小值.
◆ 探究點二　已知函數的最值求參數的值或范圍
例2 已知函數f(x)=ln x-(a∈R).
(1)討論f(x)的極值;
(2)若f(x)在[1,e]上的最小值為,求a的值.
變式 [2023·河北師大附中高二期中] 設x=-3是函數f(x)=ax3+bx2-3x+c的一個極值點,曲線y=f(x)在x=1處的切線斜率為8.
(1)求f(x)的單調區間;
(2)若f(x)在區間[-1,1]上的最大值為10,求c的值.
[素養小結]
已知函數的最值求參數的值或范圍時,仍要回歸到導數的作用上去:判斷函數的單調性.利用函數的單調性來判斷函數在何處取到最值,再根據最值確定參數的值或范圍.
拓展 若函數f(x)=x3-3x在區間(2a,a+3)上有最小值,則實數a的取值范圍是 (　 )
A. B.(-2,1)
C. D.(-2,-1](共28張PPT)
§6 用導數研究函數的性質
6.3 函數的最值
第2課時 函數最值的綜合問題
探究點一 求含參函數的最值
探究點二 已知函數的最值求參數的值或范圍
【學習目標】
能利用導數求含參函數的最大值、最小值,能根據函數的最值求參數的取值范圍.
探究點一 求含參函數的最值
例1 已知函數 .
（1）討論 的單調性；
解：由題意得，因為 恒成立，
所以當時，， 單調遞減，
當時，， 單調遞增.
（2）求函數在 上的最小值.
解：由（1）得，①當時，在 上單調遞減，
則 ；
②當時，在上單調遞減，在 上單調遞增，
則 ；
③當時，在上單調遞增， .
綜上所述, 當時,在區間上的最小值為 ;
當時,在區間上的最小值為 ;
當時,在區間上的最小值為 .
變式 已知函數，其中，，求函數
的最大值.
解：，令，得 .
當，即時，和隨 的變化情況如下表：
, ,1） 1
0 - 0
單調遞增 極大值 單調遞減 極小值 單調調增
因為，所以的最大值為 .
當，即時，和隨 的變化情況如表：
,1） 1
0 - -
單調遞增 極大值 單調遞減
因為，所以的最大值為 .
當，即時，恒成立且不恒為0，
則 在上單調遞減，所以的最大值為 .
綜上所述，當時，的最大值為 ；
當時，的最大值為 .
［素養小結］
求含參函數的最值時,步驟和方法與不含參函數是一致的，只是在判斷單調性和
最值時需要對參數進行分類討論，注意分類討論時要做到不重不漏.
拓展 已知函數，若函數在區間
上的最大值為，最小值為，求 的最小值.
解：，當時， .
當時，在上恒成立，函數在區間 上單調遞增，
所以， ，
所以 .
令，則函數在區間 上單調遞減，
所以的最小值為，即 的最小值為1.
當時，在上恒成立，函數在區間 上單調遞減，
所以， ，
所以 .
令，則函數在區間 上單調遞增，
所以的最小值為，即的最小值為 .
當時，由，得，由，得 ，
所以函數在區間上單調遞減，在區間 上單調遞增，
所以 .
①當時，，此時 ，
所以 .
令，則，由，可得 ，
所以函數在區間 上單調遞增，
所以函數的最小值為 .
②當時，，此時 ，
所以 .
令，則，由，可得 ，
所以函數在區間 上單調遞減，
所以 .
可得當時，的最小值為 .
綜上可知，當時，的最小值為1，當時， 的最小值為
，當時，的最小值為 .
探究點二 已知函數的最值求參數的值或范圍
例2 已知函數 .
（1）討論 的極值；
解：由題意得的定義域是，且 .
若，則在上恒成立，故在 上單調遞增，無極值.
若，則當時，， 單調遞增；
當時，，單調遞減.所以在 處有極小值
，無極大值.
（2）若在上的最小值為，求 的值.
解：由（1）可得 .
①當時，若，則，即在 上恒成立，
此時在上單調遞增，所以，所以
（不合題意，舍去）.
②當時，若，則，即在 上恒成立，
此時在上單調遞減，所以 ，
所以 （不合題意，舍去）.
③若，令，得 ，
則當時，，所以在 上單調遞減；
當時，，所以在 上單調遞增.
所以，所以 ，符合題意.
綜上， .
變式 [2023·河北師大附中高二期中] 設 是函數
的一個極值點，曲線在 處的切線斜率
為8.
（1）求 的單調區間；
解：，由已知得
得解得
于是 .
由，得或，由，得，
所以 在，上單調遞增，在 上單調遞減，
可知是函數的極大值點，則, 符合題意，
所以的單調遞增區間是和，單調遞減區間是 .
（2）若在區間上的最大值為10，求 的值.
解：由（1）知 ，
且在區間上單調遞減，在 上單調遞增，
又 ，
所以在區間上的最大值為，解得 .
［素養小結］
已知函數的最值求參數的值或范圍時，仍要回歸到導數的作用上去：判斷函數
的單調性.利用函數的單調性來判斷函數在何處取到最值，再根據最值確定參數
的值或范圍.
拓展 若函數在區間上有最小值，則實數 的取值范
圍是( )
C
A. B. C. D.
[解析] 因為函數，所以，
則當或 時，，當時，，
所以當時， 取得極小值.
因為在區間上有最小值，且 ,
所以，解得，
所以實數的取值范圍是 .故選C.
對于恒成立問題和存在性問題，最終都要轉化成函數的最值去比較，故可以借
助導數的工具性作用去求最值.
例1 已知是奇函數，當時， ，當
時，函數的最小值為1，則 ( )
B
A. B.2 C. D.1
[解析] 因為是奇函數，所以當時，函數的最大值為 ，
當時，由，得，
易知是 在內的唯一極值點，也是該區間內的最值點，
即 ，則 ，經驗證符合條件，故選B.
例2 已知函數在,上有最小值，則 的取值范圍是
( )
A
A. B. C. D.
[解析] 因為，所以 .
設，則圖象的對稱軸為 .
當，即時，在, 上單調遞增，
又，所以在 上恒成立，
所以在, 上單調遞增，不存在最小值，不符合題意，所以.
依題意知，存在,，使得，且當 時
，當時 ，
所以需滿足所以解得，即 的
取值范圍為, .
故選A.
例3 已知函數 .
（1）求函數在 上的單調區間和極值；
解：由，得 ,
可得和在區間上隨 變化的情況如下，
0 1 2
- - 0
0
所以在上的單調遞減區間為，單調遞增區間為，在
處取得極小值 ，無極大值.
（2）若在區間上，函數總有最小值，求出 的取值范圍.
解：，可得和在上隨 變化的情況如下，
, , 1
0 - 0
可得當時,，又在區間上總有最小值，所以 ，即
的取值范圍為 .第2課時　函數最值的綜合問題
一、選擇題
1.若函數f(x)=-x3+3x2+9x+a在區間[-2,-1]上的最大值為2,則函數f(x)在該區間上的最小值為 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　
A.-5 B.7
C.10 D.-19
2.當x=1時,函數f(x)=aln x+(a≠0)取得最大值-2,則f'(2)= (　 )
A.-1 B.- C. D.1
3.若函數f(x)=3x-x3在區間(a2-4,a)上有最小值,則實數a的取值范圍是 (　 )
A.(-1,) B.(-1,4)
C.(-1,2] D.(-1,2)
4.已知函數f(x)=ax4-4ax3+b(a>0),x∈[1,4],f(x)的最大值為3,最小值為-6,則a+b=(　 )
A. B.
C. D.
5.若函數f(x)=x2-ax-ln x在區間(1,2)內有最小值,則實數a的取值范圍為 (　 )
A.(0,1) B.
C. D.
6.設函數f(x)=若函數f(x)無最小值,則實數a的取值范圍是 (　 )
A.(-∞,-1) B.(-∞,-1]
C.(-1,+∞) D.(1,+∞)
7.(多選題)函數f(x)=x3-3x在區間(-2,m)上有最大值,則滿足條件的整數m可以是 (　 )
A.-1 B.0
C.1 D.2
8.(多選題)[2023·江西萍鄉安源中學高二期末] 已知函數f(x)=xex-x2-mx,則函數f(x)在[1,2]上的最小值可能為 (　 )
A.e-m B.-(ln m)2
C.2e2-4m D.e2-2m
二、填空題
9.函數y=(x-2)ex+m在[0,2]上的最小值是2-e,則它在該區間上的最大值是　　　　.
10.若函數f(x)=asin x+sin 3x在x=處取得最值,則a等于 　　　　.
11.若函數f(x)=在區間(a-1,3-2a)上有最大值,則實數a的取值范圍是　　　　.
12.若函數f(x)=2x3-ax2+1(a∈R)在(0,+∞)上有且只有一個零點,則f(x)在[-1,1]上的最大值與最小值的和為　　　　.
三、解答題
13.[2023·江西豐城中學、新建二中高二聯考] 已知函數f(x)=aln(x+2)-x(a≠0),討論f(x)的單調性和最值.
14.已知函數f(x)=(a∈R).
(1)若a=-2,求f(x)的極值;
(2)若f(x)在[1,2]上的最大值為,求實數a的值.
15.已知函數f(x)=x+,g(x)=x2-ln x+a,若 x1,x2∈[1,2],使f(x1)=g(x2),則實數a的取值范圍是　　　　.
16.已知函數f(x)=aln x+x2-(a+2)x(x>0),其中a∈R.
(1)若a=1,求f(x)在區間[1,e]上的最大值;
(2)求f(x)在區間[1,e]上的最小值g(a).

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