資源簡介

單元素養測評卷(二)A
1.A　[解析] 因為函數f(x)=x2+2,所以該函數在區間[1,3]上的平均變化率為==4,故選A.
2.D　[解析] 由題意,=-=-f'(3)=2,所以f'(3)=-2.故選D.
3.B　[解析] 由題得y'=,當x=時,y'=4,所以曲線y=-在點處的切線斜率為4,所以曲線y=-在點處的切線方程是y+2=4,即y=4x-4,故選B.
4.D　[解析] y=ln x-x的定義域為(0,+∞),其導函數為y'=-1,令y'<0,得x>1,故y=ln x-x的單調遞減區間為(1,+∞).故選D.
5.B　[解析] 若函數y=-x3+ax在(0,1)上單調遞增,則y'=-3x2+a≥0在(0,1)上恒成立,又當0(-3)×12+a≥0,解得a≥3,所以“函數y=-x3+ax在(0,1)上單調遞增”是“實數a>3”的必要不充分條件.故選B.
6.B　[解析] 當x>0時,f(x)=ex-sin x,f'(x)=ex-cos x>1-cos x≥0,∴f(x)在(0,+∞)上單調遞增,當x<0時,f(x)=e-x-sin x,f'(x)=-e-x-cos x<-1-cos x≤0,∴f(x)在(-∞,0)上單調遞減,排除A,D;由f(-x)=e|-x|-sin(-x)=e|x|+sin x可知f(-x)≠f(x),∴f(x)不是偶函數,f(x)的圖象不關于y軸對稱,排除C.故選B.
7.C　[解析] 因為f(x)是奇函數且是R上的單調函數,所以函數y=f(x3+1)+f(-3x-λ)有三個不同的零點等價于關于x的方程x3-3x+1=λ在R上有三個不同的實數解,即函數g(x)=x3-3x+1的圖象與直線y=λ有三個不同的交點.由g(x)=x3-3x+1,得g'(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1).當x∈(-∞,-1)時,g'(x)>0,g(x)單調遞增;當x∈(-1,1)時,g'(x)<0,g(x)單調遞減;當x∈(1,+∞)時,g'(x)>0,g(x)單調遞增.所以g(x) 的極大值為g(-1)=3,極小值為g(1)=-1,又當x趨于-∞時,g(x)趨于-∞,當x趨于+∞時,g(x)趨于+∞,所以λ的取值范圍為(-1,3),故選C.
8.B　[解析] 因為 f(x+1)是奇函數,所以 f(-x+1)=-f(x+1),兩邊求導得-f'(-x+1)=-f'(x+1),即f'(-x+1)=f'(x+1),又g(x)=f'(x),所以g(-x+1)=g(x+1),即g(x)=g(-x+2),令x=2,可得g(2)=g(0),因為g(x)是定義域為R的奇函數,所以g(0)=0,即g(2)=0.因為g(x)是奇函數,所以g(-x)=-g(x),又g(x)=g(-x+2),所以g(-x+2)=-g(-x),則g(x+2)=-g(x),g(x+4)=-g(x+2)=g(x),所以g(10)=g(2)=0.故選B.
9.ABC　[解析] 對于A,[log2(2x)]'==,故A中運算不正確;對于B,'==,故B中運算不正確;對于C,(3x)'=3xln 3,故C中運算不正確;對于D,(xsin 2x)'=sin 2x+x(sin 2x)'=sin 2x+x·2cos 2x=sin 2x+2xcos 2x,故D中運算正確.故選ABC.
10.BC　[解析] 取f(x)=2x,g(x)=2x+1,則滿足f'(x)>0,g'(x)>0,h(x)=f(x)-g(x)=2x(1-2)=-2x,顯然h(x)是減函數,故A錯誤;取f(x)=-x,g(x)=-2x,滿足f'(x)<0,g'(x)<0,則h(x)=f(x)-g(x)=x,顯然h(x)是增函數,故D錯誤;當f'(x)>0,g'(x)<0時,函數f(x)為增函數,g(x)為減函數,則-g(x)為增函數,所以h(x)=f(x)-g(x)為增函數,故B正確;當f'(x)<0,g'(x)>0時,f(x)為減函數,g(x)為增函數,-g(x)為減函數,所以h(x)=f(x)-g(x)為減函數,故C正確.故選BC.
11.ACD　[解析] 當x>0時,f'(x)=3x2-12x+9=3(x-1)(x-3),當03時,f'(x)>0,當1f(x)在(0,1)上單調遞增,且f(1)=5,當x∈(-1,a)時,函數f(x)的值域是[1,5],而f(x)在(-1,0)上單調遞減,f(-1)=2,則a>1,又f(x)在(1,3)上單調遞減,在(3,+∞)上單調遞增,所以f(a)=a3-6a2+9a+1≤5,即(a-1)2(a-4)≤0,得a≤4,因此112.-1　[解析] ∵f(x)=2xf'(e)+ln x,∴f'(x)=2f'(e)+,∴f'(e)=2f'(e)+,解得f'(e)=-,∴f(x)=-+ln x,∴f(e)=-2+1=-1.
13.　[解析] 由f(x)=(x2+ax+1)e-x,得f'(x)=(2x+a)e-x-(x2+ax+1)e-x,因為x=-1是函數f(x)=(x2+ax+1)e-x的極值點,所以f'(-1)=0,即(-2+a)e-(1-a+1)e=0,解得a=2,所以f(x)=(x2+2x+1)e-x,f'(x)=(2x+2)e-x-(x2+2x+1)e-x=(-x2+1)e-x.令f'(x)=0,則(-x2+1)e-x=0,得x=±1,隨著x的變化,f'(x)和f(x)的變化情況如下表:
x (-∞,-1) -1 (-1,1) 1 (1,+∞)
f'(x) - 0 + 0 -
y=f(x) ↘ 極小值 ↗ 極大值 ↘
所以當x=1時,函數f(x)取得極大值f(1)=4e-1=.
14.[1,+∞)　[解析] 易知函數y=ex-a,y=ln(x+1)-b都是增函數,都至多有一個零點,∵(ex-a)[ln(x+1)-b]≥0恒成立,∴函數y=ex-a,y=ln(x+1)-b均有零點,且有公共零點,記為x0(x0>-1),則即∴a-b=-ln(x0+1)(x0>-1).設f(x)=ex-ln(x+1)(x>-1),則f'(x)=ex-,∴f'(0)=0,f'(x)在(-1,+∞)上是增函數,∴f(x)在(-1,0)上單調遞減,在(0,+∞)上單調遞增,∴f(x)min=f(0)=1,當x趨于+∞時,f(x)趨于+∞,∴a-b∈[1,+∞).
15.解:(1)∵y=x3-2x,∴y'=3x2-2,當x=2時,y'=10,∴曲線S在點A處的切線方程為y-4=10(x-2),即10x-y-16=0.
(2)設P(x0,-2x0)為切點,則切線的斜率為3-2,故切線方程為y-(-2x0)=(3-2)(x-x0).又切線過點B(1,-1),∴將點B的坐標代入切線方程得-1-(-2x0)=(3-2)(1-x0),解得x0=1或x0=-,故所求的直線方程為x-y-2=0或5x+4y-1=0.
16.解:(1)由題知f(x)=+x2-x3的定義域為R,f'(x)=+2x-x2===.令f'(x)<0,解得x>2或x<0,即函數f(x)的單調遞減區間為(-∞,0)和(2,+∞).
(2)由(1)可知函數f(x)在[-1,0]和[2,3]上單調遞減,在(0,2)上單調遞增,所以函數f(x)在x=0處取得極小值f(0)=0,在x=2處取得極大值f(2)=+.又f(-1)=e+,f(3)=>0,且e+>+,所以函數f(x)在[-1,3]上的最大值為f(-1)=e+,最小值為f(0)=0.
17.解:(1)函數f(x)=+1+aln x的定義域為(0,+∞),f'(x)=-=.當a≤0時,f'(x)=<0恒成立,∴f(x)在(0,+∞)上是減函數.當a>0時,f'(x)=,當x∈時,f'(x)<0,f(x)單調遞減,當x∈時,f'(x)>0,f(x)單調遞增.綜上所述,當a≤0時,f(x)在(0,+∞)上是減函數;當a>0時,f(x)在上單調遞減,在上單調遞增.
(2)當a=0時,f(x)=+1+0×ln x=+1,x∈(0,+∞),f(x)>1,符合題意.由(1)可知,當a<0時,f(x)在(0,+∞)上是減函數,f()=<1,不符合題意.當a>0時,f(x)在上單調遞減,在上單調遞增,要想滿足f(x)≥1,則f(x)min=f≥1.∵f=a+1-aln a,∴f≥1即為a-aln a≥0,化簡得ln a≤1,即018.解:(1)因為線段AB為半圓弧AB的直徑,所以∠ACB=90°,則BC==(千米),由題意可得可得0(2)由(1)知y=2x+4,其中00,此時函數y=2x+4單調遞增,當219.解:(1)f(x)的定義域為(0,1)∪(1,+∞),因為f(x)=,所以f'(x)=.令g(x)=1--ln x,則g'(x)=,易知函數g(x)在區間(0,1)上單調遞增,在區間(1,+∞)上單調遞減.又因為g(1)=0,所以當x∈(0,1)∪(1,+∞)時,g(x)<0,即f'(x)<0,所以函數f(x)在區間(0,1),(1,+∞)上均單調遞減.
(2)由λx2-λx≥(eλx-1)ln x,得(x-1)ln eλx≥(eλx-1)ln x①,當λ>0,x>1時,x-1>0,eλx-1>0,不等式①可化為≥,即f(eλx)≥f(x),由λ>0,x>1知eλx∈(1,+∞),由(1)知,f(x)在(1,+∞)上單調遞減,故存在x∈(1,+∞),使eλx≤x成立.由eλx≤x兩邊同取自然對數,得λx≤ln x,即λ≤.令φ(x)=(x>1),則φ'(x)=,令φ'(x)=0,得x=e.當x∈(1,e)時,φ'(x)>0,函數φ(x)單調遞增,當x∈(e,+∞)時,φ'(x)<0,函數φ(x)單調遞減,則φ(x)max=φ(e)=,所以λ≤,又λ>0,所以λ的取值范圍是.單元素養測評卷(二)A
第二章
時間:120分鐘　分值:150分　　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.
1.[2023·天津實驗中學高二期末] 已知函數f(x)=x2+2,則該函數在區間[1,3]上的平均變化率為 (　 )
A.4 B.3
C.2 D.1
2.[2023·武漢部分重點中學期末] 已知函數f(x)可導,且滿足=2,則函數f(x)在x=3處的導數為 (　 )
A.2 B.1 C.-1 D.-2
3.曲線y=-在點處的切線方程是 (　 )
A.y=-4x B.y=4x-4
C.y=4x+4 D.y=-4x+4
4.函數y=ln x-x的單調遞減區間為 (　 )
A.(-∞,1) B.(-1,1)
C.(0,1) D.(1,+∞)
5.“函數y=-x3+ax在(0,1)上單調遞增”是“實數a>3”的(　 )
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
6.函數f(x)=e|x|-sin x的圖象大致是 (　 )
A B C D
7.已知f(x)是奇函數且是R上的單調函數,若函數y=f(x3+1)+f(-3x-λ)有三個不同的零點,則實數λ的取值范圍為 (　 )
A.(-3,1) B.(-∞,-1)∪(3,+∞)
C.(-1,3) D.(-∞,-3)∪(1,+∞)
8.已知函數f(x)及其導函數f'(x)的定義域均為R,且f(x+1)是奇函數,記g(x)=f'(x),若g(x)是奇函數,則g(10)=(　 )
A.2 B.0 C.-1 D.-2
二、選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求.全部選對的得6分,部分選對的得部分分,有選錯的得0分.
9.[2023·江蘇鹽城中學高二期末] 下列求導運算不正確的是(　 )
A.[log2(2x)]'=
B.'=
C.(3x)'=3xln x
D.(xsin 2x)'=sin 2x+2xcos 2x
10.[2024·江西大余中學高二期末] 設f(x),g(x)有公共的定義域,且都是單調函數,f(x),g(x)的導函數分別為f'(x),g'(x),h(x)=f(x)-g(x),則下列結論中正確的是(　　)
A.若f'(x)>0,g'(x)>0,則h(x)為增函數
B.若f'(x)>0,g'(x)<0,則h(x)為增函數
C.若f'(x)<0,g'(x)>0,則h(x)為減函數
D.若f'(x)<0,g'(x)<0,則h(x)為減函數
11.已知函數f(x)=則下列說法正確的是 (　 )
A.函數f(x)有一個極大值點
B.函數f(x)有一個極小值點
C.若當x∈(-1,a)時,函數f(x)的值域是[1,5],則1D.當1三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分.
12.已知函數f(x)的導函數為f'(x),f(x)=2xf'(e)+ln x,則f(e)=　　　　.
13.若x=-1是函數f(x)=(x2+ax+1)e-x的極值點,則f(x)的極大值為　　　　.
14.若(ex-a)[ln(x+1)-b]≥0恒成立,則a-b的取值范圍是　　　　.
四、解答題:本題共5小題,共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15.(13分)已知曲線S:y=x3-2x.
(1)求曲線S在點A(2,4)處的切線方程;
(2)求過點B(1,-1)且與曲線S相切的直線方程.
16.(15分)已知函數f(x)=+x2-x3.
(1)求函數f(x)的單調遞減區間;
(2)求函數f(x)在[-1,3]上的最大值和最小值.
17.(15分)已知函數f(x)=+1+aln x(a∈R).
(1)討論函數f(x)的單調性;
(2)若f(x)≥1,求a的取值范圍.
18.(17分)如圖所示,兩村莊A和B相距10千米,現計劃在兩村莊外以線段AB為直徑的半圓弧AB上選擇一點C建造自來水廠,并沿線段CA和CB鋪設引水管道.根據調研分析,CA段的引水管道造價為2萬元/千米,CB段的引水管道造價為m萬元/千米,設CA=x千米,鋪設引水管道的總造價為y萬元,且已知當自來水廠建在半圓弧AB的中點時,y=30.
(1)求m的值,并將y表示為x的函數.
(2)y是否存在最大值 若存在,求出最大值;若不存在,請說明理由.
19.(17分)已知函數f(x)=.
(1)討論函數f(x)的單調性;
(2)已知λ>0,若存在x∈(1,+∞),使不等式λx2-λx≥(eλx-1)ln x成立,求λ的取值范圍.

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