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單元素養測評卷(二)B
1.A　[解析] 令f(x)=2sin x,則f'(x)=2cos x,故f'=2×cos=-.故選A.
2.A　[解析] 由題意知,f'(x)=e-x+x(-e-x)=(1-x)e-x,令f'(x)<0,得x>1,所以函數f(x)=xe-x的單調遞減區間是(1,+∞).故選A.
3.D　[解析] 由f(x)=x-sin x得f'(x)=-cos x,當x∈時,f'(x)<0,f(x)單調遞減,當x∈時,f'(x)>0,f(x)單調遞增,所以x=是函數f(x)的極小值點,極小值為f=-,故選D.
4.D　[解析] 由導函數的圖象可得,當x<0時,f'(x)<0,所以f(x)在(-∞,0)上單調遞減,排除選項A,B;當x>0時,f'(x)先正后負,所以f(x)在(0,+∞)上先增后減,排除選項C.故選D.
5.D　[解析] ∵f(x)=x2+ax+在上單調遞增,∴f'(x)=2x+a-≥0在上恒成立,即a≥-2x對任意x∈恒成立.令h(x)=-2x,則h'(x)=--2,當x∈時,h'(x)<0,則h(x)在上單調遞減,∴h(x)6.A　[解析] 設A(x0,y0),由f(x)=ex-2x,得f'(x)=ex-2.易知當f(x)的圖象在點A處的切線與直線l:x+y+3=0平行時,A,B兩點之間距離的最小值等于點A到直線l的距離,由f'(x0)=-2=-1,得=1,所以x0=0,則f(x0)=-2x0=1,即A(0,1).此時點A到直線l:x+y+3=0的距離d==2,所以A,B兩點之間距離的最小值為2.故選A.
7.C　[解析] 令 g(x)=f(x)+xln x,則g'(x)=f'(x)+ln x+1>0,所以g(x)在(0,+∞)上單調遞增.由f(e)=1,得g(e)=1+e,則原不等式等價于g(x)>g(e),所以該不等式的解集為(e,+∞).故選C.
8.A　[解析] 令g(x)=ex-(x+1),則g'(x)=ex-1,當x>0時,g'(x)>0,當x<0時,g'(x)<0,∴當x=0時,g(x)取得極小值,也是最小值,則g(x)≥g(0)=0,∴ex≥x+1,∴a==1-e-0.01<0.01.∵tan x>x,x∈,∴b=tan 0.01>0.01,∴b>a.設f(x)=ln(x+1)-tan x,x∈(-1,0),則f'(x)=-=,設h(x)=cos2x-(x+1),則h'(x)=-2cos xsin x-1=-sin 2x-1,當x∈(-1,0)時,h'(x)≤0,h(x)單調遞減,∴h(x)>h(0)=0,∴f'(x)>0,∴f(x)在(-1,0)上單調遞增,∴f(-0.01)b>a.故選A.
9.AC　[解析] 對于A,f'(x)=(ln x)'=,∴A正確;對于B,f(x)=3e-x,令t=-x,則f'(x)=3(et)'·t'=-3e-x,∴B錯誤;對于C,f'(x)=(x2+log2x)'=2x+,∴C正確;對于D,f'(x)='=cos x,∴D錯誤.故選AC.
10.BCD　[解析] 由可導函數f(x)的導函數f'(x)的圖象可知,當x<0時,f'(x)≤0,當x>0時,f'(x)>0,∴函數f(x)的單調遞減區間是(-∞,0),單調遞增區間是(0,+∞),∴x=0是函數f(x)的極小值點,∴B,C,D正確,A錯誤.故選BCD.
11.ABC　[解析] f(x)=x2-ex+a的定義域為R,f'(x)=2x-ex+a.由已知可得所以函數f'(x)有兩個不同的變號正零點.由2x=ex+a,其中x>0,可得x+a=ln 2+ln x,可得a=ln x-x+ln 2.構造函數g(x)=ln x-x+ln 2,其中x>0,則g'(x)=-1=.當00,
函數g(x)單調遞增,當x>1時,g'(x)<0,函數g(x)單調遞減,所以函數g(x)的極大值為g(1)=ln 2-1,作出函數g(x)的大致圖象如圖所示.
對于A選項,當a1,B正確;對于C選項,f(x1)=-=-2x1=-1∈(-1,0),C正確;對于D選項,因為所以=,所以x1=x2>1,D錯誤.故選ABC.
12.(0,1)　[解析] ∵函數f(x)=2x3-3x2+10,∴f'(x)=6x2-6x=6x(x-1),令f'(x)=6x(x-1)<0,解得013.2　[解析] 設圓柱的高為h cm,圓柱的體積為V cm3,圓柱的表面積為S cm2,則V=πr2h=16π,即r2h=16,則S=2πrh+2πr2=+2πr2=2π.由S'=2π=0,得r=2.當r變化時,S',S的變化情況如下表:
r (0,2) 2 (2,+∞)
S' - 0 +
S 單調遞減 極小值 單調遞增
故當r=2時,圓柱的表面積最小.
14.(-3,0)∪(3,+∞)　[解析] 令u(x)=,則u(-x)===-u(x),所以u(x)是R上的奇函數.當x<0時,u'(x)=<0,所以u(x)在(-∞,0)上單調遞減,
因為u(-3)==0,所以可作出u(x)的圖象的示意圖,如圖所示,
由圖可知u(x)=<0的解集為(-3,0)∪(3,+∞).
15.解:(1)f'(x)=3(x2+2x-3)=3(x+3)(x-1),令f'(x)=0得x=-3或x=1.當x<-3或x>1時,f'(x)>0;當-3(2)由(1)可知f(x)在[-2,1)上單調遞減,在(1,2]上單調遞增.因為f(-2)=22+c,f(2)=2+c,所以f(x)max=f(-2)=22+c=2,解得c=-20.
16.解:(1)由題可得f'(x)=3x2+2ax-b,由題意得即解得經檢驗,f(x)=x3-2x2-4x+1在x=-和x=2處取得極值,∴a=-2,b=4.
(2)令g(x)=f(x)-=x3-x2+4x-m+1,則由題意知g(x)的圖象與x軸有三個不同的交點.g'(x)=3x2-7x+4=3(x-1),令g'(x)>0,解得x>或x<1,令g'(x)<0,解得117.解:(1)設w(x)=kx+b(k≠0),由可得解得所以w(x)=7x+50.依題意得,F(x)=G(x)-w(x)=-+20ln x+84+4x-50-7x=-+20ln x-3x+34(x>0).
(2)由(1)得,F(x)=-+20ln x-3x+34,則F'(x)=+-3==-,令F'(x)>0,得07,所以F(x)在(0,7)上單調遞增,在(7,+∞)上單調遞減,所以當x=7時,F(x)取得極大值,也是最大值,所以F(x)max=F(7)=20ln 7+12≈20×1.95+12=51.答:當2024年的產量為7百件時,該企業在這種產品的生產中獲利最大且最大利潤約為51萬元.
18.解:(1)f'(x)=-a-x2,根據導數的幾何意義可得,曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線的斜率k=f'(1)=-a-.∵f(1)=-a-,切線經過點,∴k==,∴-a-=,∴a=-2.
(2)∵f(x)<0恒成立,∴ln x-ax-x3<0恒成立,即a>-x2對任意x∈(0,+∞)恒成立.設g(x)=-x2,則只需a>g(x)max.g'(x)=,設h(x)=1-ln x-x3,則h'(x)=--3x2<0在(0,+∞)上恒成立,∴h(x)在(0,+∞)上單調遞減,又h(1)=0,∴當00,即g'(x)>0,g(x)單調遞增,當x>1時,h(x)<0,即g'(x)<0,g(x)單調遞減,∴g(x)max=g(1)=-,∴a>-,即實數a的取值范圍是.
19.解:(1)因為f(x)=2ex-xsin x,所以f'(x)=2ex-xcos x-sin x,記F(x)=f'(x),x∈[0,π],則F'(x)=2ex+xsin x-2cos x≥2-2cos x≥0,所以F(x)=f'(x)在[0,π]上單調遞增,所以f'(x)≥f'(0)=2,故f'(x)在[0,π]上的最小值為2.
(2)由g(x)=2m+1-=0,可得ex+mxsin x-x-1=0,設φ(x)=ex+mxsin x-x-1(0≤x≤π).①當m≥-時,φ(x)≥ex-xsin x-x-1,設u(x)=ex-xsin x-x-1(0≤x≤π),則u'(x)=ex-(xcos x+sin x)-1=(2ex-xcos x-sin x-2)=[f'(x)-2]≥0,所以u(x)在[0,π]上單調遞增,則φ(x)≥u(x)≥u(0)=0,又φ(0)=0,所以當m≥-時,φ(x)在[0,π]上有一個零點.②當m<-時,φ'(x)=ex+m(sin x+xcos x)-1,令h(x)=φ'(x),則h'(x)=ex+m(2cos x-xsin x),當x∈時,cos x≤0,xsin x≥0,則h'(x)>0,所以h(x)=φ'(x)單調遞增,當x∈時,令ω(x)=h'(x),則ω'(x)=ex-m(3sin x+xcos x),因為sin x≥0,xcos x≥0,所以ω'(x)>0,所以ω(x)單調遞增,又ω(0)=1+2m<0,ω=->0,所以存在x0∈,使得ω(x0)=0,當x∈(0,x0)時,ω(x)<0,則h(x)單調遞減,當x∈時,ω(x)>0,則h(x)單調遞增.因為h(0)=0,h(π)=eπ-mπ-1>0,所以存在x1∈(x0,π),使得h(x1)=0,當x∈(0,x1)時,h(x)<0,φ(x)單調遞減,當x∈(x1,π)時,h(x)>0,φ(x)單調遞增.因為φ(0)=0,φ(π)=eπ-π-1>0,所以存在x2∈(x1,π),使得φ(x2)=0,所以當m<-時,φ(x)在[0,π]上有兩個零點.綜上,當m≥-時,g(x)在[0,π]上有一個零點;當m<-時,g(x)在[0,π]上有兩個零點.單元素養測評卷(二)B
第二章
時間:120分鐘　分值:150分　　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.
1.曲線y=2sin x在x=處的切線的斜率為 (　 )　　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.- B.-1 C.1 D.
2.[2023·廣西北海高二期中] 函數f(x)=xe-x的單調遞減區間是 (　　)
A.(1,+∞) B.(-∞,-1)
C.(-∞,1) D.(-1,+∞)
3.[2023·江蘇鎮江高二期末] 函數f(x)=x-sin x在上的極小值為 (　 )
A.- B.-
C.- D.-
4.已知函數f(x)的導函數為f'(x),若y=f'(x)的圖象如圖所示,則函數y=f(x)的圖象可能是(　 )
A B C D
5.[2023·福建莆田一中高二期末] 若函數f(x)=x2+ax+在上單調遞增,則a的取值范圍是 (　 )
A.(3,+∞) B.(-∞,3]
C.[0,3] D.[3,+∞)
6.[2023·吉林白山高二期末] 已知點A在函數f(x)=ex-2x的圖象上,點B在直線l:x+y+3=0上,則A,B兩點之間距離的最小值是(　　)
A.2 B.4 C.4 D.8
7.[2023·重慶榮昌中學高二期中] 已知 f'(x)為函數f(x)的導函數,且f'(x)+ln x>-1,f(e)=1,則不等式f(x)+xln x>e+1的解集為 (　　)
A.(1,+∞) B.(0,1)
C.(e,+∞) D.(0,e)
8.[2023·浙江衢溫5+1聯盟高二期末] 已知a=,b=tan 0.01,c=-ln,其中e為自然對數的底數,則 (　 )
A.c>b>a B.b>c>a
C.b>a>c D.c>a>b
二、選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求.全部選對的得6分,部分選對的得部分分,有選錯的得0分.
9.[2023·福建漳州二中高二期中] 下列求導結果正確的有(　　)
A.若f(x)=ln x,則f'(x)=
B.若f(x)=3e-x,則f'(x)=3e-x
C.若f(x)=x2+log2x,則f'(x)=2x+
D.若f(x)=sin x+cos,則f'(x)=cos x-sin
10.[2023·洛陽高二期中] 定義在R上的可導函數f(x)的導函數f'(x)的圖象如圖所示,則下列結論正確的是 (　 )
A.x=-2是函數f(x)的極大值點,x=-1是函數f(x)的極小值點
B.x=0是函數f(x)的極小值點
C.函數f(x)的單調遞增區間是(0,+∞)
D.函數f(x)的單調遞減區間是(-∞,0)
11.[2023·廣州越秀區高二期末] 已知函數f(x)=x2-ex+a有兩個極值點x1與x2,且x1A.aC.-1三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分.
12.[2023·浙江諸暨高二期中] 函數f(x)=2x3-3x2+10的單調遞減區間為　　　　.
13.已知圓柱的體積為16π cm3,底面半徑為r cm,則當r=　　　　時,圓柱的表面積最小.
14.已知f(x),g(x)(g(x)≠0)分別是定義在R上的奇函數和偶函數,當x<0時,f'(x)g(x)四、解答題:本題共5小題,共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15.(13分)已知函數f(x)=x3+3x2-9x+c.
(1)求f(x)的單調區間;
(2)若函數f(x)在[-2,2]上的最大值為2,求實數c的值.
16.(15分)[2023·四川遂寧高二期末] 已知函數f(x)=x3+ax2-bx+1(a,b∈R)在x=-和x=2處取得極值.
(1)求a,b的值;
(2)若函數f(x)的圖象與拋物線y=x2-8x+m恰有三個不同的交點,求m的取值范圍.
17.(15分)某企業計劃在2024年全年內生產某種產品的數量為x百件,生產過程中總成本w(x)(單位:萬元)是關于x的一次函數,且w(1)=57,w(10)=120.預計生產的產品能全部售完,且當年產量為x百件時,產品的銷售收入G(x)(單位:萬元)滿足G(x)=-+20ln x+84+4x.
(1)寫出該企業2024年生產這種產品的利潤F(x)(單位:萬元)關于x的函數關系式.
(2)2024年的產量為多少百件時,該企業在這種產品的生產中獲利最大 最大利潤是多少
(參考數據:ln 2≈0.69,ln 3≈1.10,ln 5≈1.61,ln 7≈1.95)
18.(17分)[2023·江蘇連云港高二期末] 已知函數f(x)=ln x-ax-x3(a∈R).
(1)若曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線經過點,求a的值;
(2)若f(x)<0恒成立,求a的取值范圍.
19.(17分)已知f(x)=2ex-xsin x.
(1)求f'(x)(f'(x)為f(x)的導函數)在[0,π]上的最小值;
(2)討論函數g(x)=2m+1-在[0,π]上的零點個數.

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