資源簡介

模塊素養(yǎng)測評卷(一)
1.C　[解析] 因?yàn)閿?shù)列-3,-1,1,3,5,…的前5項(xiàng)可以寫成0-3,2-3,4-3,6-3,8-3,所以這個數(shù)列的一個通項(xiàng)公式為an=-3+2(n-1)=2n-5,故選C.
2.D　[解析] 由f(x)=x3-2x,得f'(x)=x2-2,則f'(1)=-1.故選D.
3.C　[解析] 由2a4=a3+5,得2(a1+3d)=a1+2d+5,即a1+4d=5,即a5=5,所以S9==9a5=9×5=45.故選C.
4.C　[解析] ∵直線y=kx+1與曲線y=ax3+b相切于點(diǎn)P(1,2),
∴k+1=2,解得k=1.設(shè)f(x)=ax3+b,∴f'(x)=3ax2.由f'(1)=3a=1,解得a=.∵點(diǎn)P(1,2)在曲線y=x3+b上,∴+b=2,解得b=.故選C.
5.C　[解析] 在等差數(shù)列{an}中,有a5+a6=a4+a7=2,又a5a6=-8,所以或因?yàn)榈炔顢?shù)列{an}為遞增數(shù)列,所以則公差d=a6-a5=6.故選C.
6.A　[解析] 依題可知,f'(x)=2x-2+≥0在(0,+∞)上恒成立,即m≥2x-2x2=-2+在(0,+∞)上恒成立,所以m≥.故選A.
7.B　[解析] 記ai,j為第i行第j列所代表的數(shù)字,則a10,1=4+3×(10-1)=31,a10,11=31+21×(11-1)=241.故選B.
8.C　[解析] 由e2-a=a,b(ln b-1)=e3,兩邊取對數(shù)得2-a=ln a,ln b+ln(ln b-1)=3,即a+ln a-2=0,ln b-1+ln(ln b-1)-2=0,∴a與ln b-1是方程x+ln x-2=0的實(shí)數(shù)根.令f(x)=x+ln x-2,x∈(0,+∞),則f'(x)=1+>0恒成立,∴f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,∵f(a)=f(ln b-1)=0,∴a=ln b-1,∵a+ln a-2=0,∴2-ln a=ln b-1,∴l(xiāng)n a+ln b=3,即ln(ab)=3,∴ab=e3.故選C.
9.AD　[解析] 由f'(x)的圖象可知,當(dāng)-4≤x<1時,f'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減,當(dāng)10,f(x)單調(diào)遞增.所以當(dāng)x=1時,f(x)取得極小值,f(x)無極大值.故選AD.
10.AB　[解析] A中,當(dāng)n∈N*時,an+1-an=2-3(n+1)-(2-3n)=-3<0,即an+1a2,故C錯誤;D中,由Sn=2n2+1得a1=S1=3,a2=S2-S1=9-3=6,a3=S3-S2=19-9=10,則a2-a1≠a3-a2,故D錯誤.故選AB.
11.ACD　[解析] 當(dāng)y=sin2x時,y'=2sin xcos x=sin 2x∈[-1,1],當(dāng)x1=,x2=時,滿足條件;當(dāng)y=tan x時,y'=>0恒成立,不滿足條件;當(dāng)y=,x∈(-2,+∞)時,y'=當(dāng)x1=-,x2=2時,滿足條件;當(dāng)y=ex-ln x時,y'=ex-(x>0),函數(shù)y'=ex-在(0,+∞)上單調(diào)遞增,且當(dāng)x=時,y'=-3<-1,當(dāng)x=1時,y'=e-1>1,所以存在x1,x2,使函數(shù)在x=x1處的導(dǎo)數(shù)為-1,函數(shù)在x=x2處的導(dǎo)數(shù)為1,滿足條件.故選ACD.
12.2　[解析] 由題意知a2=1-=-1,a3=1-=2,a4=1-=,a5=1-=-1,a6=1-=2.
13.3　[解析] 設(shè)第n層塔有an盞燈,由題意知,{an}為公比q=的等比數(shù)列,且S7=381,則S7=,即381=,解得a1=192,則a7=a1q6=192×=3,從而可知塔頂有3盞燈.
14.　[解析] 函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞),f'(x)=[kex-(x-1)2],令f'(x)=0,得x=1或k=.若函數(shù)f(x)恰有兩個極值點(diǎn),則函數(shù)y=k與h(x)=的圖象在(0,+∞)上恰有一個橫坐標(biāo)不為1的交點(diǎn),且在該交點(diǎn)附近,h(x)的圖象在直線y=k的兩側(cè).h'(x)=-,令h'(x)>0,得13,故h(x)在(0,1)和(3,+∞)上單調(diào)遞減,在(1,3)上單調(diào)遞增,h(0)=1,h(1)=0,h(3)=,當(dāng)x趨于+∞時,h(x)趨于0且h(x)>0,作出h(x)在(0,+∞)上的圖象,如圖所示.由圖可得,k∈.
15.解:(1)∵an+1=kan+1(n∈N+,k∈R),a1=-7,a2=-6,∴-6=-7k+1,可得k=1,∴an+1-an=1(n∈N+),∴數(shù)列{an}是首項(xiàng)為-7,公差為1的等差數(shù)列,∴an=n-8.
(2)由(1)知a8=0.當(dāng)n≤8時,an≤0,Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=-(a1+a2+…+an)=;當(dāng)n>8時,an>0,Tn=|a1|+|a2|+…+|a8|+|a9|+…+|an|=-(a1+a2+…+a8)+(a9+…+an)=+56.∴Tn=n∈N+.
16.解:(1)設(shè)切點(diǎn)M(t,ket),∵f'(t)=ket,∴=ket,∴t=1,∴=,又k>0,∴k=,∴f(x)=ex-1.
(2)此公切線即為直線OM,∵M(jìn)(1,1),∴公切線為y=x,設(shè)y=x與g(x)的圖象切于點(diǎn)N(s,ln(s+a)),又g'(x)=,∴消去s得a=1.
17.解:(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,因?yàn)镾6==3(a3+a4)=66,所以a3+a4=22,又因?yàn)閍16=36,所以a3+a4=(a16-13d)+(a16-12d)=22,所以d=2,所以an=a16+(n-16)d=36+2n-32=2n+4.
(2)因?yàn)閎n=an=n+2,所以==3,所以Tn=3=3=.
18.解:(1)由題意得a1=120×(1+25%)-s=150-s,an+1=an(1+25%)-s=an-s①.
(2)將an+1-k=r(an-k)化成an+1=ran+k-rk②,比較①②的系數(shù),得解得所以遞推公式為an+1-4s=(an-4s).
(3)因?yàn)閍1-4s=150-5s,且s∈(10,30),所以a1-4s≠0,由(2)可知an-4s≠0,所以=,即數(shù)列{an-4s}是以150-5s為首項(xiàng),為公比的等比數(shù)列,其通項(xiàng)公式為an-4s=(150-5s)·,所以an=4s+(150-5s)·.2030年年底的森林蓄積量為數(shù)列{an}的第10項(xiàng),且a10=4s+(150-5s)·.由題意,森林蓄積量到2030年年底要達(dá)到比2020年年底翻兩番的目標(biāo),所以a10≥4×120,即4s+(150-5s)·≥480,即4s+(150-5s)×7.45=4s+1117.5-37.25s≥480,解得s≤19.17.所以每年的砍伐量最大為19萬立方米.
19.解:(1)由f(x)=x3+ax2-x+b,得f'(x)=3x2+ax-1.
則f'(1)=2+a=0,解得a=-2,
此時f'(x)=3x2-2x-1=(3x+1)(x-1).
當(dāng)x<-或x>1時,f'(x)>0,當(dāng)-所以函數(shù)f(x)在,(1,+∞)上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,因此函數(shù)f(x)在x=1處取得極值,符合題意,
所以a=-2.
(2)當(dāng)x∈[-2,1]時,由(1)知,函數(shù)f(x)=x3-x2-x+b在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,
故f(x)max=f=--++b=+b,
則+b<2b2,即2b2-b->0,解得b<或b>,
所以b的取值范圍是b<或b>.模塊素養(yǎng)測評卷(一)
第一、二章
時間:120分鐘　分值:150分　　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1.數(shù)列-3,-1,1,3,5,…的一個通項(xiàng)公式為 (　 )
A.an=-2n-5 B.an=-2n-1
C.an=2n-5 D.an=2n-1
2.已知函數(shù)f(x)=x3-2x,則曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線的斜率為 (　　)
A. B.1 C.- D.-1
3.已知數(shù)列{an}是首項(xiàng)為a1,公差為d的等差數(shù)列,前n項(xiàng)和為Sn,滿足2a4=a3+5,則S9= (　 )
A.35 B.40
C.45 D.50
4.[2023·江蘇淮安高二期末] 若直線y=kx+1與曲線y=ax3+b相切于點(diǎn)P(1,2),則b= (　 )
A. B.1 C. D.2
5.已知等差數(shù)列{an}為遞增數(shù)列,a4+a7=2,a5a6=-8,則數(shù)列{an}的公差d= (　　)
A.7 B.5 C.6 D.8
6.已知函數(shù)f(x)=x2-2x+mln x在定義域上是增函數(shù),則實(shí)數(shù)m的取值范圍為 (　 )
A.m≥ B.m>
C.m≤ D.m<
7.1934年,東印度(現(xiàn)在的孟加拉國)學(xué)者錢德拉發(fā)現(xiàn)了森德拉姆篩子,如圖所示,則其第10行第11列的數(shù)為　(　 )
　　　 　　4　　7　　10　　13　　16　　…
　　 　　　7 12 17 22 27 …
　　 　　　10 17 24 31 38 …
　　 　　　13 22 31 40 49 …
　　　 　　16 27 38 49 60 …
　　　 　　… … … … … …
A.220 B.241
C.262 D.264
8.已知實(shí)數(shù)a,b滿足e2-a=a,b(ln b-1)=e3,其中e是自然對數(shù)的底數(shù),則ab的值為 (　 )
A.e B.e2
C.e3 D.e4
二、選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分,部分選對的得部分分,有選錯的得0分.
9.函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇-4,4],其導(dǎo)函數(shù)f'(x)的圖象如圖所示,則下列結(jié)論正確的有 (　 )
A.f(x)在區(qū)間(-4,1)上單調(diào)遞減
B.f(x)在區(qū)間(-1,3)上單調(diào)遞增
C.f(x)在x=3處取得極大值
D.f(x)在x=1處取得極小值
10.已知數(shù)列{an},{bn},下列說法正確的是 (　 )
A.若an=2-3n,n∈N*,則{an}為遞減數(shù)列
B.若b1≠0,bn+1=4bn,n∈N*,則{bn}為等比數(shù)列
C.若等比數(shù)列{an}的公比q=-2,n∈N*,則{an}為遞減數(shù)列
D.若{an}的前n項(xiàng)和Sn=2n2+1,n∈N*,則{an}為等差數(shù)列
11.若函數(shù)y=f(x)的圖象上存在兩點(diǎn)(x1,f(x1)),(x2,f(x2)),使得f(x)的圖象在這兩點(diǎn)處的切線互相垂直,則稱y=f(x)具有T性質(zhì).下列函數(shù)中具有T性質(zhì)的是 (　 )
A.y=sin2x
B.y=tan x
C.y=,x∈(-2,+∞)
D.y=ex-ln x
三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分.
12.[2023·天津?qū)幒訁^(qū)高二期末] 已知數(shù)列{an}滿足a1=,an=1-(n≥2,n∈N*),則a6=　　　　　　.
13.[2023·江蘇連云港高二期末] 我國古代用詩歌形式提出了一個數(shù)列問題:遠(yuǎn)望巍巍塔七層,紅燈向下成倍增,共燈三百八十一,試問塔頂幾盞燈 通過計(jì)算可知,塔頂?shù)臒魯?shù)為　　　　.
14.若函數(shù)f(x)=-3ln x-+3x-(k∈R)恰有兩個極值點(diǎn),則k的取值范圍是　　　　.
四、解答題:本題共5小題,共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15.(13分)在數(shù)列{an}中,a1=-7,a2=-6,an+1=kan+1(n∈N+,k∈R).
(1)證明數(shù)列{an}為等差數(shù)列,并求其通項(xiàng)公式;
(2)記Tn=|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|,求Tn.
16.(15分)[2023·沈陽實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二期中] 已知f(x)=kex,k>0,過原點(diǎn)O作f(x)圖象的切線,切點(diǎn)為M,已知OM=.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若f(x)的圖象與g(x)=ln(x+a)的圖象有一條通過原點(diǎn)的公切線,求a的值.
17.(15分)在等差數(shù)列{an}中,已知a16=36,前6項(xiàng)和S6=66.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)若bn=an,求數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn.
18.(17分)森林資源是全人類共有的寶貴財(cái)富,其在改善環(huán)境,保護(hù)生態(tài)可持續(xù)發(fā)展方面發(fā)揮著重要的作用.為了實(shí)現(xiàn)“到2030年,我國森林蓄積量將比2005年增加60億立方米”這一目標(biāo),某地林業(yè)管理部門著手制定本地的森林蓄積量規(guī)劃.經(jīng)統(tǒng)計(jì),本地2020年年底的森林蓄積量為120萬立方米,森林每年以25%的增長率自然生長,而為了保證森林通風(fēng)和發(fā)展經(jīng)濟(jì)的需要,每年冬天都要砍伐掉s(10(1)請寫出一個遞推公式,表示an+1,an兩者間的關(guān)系;
(2)將(1)中的遞推公式表示成an+1-k=r(an-k)的形式,其中r,k為常數(shù);
(3)為了實(shí)現(xiàn)本地森林蓄積量到2030年年底比2020年年底翻兩番的目標(biāo),每年的砍伐量s最大為多少萬立方米 (精確到1萬立方米)
參考數(shù)據(jù):≈5.96,≈7.45,≈9.31.
19.(17分)[2023·北京房山區(qū)高二期末] 設(shè)函數(shù)f(x)=x3+ax2-x+b在x=1處取得極值.
(1)求實(shí)數(shù)a的值;
(2)若對任意的x∈[-2,1],都有f(x)<2b2成立,求實(shí)數(shù)b的取值范圍.

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