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模塊素養(yǎng)測評(píng)卷(二)
1.C　[解析] 因?yàn)閍1=3,an+1=1-(n∈N*),所以a2=1-=,a3=1-=-,a4=1-=3.故選C.
2.D　[解析] an==1+,則當(dāng)n≤11時(shí),{an}為遞減數(shù)列,且an<1,當(dāng)n≥12時(shí),{an}為遞減數(shù)列,且an>1,故數(shù)列{an}的前40項(xiàng)中的最大項(xiàng)和最小項(xiàng)分別是a12,a11,故選D.
3.B　[解析] 根據(jù)題意,得f'(x)=3x2-ex,則f'(1)=3-e,則函數(shù)f(x)=x3-ex的圖象在x=1處的切線斜率為3-e,故選B.
4.C　[解析] 設(shè)an=(-1)n·n,則a3=-3,a5=-5,a7=-7,滿足a3+a7=-10=2a5,但數(shù)列{an}不是等差數(shù)列.若數(shù)列{an}為等差數(shù)列,則根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可知,a3+a7=2a5成立.所以“a3+a7=2a5”是“數(shù)列{an}為等差數(shù)列”的必要不充分條件.故選C.
5.D　[解析] 因?yàn)閍1+a3=a1+a1q2=5,q=2,所以a1=1,則an=2n-1,anan+1=22n-1,則{anan+1}是以2為首項(xiàng),4為公比的等比數(shù)列,故a1a2+a2a3+a3a4+…+a99a100==(499-1).故選D.
6.C　[解析] 由f(x)=x3+(a-1)x2+x+1得f'(x)=x2+2(a-1)x+1,根據(jù)題意得[2(a-1)]2-4≤0,解得0≤a≤2.故選C.
7.B　[解析] 由題意,函數(shù)f(x)=x+1+ae-x的定義域?yàn)镽,令f(x)=0,即x+1+ae-x=0,得a=(-x-1)·ex.設(shè)g(x)=(-x-1)·ex,可得g'(x)=-ex+(-x-1)·ex=(-x-2)·ex.當(dāng)x<-2時(shí),g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增;當(dāng)x>-2時(shí),g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減.當(dāng)x→-∞時(shí),g(x)→0且g(x)>0,當(dāng)x→+∞時(shí),g(x)→-∞,且g(-2)=.要使函數(shù)f(x)=x+1+ae-x有兩個(gè)零點(diǎn),只需直線y=a與g(x)=(-x-1)·ex的圖象有兩個(gè)交點(diǎn),所以08.A　[解析] 構(gòu)造f(x)=ln(1+x)-x,x>-1,則f'(x)=-1=,令f'(x)=0,解得x=0.當(dāng)-10, f(x)單調(diào)遞增;當(dāng)x>0時(shí),f'(x)<0, f(x)單調(diào)遞減.所以f(x)在(-1,0)上單調(diào)遞增,在(0,+∞)上單調(diào)遞減,所以f(x)≤f(0)=0,即ln(1+x)≤x,當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)取等號(hào).故b=·ln=·ln<×=1時(shí),h'(x)>0, h(x)單調(diào)遞增.所以h(x)在(-∞,1)上單調(diào)遞減,在(1,+∞)上單調(diào)遞增,所以h(x)≥h(1)=0,即ex≥ex,當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào).故a=>×e×=e=c,即a>c.綜上可得,b9.AC　[解析] 設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,由題意可知a6=a4q2 q2=== q=±,故選項(xiàng)A正確;a5=a4q=48×=±24,故選項(xiàng)B不正確;由等比數(shù)列的性質(zhì)可知選項(xiàng)C正確;當(dāng)q2≠1時(shí),a3+a2022=a1q2+a2022≠a1+q2a2022=a1+a2024,故選項(xiàng)D不正確.故選AC.
10.CD　[解析] 由圖可知,當(dāng)x∈(-2,-1)時(shí),f'(x)<0,當(dāng)x∈(-1,1)時(shí),f'(x)>0,所以f(x)在(-2,-1)上單調(diào)遞減,在(-1,1)上單調(diào)遞增,故A錯(cuò)誤;y=f'(x)在區(qū)間(-2,5)上有3個(gè)零點(diǎn),且零點(diǎn)附近左右兩邊f(xié)'(x)的值一正一負(fù),故f(x)在區(qū)間(-2,5)上有3個(gè)極值點(diǎn),故B錯(cuò)誤;當(dāng)x∈(-2,-1)∪(2,4)時(shí),f'(x)<0,f(x)在(-2,-1),(2,4)上單調(diào)遞減,當(dāng)x∈(-1,2)∪(4,5)時(shí),f'(x)>0,f(x)在(-1,2),(4,5)上單調(diào)遞增,則當(dāng)x=-1或x=4時(shí)f(x)取得極小值,當(dāng)x=2時(shí)f(x)取得極大值,若當(dāng)x→-∞時(shí),f(x)>0,當(dāng)x→+∞時(shí),f(x)>0,且f(-1)<0,f(2)>0,f(4)<0,則f(x)在區(qū)間(-2,5)上有4個(gè)零點(diǎn),故C正確;由于x=2為f(x)的極大值點(diǎn),2∈(1,3),故D正確.故選CD.
11.AB　[解析] 設(shè)F(x)=,則F'(x)=.∵f(x)-f'(x)>2,∴f'(x)-f(x)+2<0,∴F'(x)<0,即函數(shù)F(x)在定義域R上單調(diào)遞減.∵f(0)=5,∴F(0)=3,∴不等式f(x)≤3ex+2等價(jià)于≤3,即F(x)≤F(0),解得x≥0.故不等式f(x)≤3ex+2的解集為[0,+∞).故選AB.
12.100　[解析] 因?yàn)閍n=(-1)n(2n-1),所以a1+a2=2,a3+a4=2,…,a99+a100=2,所以數(shù)列{an}的前100項(xiàng)之和為a1+a2+…+a100=50×2=100.
13.7591　[解析] ∵點(diǎn)(xn,xn+1)都在函數(shù)y=f(x)的圖象上,∴xn+1=f(xn).∵數(shù)列{xn}滿足x1=1,∴x2=f(x1)=3,x3=f(x2)=5,x4=f(x3)=6,x5=f(x4)=1,…,∴xn+4=xn.故x1+x2+x3+…+x2025=506×(1+3+5+6)+1=7591.
14.　[解析] 令f(x1)=g(x2)=t,則=a=t>0,∴x1=ln t,x2=.令h(t)=x2-x1=-ln t,則h'(t)=-.令h'(t)=0,得t=a,∴h(t)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,∴h(t)min=h=-ln=,∴a=.
15.解:(1)設(shè)數(shù)列{an}的公差為d,因?yàn)镾3=S4,所以a4=0.因?yàn)閿?shù)列{an}是等差數(shù)列,a1=-6,所以-6+3d=0,解得d=2,所以an=-6+2(n-1)=2n-8.
(2)由an=2n-8可得an+4=2(n+4)-8=2n,所以bn==4n.從而可知{bn}是首項(xiàng)b1=4,公比為4的等比數(shù)列,所以其前n項(xiàng)和為=.
16.解:(1)由題得f'(x)=1-,則f'=-1,所以切線的斜率為-1,因?yàn)閒=,所以所求切線方程為y-=-,即x+y-1=0.
(2)f'(x)=1-=(x>0),令f'(x)=0,得x=1.當(dāng)x變化時(shí),f'(x),f(x)的變化情況如下表所示:
x (0,1) 1 (1,+∞)
f'(x) - 0 +
f(x) 單調(diào)遞減 1-ln 2 單調(diào)遞增
所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1),單調(diào)遞增區(qū)間為(1,+∞),當(dāng)x=1時(shí),f(x)取得極小值,極小值為f(1)=1-ln 2,無極大值.
17.解:(1)f'(x)=3x2-9x+6=3-≥-,由f'(x)≥m恒成立,可得m≤-,即m的最大值為-.
(2)f'(x)=3x2-9x+6=3(x-2)(x-1),由f'(x)>0,得x>2或x<1,由f'(x)<0,得10,即a>或a<2,∴a的取值范圍為(-∞,2)∪.
18.解:(1)∵4Sn=,∴當(dāng)n≥2時(shí),有4Sn-1=,兩式相減得4an=-+2an-2an-1,整理得(an+an-1)(an-an-1-2)=0.∵an>0,∴an-an-1-2=0,即an-an-1=2.在4Sn=中,令n=1,得a1=1.∴數(shù)列{an}是以1為首項(xiàng),2為公差的等差數(shù)列,故an=2n-1.
(2)由(1)知bn==n×,∴Tn=1+++…+①,Tn=+++…+②,①-②得Tn=1+++…+-=-=-×-,∴Tn=-.由題意,對(duì)任意的n∈N*,均有(3n+4)m≥(2n-5)·2n恒成立, ∴(3n+4)m≥·2n,即m≥×恒成立.設(shè)cn=,∴cn+1-cn=-=.當(dāng)n≤3時(shí),cn+1-cn>0,即cn+1>cn ;當(dāng)n≥4時(shí),cn+1-cn<0,即cn+119.解:(1)由于f(x)=ax2+(2a-1)x-ln x(a∈R),則定義域?yàn)?0,+∞),可得f'(x)=2ax+(2a-1)-==.當(dāng)a≤0時(shí),∵x>0,∴f'(x)<0,故f(x)在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞減;當(dāng)a>0時(shí),∵x>0,∴由f'(x)>0得x>,由f'(x)<0得00時(shí),f(x)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.
(2)證明:∵x>0,g(x)=ax2-ln x-1,x1≠x2,∴不妨設(shè)x1>x2>0,則有a=ln x1+1,a=ln x2+1,兩式相加得a(+)=ln(x1x2)+2,兩式相減得a(-)=ln,消去a得ln(x1x2)+2=ln=ln,令t=(t>1),則ln(x1x2)=ln t-2.要證x1x2>,即證ln(x1x2)>-1,也就是要證ln t>1,即證ln t>(t>1).令F(t)=ln t-=ln t-1+(t>1),∵F'(t)=-=>0,∴F(t)在(1,+∞)上為增函數(shù),∴F(t)>F(1)=0,即ln t>成立,故x1x2>.模塊素養(yǎng)測評(píng)卷(二)
第一、二章
時(shí)間:120分鐘　分值:150分　　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1.[2024·天津西青區(qū)高二期末] 已知數(shù)列{an}滿足a1=3,an+1=1-(n∈N*),則a4= (　 )　　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A. B.- C.3 D.
2.已知an=(n∈N*),則數(shù)列{an}的前40項(xiàng)中的最大項(xiàng)和最小項(xiàng)分別是 (　 )
A.a1,a30 B.a1,a9
C.a10,a9 D.a12,a11
3.函數(shù)f(x)=x3-ex的圖象在x=1處的切線斜率為 (　 )
A.3 B.3-e C.3+e D.e
4.[2023·武漢四十九中期中] “a3+a7=2a5”是“數(shù)列{an}為等差數(shù)列”的 (　 )
A.充分不必要條件
B.充要條件
C.必要不充分條件
D.既不充分也不必要條件
5.已知等比數(shù)列{an}的公比q=2,若a1+a3=5,則a1a2+a2a3+a3a4+…+a99a100= (　 )
A.2100-1 B.2101-1
C.(4100-1) D.(499-1)
6.已知f(x)=x3+(a-1)x2+x+1沒有極值,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 (　 )
A.[0,1] B.(-∞,0]∪[1,+∞)
C.[0,2] D.(-∞,0]∪[2,+∞)
7.已知函數(shù)f(x)=x+1+ae-x有兩個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍為 (　 )
A. B.
C. D.
8.若a=·,b=·ln,c=e,則 (　 )
A.bC.c二、選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分,部分選對(duì)的得部分分,有選錯(cuò)的得0分.
9.[2024·貴州黔南州高二期末] 若等比數(shù)列{an}的第4項(xiàng)和第6項(xiàng)分別是48和12,則下列說法正確的是 (　 )
A.{an}的公比為或-
B.{an}的第5項(xiàng)是24
C.a3·a2022=a1·a2024
D.a3+a2022=a1+a2024
10.[2024·江蘇宿遷高二期末] 已知函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)y=f'(x)的圖象如圖所示,則 (　 )
A.f(x)在區(qū)間(-2,1)上單調(diào)遞增
B.f(x)在區(qū)間(-2,5)上有且僅有2個(gè)極值點(diǎn)
C.f(x)在區(qū)間(-2,5)上最多有4個(gè)零點(diǎn)
D.f(x)在區(qū)間(1,3)上存在極大值點(diǎn)
11.已知函數(shù)f(x)是定義在R上的可導(dǎo)函數(shù),其導(dǎo)函數(shù)為f'(x),若f(0)=5,且f(x)-f'(x)>2,則使不等式f(x)≤3ex+2成立的x的值不可能為 (　 )
A.-2 B.-1
C.1 D.2
三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分.
12.[2024·廣東深圳鹽田高級(jí)中學(xué)高二期末] 若數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an=(-1)n(2n-1),則該數(shù)列的前100項(xiàng)之和為　　　　.
13.對(duì)于函數(shù)y=f(x),部分x和y的對(duì)應(yīng)值如下表:
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9
y 3 7 5 9 6 1 8 2 4
數(shù)列{xn}滿足x1=1,且對(duì)于任意的n∈N*,點(diǎn)(xn,xn+1)都在函數(shù)y=f(x)的圖象上,則x1+x2+x3+…+x2025=　　　　.
14.已知函數(shù)f(x)=ex(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)),g(x)=a(a>0).若對(duì)任意的x1∈R,總存在x2>x1,使得f(x1)=g(x2),且x2-x1的最小值為,則實(shí)數(shù)a的值為　　　　.
四、解答題:本題共5小題,共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15.(13分)已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列,Sn為其前n項(xiàng)和,a1=-6,S3=S4.
(1)求{an}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)bn=,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和.
16.(15分)已知函數(shù)f(x)=x-ln(2x).
(1)求f(x)的圖象在點(diǎn)P處的切線方程;
(2)求f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值.
17.(15分)已知函數(shù)f(x)=x3-x2+6x-a.
(1)若對(duì)任意實(shí)數(shù)x,f'(x)≥m恒成立,求m的最大值;
(2)若函數(shù)f(x)恰有一個(gè)零點(diǎn),求a的取值范圍.
18.(17分)[2023·江蘇揚(yáng)州高二期末] 已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且滿足4Sn=.
(1)求an;
(2)令bn=,記數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn,若對(duì)任意的n∈N*,均有(3n+4)m≥(2n-5)·2n恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
19.(17分)[2023·長沙長郡中學(xué)高二月考] 設(shè)函數(shù)f(x)=ax2+(2a-1)x-ln x(a∈R).
(1)討論f(x)的單調(diào)性;
(2)若函數(shù)g(x)=f(x)-(2a-1)x-1存在兩個(gè)零點(diǎn)x1,x2,證明:x1x2>.

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