資源簡介

(共41張PPT)
9.1 向量概念
探究點一 向量的基本概念
探究點二 相等向量與共線向量
探究點三 向量的夾角
【學習目標】
1.通過對力、速度、位移等的分析,了解平面向量的實際背景,理
解平面向量、零向量、向量的模、單位向量、平行向量（共線向量）
的意義和兩個向量相等的含義.
2.能夠在熟悉的實際問題情境中,理解平面向量的幾何表示和基
本要素.
知識點一 向量的概念
1.既有______,又有______的量叫作向量.
2.只有______,沒有______的量稱為數量.
大小
方向
大小
方向
【診斷分析】
給出下列量:①面積;②速度;③位移;④力;⑤加速度;⑥路程;⑦密度;⑧
功;⑨溫度;⑩角度.
（1）這些量有什么區別？
解：①⑥⑦⑧⑨⑩這些量只有大小，沒有方向；
（2）這些量中不是向量的有 ( )
A.3個 B.4個 C.5個 D.6個
√
②③④⑤這些量既有大小又有方向.
知識點二 向量的表示法
1.有向線段：具有方向的線段叫作有向線段（如圖），有向線段包含
三個要素：起點、方向、長度.
2.向量的表示
（1）向量的幾何表示法：向量常用一條有向線段來表示，有向線段
的長度表示向量的大小，箭頭所指的方向表示向量的方向，以 為起
點，為終點的向量記為.向量 的大小稱為向量的長度
（或稱為模），記作 .
（2）字母表示法：用小寫字母,, 來表示.
【診斷分析】
1.判斷正誤.（正確的打“√”，錯誤的打“×”）
在同一平面內，把所有長度為1的向量的起點固定在同一點，則這些
向量的終點形成的軌跡是半徑為1的圓.( )
√
2.在如圖所示的方格紙上，每個小正方形的邊
長均為1，則 _____.
3.向量的?？梢詾?嗎？可以為1嗎？可以為負數嗎？
解：向量的?？梢詾?,可以為1，不能為負數.
知識點三 向量的有關概念
相關概念 定義 注意
零向量 長度為0的向量稱為零向量，記作0 方向是任意的
單位向量 長度等于_________長度的向量
平行向量 （共線向 量） 零向量與任一
向量平行
1個單位
平行向量
共線向量
相關概念 定義 注意
相等向量 在平面內，相
等的向量有無
數多個
相反向量 零向量的相反
向量仍是零向
量
相等
方向
相等
相反
續表
【診斷分析】
1.判斷正誤.（正確的打“√”，錯誤的打“×”）
（1）若向量與共線，向量與共線，則向量與 共線. ( )
×
（2）若向量與不共線，向量與不共線，則向量與 不共線.
( )
×
（3）若向量與是共線向量，則,,, 四點一定共線.( )
×
（4）向量與不共線，則與 都是非零向量. ( )
√
2.0與 有什么區別和聯系？
解：區別：0表示數量,但表示零向量；
聯系：| .
知識點四 向量的夾角
1.定義:對于兩個______向量和 （如圖所示）,在平
面內任取一點,作, ,則
叫作向量與 的______.
非零
夾角
2.向量的夾角 的取值范圍是__________.當___時，與 同向;當
______時，與反向；當____時，則稱向量與 垂直,記作
______.
探究點一 向量的基本概念
例1（1） 下列結論中，正確的是( )
A.零向量只有大小沒有方向
B.
C.對任意一個向量， 總是成立的
D.與線段 的長度不相等
√
[解析] 零向量既有大小又有方向，故A錯誤；
與 方向相反，長度相等，故B正確；
零向量的模為0，則 不恒成立，故C錯誤；
與線段 的長度相等，故D錯誤.故選B.
（2）某船從點出發向正西方向航行了到達 點，然后改變
方向向北偏西 方向航行了到達 點，最后又改變方向向
正東方向航行了到達 點.
①作出向量，， ；
解：作出向量,, ,如圖所示.
②求 .
解：易知和 方向相反，
與 共線.
又 ，
且.連接 ,
四邊形為平行四邊形， .
變式 下列說法中正確的是( )
A.數量可以比較大小，向量也可以比較大小
B.方向不同的向量不能比較大小，但共線向量可以比較大小
C.向量的模與方向有關
D.向量的?？梢员容^大小
[解析] 不管向量的方向如何，它們都不能比較大小，故A，B不正確；
向量的模指向量的大小，等于表示向量的有向線段的長度，與方向
無關，故C不正確；
向量的模是一個數量，可以比較大小,故D正確.故選D.
√
［素養小結］
解決與向量概念有關問題的關鍵是突出向量的核心——方向和長度.
如，單位向量的核心是方向沒有限制,但長度都是一個單位長度;零向
量的核心是方向沒有限制,長度是0;規定零向量與任意向量共線.只有
緊緊抓住概念的核心才能順利解決與向量概念有關的問題.
探究點二 相等向量與共線向量
例2 下列說法中，正確的是( )
A.已知,，為非零向量,若與是共線向量,與是平行向量,則 與
是方向相同的向量
B.任意兩個相等的非零向量的起點與終點總是一個平行四邊形的四
個頂點
C.相等的非零向量必是共線向量
D.有相同起點的兩個非零向量一定不是平行向量
√
[解析] 對于A，與 可能方向相同,也可能方向相反，故A錯誤;
對于B，任意兩個相等的非零向量的起點與終點也可以在一條直線上,
故B錯誤;
易知C正確;
對于D，有相同起點的兩個非零向量也可以是平行向量，故D錯誤.
故選C.
例3 如圖，，，分別是的邊 ，
，的中點，在以，，，，， 為起
點和終點的向量中:
（1）找出與向量 相等的向量；
解：，分別為， 的中點，
，且 ，
又是的中點， ,
與向量相等的向量是， .
（2）找出與向量 共線的向量;
解：，分別為，的中點， ，
與向量共線的向量是，，，，，， .
（3）找出與向量 相反的向量.
解：，分別為， 的中點，
，且，
又是 的中點，
與向量相反的向量是， .
變式1 如圖所示，是正三角形 的中心，四
邊形和四邊形 均為平行四邊形，則
與向量相等的向量有____（不包括 ）；與
向量相反的向量有_________；與向量 的
模相等的向量有_______________________
（不包括 ）.（填圖中所畫出的向量）
，
，，，，
[解析] 因為是正三角形 的中心，所以.
因為四邊形 為平行四邊形，
所以，且 .
根據題圖可知，與向量相等的向量有.
由已知可得， ，且，且 ，
所以與向量相反的向量有，.
因為 ，
所以與向量的模相等的向量有，，，， .
變式2 如圖，在矩形中，，，分別為與 的
中點，則在以，，，，， 為起點和終點的所有向量中，相
等向量的對數為( )
A.9 B.11 C.18 D.24
√
[解析] 如圖，由已知可得， ， ，
，， ，有12對相等向量，
同理與以上向量方向相反的向量也有12對相等向量，
所以共24對相等向量.故選D.
［素養小結］
解決此類問題時，必須要把握好相等向量、平行向量、相反向量等
概念的特征及相互關系．
探究點三 向量的夾角
例4 在平行四邊形中，，且向量與 的夾角為
.
（1）與 的夾角為多少？
解：因為在平行四邊形中， ，所以該平行四邊形
為菱形，
又 ，所以為等邊三角形，
所以向量 與的夾角為 .
（2）與 的夾角為多少？
解：因為，所以向量與的夾角為 ，
易知 ，所以與的夾角為 .
變式 在中,已知,,向量與的夾角 為鈍角,則
的形狀是( )
A.銳角三角形 B.直角三角形 C.鈍角三角形 D.不能確定
[解析] 由題知,向量與的夾角 為的補角,則 是銳角,
但不能確定 的形狀.故選D.
√
［素養小結］
尋找兩個向量的夾角時,必須把兩個向量的起點平移到同一個點.如在
中,,,分別是三角形的內角,則向量與的夾角為 ,向量
與的夾角為 .
1.向量與數量的區別
（1）向量被賦予了幾何意義，即向量是具有方向的，而數量沒有方向；
（2）數量可以比較大小，而向量無法比較大小，即使 ，也
不能說 ；
（3）注意數0與零向量 的區別.
2.用小寫字母表示向量，手寫時必須加箭頭，如，， .
3.解決與向量的概念有關問題的關鍵是突出向量的核心——方向和長
度．如：
（1）共線向量的核心是方向相同或相反，長度沒有限制；
（2）相等向量的核心是方向相同且長度相等；
（3）單位向量的核心是方向沒有限制，但長度都是一個單位長度；
（4）零向量的核心是方向沒有限制，長度是0，規定零向量與任意
向量共線．
4.向量相等具有傳遞性，即，，則 .而向量的平行不
具有傳遞性，若，，則未必有 ，因為零向量平行于任
意向量．
1.向量的概念
（1）大小、方向是向量的兩個要素.
（2）注意兩個特殊的向量:零向量與單位向量.前者長度為0,方向任
意;后者長度為1.
（3）零向量是非常特殊的一個向量，忽視它極易致誤，解題時要多
留心有無非零向量的要求， 與任意向量共線，故在有關向量共線的
概念辨析題中，常以 為背景設置陷阱．
例1 給出下列命題,其中真命題的個數是( )
①單位向量都相等;②單位向量都共線;③共線的單位向量必相等;④
零向量的模為0;⑤零向量沒有方向;⑥零向量與任意向量共線.
A.0 B.1 C.2 D.3
[解析] 因為單位向量的方向不確定,所以①和②是假命題；
因為共線的單位向量可能方向相反,所以它們不一定相等,所以③是假命題；
因為零向量的模為0,所以④是真命題；
因為零向量的方向是任意的,所以⑤是假命題；
因為零向量與任意向量共線,所以⑥是真命題.
綜上，④⑥是真命題，故選C.
√
2.相等向量與共線向量
（1）長度相等方向相同的向量是相等向量.尋找相等向量要把握住向
量的兩個要素:大小和方向.
（2）對于非零向量,共線向量只需把握向量的方向要素,與向量的大
小無關.故判斷兩個非零向量是否共線時,只需判斷兩個向量所在的直
線是否平行或者重合.
例2 給出下列說法：
①若，則 ；
②若，，則 ；
③“”的充要條件是“且 ”；
④若，，則 ；
⑤若，，，是不共線的四個點，則“”是“四邊形
為平行四邊形”的充要條件.
其中，正確說法的個數是( )
A.2 B.3 C.4 D.5
√
[解析] 對于①，因為，但，的方向不確定，所以， 不
一定相等，故①錯誤.
對于②，若，，則 ，故②正確.
對于③，且或，所以“ 且
”是“”的必要不充分條件，故③錯誤.
對于④，若 ，則 不一定共線，故④錯誤.
對于⑤，若A，B，C，D是不共線的四個點，則當時，
可得且 ，此時四邊形為平行四邊形；
當四邊形 為平行四邊形時，由相等向量的定義可知 .
所以若A，B，C，D是不共線的四個點，則“”是
“四邊形 為平行四邊形”的充要條件，故⑤正確.
綜上可知，②⑤正確，則正確說法共2個.故選A.第9章　平面向量
9.1　向量概念
【課前預習】
知識點一
1.大小　方向　2.大小　方向
診斷分析
解:(1)①⑥⑦⑧⑨這些量只有大小,沒有方向;②③④⑤這些量既有大小又有方向.
(2)D
知識點二
診斷分析
1.√　2.3
3.解:向量的?？梢詾?,可以為1,不能為負數.
知識點三
1個單位　a∥b　平行向量　共線向量　相等　方向　相等
相反
診斷分析
1.(1)×　(2)×　(3)×　(4) √
2.區別:0表示數量,但0表示零向量;聯系:|0|=0.
知識點四
1.非零　夾角　2.[0°,180°]　0°　180°　90°　a⊥b
【課中探究】
探究點一
例1　(1)B　[解析] 零向量既有大小又有方向,故A錯誤;與方向相反,長度相等,故B正確;零向量的模為0,則|a|>0不恒成立,故C錯誤;||與線段BA的長度相等,故D錯誤.故選B.
(2)解:①作出向量,,,如圖所示.
②易知和方向相反,
∴與共線.
又||=||=150 km,
∴AB∥CD且AB=CD.連接AD,
∴四邊形ABCD為平行四邊形,∴||=||=200 km.
變式　D　[解析] 不管向量的方向如何,它們都不能比較大小,故A,B不正確;向量的模指向量的大小,等于表示向量的有向線段的長度,與方向無關,故C不正確;向量的模是一個數量,可以比較大小,故D正確.故選D.
探究點二
例2　C　[解析] 對于A,a與c可能方向相同,也可能方向相反,故A錯誤;對于B,任意兩個相等的非零向量的起點與終點也可以在一條直線上,故B錯誤;易知C正確;對于D,有相同起點的兩個非零向量也可以是平行向量,故D錯誤.故選C.
例3　解:(1)∵E,F分別為BC,AC的中點,
∴EF∥BA,且EF=BA,
又D是BA的中點,∴==,
∴與向量相等的向量是,.
(2)∵D,F分別為BA,AC的中點,∴DF∥BC,
∴與向量共線的向量是,,,,,,.
(3)∵D,E分別為AB,BC的中點,
∴DE∥AC,且DE=AC,又F是AC的中點,
∴與向量相反的向量是,.
變式1　　,　,,,,　[解析] 因為O是正三角形ABC的中心,所以OA=OB=OC.因為四邊形AOCD為平行四邊形,所以AD∥OC,且AD=OC.根據題圖可知,與向量相等的向量有.由已知可得,OA∥CD,且OA=CD,OA∥BE且OA=BE,所以與向量相反的向量有,.因為OA=CD=BE=OB=OC=AD,所以與向量的模相等的向量有,,,,.
變式2　D　[解析] 如圖,由已知可得===,==,=,=,=,有12對相等向量,同理與以上向量方向相反的向量也有12對相等向量,所以共24對相等向量.故選D.
探究點四
例4　解:(1)因為在平行四邊形ABCD中,||=||,所以該平行四邊形為菱形,又∠BAD=60°,所以△ABD為等邊三角形,所以向量與的夾角為∠BAC=30°.
(2)因為=,所以向量與的夾角為∠BDC,易知∠BDC=60°,所以與的夾角為60°.
變式　D　[解析] 由題知,向量a與b的夾角θ為∠ABC的補角,則∠ABC是銳角,但不能確定△ABC的形狀.故選D.第9章　平面向量
9.1　向量概念
1.B　[解析] 兩個單位向量可能方向不同,因此不一定相等,所以選項A不正確;重力既有大小又有方向,是向量,所以選項B正確;向量是既有大小,又有方向的量,可以用有向線段表示,但不能說向量就是有向線段,所以選項C不正確;若a或b為零向量,則滿足a與b平行,但a與b的方向不一定相同或相反,所以選項D不正確.故選B.
2.C　[解析] 向量不能比較大小,故A錯誤;模相等的兩個向量,方向可能不同,故B錯誤;不相等的向量也可能是共線向量,故D錯誤;C顯然正確.
3.AB　[解析] 向量是可以平移的,若兩個向量相等,則它們的起點和終點不一定分別重合,故A中說法錯誤;模相等的兩個平行向量方向不一定相同,故B中說法錯誤;若a和b都是單位向量,則|a|=|b|,故C中說法正確;兩個相等向量的模一定相等,故D中說法正確.故選AB.
4.D　[解析] ∵在四邊形ABCD中,=,∴AB=CD,AB∥CD,∴四邊形ABCD為平行四邊形,∴=.
5.B　[解析] 由題意可得與的夾角為180°-∠ABC=180°-60°=120°,A錯誤;如圖,過點D作DE∥CB,交AB于E,則易知∠ADE=60°,故與的夾角為
∠ADE=60°,B正確;因為∥,所以與的夾角等于與的夾角,為120°,C錯誤;與的夾角為∠ADC=180°-60°=120°,D錯誤.故選B.
6.B　[解析] ∵E,F,D分別是邊AC,AB,BC的中點,∴EF=BC,BD=DC=BC.又AB,BC,AC的長均不相等,∴與向量的模相等的向量有,,,,,共5個.
7.C　[解析] ∵三個四邊形是全等的菱形,∴||=||,AB∥CD∥FH,故與共線,又D,C,E三點共線,∴與共線.∴選項A,B,D一定成立.故選C.
8.A　[解析] 因為一架飛機向西飛行400 km,再向東飛行500 km,所以飛機飛行的路程s=400+500=900(km),位移為向東100 km,所以|a|=100 km,所以s-|a|=900-100=800(km).故選A.
9.D　[解析] 由=,=,||=||,知四邊形ABCD的對角線相互平分且相等,所以四邊形ABCD為矩形.故選D.
10.0　[解析] 與任一向量平行的向量只有0.
11.①②③　[解析] 根據正方形的特征,結合相等向量、平行向量的定義可知,只有④是錯誤的,與的模相等,方向不相同,所以不是相等向量.
12.3　8　[解析] 與相等的向量有,,,共3個;與的模相等且夾角為60°的向量有,,,,,,,,共8個.
13.解:依題意,每個小方格的兩條對角線中,有一條對角線對應的兩個向量都和平行且模為.因為共有12個小方格,所以與向量平行且模為的向量共有24個.
易知與向量方向相同且模為3的向量共有2個.
14.解:根據題意作出示意圖,如圖所示,記A,B,C,D分別表示甲地、乙地、丙地、丁地.依題意知,三角形ABC為正三角形,∴AC=2000.
又∵∠ACD=90°,CD=2000,
∴△ACD為等腰直角三角形,則AD=2000,∠CAD=45°.故丁地在甲地的東南方向,距甲地2000 km.
15.π　[解析] 由=可知四邊形ABCD為平行四邊形,由||=||=||,可知四邊形ABCD為菱形,△ABD為等邊三角形,故∠ABC=120°,菱形的內切圓圓心O在對角線BD的中點處,設其半徑為r,則r=||sin 60°=,所以內切圓的面積S=πr2=π.
16.解:(1)如圖所示,操作8次后賽車的位移為零向量.
(2)要使賽車行進一周后能回到出發點,只需賽車的位移為零向量,則賽車行進的軌跡是內角為180°-α的正n邊形,故有n(180°-α)=(n-2)180°(n≥3,n∈N*),得α=,其中n為不小于3的正整數.第9章　平面向量
9.1　向量概念
【學習目標】
　　1.通過對力、速度、位移等的分析,了解平面向量的實際背景,理解平面向量、零向量、向量的模、單位向量、平行向量(共線向量)的意義和兩個向量相等的含義.
　　2.能夠在熟悉的實際問題情境中,理解平面向量的幾何表示和基本要素.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
◆ 知識點一　向量的概念
1.既有　　　　,又有　　　　的量叫作向量.
2.只有　　　　,沒有　　　　的量稱為數量.
【診斷分析】 給出下列量:①面積;②速度;③位移;④力;⑤加速度;⑥路程;⑦密度;⑧功;⑨溫度;角度.
(1)這些量有什么區別
(2)這些量中不是向量的有 (　 )
A.3個 B.4個 C.5個 D.6個
◆ 知識點二　向量的表示法
1.有向線段:具有方向的線段叫作有向線段(如圖),有向線段包含三個要素:起點、方向、長度.
2.向量的表示
(1)向量的幾何表示法:向量常用一條有向線段來表示,有向線段的長度表示向量的大小,箭頭所指的方向表示向量的方向,以A為起點,B為終點的向量記為.向量的大小稱為向量的長度(或稱為模),記作||.
(2)字母表示法:用小寫字母a,b,c來表示.
【診斷分析】 1.判斷正誤.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
在同一平面內,把所有長度為1的向量的起點固定在同一點,則這些向量的終點形成的軌跡是半徑為1的圓. (　 )
2.在如圖所示的方格紙上,每個小正方形的邊長均為1,則||=　　　　　.
3.向量的模可以為0嗎 可以為1嗎 可以為負數嗎
◆ 知識點三　向量的有關概念
相關概念 定義 注意
零向量 長度為0的向量稱為零向量,記作0 方向是任意的
單位向量 長度等于　　　　　　長度的向量
平行向量 (共線向量) 方向相同或相反的非零向量叫作平行向量.向量a與b平行,記作　　　　　　. 任意一組　　　　　　都可以平移到同一條直線上,因此平行向量又稱為　　　　 零向量與任一向量平行
相等向量 長度　　　　且　　　　相同的向量叫作相等向量.向量a與b相等,記作a=b 在平面內,相等的向量有無數多個
相反向量 與向量a長度　　　　,方向　　　　的向量,叫作a的相反向量,記作-a 零向量的相反向量仍是零向量
【診斷分析】 1.判斷正誤.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)若向量a與b共線,向量b與c共線,則向量a與c共線. (　 )
(2)若向量a與b不共線,向量b與c不共線,則向量a與c不共線. (　 )
(3)若向量與是共線向量,則A,B,C,D四點一定共線. (　 )
(4)向量a與b不共線,則a與b都是非零向量. (　 )
2.0與0有什么區別和聯系
◆ 知識點四　向量的夾角
1.定義:對于兩個　　　　向量a和b(如圖所示),在平面內任取一點O,作=a,=b,則
∠AOB=θ(0°≤θ≤180°)叫作向量a與b的　　　　.
2.向量的夾角θ的取值范圍是　　　　　　.當θ=　　　　時,a與b同向;當θ=　　　　時,a與b反向;當θ=　　　　時,則稱向量a與b垂直,記作　　　　.
◆ 探究點一　向量的基本概念
例1 (1)下列結論中,正確的是 (　 )
A.零向量只有大小沒有方向
B.||=||
C.對任意一個向量a,|a|>0總是成立的
D.||與線段BA的長度不相等
(2)某船從A點出發向正西方向航行了150 km到達B點,然后改變方向向北偏西30°方向航行了200 km到達C點,最后又改變方向向正東方向航行了150 km到達D點.
①作出向量,,;
②求||.
變式 下列說法中正確的是 (　 )　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.數量可以比較大小,向量也可以比較大小
B.方向不同的向量不能比較大小,但共線向量可以比較大小
C.向量的模與方向有關
D.向量的?？梢员容^大小
[素養小結]
解決與向量概念有關問題的關鍵是突出向量的核心——方向和長度.如,單位向量的核心是方向沒有限制,但長度都是一個單位長度;零向量的核心是方向沒有限制,長度是0;規定零向量與任意向量共線.只有緊緊抓住概念的核心才能順利解決與向量概念有關的問題.
◆ 探究點二　相等向量與共線向量
例2 下列說法中,正確的是 (　 )
A.已知a,b,c為非零向量,若a與b是共線向量,b與c是平行向量,則a與c是方向相同的向量
B.任意兩個相等的非零向量的起點與終點總是一個平行四邊形的四個頂點
C.相等的非零向量必是共線向量
D.有相同起點的兩個非零向量一定不是平行向量
例3 如圖,D,E,F分別是△ABC的邊AB,BC,CA的中點,在以A,B,C,D,E,F為起點和終點的向量中:
(1)找出與向量相等的向量;
(2)找出與向量共線的向量;
(3)找出與向量相反的向量.
變式1 如圖所示,O是正三角形ABC的中心,四邊形AOCD和四邊形AOBE均為平行四邊形,則與向量相等的向量有　　　(不包括);與向量相反的向量有　　　　　;與向量的模相等的向量有　　　　　　　　　　(不包括).(填圖中所畫出的向量)
變式2 如圖,在矩形ABCD中,AB=2AD,M,N分別為AB與CD的中點,則在以A,B,C,D,M,N為起點和終點的所有向量中,相等向量的對數為 (　 )
A.9 B.11
C.18 D.24
[素養小結]
解決此類問題時,必須要把握好相等向量、平行向量、相反向量等概念的特征及相互關系.
◆ 探究點三　向量的夾角
例4 在平行四邊形ABCD中,||=||,且向量與的夾角為60°.
(1)與的夾角為多少
(2)與的夾角為多少
變式 在△ABC中,已知=a,=b,向量a與b的夾角θ為鈍角,則△ABC的形狀是 (　 )
A.銳角三角形 B.直角三角形
C.鈍角三角形 D.不能確定
[素養小結]
尋找兩個向量的夾角時,必須把兩個向量的起點平移到同一個點.如在△ABC中,A,B,C分別是三角形的內角,則向量與的夾角為A,向量與的夾角為π-B.第9章　平面向量
9.1　向量概念
一、選擇題
1.下列說法中正確的是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.兩個單位向量一定相等
B.物理學中的重力是向量
C.向量就是有向線段
D.若向量a與b平行,則a與b的方向相同或相反
2.下列說法正確的是 (　 )
A.若|a|>|b|,則a>b
B.若|a|=|b|,則a=b
C.若a=b,則a∥b
D.若a≠b,則a與b不是共線向量
3.(多選題)下列說法中錯誤的是 (　 )
A.若兩個向量相等,則它們的起點和終點分別重合
B.模相等的兩個平行向量是相等向量
C.若a和b都是單位向量,則|a|=|b|
D.兩個相等向量的模相等
4.如圖所示,在四邊形ABCD中,=,AC與BD交于點O,則 (　 )
A.=
B.=
C.=
D.=
5.在等腰梯形ABCD中,AB∥CD,∠DAB=∠ABC=60°,則下列各組向量中夾角為60°的是 (　 )
A.與 B.與
C.與 D.與
6.如圖所示,△ABC的三邊長均不相等,E,F,D分別是邊AC,AB,BC的中點,則與向量的模相等的向量共有 (　 )
A.6個 B.5個
C.4個 D.3個
7.如圖所示,四邊形ABCD,CEFG,DCGH是全等的菱形,則下列關系中不一定成立的是 (　 )
A.||=|| B.與共線
C.與共線 D.與共線
8.[2024·茂名高新中學高一月考] 如果一架飛機向西飛行400 km,再向東飛行500 km,記飛機飛行的路程為s,位移為a,那么s-|a|= (　 )
A.800 km B.700 km
C.600 km D.500 km
9.[2024·蘇州五中高一月考] 在四邊形ABCD中,AC與BD交于點O,且=,=,||=||,則 (　 )
A.AC⊥BD
B.四邊形ABCD是梯形
C.四邊形ABCD是菱形
D.四邊形ABCD是矩形
二、填空題
10.若向量a與任一向量b平行,則a=　　　　.
11.如圖所示,設O是正方形ABCD的中心,則下列結論正確的有　　　　.(填序號)
①=;
②∥;
③與共線;
④=.
12.如圖,正六邊形ABCDEF的中心是點O,以這七個點為起點或終點的向量中,與相等的向量共有　　　　個,與的模相等且夾角為60°的向量共有　　　　個.
三、解答題
13.如圖是4×3的矩形方格紙(每個小方格的邊長都是1),在起點和終點都在小方格的頂點處的向量中,與向量平行且模為的向量共有幾個 與向量方向相同且模為3的向量共有幾個
14.已知飛機從甲地沿北偏東30°的方向飛行2000 km到達乙地,再從乙地沿南偏東30°的方向飛行2000 km到達丙地,然后從丙地沿正南方向飛行2000 km到達丁地,問丁地在甲地的什么方向 丁地距甲地多遠
15.已知在四邊形ABCD中,=且||=||=||=2,則該四邊形內切圓的面積是　　　　.
16.一位模型賽車手遙控一輛賽車沿正東方向向前行進1米,逆時針轉變α(0°<α<180°),繼續按直線向前行進1米,再逆時針轉變α,按直線向前行進1米,按此方法繼續操作下去.
(1)作示意圖說明當α=45°時,操作幾次后賽車的位移為零向量;
(2)按此操作方法使賽車行進一周后能回到出發點,α應滿足什么條件

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