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4.4解直角三角形的應用 同步習題
一、單選題
1．某人上坡沿直線走了50m，他升高了 25m ，這坡的坡度為（ ）
A．30° B．45° C．1∶1 D．∶2
2．如圖，小明在點處測得樹的頂端仰角為，同時測得，則樹的高度為（ ）
A． B． C． D．
3．如圖，在一次數學實踐活動中，張老師帶領學生去測量學校新建的理化實驗樓的高度，小凡從實驗樓底部的點處前行到達斜坡的底部點處，然后沿著斜坡前行到達最佳測量點處，在點處測得實驗樓頂端點的仰角為，已知斜坡與水平地面的夾角為，且點在同一平面內，則該實驗樓的高度為（ ）．
A． B． C． D．17
4．如圖，在中，，點B，C分別在地面和墻面上，且邊，若，，則的長為（ ）
A． B． C． D．
5．如圖所示的是某大壩的橫斷面，，迎水坡AB的坡比，背水坡CD的坡比．若坡面CD的長度為，則坡面AB的長度為（ ）
A． B． C． D．
6．如圖，在一塊矩形ABCD區域內，正好劃出5個全等的矩形停車位，其中EF＝a米，FG＝b米，∠AEF＝30°，則AD等于（ ）
A．（a＋b）米 B．（a＋b）米
C．（a＋b）米 D．（a＋b）米
7．如圖，為了測量某建筑物AB的高度，在平地上C處測得建筑物頂端A的仰角為30°，沿CB方向前進16m到達D處，在D處測得建筑物頂端A的仰角為45°，則建筑物AB的高度等于（ ）
A． B． C． D．
8．現在手機導航極大方便了人們的出行，如圖，嘉琪一家自駕到風景區游玩，到達地后，導航顯示車輛應沿北偏西方向行駛4千米至地，再沿北偏東方向行駛一段距離到達風景區，嘉琪發現風景區在地的北偏東方向，那么B，C兩地的距離為（ ）

A．千米 B．千米 C．千米 D．8千米
二、填空題
9．某水庫堤壩的橫斷面如圖所示，迎水坡AB的坡度是1︰ ，堤壩高BC＝50m，則AB＝ m．
10．如圖，河旁有一座小山，山高，點C，A與河岸E，F在同一水平線上，從山頂B處測得河岸E和對岸F的俯角分別為．若在此處建橋，河寬的長度為 ．（結果精確到1m，參考數據：）

11．如圖，某河堤迎水坡的坡比，堤高，則坡面的長是 ．
12．一艘觀光游船從港口以北偏東的方向出港觀光，航行海里至處時發生了側翻沉船事故，立即發出了求救信號，一艘在港口正東方向的海警船接到求救信號，測得事故船在它的北偏東方向，馬上以海里每小時的速度前往救援，海警船到達事故船處所需的時間大約為 小時（用根號表示）．
13．已知：如圖，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝10，AC＝5．則sin∠ACB ．
14．如圖，在四邊形中，，，，．則的長的值為 ．
三、解答題
15．2022年11月29日，搭載神舟十五號載人飛船的運載火箭在酒泉衛星發射中心成功發射．運載火箭從發射點O處發射，當火箭到達A處時、在地面雷達站C處測得點A的仰角為，在地面雷達站B處測得點A的仰角為．已知，O、B、C三點在同一條直線上，求B、C兩個雷達站之間的距離（結果精確到，參考數據）．
16．某中學數學興趣小組在護城河東岸處和處分別測量了建筑物（如圖①）頂端的仰角及的長度（如圖②）．
成員
甲 2.9
乙 3.0
丙 3.1
小組成員測量數據如表：為了減小誤差，請你先確定合理數據，再求建筑物高度．（精確到，，
17．如圖，據氣象臺報告，在某市A的正南方向，距離A市100千米的B處有一臺風中心，現正以40千米/時的速度沿北偏東30°方向往C處移動，臺風中心周圍60千米范圍內的區域會受到影響，該城市會不會受到臺風影響？如果會受臺風影響，那么受臺風影響的時間有多長？
18．如圖，在南北方向的海岸線MN上，有A、B兩艘巡邏船，現均收到故障船c的求救信號.已知A、B兩船相距100（+3）海里，船C在船A的北偏東60°方向上，船C在船B的東南方向上，MN上有一觀測點D，測得船C正好在觀測點D的南偏東75°方向上.
(1)分別求出A與C，A與D之間的距離AC和AD（如果運算結果有根號，請保留根號）.
(2)已知距觀測點D處200海里范圍內有暗礁．若巡邏船A沿直線AC去營救船C，在去營救的途中有無觸暗礁危險？（參考數據：≈1.41，≈1.73）
參考答案
題號 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C A A A C A A A
1．C
【分析】先由勾股定理求出AC的長，再求坡比．
【詳解】解：如圖，AB=50，BC=25，
由勾股定理得AC=25，
故坡比i=BC∶AC=1∶1，
故選C．
【點睛】本題考查了勾股定理及坡比，解題的關鍵是求出第三邊長．
2．A
【分析】由銳角三角函數定義得，即可得出答案．
【詳解】解：在中，，，，
．
故選：A．
【點睛】本題考查解直角三角形的應用－仰角俯角問題，熟練掌握銳角三角函數的定義是解答本題的關鍵．
3．A
【分析】本題考查了解直角三角形的應用一仰角俯角問題，解決此類問題要了解仰角和俯角的定義，找到與已知和未知相關聯的直角三角形，當圖形中沒有直角三角形時，要通過作高或垂線構造直角三角形，把實際問題劃歸為直角三角形中邊角關系問題加以解決，也考查了坡度與坡角．
過點作于點，先計算出，進而得到，易得四邊形為矩形，根據矩形的性質求出，，再利用等腰直角三角形的性質求解．
【詳解】解：過點作于點，如圖，
根據題意得，
在中，，
∴，
∴．
∵，
∴四邊形為矩形，
∴，．
在中，
∵，
∴，
∴，
即該實驗樓的高度為．
故選：A．
4．A
【分析】本題主要考查了解直角三角形，先解直角得到，再證明，最后解即可
【詳解】解：在，，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故選：A
5．C
【分析】本題主要考查解三角形及勾股定理的應用.
根據背水坡的坡比和長度求出大壩的高度，再利用斜坡的坡比和大壩高度求出斜坡的水平距離，最后通過勾股定理求出斜坡的長度.
【詳解】過點B作于點E，過點C作于點F，如圖，
由題意可知，四邊形BEFC是矩形，．
背水坡CD的坡比，
，，
，
．
又迎水坡AB的坡比，
，
．
故選：C.
6．A
【分析】在Rt△AEF中，通過解直角三角形求得AF，再在Rt△FMG和Rt△DQK中，通過解直角三角形求得FM，最后由AD＝AF＋4FM＋DQ得結果．
【詳解】解：∵EF＝a米，∠A＝90°，∠AEF＝30°，
∴AF＝EF＝a米，∠AFE＝60°，
∵∠EFG＝90°，
∴∠MFG＝30°，
∴PQ＝NP＝MN＝FM＝（米），
DQ＝QK cos30°＝（米），
∴AD＝AF＋4FM＋DQ＝a＋4×＋＝a＋b（米），
故選：A．
【點睛】本題主要考查了矩形的性質，解直角三角形的應用，關鍵是通過解直角三角形求出AF、FM、DQ．
7．A
【分析】利用所給的角的三角函數用AB表示出BD，CB；根據BC﹣DB＝CD即可求出建筑物AB的高度．
【詳解】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝30°，
∴tan∠ACB＝tan30°＝，
∴BC＝＝AB，
∵在Rt△ABD中，∠ADB＝45°，
∴tan∠ADB＝tan45°＝，
∴BD＝＝AB．
∵CD＝BC﹣BD＝16，
∴AB﹣AB＝16，
解得：AB＝8（+1）m．
故選：A．
【點睛】本題考查了仰角問題，解決此類問題的關鍵是正確的將仰角轉化為直角三角形的內角并選擇正確的邊角關系解直角三角形．
8．A
【分析】本題考查了勾股定理，直角三角形性質和計算，方位角的表示，正確作出輔助線構造直角三角形是解題的關鍵；過點B作于點D，根據，，利用三角形內角和定理求出，在得出長度，，利用勾股定理求出，即再次利用勾股定理求出的長．
【詳解】如圖所示：過點B作于點D，

由題意得：，，
，
，
，
，，
（千米），，
（千米），
（千米），
故選：A
9．100
【詳解】解：根據坡度可得：BC：AB=1：2，
∵BC=50m，
∴AB=100m．
故答案為：100．
【點睛】考點：三角函數的應用
10．91m
【分析】根據等腰三角形的性質可得，在中，由三角函數的定義求出的長，根據線段的和差即可求出結果；
此題主要考查了解直角三角形的應用一仰角俯角問題，正確記憶銳角三角函數關系是解題關鍵．
【詳解】解：在中，， ，
，
，
在中，， ，

(m)
答：河寬的長約為；
故答案為：．
11．
【分析】由河堤橫斷面迎水坡AB的坡比是1：，可得到∠BAC=30°，所以求得AB=2BC，得出答案．
【詳解】解：∵= 1：，
∴tanA= 1：=，
∴∠BAC=30°，
∴AB=2BC=10m，
故答案為:．
【點睛】本題考查了解直角三角形的應用-坡度坡角問題，以及含30°角的直角三角形的性質，熟練掌握坡比的意義是解答本題的關鍵．
12．
【分析】過點C作CD⊥AB交AB延長線于D．先解Rt△ACD得出CD=AC=40海里，再解Rt△CBD中，得出BC=（海里），然后根據時間=路程÷速度即可求出海警船到大事故船C處所需的時間．
【詳解】解：如圖，過點C作CD⊥AB交AB延長線于D．
在Rt△ACD中，
∵∠ADC=90°，∠CAD=30°，AC=60海里，
∴CD=AC=30海里．
在Rt△CBD中，
∵∠CDB=90°，∠CBD=90°-37°=53°，
∴BC=（海里），
∴海警船到大事故船C處所需的時間大約為：20÷40=（小時）．
故答案為．
【點睛】本題考查了解直角三角形的應用-方向角問題，難度適中，作出輔助線構造直角三角形是解題的關鍵．
13．
【分析】作BD⊥AC,交CA的延長線于D,由∠BAC＝120°，得到∠BAD=60°,根據含30°的直角三角形三邊的關系得到AD=5,BD=5,再根據勾股定理計算出BC=5,然后利用正弦的定義求解.
【詳解】解：作BD⊥AC交CA的延長線于D,如圖,
∵∠BAC=120°,
∴∠BAD=60°,
在Rt△ABD中,∠ABD=30°,AB=10,
∴AD=AB=5,BD=5,
∴CD=AC+AD=5+5=10,
在Rt△BCD中,BC==5,
∴sin∠ACB===.
【點睛】本題考查了解直角三角形,中等難度,構造直角三角形,在直角三角形中利用邊長表示出正弦值是解題關鍵.
14．
【分析】如圖，延長BC，AD交于E，解直角三角形分別求出AE、DE、CE、BC的長，再運用勾股定理即可求解．
【詳解】解：如圖，延長BC，AD交于E，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴,
∴BC=BE-CE=，
∴．
故答案為：
【點睛】本題考查了解直角三角形的知識，理解題意、明確思路、正確添加輔助線構造直角三角形是解題的關鍵．
15．
【分析】在中，求出，在中，由，，求得，進一步即可得到B、C兩個雷達站之間的距離．
【詳解】解：在中，，，，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
即B、C兩個雷達站之間的距離為．
【點睛】此題考查了解直角三角形的應用，數形結合并準確計算是解題的關鍵．
16．米
【分析】本題主要考查仰俯角解直角三角形，掌握銳角三角函數的計算方法是解題的關鍵．根據題意，為了減小誤差取各自的平均數：米，設米，在中，，在中，，由此即可求解．
【詳解】解：為了減小誤差取各自的平均數：米，設米，
在中，米，
，
在中，米，
，
，
解得，
答：建筑物高約米．
17．會，小時
【分析】過A點作AD⊥BC,交BC于D點,根據含30°角的直角三角形性質和AB的長度即可求出AD的長度
根據已知所求的AD的值可知該城市會受到臺風影響,故找出臺風從B點到C點中該城市受臺風影響的距離即可算出受影響的時間;
過A點作AE=AF=60km,交BC于E點和F點,則EF即為受影響的距離,根據AD⊥BC,結合AD和AE的長,利用勾股定理即可求出DE的長度,再結合三線合一即可求出EF,從而求出受影響的時間.
【詳解】該城市會受到臺風的影響,受影響的時間為小時.理由如下:
過A點作AD⊥BC,交BC于D點
∵ AD⊥BC ∠ABC=30° AB=100km
∴ AD=12×AB=50km (在直角三角形中,如果一個銳角等于30°,那么它所對的直角邊等于斜邊的一半)
∵ AD=50km＜60km
∴ 該城市會受到臺風的影響
分別過A點作AE=AF=60km,交BC于F和E點
∵ AD⊥BC AD=50km AE=60km
∴ (直角三角形勾股定理求值)
∵ AE=AF AD⊥EF
∴ DE=DF (三線合一)
∵ DE=DF DE=
∴ EF=DE+DF=
∴ 臺風從B點到C點這段路程中,A城市受臺風影響的距離為
∵ 受臺風影響的距離為= 臺風的速度為
∴ 受臺風影響的時間t=(小時).
【點睛】本題考查了等腰三角形三線合一，勾股定理，含30°角的直角三角形的性質定理，解題的關鍵是熟練運用含特殊角的直角三角形性質,勾股定理和等腰三角形的性質.
18．（1）A與C之間的距離AC為200海里，A與D之間的距離AD為200（3﹣）海里；（2）巡邏船A沿直線AC去營救船C，在去營救的途中無觸暗礁危險．
【分析】(1)作CE⊥AB于點E，則∠ABC=45°，∠BAC=60°，設AE=x海里，在Rt△AEC中，CE=AEtan60°，在Rt△BCE中，BE=CE=x，由AE+BE=x+x=100(3+)求出x的值，再根據AC=2x得出AC的值，在△ACD中，由∠DAC=60°，∠ADC=75°得出∠ACD=45°．過點D作DF⊥AC于點F，設AF=y，則DF=CF=y，根據AC=y+y=200求出y的值，故可得出AD的長，進而得出結論；
(2)根據(1)中的結論得出DF的長，再與200相比較即可．
【詳解】(1)作CE⊥AB于點E，則∠ABC=45°，∠BAC=60°，設AE=x海里，
∵在Rt△AEC中，CE=AEtan60°=x，
在Rt△BCE中，BE=CE=x，
∴AE+BE=x+x=100(3+)，解得x=100，
∴AC=2x=200，
在△ACD中，
∵∠DAC=60°，∠ADC=75°，
∴∠ACD=45°．
過點D作DF⊥AC于點F，設AF=y，則DF=CF=y，
∴AC=y+y=200，解得y=100(3﹣)，
∴AD=2y=200(3﹣)．
答：A與C之間的距離AC為200海里，A與D之間的距離AD為200(3﹣)海里；
(2)∵由(1)可知，DF=AF=×100(3﹣)≈219，
∵219＞200，
∴巡邏船A沿直線AC去營救船C，在去營救的途中無觸暗礁危險．
【點睛】本題考查的是解直角三角形的應用﹣方向角問題，根據題意作出輔助線，構造出直角三角形是解答此題的關鍵．

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