資源簡介

第2課時　向量數量積的坐標表示
【學習目標】
　　1.能用坐標表示平面向量的數量積,會表示兩個平面向量的夾角.
　　2.能用坐標表示平面向量垂直的條件,會處理有關長度、角度和垂直等問題.
◆ 知識點一　向量數量積的坐標表示
1.向量數量積的坐標表示:若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a·b=　　　　,即兩個向量的數量積等于它們對應坐標的乘積的和.
2.向量垂直的坐標表示:設兩個非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2).若a⊥b,則x1x2+y1y2=0;若x1x2+y1y2=0,則a⊥b.
◆ 知識點二　用坐標表示模、距離、夾角
1.向量的模公式:若a=(x,y),則|a|=　　　　.
2.兩點間的距離公式:若A(x1,y1),B(x2,y2),則||=　　　　　　　　.
3.向量的夾角公式:設兩個非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),它們的夾角為θ,
則cos θ==　　　　　　　　.
【診斷分析】 判斷正誤.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)若A(1,0),B(0,-1),則||=. (　 )
(2)已知向量a=(4,-1),b=(x,3),若|a|=|b|,則x=2. (　 )
(3)若兩個非零向量的夾角θ滿足cos θ<0,則兩向量的夾角θ一定是鈍角. (　 )
◆ 探究點一　平面向量數量積的坐標運算　　　　　 　　　　　 　　　　　
例1 (1)設a=(1,-2),b=(-3,4),c=(3,2),則(a+2b)·c= (　 )
A.12 B.0 C.-3 D.-11
(2)已知△ABC是腰長為2的等腰直角三角形,D是斜邊AB的中點,點P在線段CD上,且=3,則·= (　 )
A.- B.- C.- D.2
變式1 已知a與b同向,b=(1,2),a·b=10.
(1)求a的坐標;
(2)若c=(2,-1),求a(b·c)及(a·b)c的坐標.
變式2 在正方形ABCD中,AB=2,P為BC的中點,Q為DC的中點,則·=　　　　;若M為CD上的動點(包括端點),則·的最大值為　　　　.
[素養小結]
有關向量數量積的坐標運算問題,靈活應用基本公式是前提.設向量一般有兩種方法:一是直接設坐標,二是利用共線或垂直的關系設向量.通過變式1第(2)問還可驗證一般情況下(a·b)c≠a(b·c),即向量運算結合律一般不成立.
◆ 探究點二　兩平面向量的夾角、向量模的坐標表示
例2 已知向量a,b滿足2a-b=(5,-8),a-2b=(7,-10),求:
(1)|a-b|;
(2)向量a+b與a-b的夾角的余弦值.
變式 (1)[2024·江陰四校高一期中] 已知a=(-2,1),b=(-2,-3),則b在a上的投影向量是 (　 )
A. 　　B.
C. 　　D.
(2)已知a=(,1),b=(m,2),a·b=4,求|b|的值及a與b的夾角θ的余弦值.
[素養小結]
利用向量的數量積求兩向量夾角的一般步驟為:
(1)利用向量的坐標求出這兩個向量的數量積;
(2)利用|a|=求兩向量的模;
(3)代入夾角公式求cos θ,并根據θ的范圍確定θ的值.
拓展 已知點A(2,0),B(0,2),C(cos α,sin α)(其中0<α<π),O為坐標原點.若|+|=,求:
(1)與的夾角;
(2)點B到直線OC的距離.
◆ 探究點三　向量垂直的坐標形式的應用
例3 已知向量a=(4,-1),b=(-5,2),且(a+b)⊥(ma+b),則m= (　 )
A.1 B.-1
C. D.-
變式 已知a=(1,2),b=(-3,2),若ka+b與a-3b垂直,則k的值為　　　　.
[素養小結]
利用坐標表示是把向量垂直的條件代數化,使判定方法更加簡捷、運算更加直接,體現了向量問題代數化的思想.第2課時　向量數量積的坐標表示
一、選擇題
1.已知向量a=(3,-2),b=(-2,1),則a·b的值為 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.-4 B.7
C.-6 D.-8
2.已知a=(3,-1),b=(1,-2),則a與b的夾角為 (　 )
A. B.
C. D.
3.已知向量a=(-1,2),b=(2,m),若a⊥b,則實數m= (　 )
A.-1 B.1
C.- D.
4.若向量a=(-1,2),b=(2,3),則a在b上的投影向量為 (　 )
A.(8,12) B.
C. D.
5.已知A(2,1),B(3,2),C(0,2),則△ABC是 (　 )
A.等腰直角三角形 B.直角三角形
C.鈍角三角形 D.等邊三角形
6.已知向量a=(-2,m),b=(1,-2),c=(m+1,5),m∈R,若a⊥b,則a與b+c的夾角為 (　 )
A. B.
C. D.
7.已知a=(1,-1),b=(λ,1),a與b的夾角為鈍角,則實數λ的取值范圍是 (　 )
A.λ>1
B.λ<1
C.λ<-1
D.λ<-1或-1<λ<1
8.[2024·鹽城六校高一期中] 如圖,設Ox,Oy是平面內相交成60°角的兩條數軸,e1,e2分別是與x軸,y軸正方向同向的單位向量,若向量=xe1+ye2,則把有序數對(x,y)叫作向量在坐標系xOy中的坐標.在該坐標系中,若=(1,2),=(3,4),則||= (　 )
A.5- B.2
C.2 D.4
9.(多選題)[2024·遼寧錦州高一期中] 在△ABC中,A=90°,AB=6,AC=8,點D為邊AB上靠近A的三等分點,E為CD的中點,則下列結論正確的是 (　 )
A.=+
B.與的夾角的余弦值為
C.·=-30
D.△AED的面積為8
二、填空題
10.設向量a=(m,2),b=(2,1),若|a+b|2=|a|2+|b|2,則實數m=　　　　.
11.已知A(-2,1),B(2,-2),C(3,3),則在上的投影向量的坐標為　　　　.
12.[2024·南通高一期中] 在矩形ABCD中,已知AB=4,AD=2,點P在CD邊上,且滿足·=6,則·=　　　　.
三、解答題
13.已知向量a,b滿足|a|=,b=(1,-3),且(2a+b)⊥b.
(1)求向量a的坐標;
(2)求向量a與b的夾角.
14.在△ABC中,A(1,2),B(2,3),C(-2,5),求證:△ABC是直角三角形.
15.(多選題)在△ABC中,=(2,3),=(1,k),若△ABC是直角三角形,則實數k的值可以是 (　 )
A.-1 B.
C. D.
16.在梯形ABCD中,AB∥CD,∠DAB=90°,AB=2,CD=AD=1,若點M在線段BD上,求·的最小值.(共36張PPT)
9.3 向量基本定理及坐標表示
9.3.2 向量坐標表示與運算
第2課時 向量數量積的坐標表示
探究點一 平面向量數量積的坐標運算
探究點二 兩平面向量的夾角、向量模的
坐標表示
探究點三 向量垂直的坐標形式的應用
【學習目標】
1.能用坐標表示平面向量的數量積,會表示兩個平面向量的夾角.
2.能用坐標表示平面向量垂直的條件,會處理有關長度、角度和
垂直等問題.
知識點一 向量數量積的坐標表示
1.向量數量積的坐標表示：若，，則
____________，即兩個向量的數量積等于它們對應坐標的乘積的和.
2.向量垂直的坐標表示：設兩個非零向量， .
若，則；若，則 .
知識點二 用坐標表示模、距離、夾角
1.向量的模公式：若，則 __________.
2.兩點間的距離公式：若，，則
_______________________.
3.向量的夾角公式：設兩個非零向量， ，它
們的夾角為 ，則 _ ____________.
【診斷分析】
判斷正誤.（正確的打“√”，錯誤的打“×”）
（1）若,,則 .( )
√
（2）已知向量,,若,則 .( )
×
[解析] 由，得,解得 .
（3）若兩個非零向量的夾角 滿足,則兩向量的夾角 一
定是鈍角.( )
×
探究點一 平面向量數量積的坐標運算
例1（1） 設，，，則
( )
A.12 B.0 C. D.
[解析] ，， ，
又， .
√
（2）已知是腰長為2的等腰直角三角形,是斜邊 的中點,點
在線段上,且,則 ( )
A. B. C. D.2
[解析] 如圖,以C為坐標原點,, 所在直線分
別為軸、軸,建立平面直角坐標系,
則 , ,.
因為,所以 ,
所以,所以, ,
所以 .故選C.
√
變式1 已知與同向，， .
（1）求 的坐標；
解：設，則，
， .
（2）若，求及 的坐標.
解：， ，
， .
變式2 在正方形中,,為的中點,為 的中點,則
___;若為上的動點（包括端點）,則 的最大值
為___.
1
3
[解析] 如圖,以為坐標原點,, 所在直線分別
為軸、軸,建立平面直角坐標系,
則 , ,,
所以 ,
,
所以 .
設,則 ,
所以,
因為 ,所以,所以 的最大值為3.
［素養小結］
有關向量數量積的坐標運算問題，靈活應用基本公式是前提.設向量
一般有兩種方法：一是直接設坐標，二是利用共線或垂直的關系設
向量.通過變式1第（2）問還可驗證一般情況下 ，
即向量運算結合律一般不成立.
探究點二 兩平面向量的夾角、向量模的坐標表示
例2 已知向量，滿足， ，求：
（1） ；
解：由已知得
.
所以，故 .
（2）向量與 的夾角的余弦值.
解：由已知得
，
則 ，
設與的夾角為 ，
則 .
變式（1） [2024·江陰四校高一期中]已知， ，
則在 上的投影向量是( )
A. B.
C. D.
[解析] 因為,，
所以 , .
設與的夾角為 ，所以在 上的投影
向量是 .故選B.
√
（2）已知，，，求的值及
與的夾角 的余弦值.
解：因為,所以 ，
所以，
所以 .
［素養小結］
利用向量的數量積求兩向量夾角的一般步驟為：
（1）利用向量的坐標求出這兩個向量的數量積；
（2）利用 求兩向量的模；
（3）代入夾角公式求 ，并根據 的范圍確定 的值.
拓展 已知點,,（其中）, 為坐
標原點.若 ，求：
（1）與 的夾角；
解：, ,
,
即, .
又,， .
又,，
,故與 的夾角為 .
（2）點到直線 的距離.
解：點到直線的距離 .
探究點三 向量垂直的坐標形式的應用
例3 已知向量，，且 ，則
( )
A.1 B. C. D.
[解析] 依題意得 ,
.
由于，所以 ，
即，解得 .故選C.
√
變式 已知，，若與垂直，則 的
值為____．
[解析] ，
．
又與 垂直，所以，
即 ，解得 .
［素養小結］
利用坐標表示是把向量垂直的條件代數化，使判定方法更加簡捷、
運算更加直接，體現了向量問題代數化的思想.
1.平面向量數量積的坐標表示主要解決的問題
向量的坐標表示和向量的坐標運算實現了向量運算的完全代數化，
并將數與形緊密結合起來.主要應用有：（1）求兩點間的距離
（求向量的模）；（2）求兩向量的夾角；（3）證明兩向量垂直.
2.向量模的坐標運算的實質
向量的模即為向量的長度,其大小應為平面直角坐標系中兩點間的距
離,如,則在平面直角坐標系中,一定存在 ,使
,則,即表示點 到原點的距
離.同樣,若,,則 ,即
為平面直角坐標系中任意兩點間的距離公式,由此可見,向量模的運算
的實質是求平面直角坐標系中兩點間的距離.
3.利用平面向量數量積的坐標表示解決問題的幾個注意事項
（1）向量垂直的坐標表示 與向量共線的坐標表示
易記錯、易混淆,要通過前后聯系,類比記憶.
（2）兩向量夾角的取值范圍容易忽略,要聯系平面幾何中兩直線的夾
角、立體幾何中兩異面直線所成的角、二面角的平面角的取值范圍
去對比記憶.由于向量夾角的取值范圍是，故利用
來判斷角 時，要注意有兩種情況，一是 是鈍角，二是
，也有兩種情況，一是 是銳角，二是 .
（3）兩向量的數量積和數的乘法容易混淆,如非零向量,, 一般不
滿足 .
1.與數量積有關的坐標運算
進行向量數量積的運算,前提是牢記有關的運算法則和運算性質.解題
時通常有兩種途徑:一是先將各向量用坐標表示,直接進行數量積的運
算;二是先利用數量積的運算律將原式展開,再依據已知計算.
（1）求 ；
解：由題意得， ，
，
.
例1 [2024·浙江金華高一期中] 已知平面向量，向量 滿
足，且與的夾角為 .
（2）若與垂直，求 的值.
解：由與垂直，得 ，
，即 ，
.
2.用平面向量數量積的坐標表示解決求范圍問題
當平面向量求范圍問題涉及的幾何圖形中有垂直、動點條件時，一
般建立平面直角坐標系，利用坐標運算，將幾何問題代數化，結合
基本不等式、二次函數等知識解決，減少運算.
例2 如圖，圓是邊長為1的正方形 的外接圓,
是劣弧上一點，則 的取值范圍是( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 方法一：如圖，以A為坐標原點，, 所
在直線分別為， 軸，建立平面直角坐標系，
則,.
設，則 ，
因為，所以.
由題意知，圓 的半徑，
因為點在劣弧 上，所以，
所以 的取值范圍是 .
方法二：如圖，連接,.易知 ，
設 ,，則 .
由已知得,, ，所以
，
所以 .
因為，所以 ，
所以 ，
所以，
故 的取值范圍是 .故選C.第2課時　向量數量積的坐標表示
【課前預習】
知識點一
1.x1x2+y1y2
知識點二
1.　2.
3.
診斷分析
(1)√　(2)×　(3)×　[解析] (2)由|a|=|b|,得=,解得x=±2.
【課中探究】
探究點一
例1　(1)C　(2)C　[解析] (1)∵a=(1,-2),b=(-3,4),∴a+2b=(-5,6),又c=(3,2),∴(a+2b)·c=(-5)×3+6×2=-3.
(2)如圖,以C為坐標原點,CB,CA所在直線分別為x軸、y軸,建立平面直角坐標系,則A(0,2),B(2,0),D(1,1).因為=3,所以=,所以P,所以=,=,所以·=-×+×=-.故選C.
變式1　解:(1)設a=λb=(λ,2λ)(λ>0),則a·b=λ+4λ=10,∴λ=2,∴a=(2,4).
(2)∵b·c=1×2+2×(-1)=0,a·b=10,
∴a(b·c)=0=(0,0),(a·b)c=10(2,-1)=(20,-10).
變式2　1　3　[解析] 如圖,以A為坐標原點,AD,AB所在直線分別為x軸、y軸,建立平面直角坐標系,則P(1,2),Q(2,1),C(2,2),所以=(2,1)-(1,2)=(1,-1),=(2,2)-(1,2)=(1,0),所以·=1×1+(-1)×0=1.設M(2,t)(t∈[0,2]),則=(2,t)-(1,2)=(1,t-2),所以·=1×1+(-1)×(t-2)=3-t,因為t∈[0,2],所以3-t∈[1,3],所以·的最大值為3.
探究點二
例2　解:(1)由已知得3(a-b)=(2a-b)+(a-2b)=(5+7,-8-10)=(12,-18).
所以a-b=(4,-6),故|a-b|==2.
(2)由已知得a+b=(2a-b)-(a-2b)=(5-7,-8+10)=(-2,2),則|a+b|==2,
設a+b與a-b的夾角為θ,則cos θ===-.
變式　(1)B　[解析] 因為a=(-2,1),b=(-2,-3),所以a·b=4-3=1,|a|==.設a與b的夾角為θ,所以b在a上的投影向量是|b|cos θ·=a=(-2,1)=.故選B.
(2)解:因為a·b=(,1)·(m,2)=m+2=4,所以m=2,所以|b|==4,所以cos θ===.
拓展　解:(1)∵+=(2+cos α,sin α),|+|=,
∴(2+cos α)2+sin2α=7,
即4+4cos α+cos2α+sin2α=7,∴cos α=.
又α∈(0,π),∴sin α=,∴=.
又=(0,2),∴cos∠BOC==,∴∠BOC=,故與的夾角為.
(2)點B到直線OC的距離d=||sin∠BOC=2×=1.
探究點三
例3　C　[解析] 依題意得a+b=(-1,1),ma+b=(4m,-m)+(-5,2)=(4m-5,2-m).由于(a+b)⊥(ma+b),所以(-1,1)·(4m-5,2-m)=0,即5-4m+2-m=7-5m=0,解得m=.故選C.
變式　19　[解析] ka+b=k(1,2)+(-3,2)=(k-3,2k+2),a-3b=(1,2)-3(-3,2)=(10,-4).又ka+b與a-3b垂直,所以(ka+b)·(a-3b)=0,即(k-3)·10+(2k+2)·(-4)=0,解得k=19.第2課時　向量數量積的坐標表示
1.D　[解析] ∵a=(3,-2),b=(-2,1),∴a·b=-6-2=-8.故選D.
2.B　[解析] 設a與b的夾角為θ,由題意得|a|=,|b|=,a·b=3+2=5,
∴cos θ===.又∵θ∈[0,π],∴a與b的夾角為.
3.B　[解析] 因為a⊥b,所以-1×2+2m=0,解得m=1.故選B.
4.C　[解析] 因為a=(-1,2),b=(2,3),所以a·b=-1×2+2×3=4,|b|==,所以a在b上的投影向量為×=×=.故選C.
5.C　[解析] 根據已知得=(1,1),=(-2,1),=(-3,0),因為·=-2+1=-1<0,所以∠BAC是一個鈍角,故△ABC為鈍角三角形.故選C.
6.D　[解析] 因為a⊥b,a=(-2,m),b=(1,-2),所以-2×1+(-2)×m=0,解得m=-1,所以a=(-2,-1),c=(0,5),所以 b+c=(1,3),設a與b+c的夾角為θ,則cos θ====-,因為θ∈[0,π],所以θ=,故選D.
7.D　[解析] 由題意得a·b=λ-1<0,解得λ<1.∵a與b的夾角不能為180°,
∴(λ,1)≠t(-1,1)(t∈R),∴λ≠-1,綜上,λ的取值范圍是λ<-1或-1<λ<1.
8.C　[解析] 依題意得,|e1|=|e2|=1,e1·e2=cos 60°=.=e1+2e2,=3e1+4e2,則=-=(3e1+4e2)-(e1+2e2)=2e1+2e2,則||2=(2e1+2e2)2=4+8e1·e2+4=4+8×+4=12,故||=2.故選C.
9.AC　[解析] 對于A,∵E為CD的中點,∴=(+)==+,A正確;對于B,以A為坐標原點,,的方向分別為x,y軸的正方向建立平面直角坐標系,則A(0,0),B(6,0),C(0,8),D(2,0),E(1,4),∴=(1,4),=(1,-4),
∴cos<,>===-,即與的夾角的余弦值為-,B錯誤;對于C,∵=(1,4),=(2,-8),∴·=1×2+4×(-8)=-30,C正確;對于D,S△AED=×2×4=4,D錯誤.故選AC.
10.-1　[解析] 方法一:由a=(m,2),b=(2,1),得a+b=(m+2,3),由|a+b|2=|a|2+|b|2,得(m+2)2+9=m2+22+5,解得m=-1.
方法二:由|a+b|2=|a|2+|b|2結合向量加法的三角形法則可知向量a⊥b,又a=(m,2),b=(2,1),所以a·b=2m+2=0,解得m=-1.
11.　[解析] 由題意得=(5,2),=(4,-3),則·=(5,2)·(4,-3)=14,||==5,故在上的投影向量為·=·=.
12.　[解析] 以A為原點,AB,AD所在直線分別為x,y軸,建立如圖所示的平面直角坐標系,則A(0,0),B(4,0),C(4,2),D(0,2),設P(x,2),0≤x≤4,則=(x,2),=(4,0),所以·=4x=6,解得x=,所以=,因為=,所以·=-+4=.
13.解:(1)設a=(x,y),則2a+b=2(x,y)+(1,-3)=(2x+1,2y-3),因為|a|=,所以=①.
又因為b=(1,-3),且(2a+b)⊥b,所以(2x+1,2y-3)·(1,-3)=2x+1+(2y-3)×(-3)=0,即x-3y+5=0②,由①②解得或所以a=(1,2)或a=(-2,1).
(2)設向量a與b的夾角為θ,則當a=(1,2)時,cos θ===-;當a=(-2,1)時,cos θ===-.
綜上,cos θ=-.
因為0≤θ≤π,所以向量a與b的夾角θ=.
14.證明:∵=(1,1),=(-3,3),∴·=1×(-3)+1×3=0,∴⊥,∴△ABC是直角三角形.
15.BCD　[解析] ∵=(2,3),=(1,k),∴=-=(-1,k-3).若∠A為直角,則AB⊥AC,即·=0,∴2+3k=0,解得k=-.若∠B為直角,則BC⊥AB,即·=0,∴-2+3k-9=0,解得k=.若∠C為直角,則BC⊥AC,即·=0,∴-1+k(k-3)=0,解得k=.綜上所述,k的值可能為-,,,.故選BCD.
16.解:以A為原點,AB,AD所在直線分別為x,y軸,建立如圖所示的平面直角坐標系,則B(2,0),D(0,1),C(1,1),設M的坐標為(x,y),0≤x≤2,0≤y≤1,且=λ,0≤λ≤1,
所以(x-2,y)=λ(-2,1),可得M(2-2λ,λ).
所以=(2-2λ,λ),=(1-2λ,λ-1),所以·=(2-2λ,λ)·(1-2λ,λ-1),=5λ2-7λ+2=5-,易知當λ=時,·取得最小值-.

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