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滾動習(xí)題(一)
1.A　[解析] 對于A,-(+)=-=2,A中等式不成立;對于B,-+-=+(+)=+=0,B中等式成立;對于C,-+=+=0,C中等式成立;對于D,++-=+=0,D中等式成立.故選A.
2.D　[解析] a與b的方向不一定相同,故A中說法不一定正確;若a∥b,則a與b方向可能相反,故B中說法不一定正確;由題可知,a與b的模相等,但方向不確定,故C中說法不一定正確;易知D正確.故選D.
3.B　[解析] 依題意知=+=+=-+=-a+b.
4.A　[解析] 由題意知a≠0,b≠0,又a∥b,∴存在實(shí)數(shù)λ,使b=λa,即ke1+e2=2λe1-λe2,∴解得故選A.
5.C　[解析] 由(a+b)⊥(a-b),得(a+b)·(a-b)=|a|2-|b|2=0,即|a|=|b|.又由|a+b|=|2a-b|,得(a+b)2=(2a-b)2,即3|a|2+2a·b+|b|2=4|a|2-4a·b+3|b|2,所以a·b=,則cos θ==.故選C.
6.C　[解析] 由點(diǎn)E是AB上靠近A的三等分點(diǎn),F是CE上靠近C的三等分點(diǎn),得=+=+=+(-)=+×=+.故選C.
7.ABC　[解析] 由題意知||=||=||=1,因?yàn)锳B=,所以=(-)2=-2·+=2,所以·=0,所以·=·(-)=·-·=·-(-)·=·-·+=||·||cos<,>+1=cos<,>+1,因?yàn)閏os<,>∈[-1,1],所以(·)min=1-,(·)max=1+.故選ABC.
8.ACD　[解析] 對于A,因?yàn)榘诉呅蜛BCDEFGH為正八邊形,所以∠AOH==,所以與的夾角為,故A正確;對于B,因?yàn)樗倪呅蜲DEF不是平行四邊形,所以+≠,故B錯(cuò)誤;對于C,∠AOC=2×=,所以|-|=||=||=,||=2||=2,所以|-|=||,故C正確;對于D,因?yàn)?-,所以·=·(-)=·-||2=1×1×cos-1=-1,故D正確.故選ACD.
9.0　[解析] ∵+=,-=+=,∴(+)+(-)=+=0.
10.梯形　[解析] 因?yàn)?a+2b,=-4a-b,=-5a-3b,所以=++=(a+2b)+(-4a-b)+(-5a-3b)=-8a-2b,所以=2,所以AD∥BC且||≠|(zhì)|,所以四邊形ABCD為梯形.
11.　[解析] 如圖,過點(diǎn)D作DF∥CE,交AB于點(diǎn)F,由BE=2EA,D為BC的中點(diǎn)知,BF=FE=EA,AO=OD,則6·=3·(-)=(+)·(-)=(+)·===·-+=·,所以=,即||=||,故=.
12.解:(1)因?yàn)?2a-3b)·(2a+b)=61,
所以4|a|2-4a·b-3|b|2=61.
又|a|=4,|b|=3,所以64-4a·b-27=61,解得a·b=-6,所以cos θ===-.
又0≤θ≤π,所以θ=.
(2)由(a+b)2=a2+b2+2a·b=42+32+2×(-6)=13,
得|a+b|==.
13.解:(1)證明:由=4a-2b,=6a+2b,=2a-6b,
得=-=6a+2b-(4a-2b)=2a+4b,=-=2a-6b-(6a+2b)=-4a-8b=-2(2a+4b)=
-2,所以∥,且有公共點(diǎn)B,
所以A,B,C三點(diǎn)共線.
(2)若4a+kb與ka+b共線,則存在實(shí)數(shù)λ,使得4a+kb=λ,即a+b=0,又a,b是不共線的兩個(gè)向量,所以解得或故實(shí)數(shù)k的值是±4.
14.解:(1)由題可知,==3,所以BD=BC.
因?yàn)?x,=y,所以=+=+=+(-)=+=+,
因?yàn)镋,D,F三點(diǎn)共線,所以+=1,所以+=4.
(2)·=(-)·(-)=(y-x)·(-)=y+x-(x+y)·=9x+y-(x+y)||||cos∠BAC=x+y==+≥+,
當(dāng)且僅當(dāng)=,+=1時(shí)取等號,
所以·的最小值為+.滾動習(xí)題(一)
(時(shí)間:45分鐘　分值:100分)
一、單項(xiàng)選擇題(本大題共6小題,每小題5分,共30分)
1.[2024·揚(yáng)州一中高一月考] 下列等式不成立的是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.-(+)=0
B.-+-=0
C.-+=0
D.++-=0
2.已知a,b,c均為單位向量,則下列說法一定正確的是 (　 )
A.a=b
B.若a∥b,則a=b
C.a=b或a=-b
D.若a=b,b=c,則a=c
3.如圖所示,在平行四邊形ABCD中,點(diǎn)E為CD的中點(diǎn),=a,=b,則= (　 )
A.-a-b
B.-a+b
C.a-b
D.a+b
4.已知e1,e2是兩個(gè)不共線的向量,向量a=2e1-e2,b=ke1+e2,若a∥b,則實(shí)數(shù)k= (　 )
A.-2 B.-
C.2 D.
5.已知向量a,b的夾角為θ,且(a+b)⊥(a-b),|a+b|=|2a-b|,則cos θ= (　 )
A. B. C. D.
6.[2024·廈門雙十中學(xué)高一月考] 在△ABC中,點(diǎn)E是AB上靠近A的三等分點(diǎn),F是CE上靠近C的三等分點(diǎn),則= (　 )
A.+ B.+
C.+ D.+
二、多項(xiàng)選擇題(本大題共2小題,每小題6分,共12分)
7.[2024·連云港高級中學(xué)高一月考] 已知點(diǎn)A,B,C均位于單位圓(圓心為原點(diǎn)O,半徑為1)上,且AB=,則·的值可能為 (　 )
A. B.
C.+1 D.+1
8.[2024·江陰四校高一期中] 八卦是中國文化的一個(gè)重要哲學(xué)概念,八卦模型圖的平面圖形為如圖所示的正八邊形ABCDEFGH,該正八邊形的中心為O,且||=1.則下列結(jié)論中正確的是 (　 )
A.與的夾角為
B.+=
C.|-|=||
D.·=-1
三、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分)
9.化簡:(+)+(-)=　　　　.
10.已知a,b,c為不共線向量,在四邊形ABCD中,=a+2b,=-4a-b,=-5a-3b,則四邊形ABCD的形狀是　　　　.
11.[2024·南京金陵中學(xué)高一月考] 如圖,在△ABC中,D是BC的中點(diǎn),E在邊AB上,BE=2EA,AD與CE交于點(diǎn)O.若·=6·,則的值是　　　　.
四、解答題(本大題共3小題,共43分)
12.(13分)已知向量a,b滿足|a|=4,|b|=3,(2a-3b)·(2a+b)=61.
(1)求a與b的夾角θ;
(2)求|a+b|.
13.(15分)[2024·浙江杭州四中高一期末] 設(shè)a,b是不共線的兩個(gè)向量.
(1)若=4a-2b,=6a+2b,=2a-6b,求證:A,B,C三點(diǎn)共線;
(2)若4a+kb與ka+b共線,求實(shí)數(shù)k的值.
14.(15分)[2024·浙江寧波五校聯(lián)盟高一期中] 平面幾何中有如下結(jié)論:“在三角形ABC中,若角A的平分線交BC于點(diǎn)D,則=.”已知△ABC中,AB=3,AC=1,AD為角A的平分線,D在BC上.過點(diǎn)D作直線交AB于點(diǎn)E,交AC的延長線于點(diǎn)F,且滿足=x,=y,x>0,y>0.
(1)求+的值;
(2)若∠BAC=120°,求·的最小值.

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