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滾動習題(二)
1.C　[解析] 如圖,=+=+2=+2(-)=2-,故選C.
2.C　[解析] ∵a=(2,3),b=(3,2),∴2a-b=(1,4),∴|2a-b|==.故選C.
3.D　[解析] 對于A選項,b-a=-(a-b),所以a-b,b-a共線,不能作為基底.對于B選項,2a+b=2,所以2a+b,a+b共線,不能作為基底.對于C選項,6a-4b=-2(2b-3a),所以6a-4b,2b-3a共線,不能作為基底.對于D選項,易知a+b,a-b不共線,可以作為基底.故選D.
4.C　[解析] 因為||2=16,所以||=4,因為|+|=|-|,所以|+|2=|-|2,可得·=0,所以⊥,又因為M是BC的中點,所以||=||=2,故選C.
5.C　[解析] 由題意得F1+F2+F3=0,所以-F3=F1+F2,兩邊平方得|F3|2=|F1|2+2F1·F2+,即|F3|2=1+2×1×2×+4=3,所以|F3|=.故選C.
6.B　[解析] 因為點D在邊AB的延長線上,AB=2BD,所以=2,即-=2(-),所以=+.又=m+n,所以由平面向量基本定理可得m=,n=.故選B.
7.ABD　[解析] 向量a=(1,-2),b=(λ,1).對于A,由a∥b,得1×1=-2λ,解得λ=-,A正確;對于B,由a⊥b,得λ-2=0,則λ=2,B正確;對于C,當λ=-<2時,a,b共線,方向相反,夾角為180°,此時a,b的夾角不為鈍角,C錯誤;對于D,當λ=1時,b=(1,1),因此a在b上的投影向量為·=·b=-·b=,所以a在b上的投影向量的坐標為,D正確.故選ABD.
8.ABD　[解析] 在平行四邊形ABCD中,過D作DO⊥AB,垂足為O,以O為原點建立如圖所示的平面直角坐標系,則A,B(1,0),C,D,則=,=,所以=λ+μ=,則P.對于A,若λ=1,則P在線段BC上(含端點),所以||的取值范圍是[0,1],故A正確;對于B,若μ=1,則P,所以=,=,令·=-+=0,解得λ=,符合題意,所以當μ=1時,存在P使得·=0,故B正確;對于C,若·=×=,則λ+μ=,所以P,由得≤μ≤1,所以動點P形成的軌跡的長度為,故C錯誤;對于D,過點O作OM∥AD,交DC于M,若λ=,則P在OM上,又因為||最大,所以P與M重合,過點M作MN⊥AB,垂足為N,則在上的投影向量為,由||=||+||=||+||=1=||,得在上的投影向量為,故D正確.故選ABD.
9.2　[解析] 依題意得|a-b|==
==2.
10.　[解析] 連接AR,因為P為CR的中點,所以=b+.因為R為QB的中點,所以=a+.因為Q為AP的中點,所以=,所以=b+a+,所以=a+b,又=ma+nb,所以m=,n=,所以m+n=.
11.5　[解析] 利用向量平行的充要條件,由a∥b得=,即sin θ=-2cos θ,所以==5.
12.解:(1)設c=(x,y),因為a=(1,2),a∥c,|c|=3,
所以解得或
所以c=(3,6)或c=(-3,-6).
(2)因為a=(1,2),所以|a|==,
又(a+2b)⊥(a-b),|b|=,所以(a+2b)·(a-b)=a2+a·b-2b2=5+a·b-2×2=0,所以a·b=-1,
所以cos===-,
所以a與b的夾角的余弦值為-.
13.解:(1)設游船的實際速度大小為|v|km/h,
由AA'=1 km,6 min=0.1 h,得|v|=10 km/h.
由v=v1+v2得v1=v-v2,又v⊥v2,故|v1|2=|v|2+|v2|2=102+42=116,得|v1|=2 km/h,
所以cos θ=-=-,
所以v1的大小為2 km/h,cos θ的值為-.
(2)當θ=60°,|v1|=10 km/h時,設到達北岸B點所用時間為t h,如圖所示,
則||2=|tv|2=t2(v1+v2)2=t2(102+42+2×10×4×cos 60°)=156t2,可得||=2t.
在Rt△AA'C中,可得t|v1|cos 30°=1,所以t=,所以||=×2=,
故游船航行到北岸的實際航程為 km.
14.解:(1)設=λ,連接AE,AF,則=++=++λ=++λ(-)=++λ=+=m+,
所以解得所以=+,平方可得=++·=25+9+×6×6×=49,所以||=7.
(2)設=x,則=+=+x=+x(-)=(1-x)+x,=-=(1-x)+x--=+,所以·=(1-x)+x+·,
整理可得·=36,所以當x=時,·取得最小值-.滾動習題(二)
(時間:45分鐘　分值:100分)
一、單項選擇題(本大題共6小題,每小題5分,共30分)
1.在△ABC中,D是AB邊上的中點,則= (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.2+
B.-2
C.2-
D.+2
2.已知向量a=(2,3),b=(3,2),則|2a-b|= (　 )
A. B.2
C. D.5
3.若a,b是平面內的一組基底,則下列四組向量中能作為平面的基底的是 (　 )
A.a-b,b-a
B.2a+b,a+b
C.2b-3a,6a-4b
D.a+b,a-b
4.設點M是線段BC的中點,點A在直線BC外,=16,|+|=|-|,則||= (　 )
A.8 B.4
C.2 D.1
5.平面上的三個力F1,F2,F3作用于同一點,且處于平衡狀態.已知F1=(1,0),|F2|=2,=120°,則|F3|= (　 )
A. B.1
C. D.2
6.在△ABC中,點D在邊AB的延長線上,AB=2BD,=m+n,則 (　 )
A.m=,n=
B.m=,n=
C.m=,n=
D.m=-,n=
二、多項選擇題(本大題共2小題,每小題6分,共12分)
7.已知向量a=(1,-2),b=(λ,1),則下列說法中正確的是 (　 )
A.若a∥b,則λ=-
B.若a⊥b,則λ=2
C.若λ<2,則a,b的夾角為鈍角
D.若λ=1,則a在b上的投影向量的坐標為
8.[2024·無錫一中高一期中] 平行四邊形ABCD中,AB=,AD=1,∠BAD=.動點P滿足=λ+μ,λ,μ∈[0,1],則下列說法中正確的有 (　 )
A.當λ=1時,||的取值范圍是[0,1]
B.當μ=1時,存在P使得·=0
C.當·=時,動點P形成的軌跡的長度為
D.當λ=且||最大時,在上的投影向量為
三、填空題(本大題共3小題,每小題5分,共15分)
9.[2024·鹽城五校高一月考] 若a與b反向共線,且|a|=|b|=1,則|a-b|=　　　　.
10.如圖,在△ABC中,=a,=b,線段AP的中點為Q,BQ的中點為R,CR的中點為P,若=ma+nb,則m+n=　　　　.
11.已知向量a=(cos θ,sin θ),b=(1,-2),若a∥b,則=　　　　.
四、解答題(本大題共3小題,共43分)
12.(13分)已知a,b,c在同一平面內,且a=(1,2).
(1)若|c|=3,且a∥c,求c;
(2)若|b|=,且(a+2b)⊥(a-b),求a與b的夾角的余弦值.
13.(15分)一條河南北兩岸平行.如圖所示,河面寬度d=1 km,一艘游船從南岸碼頭A點出發航行到北岸.游船在靜水中的航行速度是v1,水流速度v2的大小為|v2|=4 km/h.設v1和v2的夾角為θ(0°<θ<180°),北岸上的點A'在點A的正北方向.
(1)若游船沿AA'到達北岸A'點所需時間為6 min,求v1的大小和cos θ的值;
(2)當θ=60°,|v1|=10 km/h時,游船航行到北岸的實際航程是多少
14.(15分)在菱形ABCD中,AB=6,∠BAD=60°,=2,=2,已知點M在線段EF上,且=m+.
(1)求||;
(2)若點N為線段BD上一個動點,求·的最小值.

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