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單元素養測評卷(一)
1.D　[解析] 由題圖可得2a+b=c,且λa+b為非零向量,又λa+b與c共線,所以有且只有一個實數k,使c=k(λa+b),所以消去k得λ=2,故選D.
2.D　[解析] 因為a=(1,-2)=-(-4,8)=(4,-8),|b|=4|a|,a∥b,所以b的坐標是(-4,8)或(4,-8),結合選項可知選D.
3.D　[解析] 由題意,得4a+4b-2c+2(a-c)+d=0,則d=-4a-4b+2c-2(a-c)=-6a-4b+4c,即d=(-2,-6),經驗證,滿足題意.故選D.
4.C　[解析] 根據題意,向量a=(2,3),b=(-4,7),則a·b=2×(-4)+3×7=13,|a|==,|b|==,設a與b的夾角為θ,則cos θ===,則a在b上的投影向量為(|a|cos θ)=××==,故選C.
5.C　[解析] 因為=-=b-a,=2,所以==(b-a),=+=a+(b-a)=b+a,又因為=4,所以==-=-b-a,所以=+=(b-a)-b-a=-a+b.故選C.
6.B　[解析] 根據向量數量積的定義可得cos===,即3+m=×,解得m=,故選B.
7.B　[解析] 設=F1,=F2,當F1與F2不共線時,如圖,以OA,OB為鄰邊作平行四邊形AOBC,連接OC,設=F,則F為F1,F2的合力.由題意,當F1,F2的夾角為90°時,|F|=|F1|,|F|=20 N,∴|F1|=10 N.當F1,F2的夾角為120°時,平行四邊形AOBC為菱形,此時|F|=|F1|=10 N.故選B.
8.C　[解析] ∵·=0,,分別是與,同向的單位向量,∴∠BAC的平分線與BC垂直,∴AB=AC,∴B=C.∵·=-,∴cos(π-B)=-,則cos B=,又B∈(0,π),∴B=,∴C=,A=,∴△ABC為等腰直角三角形.故選C.
9.ACD　[解析] ∵e1,e2是平面內的一組基底,∴e1,e2不共線.2e1+e2=2,則2e1+e2和e1-e2不共線,故2e1+e2和e1-e2能構成平面內的一組基底;2e2-6e1=-2(3e1-e2),則2e2-6e1和3e1-e2共線,故3e1-e2和2e2-6e1不能構成平面內的一組基底;e1+3e2=3,則e1+3e2和e2+3e1不共線,故e1+3e2和e2+3e1能構成平面內的一組基底;易知e1和e1+e2不共線,故e1和e1+e2能構成平面內的一組基底.故選ACD.
10.BC　[解析] 由a+b=(1,-1),得|a|2+|b|2+2a·b=12+(-1)2=2,則|a+b|=,故A錯誤;因為a,b是單位向量,所以1+1+2a·b=2,可得a·b=0,則a⊥b,故B正確;|a-b|2=a2+b2-2a·b=2,所以|a-b|=,故D錯誤;設a與a-b的夾角為θ,則cos θ====,又θ∈[0,π],所以θ=,即a與a-b的夾角為,故C正確.故選BC.
11.ACD　[解析] 設M為AC的中點,N為BD的中點.對于A,延長PO,交圓于E,延長OP,交圓于F, 由題意得·=-||||=-||||=-|-||+|,所以·=-|-||-(+)|=-|-||+|=-(||-||)(||+||)=-(||2-||2)=-2,為定值,故A正確;對于B,連接OM,則OM⊥AC,所以·=(+)·(+)=+·(+)+·=-=-(4-)=2-4,由題意得0≤≤=2,則·∈[-4,0],故B錯誤;對于C,若AC⊥BD,則·=·=0,所以·=(+)·(+)=·+·+·+·,又·=-2,則·=-2,同理可得·=-2,故·=-4,為定值,故C正確;對于D,||2·||2=4(r2-||2)·4(r2-||2)=16(4-||2)(4-||2)≤16=4(8-2)2=144,當且僅當||=||時等號成立,所以||·||的最大值為12,故D正確.故選ACD.
12.-　[解析] 因為a=(-1,2),b=(1,t),所以a+2b=(1,2+2t),又(a+2b)⊥a,所以(a+2b)·a=-1+2(2+2t)=0,解得t=-.
13.　[解析] 因為P是MC的中點,所以=+,又因為=2,所以=,所以=×+=+,則λ1=,λ2=,所以λ1+λ2=.
14.[5,7]　[解析] 因為·=||·||cos∠ABC=,所以||cos∠ABC=||,則∠BAC=90°.又點A,B,C均位于圓O上,所以BC為圓O的直徑.而·=(+)·(+)=+·(+)+·=-1=3,則||=2,因此點P在圓心為O,半徑為2的圓上.|++|=|3+++|=|3+|,當與同向時,|++|最大,最大值為3×2+1=7,當與反向時,|++|最小,最小值為3×2-1=5,故|++|的取值范圍為[5,7].
15.解:(1)由a=(1,2),得|a|=,則c=±=±,
則c=或c=.
(2)因為a+2b與2a-b垂直,所以(a+2b)·(2a-b)=2a2+3a·b-2b2=0,又|b|=,|a|=,所以2×5+3a·b-2×=0,
則a·b=-,所以cos θ===-1,
又θ∈[0,π],所以θ=π.
16.解:(1)由題意可得·=||·||·cos 120°=1×2×=-1,且=+,
所以·=·(+)=+·=4+(-1)=3.
(2)由(1)可知,·=3,=+,
則||=|+|====,所以cos∠BAC===.
17.解:設木塊的位移為s,則F·s=|F||s|cos 30°=50×20×=500(J).
如圖所示,將力F分解成豎直向上的分力f1和水平方向的分力f2,則|f1|=|F|sin 30°=50×=25(N),由題知,木塊的重力G的大小為|G|=8×10=80(N),
所以|f|=μ(|G|-|f1|)=0.02×(80-25)=1.1(N),又易知f與s方向相反,因此f·s=|f|·|s|cos 180°=1.1×20×(-1)=-22(J).
故力F和摩擦力f所做的功分別為500 J和-22 J.
18.解:(1)設O為坐標原點.由題意得=-=(-2,3)-(1,4)=(-3,-1),=-=(2,m)-(-2,3)=(4,m-3).
因為A,B,C三點共線,所以存在實數λ使=λ,即(-3,-1)=λ(4,m-3),所以消去λ得m=.
(2)由(1)可得,=(-3,-1),=(4,m-3),
=-=(2,m)-(1,4)=(1,m-4),則=(3,1),=(-1,4-m),=(-4,3-m).因為△ABC是銳角三角形,
所以
解得-9(3)由(2)知,=(-3,-1),=(1,m-4),則在上的投影向量為·=··=·.
假設存在實數m,使得在上的投影向量是,所以=,解得m=-1或m=-4,所以假設成立,即存在實數m,使得在上的投影向量是,此時m=-1或m=-4.
19.解:(1)由題意可得=,所以=+=+=+(-)=+.
(2)設=t(0所以t=+=+,即=+.
因為G,E,D三點共線,所以+=1,解得t=,所以=+,又=+=+λ=+λ(-)=(1-λ)+λ,所以解得λ=.
(3)設=x,=y,則連接BO,因為D,E分別是BC,AB的中點,所以易知O是△ABC的重心,所以=+=+.
因為S,O,T三點共線,所以+=1,即+=3.
設點B到AC的距離為h1,則點B到DE的距離為h1,
所以S△BED=×h1×||=h1×||=S△ABC.
設點A到BC的距離為h2,則h2=||sin∠ABC,所以S△ABC=||·||·sin∠ABC,又S△BST=·||·||·sin∠ABC=·y||·x||·sin∠ABC,所以S△BST=xyS△ABC,
所以S2=S△ABC-S△BED=S△ABC,S1=S△BST-S△BED=S△ABC,所以=.
因為+=3,所以=3,即x+y=3xy≥2,所以xy≥,當且僅當x=y=時等號成立,所以==.單元素養測評卷(一)
第9章
(時間:120分鐘　分值:150分)
　　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.
1.向量a,b,c在正方形網格中的位置如圖所示.若向量λa+b與c共線,則實數λ=(　　)　
A.-2 B.-1
C.1 D.2
2.已知向量a=(1,-2),|b|=4|a|,a∥b,則b的坐標可能是 (　　)
A.(4,8) B.(8,4)
C.(-4,-8) D.(-4,8)
3.設向量a=(1,-3),b=(-2,4),c=(-1,-2),若表示向量4a,4b-2c,2(a-c),d的有向線段依次首尾相連能構成四邊形,則向量d等于 (　　)
A.(2,6) B.(-2,6)
C.(2,-6) D.(-2,-6)
4.已知a=(2,3),b=(-4,7),則向量a在b上的投影向量是 (　　)
A. B.
C. D.
5.[2024·溫州中學高一月考] 如圖,在△ABC中,設=a,=b,=2,=4,則= (　　)
A.a-b B.a-b
C.-a+b D.-a+b
6.已知向量a=(1,),b=(3,m),若向量a,b的夾角為,則實數m的值為 (　　)
A.2 B. C.0 D.-
7.已知兩個大小相等的共點力F1,F2,當它們的夾角為90°時,合力大小為20 N,則當它們的夾角為120°時,合力大小為 (　　)
A.40 N B.10 N C.20 N D.40 N
8.在△ABC中,已知·=0,且·=-,則△ABC是 (　　)
A.三邊互不相等的三角形 B.等邊三角形
C.等腰直角三角形 D.頂角為鈍角的等腰三角形
二、選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求.全部選對的得6分,部分選對的得部分分,有選錯的得0分.
9.設e1,e2是平面內的一組基底,則下面的四組向量能構成平面內的一組基底的是 (　　)
A.2e1+e2和e1-e2 B.3e1-e2和2e2-6e1
C.e1+3e2和e2+3e1 D.e1和e1+e2
10.已知a,b是單位向量,且a+b=(1,-1),則 (　　)
A.|a+b|=2
B.a與b垂直
C.a與a-b的夾角為
D.|a-b|=1
11.[2024·南京外國語學校高一月考] “圓冪定理”是平面幾何中關于圓的一個重要的總結性定理,包含三個定理以及它們推論的統一與歸納,其中一個定理是相交弦定理:圓內的兩條相交弦,被交點分成的兩條線段長的積相等.如圖,已知圓O的半徑為2,點P是圓O內的定點,且OP=,弦AC,BD均過點P,則下列說法正確的是 (　　)
A.·為定值
B.·的取值范圍是[-2,0]
C.當AC⊥BD時,·為定值
D.當AC⊥BD時,||·||的最大值為12
三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分.
12.[2024·菏澤一中高一月考] 已知向量a=(-1,2),b=(1,t),若(a+2b)⊥a,則實數t=　　　　.
13.在△ABC中,=2,P是MC的中點,若=λ1+λ2,則λ1+λ2=　　　　.
14.已知點A,B,C均位于同一單位圓O上,且·=,若·=3,則|++|的取值范圍為　　　　.
四、解答題:本題共5小題,共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15.(13分)[2024·江陰四校高一期中] 已知a,b,c是同一平面內的三個向量,a=(1,2).
(1)若c為單位向量,且c∥a,求c的坐標;
(2)若|b|=,且a+2b與2a-b垂直,求a與b的夾角θ的大小.
16.(15分)[224·江蘇鹽城高一期中] 在平行四邊形ABCD中,AB=2,AD=1,∠BAD=120°.求:
(1)·的值;
(2)cos∠BAC的值.
17.(15分)已知力F(方向斜向上)與水平方向的夾角為30°,大小為50 N,一個質量為8 kg的木塊受力F的作用在動摩擦因數μ=0.02的水平平面上運動了20 m.力F和摩擦力f所做的功分別為多少 (取重力加速度的大小為10 m/s2)
18.(17分)在平面直角坐標系中,已知點A(1,4),B(-2,3),C(2,m).
(1)若A,B,C三點共線,求實數m的值.
(2)若△ABC是銳角三角形,求實數m的取值范圍.
(3)是否存在實數m,使得在上的投影向量是 若存在,請求出實數m的值;若不存在,請說明理由.
19.(17分)如圖,在△ABC中,點D,E分別是BC,AB的中點,點F是線段BD上靠近點B的三等分點,AF交ED于點G,EC交AD于點O.
(1)用和表示;
(2)若=λ,求實數λ的值;
(3)過點O的直線與線段AE,CD(均不含端點)分別交于點S,T,設四邊形DEST的面積為S1,梯形AEDC的面積為S2,求的最小值.

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