資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
專題1.6線段垂直平分線的性質九大題型（一課一講）
線段垂直平分線的定義
垂直于一條線段，并且平分這條線段的直線叫作這條線段的垂直平分線，簡稱中垂線。
如圖所示，直線l⊥ AB于點D，且AD ＝BD，直線l就是線段AB的垂直平分線。
垂直平分線的性質定理：線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等。
題型一：利用垂直平分線的性質求周長
【例題1】如圖，在中，垂直平分，連接，的周長為20，的周長比四邊形的周長多10，則線段的長為（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【分析】本題考查了線段垂直平分線的性質：垂直平分線垂直且平分其所在線段；垂直平分線上任意一點，到線段兩端點的距離相等．先根據線段垂直平分線的性質得到，，再利用的周長為20得到，接著利用得到，所以，然后解方程即可．
【詳解】解：∵垂直平分，
∴，，
∵的周長為20，
∴，
∴，
∵的周長比四邊形的周長多10，
∴，
即，
∴，
∴，
解得．
故選：B．
【變式訓練1-1】(24-25八上·遼寧盤錦大洼區第二初級中學·期末)如圖，在中，，，的垂直平分線分別交、于D、E，則的周長為（ ）cm．
A．8 B．2 C．4 D．1
【答案】A
【分析】本題主要考查線段垂直平分線的性質，熟練掌握線段垂直平分線的性質是解題的關鍵；由題意易得，然后根據線段的和差關系可進行求解．
【詳解】解：∵的垂直平分線分別交、于D、E，
∴，
∵，，
∴的周長為；
故選A．
【變式訓練1-2】(2025·湖北省荊州市沙市·三模)如圖，在中，是的垂直平分線，交于點D，交于點E，，，，則周長為（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查線段垂直平分線的性質，
根據是的垂直平分線得，繼而得到，可得答案．
【詳解】解：∵是的垂直平分線，
∴，
∴，
∴，
∴周長為．
故選：B．
【變式訓練1-3】(23-24八上·山東菏澤曹縣·期中)如圖，中，邊的垂直平分線分別交于點，，的周長為，則的周長為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了垂直平分線的性質，掌握其運用是解題的關鍵．根據垂直平分線的性質可得，則，可得的值，根據的周長的計算方法即可求解．
【詳解】解：∵是線段的垂直平分線，
∴，
∴
∵的周長為，即，
∴，
∵的周長為，且，
∴．
故選：C．
【變式訓練1-4】(24-25八下·湖南長沙·模擬)如圖，在中，，分別是，的垂直平分線，，分別交邊于點D、E且的周長為，則的長為 ．
【答案】32
【分析】本題考查了線段垂直平分線的性質，能根據線段垂直平分線性質得出、是解此題的關鍵．
根據線段垂直平分線性質得出，，求出即可．
【詳解】解：∵，分別是，的垂直平分線，
∴，，
∵的周長為，
∴，
∴，
即，
故答案為：32．
【變式訓練1-5】(24-25七下·陜西咸陽渭城區底張鎮·期末)如圖，在中，點在上，連接，過點作交于點，．的周長為5，則的周長是 ．
【答案】7
【分析】本題考查中垂線的性質．熟練掌握線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等，是解題的關鍵．
由題意可知，是線段的線段垂直平分線，進而得到，由的周長得出，結合圖形求解即可．
【詳解】解：∵，，
∴是線段的垂直平分線，
∴，
∵的周長為5，
∴，
∴的周長，
故答案為：7．
題型二：利用垂直平分線的性質求線段長度
【例題2】如圖，在中，，的垂直平分線交于點，交于點，已知的周長為，，則的長為 ．
【答案】
【分析】由線段垂直平分線的性質推出，得到的周長，而，即可求出本題考查線段垂直平分線的性質，關鍵是由線段垂直平分線的性質推出．
【詳解】解：垂直平分，
，
的周長，
，
．
故答案為：．
【變式訓練2-1】(24-25七下·河南鄭州蓮湖外國語學校·月考)如圖，在中，邊的垂直平分線分別與邊和邊交于點D和點E，邊的垂直平分線分別與邊和邊交于點F和點G，若的周長為9，且，則的長為 ．
【答案】7
【分析】本題考查的是線段的垂直平分線的性質，線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等．根據線段的垂直平分線的性質得到，，再根據三角形周長公式計算，得到答案．
【詳解】解：是的垂直平分線，
，
同理可得：，
的周長為9，
，
，
，
，
故答案為：7．
【變式訓練2-2】如圖，已知的平分線與的垂直平分線相交于點D，，，垂足分別為E，F，，，則 ．
【答案】
【分析】本題主要考查角平分線的性質，垂直平分線的性質，全等三角形的判定與性質．連接，，根據角平分線的性質可得，，，得到，即可得，然后根據垂直平分線的性質可得，則可通過證明，得到，然后即可得到答案.
【詳解】解：連接，，
∵是的平分線，，，
∴，，，
∴，
∴，
∵是的垂直平分線，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴．
故答案為：．
【變式訓練2-3】如圖，在中，垂直平分，垂直平分，若，，則 ．
【答案】8
【分析】本題考查了線段垂直平分線的性質，由線段垂直平分線的性質可得，，，由此計算即可得解，熟練掌握線段垂直平分線的性質是解此題的關鍵．
【詳解】解：∵垂直平分，垂直平分，，，
∴，，，
∴，
故答案為：．
【變式訓練2-4】如圖，已知，點D，E分別在的垂直平分線上，且D，A，E三點共線，若四邊形的周長為20，，則的長為 ．
【答案】4
【分析】此題考查了垂直平分線的性質．根據垂直平分線的性質得到，得到，再根據四邊形的周長為20即可求出的長．
【詳解】解：∵點D，E分別在的垂直平分線上，
∴，
∵，
∴
∵四邊形的周長為20，
∴，
即，
解得，
故答案為：
【變式訓練2-5】(24-25七下·廣東深圳坪山區·期末)如圖，在四邊形中，，點E在上且剛好落在垂直平分線上，點F是中點，，已知，，則 ．
【答案】3
【分析】本題考查了平行線的性質，線段垂直平分線的性質，全等三角形的判定和性質.
通過延長構造全等三角形，利用平行線性質和中點條件證，轉化線段為，結合及，得垂直平分，推出，最后計算CE．
【詳解】解：連接，并延長 交 延長線于 ，
因為，
所以，
又是中點，
即，
且，
∴
則 ，
點 在 垂直平分線上，
故 ，
由 ， 是 中點，
得 ，
所以 ．
故答案為：3．
題型三：垂直平分線的性質綜合（解答題）
【例題3】如圖，在中，，垂直平分，交于點F，交于點E，且，連接．
(1)求證：；
(2)若的周長為，，求的長．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】本題考查了線段的垂直平分線的性質，掌握線段的垂直平分線的性質是解題的關鍵.
（1）根據線段的垂直平分線的性質得到，，等量代換得到；
（2）根據三角形周長公式求出，再根據（1）中結論計算，得到答案．
【詳解】（1）垂直平分，
，
，，
垂直平分，
，
；
（2）的周長為，
，
，
，
，，
，
，
即．
【變式訓練3-1】(24-25八上·河北邢臺信都區·月考)如圖，在中，，是的平分線，交于點，垂足為．求證：
(1)是線段的垂直平分線；
(2)．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
【分析】（1）要證是線段的垂直平分線，需證垂直（已知）且平分，即證，可通過證明來實現．
（2）利用（1）中全等及垂直關系，結合同角的余角相等，推導與的等量關系．
【詳解】（1）證明：∵是的平分線，
∴
∵，
∴
又∵，
∴（）
∴
又∵，即垂直且平分
∴是線段的垂直平分線
（2）證明：由（1）知，
∴．
∵平分，
∴
∵，
∴，
∴，
∴．
在中，，；
在中，，．
∴．
【變式訓練3-2】如圖，平分，P是上任意一點，過P向，作垂線，垂足分別為D，E，連接．求證：垂直平分．
【答案】見解析
【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質、線段垂直平分線的性質和角平分線的性質，先證明，可得，，再證明，得到，，進而即可得出結論．
【詳解】證明：平分，，，
則在和中，
，，，
，
，，
則在和中，
，，，
，
，，
垂直平分，
即垂直平分．
【變式訓練3-3】(24-25八·廣東珠海第十一中學·月考)如圖，在四邊形中，E為邊上的一點，垂直平分，垂直平分．
(1)求的度數；
(2)與交于點F，若，求證：．
【答案】(1)；
(2)見解析．
【分析】本題考查全等三角形的判定與性質，線段垂直平分線的性質．掌握全等三角形的判定與性質是解題的關鍵．
（1）證明，得出．再證明，得到．然后根據根據平角的定義，可得答案；
（2）證明， 得到，再根據，則可由，得出結論．
【詳解】（1）解∶∵垂直平分，
∴，．
∵，
∴，
∴．
∵垂直平分，
∴，．
∵，
∴，
∴．
∵ ，
∴；
（2）證明：∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，即 ．
【變式訓練3-4】(24-25八上·廣東東莞翰林實驗學校·期末)已知：如圖，是的邊的垂直平分線，與，分別相交于點，，連接．
(1)若，則的長為 ；
(2)若，，求的長；
(3)若的周長為，，求的長．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本題考查了線段垂直平分線的性質，掌握線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等是解答本題的關鍵．
（1）直接根據線段垂直平分線的性質求解即可；
（2）由線段垂直平分線的性質得，再求出即可求解；
（3）先根據的周長為求出，由線段垂直平分線的性質得，進而可求出的長．
【詳解】（1）解：垂直平分，
，
，
．
故答案為：3；
（2）解：垂直平分，
，
，，
，
．
（3）解：的周長為，，
，
垂直平分，
，
．
【變式訓練3-5】(24-25八上·河北石家莊新樂新樂中山中學·月考)如圖，在中，，垂直平分，交于點，交于點，且．
(1)求證：；
(2)若的周長為，，求的長．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】本題考查了線段垂直平分線的判定及性質，熟練掌握知識點是解題的關鍵．
（1）根據線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等可得，，即可證明；
（2）根據線段垂直平分線的性質和三角形周長公式進行計算即可．
【詳解】（1）證明：連接．
垂直平分，
，
，，
∴垂直平分，
，
；
（2）的周長為21cm，
，
，
，
，，
，
．
尺規作圖作線段垂直平分線
作法（如圖所示）：
1.分別以點A，B為圓心，大于線段AB長度一半的長為半徑作弧，兩段弧相交于點C，D。
2.作直線CD，直線CD就是線段AB的垂直平分線。
題型四：垂直平分線與尺規作圖綜合
【例題4】如圖，在中，分別以點和點為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧相交于點作直線，交于點，交于點，連接，若，，，則的周長為（　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了線段垂直平分線的作圖、線段垂直平分線的性質、三角形的周長等知識，熟練掌握線段垂直平分線的性質是解題的關鍵．由垂直平分線的性質可得，由的周長得到答案．
【詳解】解：由作圖的過程可知，是的垂直平分線，
∴，
∵，，
∴的周長．
故選：C．
【變式訓練4-1】(24-25六·山東威海榮成16校聯盟（五四制）·月考)如圖，在中，，分別以A，B兩點為圓心，大于為半徑畫弧，兩弧交于M，N兩點，直線交于點D，交于點E，若，則的長度為（ ）
A．9 B．6 C．3 D．12
【答案】C
【分析】本題考查了作圖基本作圖：作已知線段的垂直平分線，線段垂直平分線的性質，角平分線的性質．利用基本作圖得到垂直平分，則根據線段垂直平分線的性質得到，所以，再計算出，再利用角平分線的性質求解即可．
【詳解】解：由作法得垂直平分，
∴，
，
，
，
∴，
∵，，，
∴．
故選：C．
【變式訓練4-2】(23-24七下·貴州畢節赫章縣·期末)如圖，在中，分別以、為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧相交于、兩點，作直線，分別交、于點、，連接，若，則的周長為（ ）
A．28 B．32 C．36 D．40
【答案】C
【分析】本題考查作圖基本作圖、線段的垂直平分線的性質等知識點，熟練掌握線段的垂直平分線的性質是解題的關鍵．
由作圖可得垂直平分，則，再由三角形周長公式求解即可．
【詳解】解：由作圖可得垂直平分，
∴，
∴的周長為．
故選：C．
【變式訓練4-3】(24-25八上·福建莆田哲理中學·月考)如圖，在中，，，分別以點A，點B為圓心，大于長為半徑作弧，兩弧交于點E，F，過點E，F作直線交于點D，連接，則的周長為（ ）
A．7 B．8 C．10 D．12
【答案】C
【分析】本題考查了線段垂直平分線的基本作圖及性質．由作圖可知，是的垂直平分線，根據線段垂直平分線的性質可得，再根據的周長公式即可解答．
【詳解】解：由作圖可知，是的垂直平分線，
，
的周長，
，，
的周長．
故選：C．
【變式訓練4-4】(24-25九上·黑龍江哈爾濱第五十五中學·月考)如圖，在中，分別以點A和點C為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧相交于點M，N，作直線，交于點D，連接，，，則的周長為（ ）
A．5 B．11 C．16 D．17
【答案】D
【分析】本題考查尺規作垂線、線段垂直平分線的性質，根據作圖痕跡可得垂直平分，進而求解三角形的周長即可．
【詳解】解：由作圖得垂直平分，
∴，
∵，，
∴的周長為，
故選：D．
【變式訓練4-5】(2025·江蘇省鹽城市·三模)如圖，在中，，，根據尺規作圖痕跡，可知（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由作圖痕跡可知直線是的垂直平分線，射線是的平分線．先由線段垂直平分線知，再用三角形外角性質求出，再用三角形內角和求出，然后用角平分線求出，最后根據三角形的內角和求出．本題考查三角形外角性質，角平分線的性質，線段垂直平分線的性質．熟練掌握以上知識是解題的關鍵．
【詳解】解：由作圖痕跡可知直線是的垂直平分線，射線是的平分線．
，
，
，
∵中，，，
，
，
．
故選：B
題型五：垂直平分線的判定之選址問題
【例題5】如圖所示，有三個居民小區的位置成三角形，現決定在三個小區之間修建一個購物超市，使超市到三個小區的距離相等，則超市應建在（ ）
A．在兩邊高線的交點處 B．在兩邊中線的交點處
C．在兩邊垂直平分線的交點處 D．在兩內角平分線的交點處
【答案】C
【分析】本題考查了垂直平分線的性質的應用，根據線段的垂直平分線的性質：線段的垂直平分線上的點與線段的兩個端點的距離相等即可求解，熟練掌握垂直平分線的性質是解題的關鍵．
【詳解】根據線段的垂直平分線的性質：線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等，可知超市應建在，兩邊垂直平分線的交點處，
故選：．
【變式訓練5-1】(24-25八上·湖北武漢七一華源中學·期末)如圖，地圖上有三個小區，現在明明要開一間超市，要求超市到三個小區的距離都相等，你覺得小明如何選址呢？（ ）
A．三條邊的中線的交點 B．三條邊的高線的交點
C．三條邊的垂直平分線的交點 D．三個內角的角平分線的交點
【答案】C
【分析】本題考查了三角形重心、垂心、內心及線段垂直平分線性質，關鍵理解線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等．此題是一道實際應用題，做題時，可分別考慮，先滿足到兩個超市的距離相等，再滿足到兩個超市的距離相等，交點即可得到．
【詳解】解：根據線段的垂直平分線的性質：線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等．
則超市應建在三條邊的垂直平分線的交點處．
故選：D．
【變式訓練5-2】(25-26九上·陜西榆林第六中學·月考)如圖有三家公司A、、，現要建一個健身中心到三家公司的距離相等，請利用尺規作圖法找出健身中心的位置．（保留作圖痕跡，不寫作法）
【答案】見解析
【分析】本題考查作圖—應用與設計作圖、線段垂直平分線的性質的應用等知識點，掌握線段垂直平分線上的點到線段兩端點距離相等是解題的關鍵．
根據線段垂直平分線的性質，分別作線段的垂直平分線，相交于點P，則點P即為所求．
【詳解】解：如圖，分別作線段的垂直平分線，相交于點P，則點P即為所求．
【變式訓練5-3】(24-25八下·陜西西安高新陸港中學·月考)已知公路l的兩側有兩個村莊A，B，要在公路旁邊建一個公交車上落站，使上落站到兩個村莊的距離相等，請確定上落站的位置．
【答案】見解析
【分析】本題考查了線段垂直平分線的性質，熟練掌握線段垂直平分線的性質是解題的關鍵．
根據上落站到兩個村莊的距離相等可得公交站位置為線段的垂直平分線與公路的交點，故連接，作出線段的垂直平分線與公路相交，交點即為公交站的位置．
【詳解】解：如圖點的位置即為公交站的位置，
【變式訓練5-4】如圖，要把一塊三角形的土地均勻分給甲、乙、丙三家農戶．如果，，要使這三家農戶所得土地的大小、形狀都相同，請你試著分一分，并在圖上畫出來．
【答案】見解析
【分析】本題考查全等三角形，線段垂直平分線的性質，解題的關鍵是正確理解題意，熟練掌握全等三角形的判定和性質．
根據題意，作的垂直平分線，交于點，交于點，連接，將已知三角形劃分為三個全等的三角形即可．
【詳解】解：如圖，作的垂直平分線，交于點，交于點，連接，則、和大小、形狀都相同．
證明：∵，，
∴，
如圖，作的垂直平分線，交于點，交于點，連接，則，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
在和中，
，
∴，
∴、和大小、形狀都相同．
【變式訓練5-5】(24-25八上·廣東深圳·期末)如圖，某村計劃在河邊上挖一個小水塘儲水，方便灌溉農田，為了使其到A、B兩塊田地的距離相等．請你用尺規作圖，確定小水塘的位置，不寫作法，保留作圖痕跡．
【答案】見詳解
【分析】本題主要考查了線段垂直平分線的作法以及性質， 先分別以A，B為圓心，以大于的半徑畫圓，然后連接兩交點的直線交河面的點即為小水塘的位置，根據線段垂直平分線的性質即可得出小水塘的位置到A、B兩塊田地的距離相等．
【詳解】解：小水塘的位置如下圖所示：
題型六：尺規作圖作垂直平分線
【例題6】如圖，已知．
(1)利用尺規作圖作出的邊上的中線（其中點在邊上，只保留作圖痕跡，不必寫出作法）；
(2)若，且中線恰好將的周長分成16和11的兩部分，求邊的長．
【答案】(1)見解析
(2)12
【分析】本題考查作圖基本作圖，尺規作中垂線，三角形中線的概念，掌握垂直平分線的作圖方法是解題的關鍵．
（1）作的垂直平分線，交于點D，連接，即為所求；
（2）根據題意得到，然后由中點得到，得到，然后結合求解即可．
【詳解】（1）解：如圖所示，即為所求；
（2）又點為邊中點，
，
，中線恰好將的周長分成16和11的兩部分，
得，，
，
，
，
．
【變式訓練6-1】(24-25七下·寧夏銀川靈武·期末)如圖，在中．
(1)作邊的垂直平分線，分別與相交于點D、E（尺規作圖，保留痕跡）．
(2)若，求的周長．
【答案】(1)見解析
(2)14
【分析】本題考查了尺規作線段的垂直平分線，線段的垂直平分線的性質：
（1）根據尺規作線段的垂直平分線的步驟進行作圖即可；
（2）線段的垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等，由此可得，等量代換可得．
【詳解】（1）解：邊的垂直平分線如圖：
（2）解：如圖，連接，
是邊的垂直平分線，
，
，
即的周長為14．
【變式訓練6-2】(24-25八上·廣東汕頭·期末)如圖，在四邊形中，．
(1)連接，作的垂直平分線，分別交于點（用尺規作圖法，保留作圖痕跡，不要求寫作法）；
(2)在（）的條件下，連接，求證：．
【答案】(1)作圖見解析；
(2)證明見解析．
【分析】本題考查了線段垂直平分線的作法及性質，全等三角形的判定與性質，平行線的性質，掌握知識點的應用是解題的關鍵．
（）利用基本作圖作垂直平分線即可；
（）連接，，設與交于點，由作圖可知，，，通過平行線性質可得，然后證明，則有，再代入即可求證．
【詳解】（1）解：如圖，即為所求；
（2）證明：如圖，連接，，設與交于點，
由作圖可知垂直平分，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【變式訓練6-3】(2025·廣東省肇慶市·一模)如圖，點，在線段上，且，，．
(1)求證：；
(2)在線段，上分別找出點，，依次連接點，，，，使得到的四邊形為菱形．（要求：尺規作圖，不寫作法，保留作圖痕跡，標明字母）
【答案】(1)見解析；
(2)見解析．
【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質，作垂直平分線，掌握知識點的應用是解題的關鍵．
（）由，得，然后證明，再由“”證明即可得出結論；
（）作垂直平分線即可，然后通過菱形的判定方法即可求證．
【詳解】（1）證明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴
在和中，
，
∴，
∴；
（2）如圖，四邊形即為所求；
理由：由作圖可知，垂直平分，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四邊形是菱形，
∴四邊形即為所求．
【變式訓練6-4】(24-25七下·山東淄博張店區科技苑中學（五四學制）·月考)如圖，在中，．
(1)在邊上找到一點E，使它到兩點A、B的距離相等．（用尺規作圖，保留作圖痕跡，不要求寫作法）；
(2)在（1）的條件下，連接，若，，求的周長．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】此題考查了線段垂直平分線的作圖和性質，準確作圖是關鍵．
（1）作出線段的垂直平分線交于點E，則點E即為所求；
（2）根據垂直平分線的性質和三角形周長公式進行解答即可．
【詳解】（1）解：如圖所示：點E即為所求；
（2）垂直平分，
，
的周長．
【變式訓練6-5】(24-25七下·山東煙臺·期末)如圖，已知，請按下列要求解答問題：
(1)用尺規作線段的垂直平分線，垂足是，交于點，連接（保留作圖痕跡，不寫作法）；
(2)若的周長是，的周長是，求的長．
【答案】(1)見解析；
(2)的長為．
【分析】本題考查線段垂直平分線的畫法，線段垂直平分線的性質，解題的關鍵是熟練掌握線段垂直平分線的畫法和性質．
（1）分別以點和點為圓心，大于長為半徑畫弧，兩弧交于兩點，過兩個交點作直線即可；
（2）由線段垂直平分線的性質，可得，等量代換，兩個三角形的周長作差，即可得的長．
【詳解】（1）解：分別以點和點為圓心，長為半徑畫弧，兩弧交于點和點，過點和點作直線，直線即為線段的垂直平分線，垂足是，交于點，連接，如下圖：
（2）解：∵的周長是，
∴，
∵點在線段的垂直平分線上，
∴，
∴，
∴，
∵的周長是，
∴，
∴，
答：的長為．
題型七：垂直平分線綜合之最值問題
【例題7】如圖，等腰三角形的底邊長為2，面積為5，腰的垂直平分線分別交，于點，．若點、分別為線段、線段上的動點，則的最小值為（ ）．
A．2 B．3 C．5 D．10
【答案】C
【分析】本題考查了線段垂直平分線的性質，垂線段最短，三角形的面積，熟練掌握以上知識點是解題的關鍵．作于點，連接，根據垂直平分，可知，那么，由，推出的最小值為，然后利用三角形的面積求出答案即可．
【詳解】解：作于點，連接，如圖所示：
垂直平分，
，
，
點、分別為線段、線段上的動點，，
則的最小值為，
等腰三角形的底邊長為2，面積為5，
，
，
的最小值為5．
故選：C．
【變式訓練7-1】(24-25八上·江西上饒鄱陽縣湖城學校·期末)如圖，在中，，，，是的垂直平分線，P是直線上的任意一點，則的最小值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】本題考查了軸對稱-最短路線問題，連接，根據線段的垂直平分線的性質可得，根據兩點之間線段最短即可求解．
【詳解】解：如圖，連接，
∵是的垂直平分線，
∴，
根據兩點之間線段最短，則，最小，此時點P與點E重合，
所以的最小值即為的長，為4．
即的最小值為4．
故選：B．
【變式訓練7-2】(24-25七下·廣東清遠清城區·期末)如圖，在中，，垂直平分線段，，P是直線上的一點，若周長的最小值是17，則
【答案】
【分析】本題考查的是線段的垂直平分線的性質，三角形的三邊關系的應用，先證明，結合周長的最小值是17，，可得的最小值為：，再進一步求解即可.
【詳解】解：如圖，連接，
垂直平分線段，
，
∵周長的最小值是17，，
∴的最小值為：，
此時，
∴.
故答案為：
【變式訓練7-3】(24-25七下·上海民辦至德實驗學校·期末)如圖，等腰三角形底邊的長為，面積是，腰的垂直平分線交于點F，若D為邊上的動點，M為線段上一動點，則最小值為 ．
【答案】
【分析】本題考查的是線段垂直平分線的性質，垂線段最短，熟知線段垂直平分線的性質是解答此題的關鍵．
由線段垂直平分線的性質可得，則，當點A，點M，點D共線且時，有最小值，即有最小值為的長，由面積公式可求解．
【詳解】解：連接，
∵垂直平分，
∴，
∴，
∴當點A，點M，點D共線且時，有最小值，即有最小值為的長，
∵，
∴，
故答案為：．
【變式訓練7-4】如圖，在中，，，，，為的垂直平分線，為直線上的任意一點，則周長的最小值是 ．
【答案】
【分析】本題主要考查了線段垂直平分線的性質，三角形周長計算，根據線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等得到，則由三角形周長公式可得的周長，則當A、P、C三點共線時，最小，即此時的周長最小，最小值為，據此可得答案．
【詳解】解：如圖，連接，
∵為的垂直平分線，點為直線上的任意一點，
∴，
∴的周長，
當A、P、C三點共線時，最小，即此時的周長最小，最小值為，
∴的周長最小值為，
故答案為：．
【變式訓練7-5】(24-25八下·江西九江第三中學·期末)如圖，在中，已知，，的垂直平分線交于點，交于點，為直線上一點，連結，則的周長最小值是 ．
【答案】13
【分析】本題主要考查了線段垂直平分線的性質、軸對稱、最短路線問題等知識，將周長的最小值轉化為是解題的關鍵．
連接，由是的垂直平分線，得，則，由兩點之間線段最短可知的最小值為，即可得出答案．
【詳解】解：連接，
是的垂直平分線，
，
，
點、、三點在一條直線上時，的最小，最小值為，
最小值為，此時點與點重合，
周長的最小值為，
故答案為：13．
題型八：垂直平分線的判定綜合（解答題）
【例題8】如圖，在中，，的垂直平分線分別交，于點E，F，的垂直平分線分別交，于點M，N，直線，MN交于點P．
(1)求證：點P在線段的垂直平分線上；
(2)已知，求的度數．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】（1）連接，，，根據線段垂直平分線的性質證明，從而證明結論即可；
（2）先根據垂直平分線的性質證明，，，再設，，然后根據三角形內角和定理，求出，再根據直角三角形的性質求出和，再根據對頂角的性質求出，，最后利用三角形內角和定理求出答案即可．
【詳解】（1）證明：如圖所示：連接，，，
∵垂直平分，垂直平分，
∴，，
∴，
∴點P在線段的垂直平分線上；
（2）解：，，
，，，
，
設，，
，，，，
，，
，
，
∴，
，
，
．
【變式訓練8-1】(24-25八下·廣東深圳福田區深圳中學梅香學校·期中)如圖，是的角平分線，，，垂足分別是，，連接，與交于點．
(1)求證：是的垂直平分線；
(2)若，，，求的面積．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質，線段垂直平分線的判定等知識，熟練掌握以上知識點是解題的關鍵；
（1）根據證明，得出，，然后根據線段垂直平分線的判定即可得證；
（2）根據求解即可．
【詳解】（1）證明：∵是的角平分線，
∴，
∵，，
∴，
又，
∴，
∴，，
∴A、D都在的垂直平分線上，
∴是的垂直平分線；
（2）解：∵，，，
∴
．
【變式訓練8-2】如圖，中，，垂直平分，交于點F，交于點E，且，連接．
(1)若，求的度數；
(2)若的周長為，求的長．
【答案】(1)
(2)4
【分析】本題考查中垂線的判定和性質，三角形的外角：
（1）先證明是的垂直平分線，等邊對等角求出的度數，再結合三角形的外交以及中垂線的性質，等邊對等角求出的度數即可；
（2）先求出的長，再根據線段的轉化，得到，進而求出的長即可．
【詳解】（1）解：∵，
∴是的垂直平分線，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴，
∴的度數為；
（2）∵的周長為，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的長為．
【變式訓練8-3】如圖，為的角平分線，于點E，于點F，連接交于點G．
(1)試說明：垂直平分；
(2)若，請問滿足什么條件時，？請說明理由．
【答案】(1)見解析
(2)，見解析
【分析】本題主要考查了角平分線的性質，線段垂直平分線的判定，等腰三角形的判定等知識點
（1）由題意，證明再證明，得到，且，即可推出結論；
（2）由已知推出，證明再由三角形內角和推出，即可推出結論．
【詳解】（1）證明：∵為的角平分線，，
∴，
∴，
∴．
又∵，
∴，
∴，且，
∴垂直平分．
（2）當時，．
理由：當時，．
又∵，
∴，
∴．
又∵，
∴．
∴當時，．
【變式訓練8-4】(24-25八上·云南云天化中學·期中)如圖，在四邊形中，為的中點，連接、，延長交的延長線于點．

(1)若，求的長；
(2)若四邊形的面積為，求點到邊的距離．
【答案】(1)
(2)
【分析】本題主要考查了全等三角形的性質與判定，線段垂直平分線的性質與判定：
（1）首先根據可知，再根據點為的中點可得,進而證得，結合全等三角形的性質可知是線段的垂直平分線，根據線段垂直平分線的性質可證得，再由線段的和差以及等量代換即可證明結論；
（2）首先根據全等三角形的性質及線段垂直平分線的性質，可得，，，再根據，即可求得，最后根據三角形的面積公式即可解答．
【詳解】（1）解：，
，
又點為的中點，
，
在和中，
，
，
，，
又，
是線段的垂直平分線，
，即．
（2）解：，
，
是線段的垂直平分線
，，
，即，
設點E到邊的距離為h，
則，解得，
∴點到邊的距離為．
【變式訓練8-5】(24-25八上·內蒙古呼和浩特賽罕區·期中)如圖，是的角平分線，，，垂足分別是E，F，連接，與相交于點G．
(1)求證：是的垂直平分線；
(2)若，，求的面積．
【答案】(1)見解析
(2)9
【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質，線段垂直平分線的判定等知識，解題的關鍵是：
（1）根據證明，得出，，然后根據線段垂直平分線的判定即可得證；
（2）根據割補法求解即可．
【詳解】（1）證明：∵是的角平分線，
∴，
∵，，
∴，
又，
∴，
∴，，
∴A、D都在的垂直平分線上，
∴是的垂直平分線；
（2）解：∵，，
∴
．
題型九：垂直平分線性質和判定綜合壓軸題
【例題9】【教材呈現】
(1)如圖1，連接的頂點A和它所對的邊的中點D，所得線段叫做的邊上的中線．寫出圖1中的一個等量關系 ．
【嘗試感悟】
(2)小明學了中線這個知識后，遇到這樣一個問題：在中，是的中點，求上的中線的取值范圍．于是小明在小組內經過合作交流，得到了如下的解決方法：如圖2，延長到E，使，請完成證明“”的推理過程．
①求證：．
②求的取值范圍．
【問題解決】
(3)如圖3，在中，是的中線，，且，求長．
【答案】(1)
(2)①見解析；②
(3)6
【分析】本題主要考查了中線的定義，垂直平分線的性質，三角形的三邊關系，全等三角形的性質和判定，構造全等三角形來解決中線的取值范圍和求解線段長度的問題，構造輔助線是解本題的關鍵．
（1）根據中線的定義求解即可．
（2）①利用已知條件證明即可；②根據三角形三邊關系可得，再用全等三角形的性質可得的取值范圍．
（3）延長交的延長線于F，求證，可得出，再利用垂直平分線的性質即可求得的長．
【詳解】（1）解：是的邊上的中線，
，
故答案為：；
（2）①由（1）可得，
在和中，
，
，
②，
，
在中，，
根據三角形三邊關系：兩邊之差小于第三邊，兩邊之和大于第三邊，
即，
，
，
；
（3）延長交的延長線于F，如圖所示：
，
，
在和中，
，
，
，
，
垂直平分，
，
，
．
【變式訓練9-1】在等腰直角中，，點P是邊上垂直平分線上的一點，連結，交于點M，N是點M關于的對稱點，連結并延長交于點D，連結交于點G．
(1)如圖①，點P在的下方時，①求證：；
②請猜想線段，，三者之間的數量關系，并加以證明；
(2)如圖②，若點P移動到的內部時，其他條件不變，線段，，三者有什么數量關系，請畫出圖形，直接寫出結果，不必證明．
【答案】(1)①證明見解析②證明見解析
(2)，畫圖見解析
【分析】本題考查了垂直平分線、角平分線、三角形全等等知識，解題的關鍵是對垂直平分線、三角形全等的運用．
（1）①作的平分線交于點Q， 點P是邊上垂直平分線上的一點， N是點M關于的對稱點，易得，，結合對頂角的知識解答即可；通過證明、，進而解答即可；②由①可得，，運用等量代換，進而解答即可；
（2）通過證明、，得到，，運用等量代換，進而解答即可．
【詳解】（1）證明：①如圖．作的平分線交于點Q， 于點H．
，，
．
點P是邊上垂直平分線上的一點， N是點M關于的對稱點，
，，．
．
，，
．
，，
在與中
．
在與中
．
．
，
．
．
．
②，，
，．
，
．
（2）證明∶如圖．作的平分線交于點K．， 于點H．
，，
．
點P是邊上垂直平分線上的一點， N是點M關于的對稱點，
，，．
．
，即．
在和中
．
，．
在和中
．
．
，
．
【變式訓練9-2】(24-25八上·廣東佛山順德區建安中學·期末)（1）如圖1，在，，為內一點，且，求證：直線垂直平分，以下是小明的證明思路，請補全框中的分析過程．
要證直線垂直平分，只要證點、點都在的垂直平分線上，即要證 ______=_____，______=_____
（2）如圖（2），在中，，點、分別在、上，且，請你只用無刻度的直尺畫出邊的垂直平分線，并說明理由．
（3）如圖3，在五邊形中，，，，請你只利用無刻度的直尺畫出邊的垂直平分線．
【答案】（1），，，；（2）見解析；（3）見解析
【分析】本題考查了垂直平分線的性質與判定，全等三角形的性質與判定，熟練掌握垂直平分線的性質與判定是解題的關鍵；
（1）利用線段垂直平分線定理的逆定理；
（2）連接、，它們相交于點，延長交于，如圖（2），證明得到，則，然后根據線段垂直平分線的判定定理可判斷垂直平分；
（3）如圖（3），連接、、、，與相交于，延長交于，則為所作．
【詳解】（1）證明：∵，，
直線垂直平分；
故答案為，；
（2）如圖，連接、，它們相交于點，延長交于，如圖（2），則為的垂直平分線．
理由如下：
，
，
，，
，
，
，
而，
垂直平分；
（3）如圖（3），為所作．
【變式訓練9-3】(24-25八下·山西太原小店區山西大學附屬中學校·月考)綜合與實踐
問題情境：數學課上，同學們利用兩個全等的直角三角形的紙片進行圖形變換的操作探究．如圖，，，．將和按如圖1的方式在同一平面內放置，其中點E與點A重合，邊與邊重合．

初步思考：（1）小麗在圖1的基礎上進行了如下操作：保持不動，將沿著射線的方向平移，邊與邊交于點H，邊與直線交于點G．如圖2，當點H為邊的中點時，判斷線段與線段的數量關系，并說明理由；
問題探究：（2）請在圖2的基礎上進行如下操作：連接，．求證：垂直平分；
拓展延伸：（3）小穎在圖1的基礎上進行如下操作：，保持不動，將沿著射線的方向平移，如圖2，在平移的過程中，當點F平移到的邊所在的直線上時，請直接寫出平移的距離．
【答案】（1），理由見解析（2）詳見解析（3）或
【分析】（1）利用中點的含義與含的直角三角形的性質可得結論；
（2）如圖，連接，證明，再利用線段的垂直平分線的判定即可得到答案；
（3）①當點F落在邊所在直線上時，如圖，②當點F落在邊所在直線上時，如圖，再進一步利用全等三角形的性質，結合勾股定理求解即可．
【詳解】解：（1）．理由：在中，，，，
點H為邊的中點，
，
．
（2）證明：如圖，連接，
由平移可知：，
，
，
，
在與中：
，
，
，
點G在的垂直平分線上，
，
點D在的垂直平分線上，
垂直平分．
（3）或．理由如下：
①當點F落在邊所在直線上時，如圖，
由平移可知：，
，，
∴，而，，
，
，
在中，，，，
∴，
，
，
在中，，，
，
；
②當點F落在邊所在直線上時，如圖，
過點E向邊所在直線作垂線，交邊所在直線于點H，
由平移可知：，
，
，
，
在中，，，
同理：，
．
綜上，平移距離為或．
【點睛】本題考查的是線段的垂直平分線的判定，含30度角的直角三角形的性質，全等三角形的判定與性質，平移的性質，熟練的利用數形結合的方法解題是關鍵．
【變式訓練9-4】(24-25八上·浙江金華橫店鎮橫店第一初級中學兩校區聯考·月考)（1）如圖1，在中，，，是邊上的中線，延長到點使，連接，把，，集中在中，利用三角形三邊關系可得的取值范圍．請寫出的取值范圍，并說明理由．
（2）如圖2，在中，是邊上的中線，點，分別在，上，且，求證：．小艾同學受到（1）的啟發，在解決（2）的問題時，延長到點，使…，請你幫她完成證明過程．
（3）如圖3，在四邊形中，為鈍角，為銳角，，，，點，分別在，上，且，連接，試探索線段，，之間的數量關系，并加以證明．
【答案】（1）；理由見解析
（2）詳見解析
（3），證明見解析
【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質，垂直平分線的性質，三角形的三邊關系等知識，解答本題的關鍵是熟練掌握全等三角形的判定定理．
（1）證明，推出，在中，利用三角形的三邊關系解決問題即可；
（2）如圖2中，延長到，使得，連接，．證明，推出，再證明，利用三角形的三邊關系即可解決問題；
（3）結論：．延長到，使得，通過兩次全等證明，即可解決問題．
【詳解】解：（1）；理由如下：
是邊上的中線，
，
在和中，
，
，
，
，
，
在，，且，
，
，
，
；
（2）證明：延長到，使得，連結，．
是邊上的中線，
，
在和中，
，
，
，
，，
，
在中，，
；
（3）解：．理由如下：
延長到，使得，
，，
，
在和中，
，
，
，，
，，
，
，
在和中，
，
，
，
，
．
【變式訓練9-5】(24-25八上·重慶榮昌區寶城初級中學·期中)八年級某班興趣小組在一次活動中進行了探究實驗活動，請你和他們一起活動吧．
(1)【閱讀理解】如圖（1），在中，若，，求邊上的中線的取值范圍．
小聰同學是這樣思考的：延長至點，使，連接，利用全等將邊轉化到，在中利用三角形的三邊關系即可求出中線的取值范圍．在這個過程中小聰同學證明三角形全等用到的判定方法是：________；中線的取值范圍是________．
(2)【理解與應用】如圖（2），在中，點是的中點，，，其中，連接，試探索與的數量關系，并說明理由．
(3)【問題解決】如圖（3），在中，，點是的中點，點在邊上，點在邊上，若，試猜想線段，，三者之間的數量關系，并證明你的結論．
【答案】(1)，
(2)，理由見解析
(3)，證明見解析
【分析】（1）由證明得出，再由三角形三邊關系即可得解；
（2）延長至，使得，連接，由（1）可得：，得出，，再證明，得出，即可得解；
（3）延長至，使得，連接、，同（1）可得：得出，由線段垂直平分線的性質可得，再由勾股定理求解即可．
【詳解】（1）解：延長至點，使，連接，
，
∵是邊上的中線，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
由三角形三邊關系可得：，
∴，
∵，
∴，
故答案為：，；
（2）解：，理由如下：
如圖，延長至，使得，連接，
，
由（1）可得：，
∴，，
∴，
∵，，
∴，即，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：，證明如下：
如圖，延長至，使得，連接、，
，
同（1）可得：，
∴，
∵，，
∴是線段的垂直平分線，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質、三角形的三邊關系、線段垂直平分線的性質等知識點，熟練掌握以上知識點并靈活運用，添加適當的輔助線是解此題的關鍵．中小學教育資源及組卷應用平臺
專題1.6線段垂直平分線的性質九大題型（一課一講）
線段垂直平分線的定義
垂直于一條線段，并且平分這條線段的直線叫作這條線段的垂直平分線，簡稱中垂線。
如圖所示，直線l⊥ AB于點D，且AD ＝BD，直線l就是線段AB的垂直平分線。
垂直平分線的性質定理：線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等。
題型一：利用垂直平分線的性質求周長
【例題1】如圖，在中，垂直平分，連接，的周長為20，的周長比四邊形的周長多10，則線段的長為（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
【變式訓練1-1】(24-25八上·遼寧盤錦大洼區第二初級中學·期末)如圖，在中，，，的垂直平分線分別交、于D、E，則的周長為（ ）cm．
A．8 B．2 C．4 D．1
【變式訓練1-2】(2025·湖北省荊州市沙市·三模)如圖，在中，是的垂直平分線，交于點D，交于點E，，，，則周長為（　　）
A． B． C． D．
【變式訓練1-3】(23-24八上·山東菏澤曹縣·期中)如圖，中，邊的垂直平分線分別交于點，，的周長為，則的周長為（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練1-4】(24-25八下·湖南長沙·模擬)如圖，在中，，分別是，的垂直平分線，，分別交邊于點D、E且的周長為，則的長為 ．
【變式訓練1-5】(24-25七下·陜西咸陽渭城區底張鎮·期末)如圖，在中，點在上，連接，過點作交于點，．的周長為5，則的周長是 ．
題型二：利用垂直平分線的性質求線段長度
【例題2】如圖，在中，，的垂直平分線交于點，交于點，已知的周長為，，則的長為 ．
【變式訓練2-1】(24-25七下·河南鄭州蓮湖外國語學校·月考)如圖，在中，邊的垂直平分線分別與邊和邊交于點D和點E，邊的垂直平分線分別與邊和邊交于點F和點G，若的周長為9，且，則的長為 ．
【變式訓練2-2】如圖，已知的平分線與的垂直平分線相交于點D，，，垂足分別為E，F，，，則 ．
【變式訓練2-3】如圖，在中，垂直平分，垂直平分，若，，則 ．
【變式訓練2-4】如圖，已知，點D，E分別在的垂直平分線上，且D，A，E三點共線，若四邊形的周長為20，，則的長為 ．
【變式訓練2-5】(24-25七下·廣東深圳坪山區·期末)如圖，在四邊形中，，點E在上且剛好落在垂直平分線上，點F是中點，，已知，，則 ．
題型三：垂直平分線的性質綜合（解答題）
【例題3】如圖，在中，，垂直平分，交于點F，交于點E，且，連接．
(1)求證：；
(2)若的周長為，，求的長．
【變式訓練3-1】(24-25八上·河北邢臺信都區·月考)如圖，在中，，是的平分線，交于點，垂足為．求證：
(1)是線段的垂直平分線；
(2)．
【變式訓練3-2】如圖，平分，P是上任意一點，過P向，作垂線，垂足分別為D，E，連接．求證：垂直平分．
【變式訓練3-3】(24-25八·廣東珠海第十一中學·月考)如圖，在四邊形中，E為邊上的一點，垂直平分，垂直平分．
(1)求的度數；
(2)與交于點F，若，求證：．
【變式訓練3-4】(24-25八上·廣東東莞翰林實驗學校·期末)已知：如圖，是的邊的垂直平分線，與，分別相交于點，，連接．
(1)若，則的長為 ；
(2)若，，求的長；
(3)若的周長為，，求的長．
【變式訓練3-5】(24-25八上·河北石家莊新樂新樂中山中學·月考)如圖，在中，，垂直平分，交于點，交于點，且．
(1)求證：；
(2)若的周長為，，求的長．
尺規作圖作線段垂直平分線
作法（如圖所示）：
1.分別以點A，B為圓心，大于線段AB長度一半的長為半徑作弧，兩段弧相交于點C，D。
2.作直線CD，直線CD就是線段AB的垂直平分線。
題型四：垂直平分線與尺規作圖綜合
【例題4】如圖，在中，分別以點和點為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧相交于點作直線，交于點，交于點，連接，若，，，則的周長為（　）
A． B． C． D．
【變式訓練4-1】(24-25六·山東威海榮成16校聯盟（五四制）·月考)如圖，在中，，分別以A，B兩點為圓心，大于為半徑畫弧，兩弧交于M，N兩點，直線交于點D，交于點E，若，則的長度為（ ）
A．9 B．6 C．3 D．12
【變式訓練4-2】(23-24七下·貴州畢節赫章縣·期末)如圖，在中，分別以、為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧相交于、兩點，作直線，分別交、于點、，連接，若，則的周長為（ ）
A．28 B．32 C．36 D．40
【變式訓練4-3】(24-25八上·福建莆田哲理中學·月考)如圖，在中，，，分別以點A，點B為圓心，大于長為半徑作弧，兩弧交于點E，F，過點E，F作直線交于點D，連接，則的周長為（ ）
A．7 B．8 C．10 D．12
【變式訓練4-4】(24-25九上·黑龍江哈爾濱第五十五中學·月考)如圖，在中，分別以點A和點C為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧相交于點M，N，作直線，交于點D，連接，，，則的周長為（ ）
A．5 B．11 C．16 D．17
【變式訓練4-5】(2025·江蘇省鹽城市·三模)如圖，在中，，，根據尺規作圖痕跡，可知（ ）
A． B． C． D．
題型五：垂直平分線的判定之選址問題
【例題5】如圖所示，有三個居民小區的位置成三角形，現決定在三個小區之間修建一個購物超市，使超市到三個小區的距離相等，則超市應建在（ ）
A．在兩邊高線的交點處 B．在兩邊中線的交點處
C．在兩邊垂直平分線的交點處 D．在兩內角平分線的交點處
【變式訓練5-1】(24-25八上·湖北武漢七一華源中學·期末)如圖，地圖上有三個小區，現在明明要開一間超市，要求超市到三個小區的距離都相等，你覺得小明如何選址呢？（ ）
A．三條邊的中線的交點 B．三條邊的高線的交點
C．三條邊的垂直平分線的交點 D．三個內角的角平分線的交點
【變式訓練5-2】(25-26九上·陜西榆林第六中學·月考)如圖有三家公司A、、，現要建一個健身中心到三家公司的距離相等，請利用尺規作圖法找出健身中心的位置．（保留作圖痕跡，不寫作法）
【變式訓練5-3】(24-25八下·陜西西安高新陸港中學·月考)已知公路l的兩側有兩個村莊A，B，要在公路旁邊建一個公交車上落站，使上落站到兩個村莊的距離相等，請確定上落站的位置．
【變式訓練5-4】如圖，要把一塊三角形的土地均勻分給甲、乙、丙三家農戶．如果，，要使這三家農戶所得土地的大小、形狀都相同，請你試著分一分，并在圖上畫出來．
【變式訓練5-5】(24-25八上·廣東深圳·期末)如圖，某村計劃在河邊上挖一個小水塘儲水，方便灌溉農田，為了使其到A、B兩塊田地的距離相等．請你用尺規作圖，確定小水塘的位置，不寫作法，保留作圖痕跡．
題型六：尺規作圖作垂直平分線
【例題6】如圖，已知．
(1)利用尺規作圖作出的邊上的中線（其中點在邊上，只保留作圖痕跡，不必寫出作法）；
(2)若，且中線恰好將的周長分成16和11的兩部分，求邊的長．
【變式訓練6-1】(24-25七下·寧夏銀川靈武·期末)如圖，在中．
(1)作邊的垂直平分線，分別與相交于點D、E（尺規作圖，保留痕跡）．
(2)若，求的周長．
【變式訓練6-2】(24-25八上·廣東汕頭·期末)如圖，在四邊形中，．
(1)連接，作的垂直平分線，分別交于點（用尺規作圖法，保留作圖痕跡，不要求寫作法）；
(2)在（）的條件下，連接，求證：．
【變式訓練6-3】(2025·廣東省肇慶市·一模)如圖，點，在線段上，且，，．
(1)求證：；
(2)在線段，上分別找出點，，依次連接點，，，，使得到的四邊形為菱形．（要求：尺規作圖，不寫作法，保留作圖痕跡，標明字母）
【變式訓練6-4】(24-25七下·山東淄博張店區科技苑中學（五四學制）·月考)如圖，在中，．
(1)在邊上找到一點E，使它到兩點A、B的距離相等．（用尺規作圖，保留作圖痕跡，不要求寫作法）；
(2)在（1）的條件下，連接，若，，求的周長．
【變式訓練6-5】(24-25七下·山東煙臺·期末)如圖，已知，請按下列要求解答問題：
(1)用尺規作線段的垂直平分線，垂足是，交于點，連接（保留作圖痕跡，不寫作法）；
(2)若的周長是，的周長是，求的長．
題型七：垂直平分線綜合之最值問題
【例題7】如圖，等腰三角形的底邊長為2，面積為5，腰的垂直平分線分別交，于點，．若點、分別為線段、線段上的動點，則的最小值為（ ）．
A．2 B．3 C．5 D．10
【變式訓練7-1】(24-25八上·江西上饒鄱陽縣湖城學校·期末)如圖，在中，，，，是的垂直平分線，P是直線上的任意一點，則的最小值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【變式訓練7-2】(24-25七下·廣東清遠清城區·期末)如圖，在中，，垂直平分線段，，P是直線上的一點，若周長的最小值是17，則
【變式訓練7-3】(24-25七下·上海民辦至德實驗學校·期末)如圖，等腰三角形底邊的長為，面積是，腰的垂直平分線交于點F，若D為邊上的動點，M為線段上一動點，則最小值為 ．
【變式訓練7-4】如圖，在中，，，，，為的垂直平分線，為直線上的任意一點，則周長的最小值是 ．
【變式訓練7-5】(24-25八下·江西九江第三中學·期末)如圖，在中，已知，，的垂直平分線交于點，交于點，為直線上一點，連結，則的周長最小值是 ．
題型八：垂直平分線的判定綜合（解答題）
【例題8】如圖，在中，，的垂直平分線分別交，于點E，F，的垂直平分線分別交，于點M，N，直線，MN交于點P．
(1)求證：點P在線段的垂直平分線上；
(2)已知，求的度數．
【變式訓練8-1】(24-25八下·廣東深圳福田區深圳中學梅香學校·期中)如圖，是的角平分線，，，垂足分別是，，連接，與交于點．
(1)求證：是的垂直平分線；
(2)若，，，求的面積．
【變式訓練8-2】如圖，中，，垂直平分，交于點F，交于點E，且，連接．
(1)若，求的度數；
(2)若的周長為，求的長．
【變式訓練8-3】如圖，為的角平分線，于點E，于點F，連接交于點G．
(1)試說明：垂直平分；
(2)若，請問滿足什么條件時，？請說明理由．
【變式訓練8-4】(24-25八上·云南云天化中學·期中)如圖，在四邊形中，為的中點，連接、，延長交的延長線于點．

(1)若，求的長；
(2)若四邊形的面積為，求點到邊的距離．
【變式訓練8-5】(24-25八上·內蒙古呼和浩特賽罕區·期中)如圖，是的角平分線，，，垂足分別是E，F，連接，與相交于點G．
(1)求證：是的垂直平分線；
(2)若，，求的面積．
題型九：垂直平分線性質和判定綜合壓軸題
【例題9】【教材呈現】
(1)如圖1，連接的頂點A和它所對的邊的中點D，所得線段叫做的邊上的中線．寫出圖1中的一個等量關系 ．
【嘗試感悟】
(2)小明學了中線這個知識后，遇到這樣一個問題：在中，是的中點，求上的中線的取值范圍．于是小明在小組內經過合作交流，得到了如下的解決方法：如圖2，延長到E，使，請完成證明“”的推理過程．
①求證：．
②求的取值范圍．
【問題解決】
(3)如圖3，在中，是的中線，，且，求長．
【變式訓練9-1】在等腰直角中，，點P是邊上垂直平分線上的一點，連結，交于點M，N是點M關于的對稱點，連結并延長交于點D，連結交于點G．
(1)如圖①，點P在的下方時，①求證：；
②請猜想線段，，三者之間的數量關系，并加以證明；
(2)如圖②，若點P移動到的內部時，其他條件不變，線段，，三者有什么數量關系，請畫出圖形，直接寫出結果，不必證明．
【變式訓練9-2】(24-25八上·廣東佛山順德區建安中學·期末)（1）如圖1，在，，為內一點，且，求證：直線垂直平分，以下是小明的證明思路，請補全框中的分析過程．
要證直線垂直平分，只要證點、點都在的垂直平分線上，即要證 ______=_____，______=_____
（2）如圖（2），在中，，點、分別在、上，且，請你只用無刻度的直尺畫出邊的垂直平分線，并說明理由．
（3）如圖3，在五邊形中，，，，請你只利用無刻度的直尺畫出邊的垂直平分線．
【變式訓練9-3】(24-25八下·山西太原小店區山西大學附屬中學校·月考)綜合與實踐
問題情境：數學課上，同學們利用兩個全等的直角三角形的紙片進行圖形變換的操作探究．如圖，，，．將和按如圖1的方式在同一平面內放置，其中點E與點A重合，邊與邊重合．

初步思考：（1）小麗在圖1的基礎上進行了如下操作：保持不動，將沿著射線的方向平移，邊與邊交于點H，邊與直線交于點G．如圖2，當點H為邊的中點時，判斷線段與線段的數量關系，并說明理由；
問題探究：（2）請在圖2的基礎上進行如下操作：連接，．求證：垂直平分；
拓展延伸：（3）小穎在圖1的基礎上進行如下操作：，保持不動，將沿著射線的方向平移，如圖2，在平移的過程中，當點F平移到的邊所在的直線上時，請直接寫出平移的距離．
【變式訓練9-4】(24-25八上·浙江金華橫店鎮橫店第一初級中學兩校區聯考·月考)（1）如圖1，在中，，，是邊上的中線，延長到點使，連接，把，，集中在中，利用三角形三邊關系可得的取值范圍．請寫出的取值范圍，并說明理由．
（2）如圖2，在中，是邊上的中線，點，分別在，上，且，求證：．小艾同學受到（1）的啟發，在解決（2）的問題時，延長到點，使…，請你幫她完成證明過程．
（3）如圖3，在四邊形中，為鈍角，為銳角，，，，點，分別在，上，且，連接，試探索線段，，之間的數量關系，并加以證明．
【變式訓練9-5】(24-25八上·重慶榮昌區寶城初級中學·期中)八年級某班興趣小組在一次活動中進行了探究實驗活動，請你和他們一起活動吧．
(1)【閱讀理解】如圖（1），在中，若，，求邊上的中線的取值范圍．
小聰同學是這樣思考的：延長至點，使，連接，利用全等將邊轉化到，在中利用三角形的三邊關系即可求出中線的取值范圍．在這個過程中小聰同學證明三角形全等用到的判定方法是：________；中線的取值范圍是________．
(2)【理解與應用】如圖（2），在中，點是的中點，，，其中，連接，試探索與的數量關系，并說明理由．
(3)【問題解決】如圖（3），在中，，點是的中點，點在邊上，點在邊上，若，試猜想線段，，三者之間的數量關系，并證明你的結論．

展開更多......

收起↑