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2025-2026學年北師大版（2024）八年級數學第一學期
第一章 勾股定理（課堂同步鞏固練習）
一、選擇題
1．下列四組線段中，不能作為直角三角形三條邊的是（　　）
A．4，5，6 B．5，12，13
C． D．，，
2．在中，，、、所對邊的長分別為a、b、c，若，，那么的值是（　　）
A．2 B．6 C．20 D．36
3．如圖，一根垂直于地面的旗桿在離地面處撕裂折斷，旗桿頂部落在離旗桿底部處，旗杯折斷之前的高度是（　　）
A． B． C． D．
4．如圖，在中，是的角平分線，，垂足為E．若，則的周長為（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
5．“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，適與岸齊．問：水深幾何？”這是我國數學史上的“葭生池中”問題．即，，，則（　　）
A．8 B．10 C．12 D．13
6．如圖，在的網格中，每個小正方形的邊長均為1，點A，B，C都在格點上，為的高，則的長為（　　）
A． B． C． D．
7．如圖，將長方形紙片ABCD沿AE折疊，使點D恰好落在BC邊上點F處．若 ， ，則EC的長為（　　）
A．2 B． C．3 D．
8．如圖，將一塊有角的直角三角板的直角頂點放在一張寬為的長方形紙帶邊上．另一個頂點在紙帶的另一邊上，測得三角板的較短直角邊與紙帶邊所在的直線成角，則該三角板斜邊的長為（　　）
A． B． C． D．
9．如圖，已知線段 為 的中點， 是平面內的一個動點，在運動過程中保持 不變，連結 ，將 繞點 逆時針旋轉 到 ，連結 ，在點 運動過程中線段 的最大值是（　　）
A． B． C．4 D．
10．如圖，透明的圓柱形容器（容器厚度忽略不計）的高為12cm，底面周長為10cm，在容器內壁離容器底部3cm的點B處有一飯粒，此時一只螞蟻正好在容器外壁，且離容器上沿3cm的點A處，則螞蟻吃到飯粒需爬行的最短路徑是（　　）
A．13cm B．2cm C．cm D．2cm
二、填空題
11．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12，則點C到AB的距離是　 　．
12．如圖，以的兩條直角邊為邊長作兩個正方形，面積分別為，則斜邊　 　．
13．如圖，庭院中有兩棵樹，小鳥要從一棵高10m的樹頂飛到一棵高4m的樹頂上，兩棵樹相距8m，則小鳥至少要飛　 　米．
14．如圖，在中，，，，為的角平分線，則的面積為　 　．
15．如圖，在中，，以和為邊向兩邊分別作正方形，面積分別為和．已知，且，則的值為　 　．
16．已知中，，，，且滿足．則邊上的高為　 　．
17．如圖，以的兩條直角邊和斜邊為邊長分別作正方形，其中正方形、正方形的面積分別為25、144，則陰影部分的面積為　 　．
18．如圖，等腰△BAC中，∠BAC＝120°，BC＝6，P為射線BA上的動點，M為BC上一動點，則PM+CP的最小值為 　 　．
三、解答題
19．如圖，一架梯子長13米，斜靠在一面墻上，梯子底端離墻5米．
（1）這個梯子的頂端距地面有多高？
（2）如果梯子的頂端下滑了5米，那么梯子的底端在水平方向滑動了多少米？
20．某教學樓走廊左右兩側是豎直的墻和（即）．一架梯子在走廊上斜靠在左墻時，梯子底端B到左墻的距離，頂端A到地面的距離．（圖中所有點均在同一平面內）
（1）求梯子的長；
（2）如果保持底端位置B不動，將梯子斜靠在右墻上時，若梯子頂端C距離地面的距離，求該教學樓走廊的寬度的長．
21．如圖所示，在中，，點D為邊上一點，將沿翻折得到，若點在邊上，，，求的長．
22．如圖，數學興趣小組要測量旗桿的高度，同學們發現系在旗桿頂端A的繩子垂到地面多出一段的長度為3米，小明同學將繩子拉直，繩子末端落在點C處，到旗桿底部B的距離為9米．
（1）求旗桿的高度；
（2）小明在C處，用手拉住繩子的末端，后退至觀賽臺的2米高的臺階上，此時繩子剛好拉直，繩子末端落在點E處，問小明需要后退幾米（即的長）？（，結果保留1位小數）
23．物理課上，老師帶著科技小組進行物理實驗．同學們將一根不可拉伸的繩子繞過定滑輪，一端拴在滑塊上，另一端拴在物體上，滑塊放置在水平地面的直軌道上，通過滑塊的左右滑動來調節物體的升降．
實驗初始狀態如圖1所示，物體靜止在直軌道上，物體到滑塊的水平距離是6，物體到定滑輪的垂直距離是8．（實驗過程中，繩子始終保持繃緊狀態，定滑輪、滑塊和物體的大小忽略不計．）
（1）求繩子的總長度；
（2）如圖2，若物體升高7，求滑塊向左滑動的距離．
24．為了測量如圖墻體是否與地面垂直，即是否垂直于點，在沒有角尺、量角器、刻度尺，只有足夠長、足夠多的若干條無彈性的繩子的情況下，三個數學興趣小組分別設計了三種不同解決方案，其中第一、第二組的設計方案如下表．
問題 如何測量墻體是否與地面垂直？
工具 若干條無彈性的繩子
小組 第一小組 第二小組 第三小組
測量方案 模仿古埃及人用結繩的方法，在一條繩子上打個結，得到條線段，且用疊合法使得這條線段都相等，設每一條線段長為．如下圖放置這總長是的繩子，使在上的繩子，在上的繩子，若，則，即于點，否則不垂直． 如圖2，在射線，上分別取點，，放置繩子，對折得到相等的兩段，，放置繩子，用疊合法比較與的長度，若，則墻體與地面垂直，即于點，否則不垂直．
測量示意圖
（1）第一、二小組的方案可行嗎 如果可行，請分別給出證明；如果不可行，請說明理由．
（2）請你代表第三小組，寫出一個方案的應用原理不同于上述第一、第二小組的測量方案，并畫出測量示意圖，然后證明方案的可行性．
25．如圖 ①，直角三角形的兩個銳角分別是40°和50°，它的三邊上分別有一個正方形.執行下面的操作：分別以兩個小正方形的邊為斜邊，向外作一個銳角為40°的直角三角形；再分別以所得到的直角三角形的直角邊為邊，向直角三角形外作正方形.圖②是1次操作后得到的圖形.
（1）試畫出2次操作后得到的圖形.
（2）已知最初的直角三角形斜邊長為1cm，寫出2次操作后得到的圖形中所有正方形的面積和.
（3）如果一直畫下去，你能想象出它的樣子嗎 請借助數學軟件進行探索.
（4）重復上述步驟若干次后得到的圖形稱為“畢達哥拉斯樹”.如果最初的直角三角形是等腰直角三角形，那么此時“畢達哥拉斯樹”會是什么形狀
參考答案
1．【答案】A
2．【答案】B
3．【答案】B
4．【答案】B
5．【答案】C
6．【答案】D
7．【答案】B
8．【答案】B
9．【答案】B
10．【答案】A
11．【答案】
12．【答案】
13．【答案】10
14．【答案】
15．【答案】100
16．【答案】
17．【答案】139
18．【答案】
19．【答案】（1）這個梯子的頂端距地面有12米高
（2）當梯子的頂端下滑5米時，梯子的底端在水平方向后移了米
20．【答案】（1）
（2）
21．【答案】
22．【答案】（1）旗桿的高度為12米
（2）小明需要后退約米
23．【答案】（1）
（2）
24．【答案】（1）解：第一、二小組的方案都可行，
理由如下：
方案一
如下圖所示，
證明：因為，
若，
則，
，
，
；
方案二、
證明：如下圖所示，
，若，則，
，，
又，
，
，
．
（2）解：第三小組的測量方案是：
如下圖所示，
在射線，，上分別取點，，，
放置繩子，，使，
用疊合法比較與的長度，
若，則墻體與地面垂直，即于點，
否則不垂直，
證明：，
是等腰三角形，
若，則是等腰三角形的中線，
根據等腰三角形性質可知，
即．
25．【答案】（1）解：2次操作后的圖形如圖所示
.
（2）解：如圖，根據規律可得因為最初的直角三角形斜邊長為1cm，
所以
所以
所以
所以2次操作后得到的圖形中所有正方形的面積和為
（3）解：形成自相似的分型結構，正方形無限擴展，整體形狀類似樹狀分型.
（4）生成對稱的樹狀分型，分支對稱分布，整體呈現規則的幾何圖形.

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