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(共42張PPT)
10.1 兩角和與差的三角函數(shù)
10.1.2 兩角和與差的正弦
探究點一 化簡求值
探究點二 給值求值與給式求值
探究點三 輔助角公式
探究點四 證明問題
【學習目標】
1.了解兩角和與差的正弦公式的推導過程.
2.掌握兩角和與差的正弦公式、輔助角公式,并能靈活運用公式
進行簡單的求值、計算與證明.
知識點一 兩角和與差的正弦
名稱 簡記符號 公式 使用條件
兩角和的 正弦
兩角差的 正弦
記憶口訣：“正余余正，符號相同”.
【診斷分析】
判斷正誤.（正確的打“√”，錯誤的打“×”）
（1）兩角和與差的正弦公式中的角 , 是任意的.( )
（2）存在 ,,使得 成立.( )
√
√
[解析] 當 , 時, .
（3）對于任意 ,, 都不成立.( )
×
[解析] 當 , 時, 成立.
（4） .( )
√
[解析] .
知識點二 輔助角公式
，
令， ，則有
，其中， 為輔助角.
【診斷分析】
判斷正誤.（正確的打“√”，錯誤的打“×”）
（1） .( )
√
[解析] .
（2） .( )
×
[解析] 方法一：
.
方法二：
.
探究點一 化簡求值
例1（1） __.
[解析]
.
（2） _ __.
[解析] 原式
.
變式（1） 的值為( )
A. B. C. D.
[解析]
.故選A.
√
（2） ( )
A. B.
C. D.
[解析] ，
,
.故選B.
√
［素養(yǎng)小結］
解決給角求值問題的策略:
（1）對于非特殊角的三角函數(shù)式求值問題,一定要本著先整體后局部
的基本原則,若整體符合三角公式的形式,則整體變形,否則進行各局部
的變形;
（2）在逆用兩角和與差的正弦和余弦公式時,首先要看結構是否符合
公式特點,其次看角是否滿足要求.
探究點二 給值求值與給式求值
例2 已知，，且 ， .
（1）求 的值；
解：因為 ，，所以 ，
又，所以 ，
所以， ，
所以 .
（2）求角 的值.
解：方法一：
，又因為，所以 .
方法二：，又因為，所以 .
變式1 已知,,, 是第三象限角，求
的值.
解：因為,,, 是第三象限角，所以
, .
所以
.
變式2 [2024·江蘇連云港高一期中] 已知銳角 ， 滿足
， .
（1）求 的值；
解：因為，，所以 ，
又，所以 ，
所以 ，
又， 為銳角，所以 .
因為 ，所以
.
（2）求 的值.
解：因為 ，所以
，
又因為，所以 .
［素養(yǎng)小結］
解決給值求值與給式求值問題時,一定要注意已知角與所求角之間的
關系,恰當?shù)剡\用拆角、湊角技巧,同時分析角之間的關系,利用角的代
換化異角為同角,具體做法是:（1）當條件中有兩角時,一般把所求角
表示為已知兩角的和或差;（2）當已知角有一個時,可利用誘導公式
把所求角轉化為已知角.
探究點三 輔助角公式
例3 將下列各式寫成 的形式：
（1） ；
解：
.
（2） .
解：原式
.
變式 __ ___.
[解析] 原式 .
方法一：原式
.
[解析] 原式 .
方法二：原式
.
［素養(yǎng)小結］
一般地，對于 形式的代數(shù)式，可以提取 ，
化為 的形式，公式
(或
)稱為輔助角公式.利用輔助角
公式可對代數(shù)式進行化簡或求值.
例4 已知函數(shù)，，求函數(shù)
的值域.
解： ，
因為，所以 ,
所以.所以函數(shù)的值域為 .
變式 已知 .
（1）求 的值域；
解：，所以的值域為 .
（2）若，，求 的值.
解：由（1）得，
因為 ，所以,，，
所以,
所以 .
［素養(yǎng)小結］
（1）用輔助角公式化成一角一函數(shù)，即
的形式.
（2）根據(jù)三角函數(shù)的單調性求其值域.
探究點四 證明問題
例5 已知 ，，且 .
求證： .
證明： ，
， ，
.
，，，易知 ，
，式兩邊同除以 得，
.
［素養(yǎng)小結］
利用公式證明恒等式時：
（1）要注意公式的正用、逆用，尤其是公式的逆用，要求能正確地
找出所給式子與公式右邊的異同，并積極創(chuàng)造條件逆用公式.
（2）注意拆角、拼角的技巧，將未知角用已知角表示出來，使之能
直接運用公式.
對兩角和與差的正弦、余弦公式的理解
（1）兩角和與差的正弦公式與兩角和與差的余弦公式一樣，公式對
分配律不成立，即一般情況下， .
（2）和（差）角公式是誘導公式的推廣，誘導公式是和（差）角公
式的特例.如
.
當 或 中有一個角是 的整數(shù)倍時，通常使用誘導公式較為方便.
（3）使用公式時不僅要會正用，還要能夠逆用公式，如化簡
時，不要將 和
展開，而應采用整體思想，進行如下變形：
.
1.正用逆用以及整體性
例1（1） 已知 為銳角，且，則 ( )
A. B. C. D.
[解析] 由 為銳角，且，得 ，所以
.故選D.
√
（2） ( )
A. B. C. D.
[解析]
.故選A.
√
例2 [2024·廣東佛山高一期中] 已知, ，求
和 的值.
解：由，得 ，則 .
由可得 ，由可得 ，兩式相加可得，故 ，
.
2.三角函數(shù)式的化簡
例3 的值為_ __.
[解析]
.10.1.2　兩角和與差的正弦
【課前預習】
知識點一
1.sin αcos β+cos αsin β　sin αcos β-cos αsin β
診斷分析
(1)√　(2)√　(3)×　(4)√　 [解析] (2)當α=45°,β=0°時,sin(α-β)=sin α-sin β.
(3)當α=30°,β=-30°時,sin(α+β)=sin α+sin β成立.
(4)sin(54°-x)cos(36°+x)+cos(54°-x)sin(36°+x)=sin[(54°-x)+(36°+x)]=sin 90°=1.
知識點二
診斷分析
(1)√　(2)×　[解析] (1)3sin x-cos x=2=2=2sin.
(2)方法一:2sin θ+2cos θ=2=2sin.
方法二:2sin θ+2cos θ=2=2cos.
【課中探究】
探究點一
例1　(1)　(2)　[解析] (1)sin 71°cos 41°-cos 71°sin 41°=sin(71°-41°)=sin 30°=.
(2)原式=sin(x+27°)cos(18°-x)-cos(x+27°)·sin(x-18°)
=sin(x+27°)cos(18°-x)+cos(x+27°)sin(18°-x)=sin[(x+27°)+(18°-x)]=sin 45°=.
變式　(1)A　(2)B　[解析] (1)sin 20°cos 10°-cos 160°sin 10°=sin 20°cos 10°-cos(180°-20°)sin 10°=sin 20°cos 10°+cos 20°sin 10°=sin(20°+10°)=sin 30°=.故選A.
(2)cos 150°=cos(180°-30°)=-cos 30°=-,∵sin 15°=sin(45°-30°)
=sin 45°cos 30°-cos 45°sin 30°=×-×=,
∴cos 150°+2sin 15°=-+2×=.故選B.
探究點二
例2　解:(1)因為α,β∈,所以α-β∈,又sin(α-β)=>0,所以0<α-β<,所以sin α==,cos(α-β)==,所以cos(2α-β)=cos[α+(α-β)]=cos αcos(α-β)-sin αsin(α-β)=×-×=.
(2)方法一:sin β=sin[α-(α-β)]=sin αcos(α-β)-cos αsin(α-β)=×-×=,又因為β∈,所以β=.
方法二:cos β=cos[α-(α-β)]=cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β)=×+×=,又因為β∈,所以β=.
變式1　解:因為cos α=-,α∈(0,π),sin β=-,β是第三象限角,
所以sin α==,cos β=-=-.
所以sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β=×-×=-.
變式2　解:(1)因為0<α<,0<β<,所以-<α-β<,又sin(α-β)=>0,所以0<α-β<,
所以cos(α-β)==,
又cos α=,α為銳角,所以sin α==.
因為2α-β=α+(α-β),
所以sin(2α-β)=sin[α+(α-β)]=sin αcos(α-β)+cos αsin(α-β)=×+×=.
(2)因為β=α-(α-β),
所以sin β=sin[α-(α-β)]=sin αcos(α-β)-cos αsin(α-β)=×-×=,
又因為0<β<,所以β=.
探究點三
例3　解:(1)sin x-cos x=2=
2=2sin.
(2)原式==
=
cos=cos=sin.
變式　-　[解析] 原式=2.
方法一:原式=2=
2=2sin=
2sin=-.
方法二:原式=2=
-2=-2cos=
-2cos=-.
例4　解:f(x)=2sin-2cos x=sin x-cos x=2sin,因為x∈,
所以x-∈,
所以≤sin≤1.所以函數(shù)f(x)的值域為[1,2].
變式　解:(1)f(x)=sin x+cos=sin x+
=cos x-sin x=cos,所以f(x)的值域為[-1,1].
(2)由(1)得cos=,因為α∈,所以α+∈,所以sin===,
所以sin α=sin =sincos -cossin =×-×=.
探究點四
例5　證明:∵sin(α+2β)=sin α,
∴sin[(α+β)+β]=sin[(α+β)-β],
∴sin(α+β)cos β+cos(α+β)sin β=[sin(α+β)cos β-cos(α+β)sin β],
∴sin(α+β)cos β=6cos(α+β)sin β①.
∵α,β∈,∴ α+β∈(0,π),易知cos(α+β)≠0,cos β≠0,∴①式兩邊同除以cos(α+β)cos β得,tan(α+β)=6tan β.10.1.2　兩角和與差的正弦
1.A　[解析] sin 35°cos 5°-cos 35°sin 5°=sin(35°-5°)=sin 30°=.
2.C　[解析] sin(-285°)=-sin(360°-75°)=sin 75°=sin(45°+30°)=sin 45°cos 30°
+cos 45°sin 30°=×+× =.故選C.
3.B　[解析] sin 15°+cos 15°=×=sin(15°+45°)=
sin 60°=.故選B.
4.C　[解析] 因為cos B=,B∈(0,π),所以sin B==,又A=,
所以sin C=sin[π-(A+B)]=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B=×+×=.故選C.
5.A　[解析] 原式=·sin 40°=
==
===-1.
6.A　[解析] sin+sin=sin+sin=cos+sin=2=2=2sin=2sin.
7.D　[解析] 由題意知sin αcos β-cos αsin β=,即sin(α-β)=,又0<β<α<,∴cos(α-β)==.∵cos α=,0<α<,∴sin α=,∴sin β=sin[α-(α-β)]=
sin αcos(α-β)-cos αsin(α-β)=,又0<β<,∴β=.故選D.
8.ACD　[解析] 對于A選項,cos 80°cos 20°+sin 80°sin 20°=cos(80°-20°)=cos 60°,故A正確;對于B選項,cos 75°=cos(45°+30°)=cos 45°cos 30°-sin 45°sin 30°,故B錯誤;對于C選項,sin=sin αcos+cos αsin=sin α+cos α,故C正確;對于D選項,sin(α+45°)sin α+cos(α+45°)cos α=cos[(α+45°)-α]=cos 45°=sin 45°,故D正確.故選ACD.
9.ACD　[解析] f(x)=sin 2x+sin=sin 2x+sin 2x+cos 2x=sin.對于A,f(x)的最小正周期T==π,故A正確;對于B,f=sin=≠0,故B錯誤;對于C,f(x)max=,故C正確;對于D,f=sin=,故D正確.故選ACD.
10.-　[解析] 由已知得cos [(α+β)-α]=cos β=-,又∵450°<β<540°,∴sin β=,∴sin(60°-β)=×-×=-.
11.-1　[解析] 因為sin=-,所以cos x+cos=cos x+sin x==sin=-1.
12.或　[解析] 當A,B均為銳角時,cos A==,cos B==,所以sin(A-B)=sin Acos B-cos Asin B=×-×=;當A為鈍角,B為銳角時,
sin A=sin(π-A)>sin B,且0<π-A<,0B,即A+B<π,符合要求,
所以cos A=-=-,cos B==,所以sin(A-B)=sin Acos B-
cos Asin B=×-×=;當A為銳角,B為鈍角時,sin A>sin(π-B)=sin B,且0<π-B<,0π,不符合要求;顯然A,B不可能同為鈍角.綜上可知,sin(A-B)的值為或.
13.解:(1)由α,β∈,得α-β∈,由sin(α-β)=,得cos(α-β)==,
由cos α=,得sin α==,
則sin(2α-β)=sin[(α-β)+α]=sin(α-β)cos α+cos(α-β)sin α=×+×=.
(2)sin β=sin [α-(α-β)]=sin αcos(α-β)-cos αsin(α-β)=×-×=,
又β∈,故β=.
14.證明:左邊==
=
=
=
-=
-=-=右邊,得證.
15.　[解析] 由題意可得β=α+,y1=sin α,y2=sin β=sin=-sin α+cos α,所以y1-y2=sin α+sin α-cos α==sin,因為α∈,所以α-∈,則sin∈,所以y1-y2=sin∈.
16.解:(1)由f=Asin=Asin=A·=,得A=3.
(2)由f(θ)-f(-θ)=,得3sin-3sin=,即3-3=,故sin θ=.
因為θ∈,所以cos θ=,所以f=3sin=3sin=3cos θ=.10.1.2　兩角和與差的正弦
【學習目標】
　　1.了解兩角和與差的正弦公式的推導過程.
　　2.掌握兩角和與差的正弦公式、輔助角公式,并能靈活運用公式進行簡單的求值、計算與證明.
◆ 知識點一　兩角和與差的正弦
名稱 簡記符號 公式 使用條件
兩角和的正弦 S(α+β) sin(α+β)=　　　　 α,β∈R
兩角差的正弦 S(α-β) sin(α-β)=　　　　 α,β∈R
記憶口訣:“正余余正,符號相同”.
【診斷分析】 判斷正誤.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)兩角和與差的正弦公式中的角α,β是任意的. (　 )
(2)存在α,β∈R,使得sin(α-β)=sin α-sin β成立. (　 )
(3)對于任意α,β∈R,sin(α+β)=sin α+sin β都不成立. (　 )
(4)sin(54°-x)cos(36°+x)+cos(54°-x)sin(36°+x)=1. (　 )
◆ 知識點二　輔助角公式
asin x+bcos x=,
令cos φ=,sin φ=,則有asin x+bcos x=(cos φsin x+sin φcos x)
=sin(x+φ),其中tan φ=,φ為輔助角.
【診斷分析】 判斷正誤.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)3sin x-cos x=2sin. (　 )
(2)2sin θ+2cos θ=2cos. (　 )
◆ 探究點一　化簡求值
例1 (1)sin 71°cos 41°-cos 71°sin 41°=　　　　.
(2)sin(x+27°)cos(18°-x)-sin(63°-x)·sin(x-18°)=　　　　.
變式 (1)sin 20°cos 10°-cos 160°sin 10°的值為 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A. B.- C. D.-
(2)cos 150°+2sin 15°= (　 )
A. B.
C. D.
[素養(yǎng)小結]
解決給角求值問題的策略:
(1)對于非特殊角的三角函數(shù)式求值問題,一定要本著先整體后局部的基本原則,若整體符合三角公式的形式,則整體變形,否則進行各局部的變形;
(2)在逆用兩角和與差的正弦和余弦公式時,首先要看結構是否符合公式特點,其次看角是否滿足要求.
◆ 探究點二　給值求值與給式求值
例2 已知cos α=,sin(α-β)=,且α,β∈.
(1)求cos(2α-β)的值;
(2)求角β的值.
變式1 已知cos α=-,α∈(0,π),sin β=-,β是第三象限角,求sin(α+β)的值.
變式2 [2024·江蘇連云港高一期中] 已知銳角α,β滿足cos α=,sin(α-β)=.
(1)求sin(2α-β)的值;
(2)求β的值.
[素養(yǎng)小結]
解決給值求值與給式求值問題時,一定要注意已知角與所求角之間的關系,恰當?shù)剡\用拆角、湊角技巧,同時分析角之間的關系,利用角的代換化異角為同角,具體做法是:(1)當條件中有兩角時,一般把所求角表示為已知兩角的和或差;(2)當已知角有一個時,可利用誘導公式把所求角轉化為已知角.
◆ 探究點三　輔助角公式
例3 將下列各式寫成Asin(ωx+φ)的形式:
(1)sin x-cos x;
(2)sin+cos.
變式 sin-cos=　　　　.
[素養(yǎng)小結]
一般地,對于asin α+bcos α形式的代數(shù)式,可以提取,化為Asin(ωx+φ)的形式,公式asin α+bcos α=sin(α+φ)(或asin α+bcos α=cos(α-φ))稱為輔助角公式.利用輔助角公式可對代數(shù)式進行化簡或求值.
例4 已知函數(shù)f(x)=2sin-2cos x,x∈,求函數(shù)f(x)的值域.
變式 已知f(x)=sin x+cos.
(1)求f(x)的值域;
(2)若f(α)=,α∈,求sin α的值.
[素養(yǎng)小結]
(1)用輔助角公式化成一角一函數(shù),即asin x+bcos x=sin(x+φ)的形式.
(2)根據(jù)三角函數(shù)的單調性求其值域.
◆ 探究點四　證明問題
例5 已知α,β∈,且sin(α+2β)=sin α.
求證:tan(α+β)=6tan β.
[素養(yǎng)小結]
利用公式證明恒等式時:
(1)要注意公式的正用、逆用,尤其是公式的逆用,要求能正確地找出所給式子與公式右邊的異同,并積極創(chuàng)造條件逆用公式.
(2)注意拆角、拼角的技巧,將未知角用已知角表示出來,使之能直接運用公式.10.1.2　兩角和與差的正弦
一、選擇題
1.sin 35°cos 5°-cos 35°sin 5°= (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A. B.1
C.2 D.2sin 40°
2.sin(-285°)= (　 )
A. B.-
C. D.-
3.sin 15°+cos 15°的值是 (　 )
A.- B.
C. D.
4.[2024·廣州越秀區(qū)高一期末] 在△ABC中,A=,cos B=,則sin C= (　 )
A. B.-
C. D.-
5.(tan 10°-)·sin 40°= (　 )
A.-1 B.
C.- D.1
6.sin+sin的化簡結果是 (　 )
A.2sin
B.2sin
C.2sin
D.2sin
7.[2024·江蘇江都中學高一月考] 定義運算=ad-bc,若cos α=,=,0<β<α<,則β等于 (　 )
A. B.
C. D.
8.(多選題)下列各式正確的是 (　 )
A.cos 80°cos 20°+sin 80°sin 20°=cos 60°
B.cos 75°=cos 45°cos 30°+sin 45°sin 30°
C.sin=cos α+sin α
D.sin(α+45°)sin α+cos(α+45°)cos α=sin 45°
9.(多選題)已知函數(shù)f(x)=sin 2x+sin,則 (　 )
A.f(x)的最小正周期為π
B.曲線y=f(x)關于點對稱
C.f(x)的最大值為
D.曲線y=f(x)關于直線x=對稱
二、填空題
10.若cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α=-,且450°<β<540°,則sin(60°-β)=　　　　.
11.已知sin=-,則cos x+cos=　　　　.
12.[2024·浙江學軍中學高一月考] 在△ABC中,sin A=,sin B=,則sin(A-B)=　　　　.
三、解答題
13.[2024·江蘇新海高級中學月考] 已知α,β∈,且cos α=,sin(α-β)=.
(1)求sin(2α-β)的值;
(2)求β的值.
14.證明:-2cos(A-B)=-.
15.以原點O為頂點,以Ox為始邊作角α,β,角α的終邊與單位圓交于點P(x1,y1),將角α的終邊逆時針旋轉得到角β的終邊,角β的終邊與單位圓交于點Q(x2,y2),則y1-y2的取值范圍為　　　　.
16.已知函數(shù)f(x)=Asin,x∈R,且f=.
(1)求A的值;
(2)若f(θ)-f(-θ)=,θ∈,求f.

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