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(共31張PPT)
10.1 兩角和與差的三角函數
10.1.3 兩角和與差的正切
探究點一 正切公式的正用
探究點二 正切公式的變形使用
探究點三 正切公式的綜合應用
【學習目標】
1.了解兩角和與差的正切公式的推導過程.
2.掌握兩角和與差的正切公式,并能靈活運用公式進行簡單的求
值、計算與證明.
知識點 兩角和與差的正切公式
1.兩角和與差的正切公式
名稱 簡記符號 公式 使用條件
兩角和 的正切
兩角差 的正切
2.兩角和與差的正切公式的變形
（1） 的變形
_________________________.
___________.
_ ____________.
（2） 的變形
_________________________.
___________.
_ ____________.
【診斷分析】
判斷正誤.（正確的打“√”，錯誤的打“×”）
（1）對于任意 ，， 都成立.( )
×
[解析] 當 時，等式不成立.
（2） .( )
√
[解析] ,
,
.
探究點一 正切公式的正用
例1（1） 已知，，求 的值.
[解析] .
（2）已知 ， 均為銳角，，，求 的值.
[解析] 因為， ，
所以.
因為 ， 均為銳角，所以，所以 .
變式1 [2024·南京六校高一月考] 已知 ， 均為銳角，
，，則 的值為__.
[解析] 因為 ， 均為銳角，， ，所以
，，故 .
變式2 已知 , 均為銳角，， ，求
的值.
解：因為 , 均為銳角，所以 .
又因為 ，所以，
所以 .因為，所以 ，
所以 .
［素養小結］
（1）注意用已知角來表示未知角.
（2）利用公式 求角的步驟：
①計算待求角的正切值.
②縮小待求角的范圍，特別注意隱含的信息.
③根據角的范圍及三角函數值確定角.
探究點二 正切公式的變形使用
例2（1） ____.
[解析] 原式 .
（2）計算： .
解： ，
所以 .
變式 若銳角 ， 滿足，求
的值.
解：， ，
.
又 ， 均為銳角， ， .
［素養小結］
兩角和與差的正切公式有兩種變形形式：
或
.當 為特殊角時，常考慮使用變
形形式①，遇到1與正切的乘積的和（或差）時常用變形形式②.合理
選用公式解題能起到快速、簡捷的效果.
注意正切公式的結構特征，遇到兩角正切的和與差，構造成與公式
一致的形式，當式子中出現，1， 這些特殊角的三角函數值時，
往往是“由值變角”的提示.
探究點三 正切公式的綜合應用
例3 求證:當 時，
.
證明：因為 ，
所以 .
例4 高度為的鏡子掛在墻面上，鏡子的下端離地面 ，一人
直立時，眼睛離地面 ，當此人離墻面多遠時，看鏡子上、下端
的視角最大.
解：如圖所示，為鏡子高度， 為鏡子下端離地面的
距離，為人的眼睛離地面的距離，，垂足為 ，
則,，設 ，
則 ，當且僅當時取等號，此時 最大，即當此人離墻面的距離為 時，看鏡子上、下端的視角最大.
變式1 證明：在斜三角形 中， .
證明：在斜三角形中，由 ，
得 ，
化簡得 ，
因為為斜三角形，所以,, ，
所以 .
變式2 如圖，為鈍角三角形，， 為垂
足，在的外部，且 ，則
__.
[解析] 且 ，
， ，故
.
［素養小結］
應用公式解決實際問題時，首先根據條件畫出圖形，再根據圖形，
將所求角轉化為已知角的和或差，再利用公式進行求解.
對兩角和與差的正切公式的理解
（1）公式的適用范圍：由正切函數的定義可知 ， ，
（或）的終邊不能落在 軸上.
（2）公式的逆用：一方面要熟記公式的結構，另一方面要注意常值
代換，如，， 等.特別要注意
， .
（3）對于公式， 可記為“分子同，分母異”.
（4）公式的變形：只要見到 ， 時，要有靈
活應用公式的意識.特別是 ， 容易
與根與系數的關系聯系，應注意此類題型.
1.求值
例1（1） 若，則 ( )
A. B. C.1 D.3
[解析] 因為 ，所以 ，
則 .故選B.
√
（2）[2024·鹽城五校高一月考] ___.
2
[解析] 因為 ，
整理得，
所以 .
2.兩角和與差的三角函數公式的應用
例2 已知正方形的邊長為1，點，分別在邊， 上，設
， .
（1）若，求 的最大值；
解：在中， ，在中， .
因為，所以 ， ，所以
，
所以 ，
當時，取得最小值 ，
所以的最大值為 .
（2）若的周長為2，求 的大小.
解：因為 的周長為2，所以 ，
即 ，同時平方可得
，
化簡得 ，
所以 ，又 ，
所以 ，所以 .10.1.3　兩角和與差的正切
【課前預習】
知識點
1.　
2.(1)tan(α+β)(1-tan αtan β)　tan(α+β)　1-
(2)tan(α-β)(1+tan αtan β)　tan(α-β)　-1
診斷分析
(1)×　(2)√　[解析] (1)當α=時,等式不成立.
(2)∵=tan(12°+33°)=tan 45°=1,∴tan 12°+tan 33°=1-tan 12°tan 33°,
∴tan 12°+tan 33°+tan 12°tan 33°=1.
【課中探究】
探究點一
例1　解析:(1)tan β=tan[(α+β)-α]===3.
(2)因為tan α=,tan β=,所以tan(α+β)===1.因為α,β均為銳角,所以α+β∈(0,π),所以α+β=.
變式1　　[解析] 因為α,β均為銳角,tan α=,tan β=,所以0<α+β<π,tan(α+β)===1,故α+β=.
變式2　解:因為α,β均為銳角,所以α+β∈(0,π).
又因為cos(α+β)=-,所以sin(α+β)==,所以tan(α+β)=-2.
因為tan α=,所以tan 2α==-,所以tan(α-β)=tan[2α-(α+β)]==-.
探究點二
例2　(1)　[解析] 原式==tan(45°+15°)=tan 60°=.
(2)解:tan 73°-tan 13°=tan 60°(1+tan 73°tan 13°)=(1+tan 73°tan 13°),
所以tan 73°-tan 13°-tan 73°tan 13°=.
變式　解:∵(1+tan α)(1+tan β)=1+(tan α+tan β)+3tan αtan β=4,
∴tan α+tan β=(1-tan αtan β),
∴tan(α+β)==.
又∵α,β均為銳角,∴0°<α+β<180°,∴α+β=60°.
探究點三
例3　證明:因為α+β=k·180°+45°(k∈Z),所以(1+tan α)(1+tan β)=1+tan α+tan β+
tan αtan β=1+tan(α+β)(1-tan αtan β)+tan αtan β=1+tan(45°+k·180°)(1-tan αtan β)+
tan αtan β=1+tan 45°(1-tan αtan β)+tan αtan β=1+1-tan αtan β+tan αtan β=2(k∈Z).
例4　解:如圖所示,CD為鏡子高度,CF為鏡子下端離地面的距離,AE為人的眼睛離地面的距離,AB⊥CF,垂足為B,則BC=1,CD=1,設AB=x(x>0),
則tan∠CAD=tan(∠BAD-∠BAC)===≤,當且僅當x=時取等號,此時∠CAD最大,即當此人離墻面的距離為 m時,看鏡子上、下端的視角最大.
變式1　證明:在斜三角形ABC中,由A+B+C=π,得tan C=-tan(A+B)=-,
化簡得tan A+tan B+tan C=tan Atan Btan C,
因為△ABC為斜三角形,所以tan A,tan B,tan C≠0,
所以++=1.
變式2　　[解析] ∵AD⊥BC且BD∶CD∶AD=2∶3∶6,∴tan∠BAD==,
tan∠CAD==,故tan∠BAC=tan(∠CAD-∠BAD)==
=.10.1.3　兩角和與差的正切
1.D　[解析] ∵tan α=,∴tan===7.故選D.
2.C　[解析] ∵tan===-,∴tan α=-2.∵點P(1,a)在角α的終邊上,∴tan α==a,∴a=-2.
3.D　[解析] tan 2α=tan[(α+β)+(α-β)]===.
4.D　[解析] 原式===tan(30°-75°)=-tan 45°=-1.故選D.
5.D　[解析] 因為cos α=,α∈,所以sin α=-=-,可得tan α==-,所以tan(α-β)===-2.故選D.
6.B　[解析] 如圖,連接BC.在Rt△ABC中,BC=2,AC=6,則tan α==.在Rt△DEF中,EF=2,DE=4,則tan β==,所以tan(α+β)===1,又α,β∈(0°,45°),所以α+β=45°.故選B.
7.C　[解析] 由A,B為△ABC的內角,tan Atan B>1,可得A,B都是銳角,即tan A和tan B都是正數,∴tan(A+B)=<0,故A+B為鈍角.由三角形的內角和為180°可得,內角C為銳角,故△ABC是銳角三角形,故選C.
8.D　[解析] 因為α+β=,所以tan(α+β)=tan=-1,所以=-1,
所以tan α+tan β=tan αtan β-1,所以(1-tan α)(1-tan β)=1-(tan α+tan β)+tan αtan β=
1-(tan αtan β-1)+tan αtan β=2.故選D.
9.ABC　[解析] tan 25°+tan 35°+tan 25°tan 35°=tan 60°·(1-tan 25°·tan 35°)
+tan 25°tan 35°=,故A正確;2(sin 35°cos 25°+sin 55°cos 65°)
=2(sin 35°cos 25°+cos 35°sin 25°)=2sin(35°+25°)=,故B正確;==tan 60°=,故C正確;(tan 10°-)·=(tan 10°-
tan 60°)·=·=·=-2,故D錯誤.故選ABC.
10.　[解析] 因為tan(α+β)=,所以1-tan αtan β===,
所以tan α·tan β=1-=.
11.(1-a)　[解析] ∵tan(28°+32°)==,∴tan 28°+tan 32°=(1-a).
12.　[解析] 由根與系數的關系可得tan α+tan β=,tan αtan β=,故tan(α+β)===1,又tan α>0,α∈(0,π),所以α∈,同理可得β∈,故α+β∈(0,π),所以α+β=.
13.解:(1)因為sin α=,且α為第二象限角,所以cos α=-=-,所以tan α==-.
(2)tan(2α+β)=tan[α+(α+β)]===-.
14.解:(1)由條件得cos α=,cos β=,因為角α,β是銳角,所以sin α=,sin β=,故tan α=,tan β=,則tan(α-β)==.
(2)由(1)得tan(α+β)==1,又角α,β是銳角,所以0<α+β<π,故α+β=.
15.等腰三角形　[解析] tan A=tan[π-(B+C)]=-tan(B+C)===-,∵0°16.解:(1)因為在直角三角形ABC中,∠CAB=30°,∠B=90°,BC=m,所以AB=m.
因為DE=5,點E是DC的中點,所以DB=2DE+BC=10+m,所以tan∠DAB==.
(2)由(1)知tan∠DAB=,其中BC=m,在直角三角形EAB中,tan∠EAB=,又因為tan∠DAE=,∠DAB=∠EAB+∠DAE,
所以tan∠DAB=tan(∠EAB+∠DAE)=,
即=,解得m=或m=5,
因為AC>5,所以m=5,所以AC==10,
所以扶梯AC的長度為10米.10.1.3　兩角和與差的正切
【學習目標】
　　1.了解兩角和與差的正切公式的推導過程.
　　2.掌握兩角和與差的正切公式,并能靈活運用公式進行簡單的求值、計算與證明.
◆ 知識點　兩角和與差的正切公式
1.兩角和與差的正切公式
名稱 簡記符號 公式 使用條件
兩角和的正切 T(α+β) tan(α+β)=　　　　 α,β,α+β均不等于kπ+(k∈Z)
兩角差的正切 T(α-β) tan(α-β)=　　　　 α,β,α-β均不等于kπ+(k∈Z)
2.兩角和與差的正切公式的變形
(1)T(α+β)的變形
tan α+tan β=　　　　　　　　.
tan α+tan β+tan αtan βtan(α+β)=　.
tan αtan β=　　　　　　　　　.
(2)T(α-β)的變形
tan α-tan β=　　　　　　　　.
tan α-tan β-tan αtan βtan (α-β)=　.
tan αtan β=　　　　　　　　.
【診斷分析】 判斷正誤.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)對于任意α,β∈R,tan(α+β)=都成立. (　 )
(2)tan 12°+tan 33°+tan 12°tan 33°=1. (　 )
◆ 探究點一　正切公式的正用
例1 (1)已知tan α=-2,tan(α+β)=,求tan β的值.
(2)已知α,β均為銳角,tan α=,tan β=,求α+β的值.
變式1 [2024·南京六校高一月考] 已知α,β均為銳角,tan α=,tan β=,則α+β的值為　　　　.
變式2 已知α,β均為銳角,tan α=,cos(α+β)=-,求tan(α-β)的值.
[素養小結]
(1)注意用已知角來表示未知角.
(2)利用公式T(α+β)求角的步驟:
①計算待求角的正切值.
②縮小待求角的范圍,特別注意隱含的信息.
③根據角的范圍及三角函數值確定角.
◆ 探究點二　正切公式的變形使用
例2 (1)=　　　　.
(2)計算:tan 73°-tan 13°-tan 73°tan 13°.
變式 若銳角α,β滿足(1+tan α)(1+tan β)=4,求α+β的值.
[素養小結]
兩角和與差的正切公式有兩種變形形式:
①tan α±tan β=tan(α±β)(1 tan αtan β)或②1 tan α·tan β=.當α±β為特殊角時,常考慮使用變形形式①,遇到1與正切的乘積的和(或差)時常用變形形式②.合理選用公式解題能起到快速、簡捷的效果.
注意正切公式的結構特征,遇到兩角正切的和與差,構造成與公式一致的形式,當式子中出現,1,這些特殊角的三角函數值時,往往是“由值變角”的提示.
◆ 探究點三　正切公式的綜合應用
例3 求證:當α+β=k·180°+45°(k∈Z)時,(1+tan α)(1+tan β)=2.
例4 高度為1 m的鏡子掛在墻面上,鏡子的下端離地面2.7 m,一人直立時,眼睛離地面1.7 m,當此人離墻面多遠時,看鏡子上、下端的視角最大.
變式1 證明:在斜三角形ABC中,++=1.
變式2 如圖,△ABC為鈍角三角形,AD⊥BC,D為垂足,D在△ABC的外部,且BD∶CD∶AD=2∶3∶6,則tan∠BAC=　　　　.
[素養小結]
應用公式解決實際問題時,首先根據條件畫出圖形,再根據圖形,將所求角轉化為已知角的和或差,再利用公式進行求解.10.1.3　兩角和與差的正切
一、選擇題
1.已知tan α=,則tan= (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.-7 B.-1
C. D.7
2.已知點P(1,a)在角α的終邊上,tan=-,則實數a的值是 (　 )
A.2 B.
C.-2 D.-
3.若tan(α+β)=,tan(α-β)=,則tan 2α= (　 )
A. B.
C. D.
4.= (　 )
A.- B.-
C.-2 D.-1
5.[2024·南京六校高一期末] 已知cos α=,α∈,tan β=,則tan(α-β)的值為 (　 )
A.- B.-
C.- D.-2
6.八角星紋是一種有八個均等的向外突出的銳角的幾何紋樣(如圖①),它具有組合性強、結構穩定等特點.有的八角星紋中間鏤空出一個正方形,有的由八個菱形組成,內部呈現米字形線條.八角星紋目前仍流行在中國南方的挑花和織錦中.在如圖②所示的八角星紋中,各個最小的三角形均為全等的等腰直角三角形,中間的四邊形是邊長為2的正方形,在圖②的基礎上連接線段,得到角α,β,如圖③所示,則α+β= (　 )
A.30° B.45°
C.60° D.75°
7.在△ABC中,若tan Atan B>1,則△ABC是 (　 )
A.直角三角形
B.鈍角三角形
C.銳角三角形
D.不能確定
8.[2024·湖北部分重點高中高一月考] 若α+β=,則(1-tan α)(1-tan β)的值為 (　 )
A. B.1
C. D.2
9.(多選題)下列式子的結果為的有 (　 )
A.tan 25°+tan 35°+tan 25°tan 35°
B.2(sin 35°cos 25°+sin 55°cos 65°)
C.
D.(tan 10°-)·
二、填空題
10.已知tan α+tan β=2,tan(α+β)=4,則tan α·tan β=　　　　.
11.若tan 28°tan 32°=a,則tan 28°+tan 32°=　　　　.
12.tan α,tan β是方程6x2-5x+1=0的兩個實數根,若α,β∈(0,π),則α+β=　　　　.
三、解答題
13.已知sin α=,且α為第二象限角,
(1)求cos α,tan α的值;
(2)若tan(α+β)=,求tan(2α+β)的值.
14.在平面直角坐標系xOy中,以原點為頂點,以x軸的非負半軸為始邊作兩個銳角α,β,它們的終邊分別與單位圓相交于A,B兩點,已知A,B的橫坐標分別為,.
(1)求tan(α-β)的值;
(2)求α+β的值.
15.在△ABC中,tan B+tan C+tan Btan C=,且tan A+tan B+1=tan Atan B,則△ABC的形狀是　　　　　　.
16.[2024·湖北重點中學高一期中] 某大型商場為迎接新年的到來,在自動扶梯AC(AC>5米)的C點的上方懸掛豎直高度為5米的廣告牌DE.如圖所示,BC⊥AB,廣告牌底部點E正好為DC的中點,電梯AC的坡角∠CAB=30°.某人在A點處觀測到廣告牌的視角∠DAE的正切值為.
(1)設BC的長為m米,用m表示tan∠DAB;
(2)求扶梯AC的長.

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