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(共41張PPT)
10.2 二倍角的三角函數(shù)
探究點一 利用倍角公式求解
探究點二 給值求值
探究點三 利用倍角公式證明
探究點四 倍角公式在實際生活中的應(yīng)用
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1.會從兩角和的正弦、余弦、正切公式導(dǎo)出二倍角的正弦、余弦、
正切公式.
2.能熟練運用二倍角的公式進(jìn)行簡單的恒等變換,并能靈活地將
公式變形應(yīng)用.
知識點一 倍角公式
1. ,令 ,得
.
2. ,令 ,得
___________ _ .
3. ,令 ,得 .
【診斷分析】
判斷正誤.（正確的打“√”，錯誤的打“×”）
（1） 是 的倍角， 是 的倍角.( )
√
[解析] 是 的2倍， 是 的2倍.
（2）二倍角的正弦、余弦、正切公式的適用范圍是任意角.( )
×
[解析] 二倍角的正弦、余弦公式對任意角都是適用的，而二倍角的
正切公式，要求 且 .
（3）存在角 ，使得 成立.( )
√
[解析] 當(dāng)時， .
知識點二 二倍角公式的逆用
_______, ________，
_______, _______.
【診斷分析】
1.判斷正誤.（正確的打“√”，錯誤的打“×”）
（1） .( )
×
[解析] .
（2） .( )
√
[解析] .
2.你能用 與 表示 嗎？試試看.
解： .
知識點三 升冪公式與降冪公式
升冪公式:
________, _______,
________, _______.
降冪公式:
_____________,_____________， _______.
探究點一 利用倍角公式求解
例1 求下列各式的值:
（1） ;
解： .
（2） ;
解： .
（3） .
解： .
變式 求下列各式的值:
（1） ;
解： .
（2） ;
解： .
（3） .
解： .
［素養(yǎng)小結(jié)］
對于給角求值問題，一般有兩類：
（1）直接正用、逆用倍角公式，結(jié)合誘導(dǎo)公式和同角三角函數(shù)關(guān)系
對已知式子進(jìn)行轉(zhuǎn)化，一般可以化為特殊角.
（2）若形式為幾個非特殊角的三角函數(shù)式相乘，則一般逆用倍角的
正弦公式，在求解過程中，需利用互余關(guān)系配湊出應(yīng)用倍角公式的
條件，使得問題出現(xiàn)可以連用倍角的正弦公式的形式.
探究點二 給值求值
例2（1） 已知,,則____, ______,
____, _ ___.
[解析] 由,,得 ,
,
, .
（2）已知,,求 和 的值.
解：由,得,則,即 .
因為,所以,所以 ,
故 .
變式（1） 若，則 __.
[解析] 因為 ，
所以
.
（2）已知 為銳角，若，則 ____.
[解析] 令，則，由得， .
因為 為銳角，所以，所以，即 ，
所以 ，
所以 .
（3）已知，求 ， 的值.
解： ，
因為，所以 . ，
則 .
［素養(yǎng)小結(jié)］
（1）條件求值問題常有兩種解題途徑：
①對題設(shè)條件變形，把條件中的角、函數(shù)名向結(jié)論中的角、函數(shù)名
靠攏.
②對結(jié)論變形，將結(jié)論中的角、函數(shù)名向題設(shè)條件中的角、函數(shù)名
靠攏，以便將題設(shè)條件代入結(jié)論.
（2）一個重要結(jié)論： .
探究點三 利用倍角公式證明
例3 證明： .
證明： .
變式 求證： .
證明：左邊 右邊.
［素養(yǎng)小結(jié)］
證明與三角函數(shù)有關(guān)問題的一般步驟:找出角、函數(shù)名稱、式子結(jié)構(gòu)
等方面的差異,根據(jù)“復(fù)角化單角”“異名化同名”“切化弦”“變量集中”
等原則,消除差異.
拓展 已知 ,,且, ,
求證: .
證明：由得 ①，
由得 .
，，，， ，由①②得
，即，即 ，
又 , .
探究點四 倍角公式在實際生活中的應(yīng)用
例4 [2024·江蘇無錫高一期末] 如圖，有一塊半徑為2的半圓形鋼板，
其中為圓心，計劃裁剪成等腰梯形的形狀，它的下底 是半
圓的直徑，上底的端點在圓周上.記梯形的周長為 ，
.
（1）將表示成 的函數(shù)；
解：由是半圓的直徑，得 ，
則 ，
過作交于，連接 ，如圖，
則 , ，
故 ，
所以, .
（2）求梯形 周長的最大值.
解：由（1）知，
, ，
設(shè) ，
則，顯然當(dāng)時， 有最大值10，
所以梯形 周長的最大值是10.
變式 如圖，點在直徑的半圓上移動，過作半圓的切線
且， ，問 為何值時，四邊形 面積最大？
解：連接，如圖所示， 為半圓的直徑， ，
又， ， ， .
又與半圓相切于點 ， ，
.
， ，
當(dāng)，即時， 最大.
［素養(yǎng)小結(jié)］
利用三角函數(shù)知識解決實際問題，關(guān)鍵是目標(biāo)函數(shù)的構(gòu)建，自變量
常常選取一個恰當(dāng)?shù)慕嵌龋⒁饨Y(jié)合實際問題確定自變量的范圍.
1.對倍角公式的理解
（1）公式的特征:公式左邊是含 的三角函數(shù)的一次式,右邊是含
的三角函數(shù)的二次式,即從左到右是升冪縮角,從右到左是降冪擴(kuò)角.
（2）成立的條件:在公式,中,角 可以為任意角；只有當(dāng)
且時公式 才成立.
（3）倍角公式中的“倍角”是相對的,不僅限于 是 的二倍形式，
只要兩個角的比值等于2即可，如 是 的二倍， 是 的二
倍， 是 的二倍， 是 的二倍，是的二倍，是 的二
倍，是 的二倍等.
（4）一般情況下, ,只有當(dāng) , 時,
才成立.同理， , 在
一般情況下也不成立.
2.倍角公式的有關(guān)變形
（1） ;
; .
（2）, .
1.與倍角有關(guān)的求值問題
正確處理角的倍角關(guān)系是求三角函數(shù)值的關(guān)鍵,在解決這種題型時,要
正確處理角的倍半關(guān)系.如 是 的二倍, 是 的二倍, 是
的二倍, 是 的二倍.同時要把已知角與所求角聯(lián)系起來,
適當(dāng)進(jìn)行角的變換、冪的變換及結(jié)構(gòu)的變換,既要結(jié)合已知條件,又要
增強目標(biāo)意識,靈活運用所學(xué)的各種公式.
例1 已知，求 的值．
解：由 ，解得或 .
因為 ，
所以當(dāng)時， ;
當(dāng)時， .
綜上， .
2.用倍角公式化簡
切化弦、（ 的變形）、降冪與升冪是三角變形中
的常用技巧.通分、配方、因式分解則是三角變形中常用的代數(shù)變形
技巧.
例2 化簡:
.
解：原式
.
3.用倍角公式證明
（1）觀察式子兩邊的結(jié)構(gòu)形式，一般是從復(fù)雜到簡單，如果兩端都
比較復(fù)雜，那就將兩邊都化簡，即采用“兩頭湊”的思想.
（2）證明的一般步驟：先觀察，找出角、函數(shù)名稱、式子結(jié)構(gòu)等方
面的差異，然后本著“復(fù)角化單角”“異名化同名”“切化弦”等原則，設(shè)
法消除差異，達(dá)到證明的目的.
例3 求證：
（1） ；
證明：左邊
右邊，得證．
（2） .
解：方法一：左邊 右
邊，得證．
方法二：右邊
左邊，得證．10.2　二倍角的三角函數(shù)
【課前預(yù)習(xí)】
知識點一
1.sin αcos β+cos αsin β　2sin αcos α
2.cos αcos β-sin αsin β　cos2α-sin2α　2cos2α-1　1-2sin2α
3.　
診斷分析
(1)√　(2)×　(3)√　[解析] (1)10α是5α的2倍,5α是的2倍.
(2)二倍角的正弦、余弦公式對任意角都是適用的,而二倍角的正切公式,要求α≠+kπ且α≠±+kπ(k∈Z).
(3)當(dāng)α=kπ(k∈Z)時,sin 2α=2sin α.
知識點二
sin 2α　sin 2α　cos 2α　tan 2α
診斷分析
1.(1) ×　(2)√　[解析] (1)sin 15°cos 15°=sin 30°=.
(2)1-2sin222.5°=cos 45°=.
2.解:1±sin 2α=sin2α±2sin αcos α+cos2α=(sin α±cos α)2.
知識點三
2cos2α　2sin2α　2cos2　2sin2　(1+cos 2α)
(1-cos 2α)　
【課中探究】
探究點一
例1　解:(1)=cos2-sin2=cos=-.
(2)=====-2.
(3)cos 36°cos 72°====.
變式　解:(1)sincos=×2sin×cos=×sin=×=.
(2)cos415°-sin415°=(cos215°-sin215°)(cos215°+sin215°)=cos215°-sin215°=cos 30°=.
(3)1-2sin2750°=cos 1500°=cos(4×360°+60°)=cos 60°=.
探究點二
例2　(1)　-　-　　[解析] 由x∈(0,π),cos x=-,得sin x==,∴sin 2x=2sin xcos x=2××=-,cos 2x=2cos2x-1=-,tan 2x==.
(2)解:由tan α+=,得+=,則=,即sin 2α=.因為α∈,所以2α∈,所以cos 2α=-=-,故sin=sin 2α·cos+cos 2α·sin=×-×=.
變式　(1)　(2)　[解析] (1)因為sin=,所以sin=sin=cos 2=1-2sin2=.
(2)令t=α+,則α=t-,由cos=得,cos t=.因為α為銳角,所以0<α<,所以<α+<,即(3)解:sin 2α=2sin αcos α===,因為tan α=2,
所以sin 2α==.
tan 2α===-,則tan 3α=tan(2α+α)====.
探究點三
例3　證明:====tan α+.
變式　證明:左邊=·==tan 2α=右邊.
拓展　證明:由3sin2α+2sin2β=1得3sin2α=1-2sin2β=cos 2β①,由sin 2α-sin 2β=0得3sin αcos α=sin 2β②.
∵α,β∈,∴cos α≠0,sin α≠0,sin 2β≠0,由①②得=,
即cos αcos 2β-sin αsin 2β=0,即cos(α+2β)=0,又0<α+2β<π,∴α+2β=.
探究點四
例4　解:(1)由AB是半圓的直徑,得AC⊥BC,則AD=BC=ABsin∠CAB=4sin θ,
過O作OE⊥CD交CD于E,連接CO,如圖,則∠COB=2θ,∠EOC=-2θ,
故CD=2CE=2OCsin∠EOC=4cos 2θ,
所以y=8sin θ+4cos 2θ+4,θ∈.
(2)由(1)知,y=8sin θ+4cos 2θ+4=-8sin2θ+8sin θ+8,θ∈,設(shè)t=sin θ∈,則y=-8t2+8t+8,顯然當(dāng)t=時,y有最大值10,
所以梯形ABCD周長的最大值是10.
變式　解:連接BP,如圖所示,∵AB為半圓的直徑,
∴∠APB=90°,又AB=1,∠PAB=α,
∴PA=ABcos α=cos α,PB=ABsin α=sin α.
又PT與半圓相切于點P,
∴∠TPB=∠PAB=α,
∴S四邊形ABTP=S△PAB+S△TPB=PA·PB+PT·(PB·sin α)=sin αcos α+sin2α=sin 2α+(1-cos 2α)=(sin 2α-cos 2α)+=sin+.
∵0<α<,∴-<2α-<,
∴當(dāng)2α-=,即α=時,S四邊形ABTP最大.10.2　二倍角的三角函數(shù)
1.C　[解析] sin275°-sin215°=sin2(90°-15°)-sin215°=cos215°-sin215°=cos 30°=.故選C.
2.C　[解析] 由tan x=2,得tan 2x==-,故選C.
3.C　[解析] 因為sin θ=且θ∈,所以cos θ=-,所以sin 2θ=2sin θcos θ=-.故選C.
4.A　[解析] 由3cos 2α-8cos α=5,得6cos2α-8cos α-8=0,即3cos2α-4cos α-4=0,
解得cos α=-或cos α=2(舍去),又∵α∈(0,π),∴sin α==.故選A.
5.C　[解析] ∵sin α=2sincos=2××<0,cos α=cos2-sin2=-<0,∴α是第三象限角.故選C.
6.A　[解析] sin=sin=cos=cos 2=2cos2-1=2×-1=-.故選A.
7.C　[解析] ∵π的近似值可以表示成4cos 38°,∴≈====8.故選C.
8.D　[解析] cos=3cos,即cos θcos-sin θsin=3cos θcos+3sin θsin,所以cos θ-sin θ=cos θ+sin θ,整理得-cos θ=2sin θ,故tan θ=-,
則sin 2θ=2sin θcos θ====-.故選D.
9.ABD　[解析] 對于A選項,2cos 15°cos 75°=2sin 15°cos 15°=sin 30°=,故A正確;對于B選項,+2sin215°=+1-cos 30°=+1-=1,故B正確;
對于C選項,=tan 30°=,故C錯誤;對于D選項,====,故D正確.故選ABD.
10.-　[解析] 因為2sin 2α=cos 2α+1,所以4sin αcos α=2cos2α,因為α∈,所以cos α<0,sin α<0,則2sin α=cos α,又sin2α+cos2α=1,所以cos2α=,由cos α<0,得cos α=-.
11.-　[解析] 設(shè)等腰三角形的底角為α,則α必為銳角,頂角為π-2α.由題意可知,
sin α=,∴cos α=,∴tan α=,則tan 2α===,故tan(π-2α)=-tan 2α=-.
12.-　-　[解析] 因為sin=,所以cos=cos=sin=sin=sin=sin=-sin=-.因為α∈,所以α-∈,則sin==,所以sin=sin 2=2sincos=2××=-.
13.解:方法一:因為α是第一象限角,所以+α為第一象限角或第二象限角,又cos=-,所以sin==,所以cos 2α=cos=
sin 2=2sincos=-.
方法二:因為α是第一象限角,所以+α為第一象限角或第二象限角,又cos=-,所以sin==,
所以cos α=cos=coscos+sinsin=-×+×=,
所以cos 2α=2cos2α-1=2×-1=-.
14.解:(1)sin α=2-4cos2=2-4×=2-2-2cos α,即sin α=-2cos α,所以tan α=-2,
則cos 2α-2sin αcos α====.
(2)因為β∈,所以tan β>0,由tan2β-2tan β-3=0,即(tan β-3)(tan β+1)=0,解得tan β=3或tan β=-1(舍去),所以tan 2β===-,所以tan(α+2β)===.
15.C　[解析] 因為(1+cos 2α)(1+sin β)=sin 2αcos β,所以2cos2α(1+sin β)=2sin αcos αcos β,因為α∈,所以cos α≠0,所以cos α(1+sin β)=sin αcos β,所以cos α=
sin αcos β-cos αsin β=sin(α-β),所以sin=sin(α-β).因為α,β∈,所以-<α-β<,0<-α<,又y=sin x在上單調(diào)遞增,所以-α=α-β,即2α-β=.故選C.
16.證明:因為tan(α-β)=sin 2β,tan(α-β)=,sin 2β=2sin βcos β==,所以=,整理得tan α=,
所以tan α+tan β===2tan 2β,原等式成立.10.2　二倍角的三角函數(shù)
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
　　1.會從兩角和的正弦、余弦、正切公式導(dǎo)出二倍角的正弦、余弦、正切公式.
　　2.能熟練運用二倍角的公式進(jìn)行簡單的恒等變換,并能靈活地將公式變形應(yīng)用.
◆ 知識點一　倍角公式
1.sin(α+β)=　　　　　　　　　,令β=α,得sin 2α=　　　　　　.
2.cos(α+β)=　　　　　　　　　　,令β=α,得cos 2α=　　　　　=　　　　　=　　　　　　.
3.tan(α+β)=　　　　　　　　　,令β=α,得tan 2α=　　　　　　.
【診斷分析】 判斷正誤.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)10α是5α的倍角,5α是的倍角. (　 )
(2)二倍角的正弦、余弦、正切公式的適用范圍是任意角. (　 )
(3)存在角α,使得sin 2α=2sin α成立. (　 )
◆ 知識點二　二倍角公式的逆用
2sin αcos α=　　　　,sin αcos α=　　　　,
cos2α-sin2α=　　　　,=　　　　.
【診斷分析】 1.判斷正誤.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)sin 15°cos 15°=. (　 )
(2)1-2sin222.5°=. (　 )
2.你能用sin α與cos α表示1±sin 2α嗎 試試看.
◆ 知識點三　升冪公式與降冪公式
升冪公式:
1+cos 2α=　　　　,1-cos 2α=　　　　,
1+cos α=　　　　,1-cos α=　　　　.
降冪公式:
cos2α=　　　　,sin2α=　　　　,tan2=　　　　.
◆ 探究點一　利用倍角公式求解
例1 求下列各式的值:
(1);
(2);
(3)cos 36°cos 72°.
變式 求下列各式的值:
(1)sincos;
(2)cos415°-sin415°;
(3)1-2sin2750°.
[素養(yǎng)小結(jié)]
對于給角求值問題,一般有兩類:
(1)直接正用、逆用倍角公式,結(jié)合誘導(dǎo)公式和同角三角函數(shù)關(guān)系對已知式子進(jìn)行轉(zhuǎn)化,一般可以化為特殊角.
(2)若形式為幾個非特殊角的三角函數(shù)式相乘,則一般逆用倍角的正弦公式,在求解過程中,需利用互余關(guān)系配湊出應(yīng)用倍角公式的條件,使得問題出現(xiàn)可以連用倍角的正弦公式的形式.
◆ 探究點二　給值求值
例2 (1)已知x∈(0,π),cos x=-,則sin x=　　　　,sin 2x=　　　　,cos 2x=　　　　,tan 2x=　　　　.
(2)已知tan α+=,α∈,求cos 2α和sin的值.
變式 (1)若sin=,則sin=　　　　.
(2)已知α為銳角,若cos=,則cos=　　　　.
(3)已知tan α=2,求sin 2α,tan 3α的值.
[素養(yǎng)小結(jié)]
(1)條件求值問題常有兩種解題途徑:
①對題設(shè)條件變形,把條件中的角、函數(shù)名向結(jié)論中的角、函數(shù)名靠攏.
②對結(jié)論變形,將結(jié)論中的角、函數(shù)名向題設(shè)條件中的角、函數(shù)名靠攏,以便將題設(shè)條件代入結(jié)論.
(2)一個重要結(jié)論:(sin θ±cos θ)2=1±sin 2θ.
◆ 探究點三　利用倍角公式證明
例3 證明:=tan α+.
變式 求證:·=tan 2α.
[素養(yǎng)小結(jié)]
證明與三角函數(shù)有關(guān)問題的一般步驟:找出角、函數(shù)名稱、式子結(jié)構(gòu)等方面的差異,根據(jù)“復(fù)角化單角”“異名化同名”“切化弦”“變量集中”等原則,消除差異.
拓展 已知α,β∈,且3sin2α+2sin2β=1,sin 2α-sin 2β=0,求證:α+2β=.
◆ 探究點四　倍角公式在實際生活中的應(yīng)用
例4 [2024·江蘇無錫高一期末] 如圖,有一塊半徑為2的半圓形鋼板,其中O為圓心,計劃裁剪成等腰梯形ABCD的形狀,它的下底AB是半圓的直徑,上底CD的端點在圓周上.記梯形ABCD的周長為y,∠CAB=θ.
(1)將y表示成θ的函數(shù);
(2)求梯形ABCD周長的最大值.
變式 如圖,點P在直徑AB=1的半圓上移動,過P作半圓的切線PT且PT=1,∠PAB=α,問α為何值時,四邊形ABTP面積最大
[素養(yǎng)小結(jié)]
利用三角函數(shù)知識解決實際問題,關(guān)鍵是目標(biāo)函數(shù)的構(gòu)建,自變量常常選取一個恰當(dāng)?shù)慕嵌?要注意結(jié)合實際問題確定自變量的范圍.10.2　二倍角的三角函數(shù)
一、選擇題
1.[2024·江蘇南通中學(xué)高一月考] sin275°-sin215°的值為 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.- B.
C. D.-
2.已知tan x=2,則tan 2x= (　 )
A.- B.
C.- D.
3.已知sin θ=,θ∈,則sin 2θ= (　 )
A.- B.
C.- D.
4.[2024·南京六校高一月考] 已知α∈(0,π),且3cos 2α-8cos α=5,則sin α= (　 )
A. B.
C. D.
5.若sin=,cos=-,則角α是 (　 )
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
6.若cos=,則sin= (　 )
A.- B.- C. D.
7.已知π的近似值可以表示成4cos 38°,則的值約為 (　 )
A.- B.-8 C.8 D.
8.[2024·泰州中學(xué)高一月考] 已知cos=3cos,則sin 2θ= (　 )
A. B. C.- D.-
9.(多選題)下列等式正確的是 (　 )
A.2cos 15°cos 75°=
B.+2sin215°=1
C.=
D.=
二、填空題
10.[2024·山東淄博實驗中學(xué)高一月考] 已知α∈,2sin 2α=cos 2α+1,則cos α=　　　　.
11.若等腰三角形的一個底角的正弦值為,則這個三角形的頂角的正切值為　　　　.
12.已知sin=,其中α∈,則cos=　　　,sin=　　　　.
三、解答題
13.已知α是第一象限角,滿足cos=-,求cos 2α的值.
14.已知sin α=2-4cos2.
(1)求cos 2α-2sin αcos α的值;
(2)已知β∈,且tan2β-2tan β-3=0,求tan(α+2β)的值.
15.若α,β∈,且(1+cos 2α)(1+sin β)=sin 2αcos β,則下列結(jié)論正確的是 (　 )
A.α+β= B.α+=
C.2α-β= D.α-β=
16.已知角α,β滿足tan(α-β)=sin 2β,求證:tan α+tan β=2tan 2β.

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