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【學霸提優】2025-2026學年數學八年級上冊同步練習浙教（2024）版
專題1.7角平分線的性質十一大題型（一課一練）
一、單選題（本大題共10個小題，每題3分，共30分，每題均有四個選項，其中只有一個選項符合規定）
1．三條公路將、、三個村莊連成一個如圖的三角形區域，如果在這個區域內修建一個集貿市場，要使集貿市場到三條公路的距離相等，那么這個集貿市場應建的位置是（ ）
A．三條高線的交點 B．三條中線的交點
C．三條角平分線的交點 D．三邊垂直平分線的交點
【答案】C
【分析】本題主要考查了角平分線判定定理的應用．根據“到角兩邊的距離相等的點在角的平分線上”，即可獲得答案．理解到角兩邊的距離相等的點在角的平分線上是解題的關鍵．
【詳解】解：要使集貿市場到三條公路的距離相等，那么這個集貿市場應建的位置是三條角平分線的交點．
故選：C．
2．如圖，兩把相同的直尺的一邊分別與射線重合，另一邊相交于點P，則平分的依據是（ ）
A．角的內部到角兩邊距離相等的點在角的平分線上
B．角平分線上的點到角的兩邊距離相等
C．角平分線的定義
D．角平分線是對稱軸
【答案】A
【分析】本題主要考查了角平分線的判定．根據角平分線的判定定理解答即可．
【詳解】解：根據題意得：點P到的兩邊距離相等，
∴點P在的平分線上（角的內部到角兩邊距離相等的點在角的平分線上），
即平分．
故選：A
3．如圖，在中，點在邊上，連接，，，與的面積之比為，若，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查角平分線的判定定理，過點作，分別垂直于，，根據與的面積之比為，證的，可知平分，進而即可求解．
【詳解】解：過點作，分別垂直于，，
∵與的面積之比為，
∴，
∴，
∴平分，
又∵，
∴，
故選：C．
4．如圖，于于則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了角平分線判定定理的應用，注意：到角的兩邊的距離相等的點在角平分線上．
根據角平分線判定定理得出P在的角平分線上，推出，求出即可．
【詳解】解：∵于M，于N，，
∴P在的角平分線上，
∵
∴．
故選C．
5．如圖，在中，，，，點D在邊上，點D 到邊，的距離相等，且，則的周長等于（ ）

A．10 B．13 C．16 D．19
【答案】B
【分析】本題考查了角平分線的判定，全等三角形的判定與性質等知識，先根據角平分線的判定得出，根據證明，得出，然后根據三角形的周長公式求解即可．
【詳解】解：∵點D 到邊，的距離相等，
∴，
又，，
∴，
∴，
∵，，，，
∴，
∴的周長等于，
故選：B．
6．如圖，的三邊，，的長分別為20，30，40，O是三條角平分線的交點，則等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了角平分線的性質定理，掌握角平分線的性質是解題的關鍵．
過點作于，于，于，由角平分線的性質得，即可求解．
【詳解】解：如圖，過點作于，于，于，
點O是三條角平分線的交點，
，
∵，
，
，
．
故選：C
7．如圖，已知平分，點在上，于點，點是上的動點，若，則的長不可能是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【分析】本題考查的是角平分線的性質，熟練掌握角平分線的性質是解題關鍵，根據角平分線的性質解決即可．
【詳解】解：∵平分，，，
∴當時，，即的長的最小值為4，
則四個選項中的長不可能是3，
故選：A．
8．如圖，是的角平分線，于點，的面積是10，若，則點到的距離是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】本題考查的是角平分線的性質，掌握角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等是解題的關鍵．作于，根據角平分線的性質得到，根據三角形的面積公式計算即可．
【詳解】解：作于，
∵是中的角平分線，，，
∴，
∵的面積是10，若，
∴，
∴，
∴，即點到的距離是4，
故選：C．
9．如圖，已知，，給出下面結論：①，②，③，④平分，其中正確的結論有（ ）
A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．①②③④
【答案】D
【分析】本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的一般方法有：、、、、．判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應相等時，角必須是兩邊的夾角．對各個選項進行驗證從而得出最終答案，做題時，要結合已知條件與全等的判定方法對選項逐一驗證．
【詳解】解：∵，，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故①正確；
∵，，，
∴，
∴，
故②正確；
∵，
∴，
∵，
∴，
故③正確；
∵，
∴，
即平分，
故④正確；
所以正確的有四個，
故選：D．
10．已知：如圖，中，，點為的三條角平分線的交點，, , ,點、、分別是垂足，且, , ，則點到三邊、和的距離分別等于（　　）
A．2、、 B．3、、 C．4、、 D．2、、
【答案】A
【分析】本題主要考查了角平分線的性質，等面積法的應用，熟知角平分線的性質是解題的關鍵．
連接，，，由角平分線的性質得到，再根據等面積法進行作答，即可求解．
【詳解】解：連接，，，如圖：
，
∴，
即，
解得：，
即，
即點到三邊、和的距離分別等于，，，
故選：A．
二、填空題（本大題共8個小題，每小題3分，共24分）
11．如圖是某地區三個倉庫的示意圖，記為A，B，C三地，分別連接，形成一個三角形．若想在三角形內建立一個貨物中轉倉，使其到的距離相等，則中轉倉的位置應選在 ．
【答案】的平分線的交點處（答案不唯一）
【分析】本題主要考查了三角形的角平分線的性質，解題的關鍵是掌握角平分線上的點到角的兩邊距離相等，三角形兩個角的平分線的交點到三角形的三邊距離相等．
根據角平分線的性質進行分析，即可作答．
【詳解】解：∵想在三角形內建立一個貨物中轉倉，使其到的距離相等，
∴中轉倉的位置應選在的平分線的交點處．
故答案為：的平分線的交點處（答案不唯一）
12．如圖，在中，平分交于點，若，則的面積為 ．
【答案】9
【分析】本題考查的是角平分線的性質定理，過點D作于點E，根據角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等，得，再根據三角形的面積計算公式得出的面積．
【詳解】解：如圖，過點D作于點E，
∵平分，
又∵，
∴，
∴的面積．
故答案為：9．
13．如圖，是中的平分線，于點E，于點F，，，，則的長為 ．
【答案】
【分析】本題考查了角平分線的性質定理，根據角平分線的性質得到，根據即可求出的長．
【詳解】解：∵是中的平分線，于點E，于點F，
∴．
∵
∴，
∴．
故答案為：．
14．在正方形網格中，的位置如圖所示，點是四個格點，這四個格點中到的兩邊距離相等的點是 ．
【答案】
【分析】本題主要考查角平分線的性質，掌握角平分線的性質是解題的關鍵．角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等，由此即可得到答案．
【詳解】解：由格點可知點在的平分線上，
點到的兩邊距離相等．
故答案為：．
15．如圖，分別平分，且于點的周長為，則的面積為 ．
【答案】
【分析】本題考查了角平分線上的點到角的兩邊的距離相等的性質，判斷出三角形的面積與周長的關系是解題的關鍵．
連接，作于點，作 于點，根據角平分線上的點到角的兩邊的距離相等可得點到的距離都相等（即，從而可得到的面積等于周長的一半乘以3，代入求出即可．
【詳解】解：連接，作于點，作 于點，
∵分別平分和，，
∴，
∵的周長是于，且，
∴ ，
故答案為：．
16．如圖，平分，于點，點是射線上一個動點，若，則的最小值為 ．
【答案】3
【分析】本題主要考查角平分線的性質；垂線段最短，掌握以上知識是解題的關鍵．作于，根據角平分線的性質求出的長即可．
【詳解】解：作于，
∵平分，
，
又 ∵點是射線上一個動點，
，
∴，最小值為3，
故答案為：3．
17．如圖，的兩個外角的平分線交于點P，于點E．若，則的周長是 ．
【答案】11
【分析】本題主要考查了角平分線的性質、三角形的面積等知識點，正確表示出的面積是解題的關鍵．
如圖：過點P作于F，作于G，根據角平分線上的點到角的兩邊距離相等可得，再根據三角形的面積求出，然后再根據求得，再根據三角形周長公式求解即可．
【詳解】解：如圖：過點P作于F，作于G，連接，
∵和的外角平分線交于點P，
∴，
∵，
∴，解得：，
∵，即，
∴，
∴的周長為．
故答案為：11．
18．如圖，在中，其內角和外角的角平分線，交于點，過點作，交的延長線于點，連接，若，則的度數為 ．
【答案】
【分析】如圖，過點作于點，過點作于點，過點作于點，設，根據角平分線的定義及性質得，，，，繼而得到，，，進一步證明平分，得，最后根據三角形外角的性質得．
【詳解】解：如圖，過點作于點，過點作于點，過點作于點，設，
∵平分，，
∴，，
∴，
∵平分，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴點在在的角平分線上，即平分，
∴，
∴，
即的度數為．
故答案為：．
三、解答題（本大題共6個小題，共46分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）
19．如圖，在中，是角平分線，，垂足為，求證：．
【答案】見解析
【分析】本題涉及三角形內角和定理、角平分線的定義以及三角形的外角性質．通過構造全等三角形，將轉化為與和有關的角，從而證明結論．
【詳解】證明：如圖，延長交于點．
，
．
∵是角平分線，
，
在和中，
，
，
．
又，
．
20．如圖所示，在中，，為延長線上一點，，的角平分線與交于點，連接．求證：點到、的距離相等．
【答案】見解析．
【分析】本題考查了三角形內角和定理和角平分線的性質，正確作輔助線是本題的關鍵．
根據角平分線的性質和逆定理可得：，進而解答即可．
【詳解】證明：過作交的延長線于點，作，，垂足為，．
，，
，，
，
平分，，，
，
，
點到，的距離相等．
21．如圖，在中，AD是角平分線，，，．
(1)求的度數．
(2)若，求點D到AB的距離．
【答案】(1)
(2)3
【分析】本題考查了角平分線的性質定理，三角形的內角和．
（1）由已知和三角形的內角和求出，再根據角平分線以及直角三角形兩銳角互余的關系，即可求出的度數；
（2）過點D作于點F，根據角平分線的性質定理即可得出．
【詳解】（1）解：∵，，
∴．
∵AD是的角平分線，
∴．
又∵，
∴，
∴．
（2）解：過點D作于點F，如圖所示，
∵AD是的角平分線，且，，
∴，
即點D到AB的距離為3．
22．已知是的平分線，P是射線上一點，點C，D分別在射線上，連接．
(1)如圖①，當，時，與的數量關系是______；
(2)如圖②，點C，D分別在射線上運動，且．當時，與在（1）問中的數量關系還成立嗎？請說明理由．
【答案】(1)
(2)成立，理由見解析
【分析】本題考查了角平分線的性質定理、全等三角形的判定和性質等知識，熟練掌握角平分線的性質定理是解題的關鍵；
（1）根據角平分線的性質定理即可作出判斷；
（2）過點P作于E，于F，如圖，可得，根據補角的性質得出，證明，進而得到結論．
【詳解】（1）解：是的平分線，
；
故答案為：；
（2）解：成立，理由如下：
如圖，過點P作于E，于F，
，
∵是的平分線，
，
，，
，
在和中
，
．
23．如圖，在中，點D在邊上，，的平分線交于點E，過點E作，垂足為F，且，連接．
(1)求的值；
(2)求證：平分；
(3)若，，，且，求的面積．
【答案】(1)
(2)見解析
(3)9
【分析】本題考查角平分線的性質，關鍵是掌握角平分線的性質定理及其逆定理．
（1）由直角三角形的性質求出，由平角定義即可求出的度數；
（2）過E作于M，于N，由角平分線的性質推出，，得到，于是推出平分；
（3）由的面積的面積的面積，得到，即可求出，得到，由三角形面積公式即可求出的面積．
【詳解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）證明：過E作于M，于N，
∵平分，，
∴，
∵，
∴平分，
∴，
∴，
∵，，
∴平分；
（3）解：∵的面積的面積的面積，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的面積 ．
24．我們已經知道角是軸對稱圖形，角平分線所在的直線是角的對稱軸．如圖①，是的平分線，是上任一點，作，，垂足分別為點和點．將沿對折，我們發現與完全重合．由此即有：
角平分線的性質定理：角平分線上的點到角兩邊的距離相等．
【定理證明】
已知：如圖①，是的平分線，點是上的任意一點，，，垂足分別為點和點．
求證：．
分析：圖中有兩個直角三角形和．只要證明這兩個三角形全等，便可證得．
（1）結合圖①，寫出“角平分線的性質定理”完整證明過程．
【定理應用】
（2）如圖②，在中，，的角平分線交于點．若過點作，垂足為，點在上，且，請你判斷，，之間的數量關系，并說明理由．
【答案】（1）見解析；（2），理由見解析
【分析】本題主要考查全等三角形的性質和判定，角平分線的性質定理，靈活運用角平分線性質定理是解答本題的關鍵．
（1）證明即可；
（2）證明得，證明得，即可得出結論．
【詳解】（1）證明：∵是的平分線，
∴
∵，，
∴
又
∴，
∴；
（2），理由如下：
∵的角平分線交于點，，
∴
∵，，
∴，
∴
∵，，
∴
∴
∴．
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁中小學教育資源及組卷應用平臺
【學霸提優】2025-2026學年數學八年級上冊同步練習浙教（2024）版
專題1.7角平分線的性質十一大題型（一課一練）
一、單選題（本大題共10個小題，每題3分，共30分，每題均有四個選項，其中只有一個選項符合規定）
1．三條公路將、、三個村莊連成一個如圖的三角形區域，如果在這個區域內修建一個集貿市場，要使集貿市場到三條公路的距離相等，那么這個集貿市場應建的位置是（ ）
A．三條高線的交點 B．三條中線的交點
C．三條角平分線的交點 D．三邊垂直平分線的交點
2．如圖，兩把相同的直尺的一邊分別與射線重合，另一邊相交于點P，則平分的依據是（ ）
A．角的內部到角兩邊距離相等的點在角的平分線上
B．角平分線上的點到角的兩邊距離相等
C．角平分線的定義
D．角平分線是對稱軸
3．如圖，在中，點在邊上，連接，，，與的面積之比為，若，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
4．如圖，于于則（ ）
A． B． C． D．
5．如圖，在中，，，，點D在邊上，點D 到邊，的距離相等，且，則的周長等于（ ）

A．10 B．13 C．16 D．19
6．如圖，的三邊，，的長分別為20，30，40，O是三條角平分線的交點，則等于（　　）
A． B． C． D．
7．如圖，已知平分，點在上，于點，點是上的動點，若，則的長不可能是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
8．如圖，是的角平分線，于點，的面積是10，若，則點到的距離是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
9．如圖，已知，，給出下面結論：①，②，③，④平分，其中正確的結論有（ ）
A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．①②③④
10．已知：如圖，中，，點為的三條角平分線的交點，, , ,點、、分別是垂足，且, , ，則點到三邊、和的距離分別等于（　　）
A．2、、 B．3、、 C．4、、 D．2、、
二、填空題（本大題共8個小題，每小題3分，共24分）
11．如圖是某地區三個倉庫的示意圖，記為A，B，C三地，分別連接，形成一個三角形．若想在三角形內建立一個貨物中轉倉，使其到的距離相等，則中轉倉的位置應選在 ．
12．如圖，在中，平分交于點，若，則的面積為 ．
13．如圖，是中的平分線，于點E，于點F，，，，則的長為 ．
14．在正方形網格中，的位置如圖所示，點是四個格點，這四個格點中到的兩邊距離相等的點是 ．
15．如圖，分別平分，且于點的周長為，則的面積為 ．
16．如圖，平分，于點，點是射線上一個動點，若，則的最小值為 ．
17．如圖，的兩個外角的平分線交于點P，于點E．若，則的周長是 ．
18．如圖，在中，其內角和外角的角平分線，交于點，過點作，交的延長線于點，連接，若，則的度數為 ．
三、解答題（本大題共6個小題，共46分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）
19．如圖，在中，是角平分線，，垂足為，求證：．
20．如圖所示，在中，，為延長線上一點，，的角平分線與交于點，連接．求證：點到、的距離相等．
21．如圖，在中，AD是角平分線，，，．
(1)求的度數．
(2)若，求點D到AB的距離．
22．已知是的平分線，P是射線上一點，點C，D分別在射線上，連接．
(1)如圖①，當，時，與的數量關系是______；
(2)如圖②，點C，D分別在射線上運動，且．當時，與在（1）問中的數量關系還成立嗎？請說明理由．
23．如圖，在中，點D在邊上，，的平分線交于點E，過點E作，垂足為F，且，連接．
(1)求的值；
(2)求證：平分；
(3)若，，，且，求的面積．
24．我們已經知道角是軸對稱圖形，角平分線所在的直線是角的對稱軸．如圖①，是的平分線，是上任一點，作，，垂足分別為點和點．將沿對折，我們發現與完全重合．由此即有：
角平分線的性質定理：角平分線上的點到角兩邊的距離相等．
【定理證明】
已知：如圖①，是的平分線，點是上的任意一點，，，垂足分別為點和點．
求證：．
分析：圖中有兩個直角三角形和．只要證明這兩個三角形全等，便可證得．
（1）結合圖①，寫出“角平分線的性質定理”完整證明過程．
【定理應用】
（2）如圖②，在中，，的角平分線交于點．若過點作，垂足為，點在上，且，請你判斷，，之間的數量關系，并說明理由．
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁

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