資源簡介

(共45張PPT)
10.3 幾個三角恒等式
探究點一 積化和差與和差化積公式
探究點二 應用半角公式化簡與求值
探究點三 三角函數式的化簡與證明
【學習目標】
1.了解積化和差與和差化積公式的推導過程.
2.能用二倍角公式推導出半角公式.
3.能利用以上公式進行簡單的求值.
知識點一 積化和差與和差化積公式
（1）積化和差公式
_________________________.
_________________________.
_________________________.
___________________________.
（2）和差化積公式
________________.
_______________.
_______________.
________________.
知識點二 半角公式
（1） _ _________.
（2） _ _________.
（3）_ ________________ _______.
知識點三 萬能代換公式
（1） .
（2） .
（3） .
【診斷分析】
1.判斷正誤.（正確的打“√”，錯誤的打“×”）
（1）半角公式對任意角都適用.( )
×
[解析] 當 時，半角的正切公式不成立.
（2） .( )
×
[解析] 只有當 ，即
時，才有 .
（3）存在，使得 .( )
√
[解析] 當時， 成立.
2.（1）降冪公式的等式兩端的角度發生了什么變化
解：從左向右,冪次降低,角度加倍;從右向左,冪次升高,角度減半.
（2）半角公式中“ ”號如何選取
解：符號由 的終邊所在的象限決定.
探究點一 積化和差與和差化積公式
例1（1） 求 的值；
解： .
（2）求 的值；
解：
.
（3）已知，，求 的值.
解：因為，所以 .
因為，所以 .
因為，所以由①②得 ，即 ，
所以 .
變式（1） 化簡： .
解：原式
.
（2）求 的值.
解：方法一：原式
.
方法二：原式
.
［素養小結］
在運用積化和差公式時，如果形式為異名函數的積，那么化得的結
果應為與 的和或差；如果形式為同名函數的積，
那么化得的結果應為與 的和或差.
探究點二 應用半角公式化簡與求值
例2（1） 設 ，，則 ( )
A. B. C. D.
[解析] ，，
又 ， .
√
（2）已知 為鈍角， 為銳角，且， ，則
_ ____.
[解析] 因為 為鈍角， 為銳角，且， ，
所以， ，
所以 .
因為 且，所以 ，所以 ，
所以 .
變式 在中，若，，求，，
的值.
解：因為，， 均為三角形的內角，
所以， ，
所以，
所以 ，， .
［素養小結］
利用半角公式求值的思路:
（1）看角,看已知角與待求角的2倍關系;
（2）明確范圍,求出相應半角的范圍;
（3）選公式,涉及半角公式的正切值時,常用
計算,涉及半角公式的正、余弦值時,常用,
計算;
（4）下結論，結合（2）求值.
探究點三 三角函數式的化簡與證明
例3（1） 已知， ，求 的值.
解： ， ， .
，， .
（2）證明： .
證明：右邊
左邊，
.
變式1 已知，求 的值.
解： ，， ，
， ，
.
變式2 已知，求證： .
證明： .
［素養小結］
證明三角恒等式的實質是消除等式兩邊的差異，有目的地化繁為簡、
左右歸一或變更論證.對恒等式的證明，應遵循化繁為簡的原則，從
左邊推到右邊或從右邊推到左邊，也可以用左右歸一、變更論證等
方法.常用定義法、化弦法、化切法、拆項拆角法、“1”的代換法、公
式變形法，要熟練掌握基本公式，善于從中選擇巧妙簡捷的方法.
1.三角恒等變換
在進行三角恒等變換時，除了要注意運用一般的數學思想方法
（如換元思想、方程思想、化歸思想等）來分析解決問題外，還要
注意基本的三角恒等變換思想方法的靈活運用.
2.常值代換
用某些三角函數值或三角函數式來代替三角函數式中的某些常數，
代換后能運用相關公式使化簡得以順利進行.我們把這種代換稱為常
值代換.如前面所講到的“1”的代換就是一種特殊的常值代換.
3.切化弦
當待化簡式中既含有正弦、余弦，又含有正切時，利用同角三角函
數的基本關系 將正切化為正弦和余弦，這就是“切化弦”
的思想方法，切化弦的好處在于減少了三角函數名稱的種類.
4.公式的逆用和變形
靈活逆用和變形公式可以豐富三角恒等變換的方法.例如： 可
變形為 ；
（或
）實為（或 ）的
逆用.
5.半角公式
（1）半角公式實質上是倍角公式的逆用變形,它們是用無理式表示的,
根號前面的符號由 對應的原函數值的符號確定.
（2）半角正切公式除了用無理式表示的形式外,還有兩個不帶根號的式
子,它的好處是回避了“ ”的討論,一般情況下優先選用這兩個式子求解.
（3）降冪與升冪
將變形后得到公式 ，
，運用此公式降冪.
反過來，直接運用倍角公式或變形公式 ，
，這就是升冪.
6.輔助角公式
輔助角公式的實質是和（差）角的正、余弦公式的逆應用,可以把兩
個同角的正弦和余弦三角式轉化成一個正弦（或余弦）三角式,從而
對三角函數的求值、化簡、證明起到積極的作用,在解決三角函數問
題中起著非常重要的作用.
1.三角恒等式的證明
（1）在恒等式的證明中,“化繁為簡”是化簡一個三角函數式的一般原
則,由復雜的一邊化到簡單的一邊,按照目標確定化簡思路.如果兩邊都
比較復雜,也可以采用左右歸一的方法.
（2）化簡與證明的常用方法:①“切”化“弦”;②積化和差,和差化積;③
平方降次;④異角化同角,異次化同次,異名化同名.
例1 證明： .
證明：
.
2.三角函數求值
（1）若沒有給出角的范圍,則根號前的正負號需要根據條件討論.一
般討論角的終邊所在的象限.
（2）由三角函數值求其他三角函數式的值的步驟如下:
①先化簡所求的式子.
②觀察已知條件與所求式子之間的聯系（從角和三角函數名入手）.
③將已知條件代入所求式子,化簡求值.
例2 已知, .
（1）求 的值；
解：因為,所以 ,
所以 ,
所以 .
（2）求 的值.
解：由（1）得 ,
所以 ,
所以 .
3.三角函數式的化簡
解決三角問題時,要注意“三看”.
（1）看角,把角盡量向特殊角或可計算的角轉化;
（2）看名稱,把式子中不同的名稱盡量化成同一名稱或相近的名稱,
例如把所有的“切”都轉化為相應的“弦”或把所有的“弦”轉化為相應的
“切”;
（3）看式子,觀察式子是否滿足三角函數的公式，如果滿足，直接使
用,如果不滿足，轉化一下角或轉換一下名稱再使用.
例3 化簡： .
解：原式 .
例4 化簡： .
解：原式
.
4.三角函數綜合題
此類題目的最終目的是求函數的最大（小）值、單調區間、周期等,
所以要利用公式把函數形式變為有利于求這些性質的形式.在進行三
角變換過程中,往往會用到和、差角的特殊形式,因此對于一些常見輔
助角的變換要熟悉,如 .
例5 已知函數.設 ,
.
（1）求 的最小正周期；
解： ,
所以的最小正周期為 .
（2）求 的值．
解：因為,所以 .
因為,所以 ,
所以 ,
所以 .10.3　幾個三角恒等式
【課前預習】
知識點一
(1)[sin(α+β)+sin(α-β)]　[sin(α+β)-sin(α-β)]
[cos(α+β)+cos(α-β)]　-[cos(α+β)-cos(α-β)]
(2)2sin cos　2cossin
2coscos　-2sinsin
知識點二
(1)±　(2)±
(3)±　　
知識點三
診斷分析
1.(1)×　(2)×　(3)√　[解析] (1)當α=π時,半角的正切公式不成立.
(2)只有當-+2kπ≤≤+2kπ(k∈Z),即-π+4kπ≤α≤π+4kπ(k∈Z)時,才有cos=.
(3)當cos=時,cos=cos α成立.
2.解:(1)從左向右,冪次降低,角度加倍;從右向左,冪次升高,角度減半.
(2)符號由的終邊所在的象限決定.
【課中探究】
探究點一
例1　解:(1)sin 37.5°cos 7.5°=[sin(37.5°+7.5°)+sin(37.5°-7.5°)]=(sin 45°+
sin 30°)=.
(2)sin 20°·sin 40°·sin 80°=-[cos 60°-cos(-20°)]·sin 80°=-sin 80°
+sin 80°cos 20°=-sin 80°+×(sin 100°+sin 60°)=-sin 80°+sin 80°+=.
(3)因為cos α-cos β=,所以-2sinsin=①.
因為sin α-sin β=-,所以2cossin=-②.
因為sin≠0,所以由①②得-tan=-,
即tan=,所以sin(α+β)====.
變式　解:(1)原式=-2sin θ·[cos 120°-cos(-2θ)]=
-2sin θ=sin θ+2sin θcos 2θ=sin θ+sin 3θ-sin θ=sin 3θ.
(2)方法一:原式=(1-cos 40°)+(1+cos 100°)+sin 20°·cos 50°=1+(cos 100°-
cos 40°)+(sin 70°-sin 30°)=-sin 70°·sin 30°+sin 70°=.
方法二:原式=(sin 20°+cos 50°)2-sin 20°·cos 50°=(2sin 30°·cos 10°)2-(sin 70°-
sin 30°)=cos210°-cos 20°+=-cos 20°+=.
探究點二
例2　(1)D　(2)　[解析] (1)∵5π<θ<6π,∴∈,又cos=m,∴sin=-=-.
(2)因為α為鈍角,β為銳角,且sin α=,sin β=,所以cos α=-,cos β=,所以cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=×+×=.因為<α<π且0<β<,所以0<α-β<π,所以0<<,所以cos===.
變式　解:因為A,B,C均為三角形的內角,
所以sin A==,sin B==,
所以cos C=-cos(A+B)=sin Asin B-cos Acos B=×-×=,所以sin===,cos===,tan==.
探究點三
例3　解:(1)∵180°<θ<270°,∴90°<<135°,∴tan<0.
∵cos θ==-,∴tan2=4,∴tan=-2.
(2)證明:右邊=tan==
==
=
==左邊,
∴=tan.
變式1　解:∵=-5,
∴=-5,∴tan θ=2,
∴cos 2θ==-,sin 2θ==,
∴3cos 2θ+4sin 2θ=-+=.
變式2　證明:tan2====.10.3　幾個三角恒等式
1.B　[解析] 原式=+==.
2.D　[解析] 因為α∈,所以∈,又cos α=,所以tan=-=-=-.
3.A　[解析] 由題意知∈,∴cos>0,∴cos==.
4.D　[解析] sin αsin=sin αcos β=[sin(α+β)+sin(α-β)].故選D.
5.B　[解析] 由題意知sin α=-,α∈,所以cos α=-.因為∈,所以sin=cos =-=-.故選B.
6.A　[解析] 由cos B+cos C=sin B+sin C,得2coscos=2sincos,易知cos≠0,∴sin=cos,即tan=1.∵07.D　[解析] 由和差化積公式可得sin α-sin β=2cossin=-,cos α+cos β=2coscos=,兩式相除可得=,即tan=-.故選D.
8.AB　[解析] 因為tan α=,所以=,又sin2α+cos2α=1,所以或因為α為第一象限角,所以為第一或第三象限角,且所以sin=±=±=±.故選AB.
9.AD　[解析] 因為 x∈R,sin2+cos2=1≠,所以A為假命題;當x=y=0時,sin(x-y)=
sin x-sin y,所以B為真命題;因為 x∈[0,π],=|sin x|=sin x,所以C為真命題;當x=,y=2π時,sin x=cos y,但x+y≠,所以D為假命題.故選AD.
10.　[解析] 由tan x=sin y,得=sin y,即cos xsin y=sin x,所以sin(x+y)-sin(x-y)=
2cos xsin y=2sin x=.
11.　[解析] 因為tan θ=3,所以sin 2θ===,cos 2θ===-,
所以sin 2θ-cos 2θ=-=.
12.　[解析] ∵≤θ≤π,∴sin θ≥0,cos θ≤0,且≤≤.∵sin θ+cos θ=①,∴(sin θ+
cos θ)2=,∴2sin θcos θ=-,∴(cos θ-sin θ)2=1-2sin θcos θ=,又cos θ-sin θ<0,
∴cos θ-sin θ=-②.聯立①②可得∴sin=sin===.
13.證明:∵左邊=tan -tan =-=
==
==
=右邊,∴原等式成立.
14.解:(1)因為β∈,所以∈,所以tan>0,又cos β=-,所以tan==.
(2)因為β∈,cos β=-,
所以sin β===.
因為α∈,所以α+β∈,
又sin(α+β)=,所以cos(α+β)=-=-=-,
所以sin α=sin[(α+β)-β]=sin(α+β)cos β-cos(α+β)sin β=×-×=.
15.　[解析] ∵α-β=,∴α=β+,∴sin αsin β=-[cos(α+β)-cos(α-β)]=-=-.∵α,β為銳角,且α-β=,∴0<β<,0<+β<,即0<β<,
∴<2β+<,∴-16.解:∵在△ABC中,A>C,B=60°,∴A+C=120°①.
∵log4sin A+log4sin C=-1,∴sin Asin C=.
∵sin Asin C=[cos(A-C)-cos(A+C)],
∴[cos(A-C)-cos(A+C)]=,
∴cos(A-C)=+cos(A+C)=+cos 120°=0,
又∵0°由①②,得A=105°,C=15°.10.3　幾個三角恒等式
【學習目標】
　　1.了解積化和差與和差化積公式的推導過程.
　　2.能用二倍角公式推導出半角公式.
　　3.能利用以上公式進行簡單的求值.
◆ 知識點一　積化和差與和差化積公式
(1)積化和差公式
sin αcos β=　　　　　　　　　　　　.
cos αsin β=　　　　　　　　　　　　.
cos αcos β=　　　　　　　　　　　　.
sin αsin β=　　　　　　　　　　　　.
(2)和差化積公式
sin α+sin β=　　　　　　　　　　　　.
sin α-sin β=　　　　　　　　　　　　.
cos α+cos β=　　　　　　　　　　　　.
cos α-cos β=　　　　　　　　　　　　.
◆ 知識點二　半角公式
(1)sin=　　　　.
(2)cos=　　　　.
(3)tan=　　　　=　　　　=　　　　.
◆ 知識點三　萬能代換公式
(1)sin α=.
(2)cos α=.
(3)tan α=.
【診斷分析】 1.判斷正誤.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)半角公式對任意角都適用. (　 )
(2)cos =. (　 )
(3)存在α∈R,使得cos =cos α. (　 )
2.(1)降冪公式的等式兩端的角度發生了什么變化
(2)半角公式中“±”號如何選取
◆ 探究點一　積化和差與和差化積公式
例1 (1)求sin 37.5°cos 7.5°的值;
(2)求sin 20°·sin 40°·sin 80°的值;
(3)已知cos α-cos β=,sin α-sin β=-,求sin(α+β)的值.
變式 (1)化簡:4sin(60°-θ)·sin θ·sin(60°+θ).
(2)求sin220°+cos250°+sin 20°cos 50°的值.
[素養小結]
在運用積化和差公式時,如果形式為異名函數的積,那么化得的結果應為sin(α+β)與sin(α-β)的和或差;如果形式為同名函數的積,那么化得的結果應為cos(α+β)與cos(α-β)的和或差.
◆ 探究點二　應用半角公式化簡與求值
例2 (1)設5π<θ<6π,cos=m,則sin= (　 )　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A. B.
C.- D.-
(2)已知α為鈍角,β為銳角,且sin α=,sin β=,則cos =　　　　.
變式 在△ABC中,若cos A=,cos B=,求sin,cos,tan的值.
[素養小結]
利用半角公式求值的思路:(1)看角,看已知角與待求角的2倍關系;(2)明確范圍,求出相應半角的范圍;(3)選公式,涉及半角公式的正切值時,常用tan==計算,涉及半角公式的正、余弦值時,常用sin2=,cos2=計算;(4)下結論,結合(2)求值.
◆ 探究點三　三角函數式的化簡與證明
例3 (1)已知cos θ=-,180°<θ<270°,求tan的值.
(2)證明:=tan.
變式1 已知=-5,求3cos 2θ+4sin 2θ的值.
變式2 已知cos θ=,求證:tan2=.
[素養小結]
證明三角恒等式的實質是消除等式兩邊的差異,有目的地化繁為簡、左右歸一或變更論證.對恒等式的證明,應遵循化繁為簡的原則,從左邊推到右邊或從右邊推到左邊,也可以用左右歸一、變更論證等方法.常用定義法、化弦法、化切法、拆項拆角法、“1”的代換法、公式變形法,要熟練掌握基本公式,善于從中選擇巧妙簡捷的方法.10.3　幾個三角恒等式
一、選擇題
1.sin220°+sin 80°·sin 40°的值為 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A. B.
C. D.
2.已知α∈,cos α=,則tan= (　 )
A.3 B.-3
C. D.-
3.若cos α=,α∈(0,π),則cos的值為 (　 )
A. B.-
C. D.-
4.利用積化和差公式化簡sin αsin的結果為 (　 )
A.-[cos(α+β)-cos(α-β)]
B.[cos(α+β)+cos(α-β)]
C.[sin(α+β)-sin(α-β)]
D.[sin(α+β)+sin(α-β)]
5.若sin(π-α)=-且α∈,則sin= (　 )
A.- B.-
C. D.
6.已知△ABC的內角A,B,C滿足cos B+cos C=sin B+sin C,則△ABC的形狀為 (　 )
A.直角三角形 B.等腰三角形
C.等邊三角形 D.等腰直角三角形
7.已知sin α-sin β=-,cos α+cos β=,則tan的值為 (　 )
A. B. C.- D.-
8.(多選題)已知tan α=,且α為第一象限角,則sin的值可能為 (　 )
A.- B.
C.- D.
9.(多選題)下列命題為假命題的是 (　 )
A. x∈R,sin2+cos2=
B. x,y∈R,sin(x-y)=sin x-sin y
C. x∈[0,π],=sin x
D.若sin x=cos y,則x+y=
二、填空題
10.已知sin x=,tan x=sin y,則sin(x+y)-sin(x-y)=　　　　.
11.若tan θ=3,則sin 2θ-cos 2θ的值是　　　　.
12.已知sin θ+cos θ=,且≤θ≤π,則sin=　　　　.
三、解答題
13.求證:tan-tan=.
14.已知α∈,β∈,cos β=-,sin(α+β)=.
(1)求tan的值;
(2)求sin α的值.
15.已知α,β為銳角,且α-β=,則sin αsin β的取值范圍是　　　　.
16.已知△ABC的內角A,B,C滿足A>C,且B=60°,能否利用log4sin A+log4sin C=-1求出A和C的大小 若能,請求出;若不能,請說明理由.

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