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第10章 滾動習題(三) (含解析)高中數學 蘇教版(2019)必修 第二冊

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第10章 滾動習題(三) (含解析)高中數學 蘇教版(2019)必修 第二冊

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滾動習題(三)
1.D [解析] 原式=sin[60°+(θ+15°)]+cos(θ+45°)-cos(θ+15°)=-cos(θ+15°)+sin(θ+15°)+cos(θ+45°)=
sin(θ-45°)+cos(θ+45°)=-cos(θ+45°)+cos(θ+45°)=0,故選D.
2.A [解析] cos 22°sin 52°-cos 68°sin 38°=cos 22°sin 52°-sin 22°cos 52°=sin(52°-22°)=sin 30°=.故選A.
3.C [解析] 因為cos α=且α是第一象限角,所以sin α=,所以cos 2α=cos2α-sin2α=-,sin 2α=2sin αcos α=,則原式==
=.故選C.
4.A [解析] 因為y=1-2sin2=cos 2=cos=-sin 2x,所以該函數為奇函數,且其最小正周期為π.
5.B [解析] 依題意得=====.
6.A [解析] 因為=2,所以=2,即==2,
所以tan α=,所以tan 2α===,所以tan===-,故選A.
7.BCD [解析] 因為cos α=-,cos β=,α∈,β∈,所以sin α==,sin β==.sin 2α=2sin αcos α=2××=-,A錯誤;cos 2β=2cos2β-1=2×-1=-,B正確;cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=-×+×=,C正確;sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β=×+×=,D正確.故選BCD.
8.ABD [解析] 對于A選項,sin 75°sin 15°=sin 15°cos 15°=sin 30°=,故A正確;對于B選項,sin 18°sin 54°=====,故B正確;對于C選項,====,故C錯誤;對于D選項,因為tan 45°==1,所以=,故D正確.故選ABD.
9.- [解析] 原式==.因為α為第二象限角,且sin α=,所以cos α=-,則sin α+cos α≠0,所以原式==-.
10. [解析] ||==5,設∠xOP=θ,則sin θ=,cos θ=.設P1(x1,y1),則x1=5cos(θ+45°)=5(cos θcos 45°-sin θsin 45°)=,y1=5sin(θ+45°)=5(sin θcos 45°+
cos θsin 45°)=,故P1.
11. [解析] ∵m·n=sin Acos B+cos Asin B=sin(A+B)=1+cos(A+B),∴sin(A+B)-cos(A+B)=sin C+cos C=2sin=1,∴sin=.∵012.解:(1)因為sin α=且α為銳角,
所以cos α==,所以tan α==,
所以tan 2α===-.
(2)因為α,β均為銳角,所以-<α-β<,又tan(α-β)=,所以0<α-β<.又由tan(α-β)==且sin2(α-β)+cos2(α-β)=1,得sin(α-β)=,cos(α-β)=,
所以cos β=cos[α-(α-β)]=cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β)=×+×=.
13.證明:(1)因為α+β=45°,所以tan α=tan(45°-β)=,整理得tan αtan β+tan α+tan β=1,
即(tan α+1)·(tan β+1)=2.
(2)右邊=[sin αcos β+cos αsin β-(sin αcos β-cos αsin β)]=cos αsin β=左邊.
14.解:(1)由已知可得f(x)=sin x+cos x=2sin,令f(x)=,得sin=.
因為x∈,所以x+∈,
又sin=∈,
所以x+∈,所以cos=,
所以sin x=sin=sincos-cossin=×-×=.
(2)因為g(x)=cos+cos=cos+cos=cos+sin=2sin=2sin=2cos x,所以=(0,2),||=2,=(0,1),所以與共線的單位向量為(0,1)和(0,-1).
(3)h(x)=msin=msin x-cos x,
因為=(-,1)為h(x)=msin的相伴特征向量,所以解得m=-2,
所以h(x)=-2sin,所以φ(x)=-2sin=-2sin=2cos.
假設在y=φ(x)的圖象上存在一點P,使得⊥,所以=,=,所以·=·=(x+2)(x-2)+=x2+14+4cos2-18cos=0,
所以x2=-4cos2+18cos-14.
令y=-4cos2+18cos-14,cos=t,t∈[-1,1],
所以y=-4t2+18t-14=-4+,t∈[-1,1],
所以當t=-1時,ymin=-36,當t=1時,ymax=0,所以-36≤y≤0,因為x2≥0,所以當且僅當t=1且x=0時,x2=-4cos2+18cos-14成立,
此時,cos=1且x=0,即點P(0,2),
所以y=φ(x)的圖象上存在一點P(0,2),使得⊥.滾動習題(三)
(時間:45分鐘 分值:100分)
一、單項選擇題(本大題共6小題,每小題5分,共30分)
1.sin(θ+75°)+cos(θ+45°)-cos(θ+15°)= (  )                 
A.±1 B.1
C.-1 D.0
2.[2024·泰州中學高一月考] cos 22°sin 52°-cos 68°sin 38°= (  )
A. B.-
C. D.-
3.已知角α是第一象限角,且cos α=,則= (  )
A. B.
C. D.-
4.函數y=1-2sin2是 (  )
A.最小正周期為π的奇函數
B.最小正周期為π的偶函數
C.最小正周期為的奇函數
D.最小正周期為的偶函數
5.化簡的值為 (  )
A. B.
C. D.2
6.若=2,則tan= (  )
A.- B.
C. D.-
二、多項選擇題(本大題共2小題,每小題6分,共12分)
7.已知cos α=-,cos β=,其中α∈,β∈,則 (  )
A.sin 2α=
B.cos 2β=-
C.cos(α-β)=
D.sin(α+β)=
8.[2024·江蘇南京期中] 下列選項中,值為的有 (  )
A.sin 75°sin 15° B.sin 18°sin 54°
C. D.
三、填空題(本大題共3小題,每小題5分,共15分)
9.已知α為第二象限角,且sin α=,則=    .
10.[2024·沈陽高一期中] 已知向量=(4,3),將繞原點O沿逆時針方向旋轉45°到的位置,則點P1的坐標為    .
11.已知△ABC的三個內角為A,B,C,向量m=(sin A,sin B),n=(cos B,cos A),若m·n=1+cos(A+B),則C=    .
四、解答題(本大題共3小題,共43分)
12.(13分)[2024·連云港高一期中] 已知sin α=,tan(α-β)=,其中α,β均為銳角.
(1)求tan 2α的值;
(2)求cos β的值.
13.(15分)(1)若α+β=45°,求證:(tan α+1)·(tan β+1)=2.
(2)求證: cos αsin β=[sin(α+β)-sin(α-β)].
14.(15分)[2024·連云港高一期中] 已知O為坐標原點,對于函數f(x)=asin x+bcos x,稱向量=(a,b)為函數f(x)的相伴特征向量,同時稱函數f(x)為向量的相伴函數.
(1)記向量=(1,)的相伴函數為f(x),求當f(x)=且x∈時,sin x的值.
(2)設函數g(x)=cos+cos,試求g(x)的相伴特征向量,并求出與共線的單位向量.
(3)已知A(-2,3),B(2,6),=(-,1)為h(x)=msin的相伴特征向量,φ(x)=h,請問在y=φ(x)的圖象上是否存在一點P,使得⊥ 若存在,求出點P的坐標;若不存在,請說明理由.

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