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滾動習題(四)
1.C　[解析] ∵sin(π-α)=sin α=,∴cos 2α=1-2sin2α=1-2×=.故選C.
2.B　[解析] 由題可知f(x)=sin 2x+cos 2x=2sin,∴f(x)的最小正周期T==π.故選B.
3.D　[解析] ∵270°<α<360°,∴135°<<180°,∴cos<0,∴cos=-=-=-=-.故選D.
4.A　[解析] a=cos 7°+sin 7°=sin 30°cos 7°+cos 30°sin 7°=sin(30°+7°)=
sin 37°,b==tan 38°=>=sin 38°,c===sin 36°.因為當0°sin 37°>sin 36°,所以b>a>c.故選A.
5.A　[解析] 因為0<α<β<,sin α=,所以cos α=,0<β-α<,又cos(β-α)=,所以sin(β-α)=,所以cos β=cos[α+(β-α)]=×-×=.故選A.
6.A　[解析] 依題意,sin θ+sin=sin θ+sin θ-cos θ=sin θ-cos θ=sin=1,則sin=,所以sin=cos=1-2sin2=.故選A.
7.CD　[解析] sin 21°cos 81°-sin 69°cos 9°=sin 21°cos 81°-cos 21°sin 81°=sin(21°-81°)=-,故選項A中等式不成立;cos275°-cos215°=-=-,故選項B中等式不成立;因為cos 10°=cos(30°-20°)=cos 20°+sin 20°,所以=
=,故選項C中等式成立;因為1+tan 10°=1+===,所以sin 50°(1+tan 10°)=
sin 50°×==1,故選項D中等式成立.故選CD.
8.ABD　[解析] 對于A,若a∥b,則sin Acos 2A-cos Asin 2A=0,所以sin(A-2A)=sin(-A)=-sin A=0,即sin A=0,因為A∈(0,π),所以sin A≠0,所以對任意A,都有a,b不平行,故A正確;對于B,若a⊥b,則a·b=sin Asin 2A+cos Acos 2A=0,所以cos(A-2A)=cos(-A)=cos A=0,因為A∈(0,π),所以A=,所以存在A,使得a⊥b,故B正確;對于C,若a=b,則解得A=2kπ,k∈Z,因為A∈(0,π),所以不等式組無解,即不存在A,使得a=b,故C錯誤;對于D,因為a=(sin A,cos A),b=(sin 2A,cos 2A),所以|a|=|b|=1,所以(a+b)·(a-b)=|a|2-|b|2=0,所以對任意A,都有(a+b)⊥(a-b),故D正確.故選ABD.
9.-　[解析] -cos2=-=-.
10.　[解析] 由x2-5x+6=(x-2)(x-3)=0,解得x1=2,x2=3,所以tan α+tan β=5,tan αtan β=6,所以===.
11.m≥　[解析] f(x)=3sincos+sin2-+m=sin+-+m=sin+m,∵-≤x≤,∴-≤-≤,∴f(x)在上單調遞增,又f=-+m,∴-+m≥0,解得m≥.
12.解:(1)∵sin α=,∴cos 2α=1-2sin2α=.
(2)∵α是鈍角,sin α=,∴cos α=-=-,∴sin 2α=2sin αcos α=-,
∴cos=cos 2αcos+sin 2αsin=×+×=,sin=sin 2αcos-
cos 2αsin=×-×=.
13.解:(1)==
==.
(2)∵<β<α<,∴0<α-β<,π<α+β<.
∵cos(α-β)=,sin(α+β)=-,∴sin(α-β)==,cos(α+β)=-=-,
∴cos 2α=cos[(α-β)+(α+β)]=cos(α-β)cos(α+β)-sin(α-β)sin(α+β)=×-×=-.
14.解:(1)由題可知,DN=DPtan θ=4×=2,
∵∠DPN=∠PMA=θ,∴tan∠PMA==,∴AM=4×=,又AB=CD=4,∴NC=2,MB=,∴S=×8×=.
(2)∵∠DPN=∠PMA=θ,∴PN=,PM=,
∴MN=4=4=,
∴l=++=4.
sin θ+cos θ=sin,∵θ∈,∴θ+∈,∴sin∈,
令sin θ+cos θ=t∈,則sin θcos θ=(t2-1),則l==,
∵y=在上單調遞減,∴當t=,即θ=時,l取得最小值,最小值為=8(+1).滾動習題(四)
(時間:45分鐘　分值:100分)
一、單項選擇題(本大題共6小題,每小題5分,共30分)
1.已知sin(π-α)=,則cos 2α= (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A. B.-
C. D.-
2.函數f(x)=cos2x+2sin xcos x-sin2x的最小正周期是 (　 )
A. B.π
C.2π D.4π
3.已知cos α=,270°<α<360°,則cos的值為 (　 )
A. B.-
C. D.-
4.[2024·天津紅橋區高一期末] 設a=cos 7°+sin 7°,b=,c=,則有 (　 )
A.b>a>c B.a>b>c
C.a>c>b D.c>b>a
5.若0<α<β<,且sin α=,cos(β-α)=,則cos β= (　 )
A. B.
C. D.
6.[2024·南通高一期中] 已知sin θ+sin=1,則sin= (　 )
A. B.-
C. D.-
二、多項選擇題(本大題共2小題,每小題6分,共12分)
7.下列等式成立的是 (　 )
A.sin 21°cos 81°-sin 69°cos 9°=-
B.cos275°-cos215°=
C.=
D.sin 50°(1+tan 10°)=1
8.[2024·宿遷高一期末] 設A為△ABC的內角,向量a=(sin A,cos A),向量b=(sin 2A,cos 2A),則 (　 )
A.對任意A,都有a,b不平行
B.存在A,使得a⊥b
C.存在A,使得a=b
D.對任意A,都有(a+b)⊥(a-b)
三、填空題(本大題共3小題,每小題5分,共15分)
9.計算:-cos2=　　　　.
10.已知tan α,tan β是方程x2-5x+6=0的兩根,則=　　　　.
11.已知函數f(x)=3sincos+sin2-+m,當-≤x≤時,f(x)≥0恒成立,則實數m的取值范圍是　　　　.
四、解答題(本大題共3小題,共43分)
12.(13分)[2024·江蘇揚州高一期中] 設α是鈍角,sin α=.
(1)求cos 2α的值;
(2)求cos和sin的值.
13.(15分)(1)求值:.
(2)已知<β<α<,且cos(α-β)=,sin(α+β)=-,求cos 2α的值.
14.(15分)如圖,在長方形ABCD中,AB=4,AD=8,Rt△MPN的直角頂點P為AD的中點,點M,N分別在邊AB,CD上,令∠DPN=θ.
(1)當tan θ=時,求梯形BCNM的面積S;
(2)求△MPN的周長l的最小值,并求此時角θ的值.

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