資源簡介

(共25張PPT)
11.1 余弦定理
第2課時 余弦定理的應用
探究點一 用余弦定理解決實際問題
探究點二 利用余弦定理判斷三角形形狀
探究點三 利用余弦定理證明三角形中的
恒等式
【學習目標】
1.熟練應用余弦定理解決三角形問題.
2.能用余弦定理解決簡單的實際問題.
知識點一 用余弦定理解決實際問題
解決實際測量問題的過程一般要充分理解題意，正確畫出圖形，把
實際問題里的條件和所求轉換成三角形中的已知和未知的邊、角，
通過建立數(shù)學模型來求解．
知識點二 測量中的有關角的概念
①
（1）方向角
從指定方向線到____________的水平角
（指定方向線是指正北或正南或正東或正西，方
向角小于）.如圖①,方向角分別為北偏東 ,
____________.
目標方向線
南偏東
（2）方位角:從正北的方向線順時針轉到目標方向線所轉過的_____
___，如圖②,方向線,的方位角分別為 , .
水平角
②
【診斷分析】
判斷正誤.（正確的打“√”,錯誤的打“×”）
（1）方位角和方向角是一樣的.( )
×
[解析] 方位角是指從正北方向順時針旋轉到目標方向線的水平角;
而方向角是以觀測者的位置為中心,將正北或正南或正東或正西方向作
為起始方向旋轉到目標方向線所成的小于 的角.
（2）方位角的取值范圍是 .( )
√
[解析] 方位角是指從正北方向順時針旋轉到目標方向線的水平角,取
值范圍是 .
（3）在點處測得點在其北偏西 的方向上,則在點處測得點
的方位角是 .( )
×
[解析] 在點處測得點的方位角是 .
知識點三 判斷三角形的形狀
判斷三角形形狀，首先看最大角是鈍角、直角還是銳角；其次看是
否有相等的邊（或角）．在轉化條件時要注意等價.
探究點一 用余弦定理解決實際問題
例1 一商船行至某海域時，遭到海盜的追擊，隨即發(fā)出求救信號，
正在該海域執(zhí)行護航任務的海軍艦艇在 處獲悉后，即測出該商船在
北偏東 ，距離10海里的處，并測得該商船正沿方位角為
的方向，以9海里/時的速度直線航行，艦艇立即以21海里/時的速度
沿直線前去營救．求艦艇追上商船所需要的時間及所經(jīng)過的路程．
解：如圖，設艦艇在 處追上商船，設所需的時間為小時，
則，，又 ， ，
所以由 ，
可得 ，
即 ，
即，
解得或 （舍去），
故艦艇追上商船所需要的時間為小時，
所經(jīng)過的路程為 （海里）．
變式 [2024·南京六校高一期中] 已知燈塔在海洋觀測站 的北偏東
方向上，，兩點間的距離為5海里.某時刻貨船 在海洋觀測站
的南偏東 方向上，， 兩點間的距離為8海里，則該時刻貨船
與燈塔 間的距離為___海里.
7
[解析] 如圖，由已知可得海里，海里，
,
由余弦定理可 ，
即 ，
所以 海里.
［素養(yǎng)小結］
解決實際問題的一般步驟：
（1）把題中的已知量和待求量集中在有關的三角形中，建立一個解
三角形的模型；
（2）利用余弦定理解出所需要的邊或角，求得該數(shù)學模型的解；
（3）檢驗求得的解是否有實際意義，并回答題中所要解決的問題.
探究點二 利用余弦定理判斷三角形形狀
例2 在中，已知 ，且
，試判斷 的形狀．
解：由 ，得，
即 ， .
，.
， 由余弦定理得 ，
，， 為等邊三角形．
變式 在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，， ，若
，判斷 的形狀.
解：，
由余弦定理得 ，
即 ，
，
，
， ，
，
或，或 .
當時，，為等腰三角形；
當 時，為直角三角形.
故 為等腰三角形或直角三角形.
［素養(yǎng)小結］
（1）判斷三角形的形狀，往往利用余弦定理將邊、角關系相互轉化，
經(jīng)過化簡變形，充分顯示邊、角關系，進而判斷．
（2）在余弦定理中，注意整體思想的運用，如：
， 等．
探究點三 利用余弦定理證明三角形中的恒等式
例3 在中，，，分別是內(nèi)角，， 的對邊，求證：
.
證明：左邊 ，
右邊， 等式成立．
變式 在中,證明: .
證明：設 ,則 .
在 中,由余弦定理得 .
在 中,由余弦定理得 .
因為 ,,,
所以 得 .
［素養(yǎng)小結］
證明三角形中邊角混合關系恒等式時，可以考慮將角的關系通過余
弦定理轉化為邊的關系．
應用余弦定理解決兩類三角形問題的疑難點
（1）利用余弦定理,可以解決以下兩類三角形問題:
①已知三邊,求三個角;
②已知兩邊和它們的夾角,求第三邊和其他兩個角.
（2）第二類問題中第三邊確定,其他兩角也唯一確定,故解唯一.
判斷三角形的形狀時，經(jīng)常用到以下結論：
（1）為直角三角形或 或
；
（2）為銳角三角形且 且
；
（3）為鈍角三角形或 或
.
例 記的內(nèi)角,,的對邊分別為,,，已知 ，
試判斷 的形狀.
解：由，可得，所以 ，
即，所以 ，
由余弦定理得，可得，所以 ，
所以 是直角三角形.第2課時　余弦定理的應用
【課前預習】
知識點二
(1)目標方向線　南偏東45°　(2)水平角
診斷分析
(1)×　(2)√　(3)×　[解析] (1)方位角是指從正北方向順時針旋轉到目標方向線的水平角;而方向角是以觀測者的位置為中心,將正北或正南或正東或正西方向作為起始方向旋轉到目標方向線所成的小于90°的角.
(2)方位角是指從正北方向順時針旋轉到目標方向線的水平角,取值范圍是[0,2π).
(3)在點O處測得點A的方位角是330°.
【課中探究】
探究點一
例1　解:如圖,設艦艇在B處追上商船,
設所需的時間為t小時,則AB=21t,BC=9t,又AC=10,∠ACB=120°,所以由AB2=AC2+BC2-2AC·BCcos∠ACB,
可得(21t)2=102+(9t)2-2×10×9tcos 120°,即(21t)2=100+81t2+90t,
即360t2-90t-100=0,解得t=或t=-(舍去),
故艦艇追上商船所需要的時間為小時,所經(jīng)過的路程為21×=14(海里).
變式　7　[解析] 如圖,由已知可得AC=5海里,BC=8海里,
∠ACB=180°-40°-80°=60°,由余弦定理可得AB2=CA2+CB2-2CA·CBcos∠ACB,即AB2=52+82-2×5×8×=49,所以AB=7海里.
探究點二
例2　解:由(a+b+c)(b+c-a)=3bc,
得b2+2bc+c2-a2=3bc,即b2+c2-a2=bc,
∴cos A===.
∵0∴由余弦定理得a=2b·=,
∴b2=c2,∴b=c,∴△ABC為等邊三角形.
變式　解:∵b(a-ccos B)=a(b-ccos A),∴由余弦定理得b=a,即ab-=ab-,
∴b2(a2+c2-b2)=a2(b2+c2-a2),∴a2b2+b2c2-b4=a2b2+a2c2-a4,∴b2c2-a2c2-b4+a4=0,∴c2(b2-a2)-(b2+a2)(b2-a2)=0,∴(b2-a2)[c2-(a2+b2)]=0,∴b2-a2=0或c2-(a2+b2)=0,∴a2=b2或c2=a2+b2.
當a2=b2時,a=b,△ABC為等腰三角形;當c2=a2+b2時,△ABC為直角三角形.故△ABC為等腰三角形或直角三角形.
探究點三
例3　證明:左邊==,
右邊==,∴等式成立.
變式　證明:設∠ABC=α,則∠BCD=π-α.在△ABC中,由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos α①.
在△BCD中,由余弦定理得BD2=CD2+BC2-2CD·BC·cos(π-α)②.
因為cos(π-α)=-cos α,CD=AB,BC=AD,所以①+②得AC2+BD2=2(AB2+AD2).第2課時　余弦定理的應用
1.D　[解析] 由余弦定理得2bcos A=2b×=c,可得a=b,所以△ABC為等腰三角形.故選D.
2.D　[解析] 由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos∠ABC,∵AB=10 km,BC=20 km,∠ABC=120°,∴AC2=700,∴AC=10 km,即A,C兩地間的距離為10 km.故選D.
3.A　[解析] 在△ABC中,因為AB=,BC=3,C=120°,所以由AB2=BC2+AC2-2AC·BC·cos C,可得13=9+AC2+3AC,解得AC=1或AC=-4(舍去).故選A.
4.D　[解析] 設三角形的底邊長為a,則周長為5a,∴等腰三角形的腰長為2a.設頂角為α,由余弦定理得cos α==.故選D.
5.C　[解析] 由>0,得-cos C>0,所以cos C<0,所以C為鈍角,所以△ABC一定是鈍角三角形.故選C.
6.A　[解析] 依題意得兩式相減得ab=.故選A.
7.B　[解析] 如圖,設行駛15 min后,甲船在M處,乙船在N處,由題意知AM=8×=2(km),BN=12×=3(km),所以MB=AB-AM=3-2=1(km),由余弦定理得MN2=MB2+BN2-2MB·BNcos 120°=1+9-2×1×3×=13,所以MN= km.故選B.
8.C　[解析] 在△ABC中,由余弦定理得cos A==,因為D為AC的中點,所以AD=1,在△ABD中,由余弦定理得BD2=AD2+AB2-2AD·ABcos A=,所以BD=.故選C.
9.BCD　[解析] 對于A,若a·b>0,則∠BCA是鈍角,所以△ABC是鈍角三角形,故A錯誤;對于B,若a·b=0,則⊥,所以△ABC為直角三角形,故B正確;對于C,若a·b=c·b,則b·(a-c)=0,即·(-)=0,則·(+)=0,取AC的中點D,連接BD,則·2=0,可得⊥,所以BA=BC,所以△ABC為等腰三角形,故C正確;對于D,若(a+c-b)·(a+b-c)=0,則a2=(c-b)2,即b2+c2-a2=2b·c,即=-cos A,由余弦定理可得cos A=-cos A,所以cos A=0,所以A=,所以△ABC為直角三角形,故D正確.故選BCD.
10.120°　[解析] ∵(a-c)(a+c)=b(b+c),∴a2-c2=b2+bc,即b2+c2-a2=-bc,
∴cos A===-,∵0°11.　[解析] 如圖,在△ABC中,由余弦定理可得BC2=62+(3)2-2×6×3cos∠BAC=90,所以BC=3海里.設BD=t海里,則cos∠ABC==,解得t=.
12.3　[解析] ∵a=3b,∴b=a,又c=,且cos C=,∴c2=a2+b2-2abcos C,即5=a2+a2-2a·a·,整理得a2=9,解得a=3或a=-3(舍去).
13.解:在△ABC中,cos∠ABC==,∵∠ABC∈(0,π),
∴sin∠ABC==,在Rt△ABD中,AD=AB·sin∠ABC=5×=(m).
14.解:(1)因為a2=b2+c2-bc,所以b2+c2-a2=bc,由余弦定理得cos A==,又0(2)因為b+c=4,bc=2,所以a2=b2+c2-2bccos A=(b+c)2-3bc=16-6=10,所以a=.
(3)由a2=b2+c2-bc及a2=bc,得(b-c)2=0,所以b=c,由(1)知A=,所以△ABC為等邊三角形.
15.10　[解析] 如圖,設炮彈第一次擊中的目標為C,則AB=14千米,AC=BC=AM=18千米,∠CBA=∠CAB=θ,∠MAB=.在△ABC中,BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos θ,即182=142+182-2×14×18cos θ,解得cos θ=,因為cos θ=2cos2-1=,θ為銳角,所以cos=.在△ABM中,BM2=AM2+AB2-2AM·ABcos=182+142-2×18×14×=100,所以BM=10千米,所以B炮臺與彈著點M的距離為10千米.
16.解:(1)由題知cos B==,
整理得2a2-c2+ac=0,即(2a-c)(a+c)=0,
∵a+c>0,∴2a-c=0,∴2a=c,
∴cos B=,又B∈(0,π),∴B=.
(2)∵c=AB=3,∴BD=AB-AD=2,BC=ABcos B=,在△BCD中,由余弦定理得CD2=BC2+BD2-2BC·BD·cos B=+4-2××2×=,∴CD=,
由余弦定理得cos ∠BCD==,
∴sin ∠BCD==.第2課時　余弦定理的應用
【學習目標】
　　1.熟練應用余弦定理解決三角形問題.
　　2.能用余弦定理解決簡單的實際問題.
◆ 知識點一　用余弦定理解決實際問題
解決實際測量問題的過程一般要充分理解題意,正確畫出圖形,把實際問題里的條件和所求轉換成三角形中的已知和未知的邊、角,通過建立數(shù)學模型來求解.
◆ 知識點二　測量中的有關角的概念
(1)方向角
從指定方向線到　　　　　　的水平角(指定方向線是指正北或正南或正東或正西,方向角小于90°).如圖①,方向角分別為北偏東30°,　　　　.
(2)方位角:從正北的方向線順時針轉到目標方向線所轉過的　　　　,如圖②,方向線PA, PB的方位角分別為40°, 240°.
【診斷分析】 判斷正誤.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)方位角和方向角是一樣的. (　 )
(2)方位角的取值范圍是[0,2π). (　 )
(3)在點O處測得點A在其北偏西30°的方向上,則在點O處測得點A的方位角是30°. (　 )
◆ 知識點三　判斷三角形的形狀
判斷三角形形狀,首先看最大角是鈍角、直角還是銳角;其次看是否有相等的邊(或角).在轉化條件時要注意等價.
◆ 探究點一　用余弦定理解決實際問題
例1 一商船行至某海域時,遭到海盜的追擊,隨即發(fā)出求救信號,正在該海域執(zhí)行護航任務的海軍艦艇在A處獲悉后,即測出該商船在北偏東45°,距離10海里的C處,并測得該商船正沿方位角為105°的方向,以9海里/時的速度直線航行,艦艇立即以21海里/時的速度沿直線前去營救.求艦艇追上商船所需要的時間及所經(jīng)過的路程.
變式 [2024·南京六校高一期中] 已知燈塔A在海洋觀測站C的北偏東40°方向上,A,C兩點間的距離為5海里.某時刻貨船B在海洋觀測站C的南偏東80°方向上,B,C兩點間的距離為8海里,則該時刻貨船B與燈塔A間的距離為　　　　海里.
[素養(yǎng)小結]
解決實際問題的一般步驟:
(1)把題中的已知量和待求量集中在有關的三角形中,建立一個解三角形的模型;
(2)利用余弦定理解出所需要的邊或角,求得該數(shù)學模型的解;
(3)檢驗求得的解是否有實際意義,并回答題中所要解決的問題.
◆ 探究點二　利用余弦定理判斷三角形形狀
例2 在△ABC中,已知(a+b+c)(b+c-a)=3bc,且a=2bcos C,試判斷△ABC的形狀.
變式 在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若b(a-ccos B)=a(b-ccos A),判斷△ABC的形狀.
[素養(yǎng)小結]
(1)判斷三角形的形狀,往往利用余弦定理將邊、角關系相互轉化,經(jīng)過化簡變形,充分顯示邊、角關系,進而判斷.
(2)在余弦定理中,注意整體思想的運用,如:b2+c2-a2=2bccos A,b2+c2=(b+c)2-2bc等.
◆ 探究點三　利用余弦定理證明三角形中的恒
等式
例3 在△ABC中,a,b,c分別是內(nèi)角A,B,C的對邊,求證:=.
變式 在 ABCD中,證明:AC2+BD2=2(AB2+AD2).
[素養(yǎng)小結]
證明三角形中邊角混合關系恒等式時,可以考慮將角的關系通過余弦定理轉化為邊的關系.第2課時　余弦定理的應用
一、選擇題
1.在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若2bcos A=c,則△ABC的形狀為 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.正三角形
B.直角三角形
C.等腰直角三角形
D.等腰三角形
2.已知A,B兩地間的距離為10 km,B,C兩地間的距離為20 km,現(xiàn)測得∠ABC=120°,則A,C兩地間的距離為 (　 )
A.10 km B.10 km
C.10 km D.10 km
3.在△ABC中,若AB=,BC=3,C=120°,則AC= (　 )
A.1 B.2
C.3 D.4
4.如果等腰三角形的周長是底邊長的5倍,那么它的頂角的余弦值為 (　 )
A. B.
C. D.
5.在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若>0,則△ABC (　 )
A.一定是銳角三角形
B.一定是直角三角形
C.一定是鈍角三角形
D.是銳角或直角三角形
6.在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若(a+b)2-c2=4,且C=60°,則ab的值為 (　 )
A. B.8-4
C.1 D.
7.甲船在湖中B島的正南方向A處,AB=3 km,甲船以8 km/h的速度向正北方向航行,同時乙船從B島出發(fā),以12 km/h的速度向北偏東60°的方向駛去,則行駛15 min后,兩船的距離是 (　 )
A. km B. km
C. km D. km
8.在△ABC中,CA=CB=2,AB=3,D為AC的中點,則BD= (　 )
A. B.
C. D.
9.(多選題)在△ABC中,設=c,=a,=b,則下列說法正確的是 (　 )
A.若a·b>0,則△ABC為銳角三角形
B.若a·b=0,則△ABC為直角三角形
C.若a·b=c·b,則△ABC為等腰三角形
D.若(a+c-b)·(a+b-c)=0,則△ABC為直角三角形
二、填空題
10.在△ABC中,若(a-c)(a+c)=b(b+c),則A=　　　　.
11.海上有三個小島A,B,C,測得∠BAC=135°,AB=6海里,AC=3海里,若在B,C兩島的連線上建一座燈塔D,使得燈塔D到A,B兩島之間的距離相等,則B,D之間的距離為　　　海里.
12.在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若a=3b,c=,且cos C=,則a=　　　　.
三、解答題
13.如圖所示為起重機裝置示意圖,支桿BC=10 m,吊桿AC=15 m,吊索AB=5 m,求起吊的貨物與岸的距離AD.
14.[2024·廣東江門高一期中] 在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知a2=b2+c2-bc.
(1)求角A的大小;
(2)若b+c=4,bc=2,求a的值;
(3)若a2=bc,判斷△ABC的形狀.
15.在同一平面上有相距14千米的A,B兩座炮臺,A在B的正東方向上.某次演習時,A向西偏北θ方向發(fā)射炮彈,B向東偏北θ方向發(fā)射炮彈,其中θ為銳角,觀測知兩炮彈都擊中18千米外的同一目標,接著A改向向西偏北方向發(fā)射炮彈,彈著點為18千米外的點M,則B炮臺與彈著點M的距離為　　　　千米.
16.在Rt△ABC中,C為直角,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且cos B=.
(1)求角B的大小;
(2)若c=3,D為AB邊上一點,且AD=1,求sin∠BCD.

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