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浙江省杭州市杭州中學(xué)2024-2025學(xué)年八年級上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷
1．（2024八上·上城期中）第33屆夏季奧運(yùn)會(huì)于2024年7月26日至8月11日在法國巴黎舉行，中國取得金牌榜第一名的好成績，如圖所示巴黎奧運(yùn)會(huì)項(xiàng)目圖標(biāo)中，是軸對稱圖形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知識點(diǎn)】生活中的軸對稱現(xiàn)象；軸對稱圖形
【解析】【解答】解：A、B、D選項(xiàng)中的圖形都不能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對稱圖形；
C選項(xiàng)中的圖形能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對稱圖形；
故選：C．
【分析】
如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸．
2．（2024八上·上城期中）若三角形的三邊長分別是4、9、a，則a的取值可能是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【知識點(diǎn)】三角形三邊關(guān)系
【解析】【解答】解：∵三角形的三邊長分別是4、9、a，
∴，即，
故答案為：D．
【分析】利用三角形三邊的關(guān)系可得，再求出即可。
3．（2024八上·上城期中）如圖，已知，則下列條件中，不能使成立的是（　?。?br/>A． B． C． D．
【答案】A
【知識點(diǎn)】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：當(dāng)時(shí)，
不能判斷三角形全等，故符合題意，
當(dāng)時(shí)，
滿足邊角邊判定，能判斷三角形全等，故不符合題意，
當(dāng)時(shí)，
滿足角角邊判定，能判斷三角形全等，故不符合題意，
當(dāng)時(shí)，
滿足角邊角判定，能判斷三角形全等，故不符合題意，
故選：A．
【分析】
根據(jù)三角形全等的判定方法逐個(gè)判斷即可.
4．（2024八上·上城期中）下列各圖中，作邊邊上的高，正確的是（　?。?br/>A． B．
C． D．
【答案】D
【知識點(diǎn)】三角形的角平分線、中線和高
【解析】【解答】解：根據(jù)三角形的高的概念可知，四個(gè)選項(xiàng)中只有D選項(xiàng)中的作圖方法是作的邊邊上的高，
故答案為：D．
【分析】利用三角形高線段的定義（從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向?qū)呑鞔咕€，垂足與頂點(diǎn)之間的線段叫做三角形的高）分析求解即可.
5．（2024八上·上城期中）若，則下列結(jié)論正確的是（　?。?br/>A． B． C． D．
【答案】A
【知識點(diǎn)】不等式的性質(zhì)
【解析】【解答】A. 若，則，符合題意；
B. 若，則，不符合題意；
C. 若，則，不符合題意；
D. 若，則，不符合題意；
故答案為：A
【分析】利用不等式的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可。
6．（2024八上·上城期中）如圖，P是的平分線上一點(diǎn)，，垂足分別為D，E，若，則的長是（　?。?br/>A．2 B．3 C． D．4
【答案】A
【知識點(diǎn)】角平分線的性質(zhì)
【解析】【解答】解：是的平分線上一點(diǎn)，，，
，
，
．
故選：A．
【分析】
角平分線上的點(diǎn)到角兩邊距離相等．
7．（2024八上·上城期中）如圖，在中，，由圖中的尺規(guī)作圖得到射線與交于點(diǎn)E，點(diǎn)F為的中點(diǎn)，連接EF，若，則的周長為（　?。?br/>A． B．4 C． D．
【答案】C
【知識點(diǎn)】角平分線的概念；三角形的中位線定理
【解析】【解答】解：由題意得，為的平分線，
∵，
∴，，
由勾股定理得，，
∵點(diǎn)F為的中點(diǎn)，
∴，，
∴的周長為，
故選：C．
【分析】
由尺規(guī)作圖可知為的平分線，則由等腰三角形三線合一知，，再利用勾股定理得，再由三角形的中位線定理求得即可.
8．（2024八上·上城期中）如圖，將的按下面的方式放置在一把刻度尺上：頂點(diǎn)O與尺下沿的端點(diǎn)重合，與尺下沿重合，與尺上沿的交點(diǎn)B在尺上的讀數(shù)恰為．若按相同的方式將的放置在該刻度尺上，則與尺上沿的交點(diǎn)C在尺上的讀數(shù)為（　?。?br/>A． B． C． D．
【答案】D
【知識點(diǎn)】含30°角的直角三角形；勾股定理；等腰直角三角形；直角三角形的兩銳角互余
【解析】【解答】解：如圖，作于D，于E，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴在中，，
故選：D．
【分析】
分別過點(diǎn)B作于D，過點(diǎn)C作于E，則可得四邊形BDEC是長方形，則有CE＝BD；再利用直角三角形兩銳角互余可得，則BD＝2；再根據(jù)含直角三角形的性質(zhì)和勾股定理計(jì)算出即可．
9．（2024八上·上城期中）如圖，把紙△ABC的∠A沿DE折疊，點(diǎn)A落在四邊形CBDE外，則，與A 的關(guān)系是（　?。?br/>A． B．
C． D．
【答案】A
【知識點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理；三角形外角的概念及性質(zhì)；翻折變換（折疊問題）
【解析】【解答】如圖：分別延長CE、BD交于A'點(diǎn)，
∴∠2=∠EA'A+∠EAA'，∠1=∠DA'A+∠DAA'，
而根據(jù)折疊可以得到∠EA'A=∠EAA'，∠DA'A=∠DAA'，∴∠2﹣∠1=2（∠EAA'﹣∠DAA'）=2∠EAD．
故選A．
【分析】
如圖，分別延長CE、BD交于A'點(diǎn)，由三角形的外角性質(zhì)可得∠2=∠EA'A+∠EAA'，∠1=∠DA'A+∠DAA'，再由折疊知∠EA'A=∠EAA'，∠DA'A=∠DAA'即可．
10．（2024八上·上城期中）如圖，等腰中，，，于點(diǎn)，的平分線分別交、于、兩點(diǎn)，為的中點(diǎn)，的延長線交于點(diǎn)，連接，下列結(jié)論：①；②；③；④；⑤平分，其中正確結(jié)論有（　　）
A．5個(gè) B．4個(gè) C．3個(gè) D．2個(gè)
【答案】A
【知識點(diǎn)】角平分線的性質(zhì)；角平分線的判定；旋轉(zhuǎn)全等模型；全等三角形中對應(yīng)邊的關(guān)系；全等三角形中對應(yīng)角的關(guān)系
【解析】【解答】解：等腰中，，，
，
平分，
，
，
故①正確．
，
由①知，
，
，
故②正確；
，，，
，，，
，
平分，
，
，
，
，，
，
，
在和中，
，
，
故③正確；
平分
由③知
．
故④正確．
過作，．
在和中，
，
，
平分，
故⑤正確．
故選：．
【分析】
①由等腰直角三角形的性質(zhì)可得，由角平分線的概念可得，再利用三角形的外角性質(zhì)即可；
②由等腰三角形的三線合一結(jié)合三角形的外角性質(zhì)可得，即有；
③由等腰三角形三線合一得，由等角對等邊得，由垂直的定義得，則依據(jù)AAS即可；
④由外角的性質(zhì)及互為余角可證明，即，則由等腰三角形三線合一知，由于，則；
⑤過作，，則可利用旋轉(zhuǎn)全等模型證明，則，再由角平分線的判定即可證明結(jié)論．
11．（2024八上·上城期中）與的和不大于，用不等式表示為　 ?。?br/>【答案】
【知識點(diǎn)】列一元一次不等式
【解析】【解答】解：與的和不大于2， 即，
故答案為：．
【分析】
根據(jù)不等關(guān)系列出不等式即可．
12．（2024八上·上城期中）如圖，已知，，，則　 ?。?br/>【答案】
【知識點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理；全等三角形中對應(yīng)角的關(guān)系
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
故答案為：．
【分析】
由全等的性質(zhì)可知，，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得即可．
13．（2024八上·上城期中）不等式的正整數(shù)解為1，2，則的取值范圍是　 　.
【答案】.
【知識點(diǎn)】解一元一次不等式組；一元一次不等式的含參問題
【解析】【解答】解：3x 3a≤ 2a，
移項(xiàng)得：3x≤ 2a＋3a，
合并同類項(xiàng)得：3x≤a，
∴不等式的解集是x≤，
∵不等式3x 3a≤ 2a的正整數(shù)解為1，2，
∴2≤＜3，
解得：6≤a＜9．
故答案為6≤a＜9．
【分析】
先把字母a當(dāng)作常數(shù)解不等式，再根據(jù)不等式的正整數(shù)解得出2≤＜3，再解不等式組即可．
14．（2024八上·上城期中）直角三角形兩邊長為6和8，則斜邊中線長為　 ?。?br/>【答案】5或4
【知識點(diǎn)】勾股定理；直角三角形斜邊上的中線
【解析】【解答】解：當(dāng)6和8都為直角三角形的直角邊時(shí)，
根據(jù)勾股定理可得，直角三角形的斜邊為，
斜邊上的中線長為；
當(dāng)8為直角三角形的斜邊，6為直角三角形的直角邊時(shí)，
斜邊上的中線長為，
綜上所述，斜邊中線長為5或4，
故答案為：5或4．
【分析】此題沒有明確告知長度為6和8的邊長是直角邊還是斜邊，故需要分類討論：①6和8都為直角邊，根據(jù)勾股定理算出斜邊的長；②8為斜邊，6為直角邊，分別利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，即可解答．
15．（2024八上·上城期中）如圖，為內(nèi)一點(diǎn)，平分，，，若，，則的長為　 　．
【答案】
【知識點(diǎn)】等腰三角形的判定；三角形全等的判定-ASA；角平分線的概念；全等三角形中對應(yīng)邊的關(guān)系；三角形的高
【解析】【解答】解：如圖，延長交于，
∵平分，，
∴，，
在和中，，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案為：
【分析】
延長交于點(diǎn)，由角平分線及垂直的概念可利用可證明，則，，即可求，再根據(jù)等角對等邊得出即可．
16．（2024八上·上城期中）如圖，已知在中，，，，是上的一點(diǎn)，，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿射線方向以每秒2個(gè)單位的速度向右運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為．過點(diǎn)作于點(diǎn)．在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)t為　 　時(shí)，能使？
【答案】5或11
【知識點(diǎn)】角平分線的性質(zhì)；勾股定理；角平分線的判定；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中對應(yīng)邊的關(guān)系
【解析】【解答】解：①點(diǎn)在線段上時(shí)，過點(diǎn)作于，如圖2所示：
則，
，
平分，
，
又，
∴，
，，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
解得：；
②點(diǎn)在線段的延長線上時(shí)，過點(diǎn)作于，如圖3所示：
同①得：，
，，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
解得：；
綜上所述，在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)?shù)闹禐?或11時(shí)，能使．
故答案為：5或11．
【分析】
由于角平分線上的點(diǎn)到角兩邊距離相等，則有DP平分，因?yàn)辄c(diǎn)P在射線BC上運(yùn)動(dòng)，則應(yīng)分兩種情況，即點(diǎn)P在點(diǎn)C左側(cè)或在點(diǎn)C右側(cè)時(shí)，再分別證明，則有PE＝PC，此時(shí)可用含t的代數(shù)式表示出PE，再利用勾股定理求出AE，則AP可得，再在直角三角形APC中應(yīng)用勾股定理求出PC，則BP分別等于BC－PC或BC+PC，則t的值可求．
17．（2024八上·上城期中）解下列不等式（組）：
（1）求不等式的解；
（2）解不等式組．
【答案】（1）解：，
，
∴，
解得：；
（2）解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式組的解集為：．
【知識點(diǎn)】解一元一次不等式；解一元一次不等式組
【解析】【分析】（1）解一元一次不等式的一般步驟：去分母、去括號、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、系數(shù)化為1的步驟；
（2）先分別求出每一個(gè)不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小找不到確定不等式組的解集．
（1），
解：，
∴，
解得：；
（2）解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式組的解集為：．
18．（2024八上·上城期中）在△ABC中，∠A＝∠B＝∠ACB，CD是△ABC的高，CE是∠ACB的角平分線，求∠DCE的度數(shù)．
【答案】解：設(shè)∠A＝x，
∵∠A＝∠B＝∠ACB，
∴∠B＝2x，∠ACB＝3x，
∵∠A＋∠B＋∠ACB＝180°，
∴x＋2x＋3x＝180°，
解得：x＝30°，
∴∠A＝30°，∠ACB＝90°，
∵CD是△ABC的高，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ACD＝90°－30°＝60°，
∵CE是∠ACB的角平分線，
∴∠ACE＝×90°＝45°，
∴∠DCE＝∠ACD－∠ACE＝60°－45°＝15°.
【知識點(diǎn)】角的運(yùn)算；三角形內(nèi)角和定理；角平分線的概念
【解析】【分析】設(shè)∠A＝x，則∠B＝2x，∠ACB＝3x，利用三角形的內(nèi)角和求出x的值，再利用角的運(yùn)算求出∠ACD＝90°－30°＝60°，利用角平分線的定義可得∠ACE＝×90°＝45°，最后利用角的運(yùn)算求出∠DCE的度數(shù)即可.
19．（2024八上·上城期中）如圖，已知，，．
（1）用直尺和圓規(guī)作出的角平分線交于點(diǎn)，作出點(diǎn)的位置（不寫作法，保留作圖痕跡）；
（2）在（1）的基礎(chǔ)上，若，求的度數(shù)．
【答案】（1）解：如圖，點(diǎn)即為所作；
（2）解：∵在中，，，∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴的度數(shù)．
【知識點(diǎn)】三角形外角的概念及性質(zhì)；角平分線的性質(zhì)；尺規(guī)作圖-作角的平分線；直角三角形的兩銳角互余
【解析】【分析】
（1）利用尺規(guī)作圖作的角平分線的步驟：以點(diǎn)為圓心，以合適長度為半徑畫弧交、于點(diǎn)、，再分別以、為圓心，以大于一半的長度為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)，作射線交于點(diǎn)即可；
（2）先利用直角三角形兩銳角互余可得，再利用角平分線的概念可得，最后根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可．
（1）解：如圖，點(diǎn)即為所作；
（2）∵在中，，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴的度數(shù)．
20．（2024八上·上城期中）如圖，在所給網(wǎng)格圖（每小格均是邊長為1的正方形）中完成下面各題：
（1）作關(guān)于直線對稱的圖形；
（2）求的面積．
【答案】（1）解：如圖，即為所求作；
（2）解：．
【知識點(diǎn)】三角形的面積；作圖﹣軸對稱；幾何圖形的面積計(jì)算-割補(bǔ)法
【解析】【分析】
（1）利用網(wǎng)格分別作出點(diǎn)A、B、C關(guān)于的對稱點(diǎn)、、，再順次連接即可；
（2）利用割補(bǔ)法求圖形面積的方法計(jì)算即可．
（1）解：如圖，即為所求作；
（2）解：．
21．（2024八上·上城期中）如圖，與均為等腰直角三角形，連接，，相交于點(diǎn)H．
（1）求證：；
（2）求的大?。?br/>【答案】（1）證明：與均為等腰直角三角形，
，，
，即，
，
；
（2）解：，
，
．
【知識點(diǎn)】三角形外角的概念及性質(zhì)；等腰直角三角形；手拉手全等模型；全等三角形中對應(yīng)角的關(guān)系
【解析】【分析】
（1）利用手拉手全等模型證明即可；
（2）由得到，再利用三角形的外角性質(zhì)結(jié)合等量代換可得．
（1）解：與均為等腰直角三角形，
，，
，即，
，
；
（2）解：設(shè)與交于點(diǎn)B，
，
，
又，
；
．
22．（2024八上·上城期中）某廠租用、兩種型號的車給零售商運(yùn)送貨物，已知用輛型車和輛型車裝滿可運(yùn)貨噸；用輛型車和輛型車裝滿貨物一次可運(yùn)貨噸；廠家現(xiàn)有噸貨物需要配送，計(jì)劃租用、兩種型號車輛一次配送完貨物，且型車至少輛．根據(jù)以上信息，解答下列問題：
（1）輛型車和輛型車都裝滿貨物一次可分別運(yùn)貨多少噸？
（2）請你幫助廠家設(shè)計(jì)租車方案完成一次配送完噸貨物；
（3）若型車每輛需租金元每次，型車每輛需租金元每次．請選出最省錢的租車方案，并求出最少租車費(fèi)．
【答案】（1）解：設(shè)輛型車裝滿貨物一次可運(yùn)貨噸，輛型車裝滿貨物一次可運(yùn)貨噸，
依題意得：，
解得：，
答：輛型車裝滿貨物一次可運(yùn)貨噸，輛型車裝滿貨物一次可運(yùn)貨噸；
（2）解：設(shè)租用輛型車，則租用輛型車，依題意得：，
解得：，
∵為正整數(shù)，
∴可以取，，，
∴共有種租車方案，
方案：租用型車輛，型車輛；
方案：租用型車輛，型車輛；
方案：租用型車輛，型車輛；
（3）解：選擇方案的租車費(fèi)為（元）；
選擇方案的租車費(fèi)為（元）；
選擇方案的租車費(fèi)為（元）；
∵，
∴方案最省錢，即租用型車輛，型車輛，最少租車費(fèi)為元．
【知識點(diǎn)】有理數(shù)混合運(yùn)算的實(shí)際應(yīng)用；二元一次方程組的實(shí)際應(yīng)用-配套問題；一元一次不等式組的實(shí)際應(yīng)用-銷售問題
【解析】【分析】
（1）設(shè)輛型車裝滿貨物一次可運(yùn)貨噸，輛型車裝滿貨物一次可運(yùn)貨噸，根據(jù)相等關(guān)系“用輛型車和輛型車裝滿可運(yùn)貨噸；用輛型車和輛型車裝滿貨物一次可運(yùn)貨噸”可列出關(guān)于、的二元一次方程組并求解即可；
（2）設(shè)租用輛型車，則租用輛型車，根據(jù)不等關(guān)系“租用的型車至少輛，且能一次配送完噸貨物”可列關(guān)于的一元一次不等式組并求出其整數(shù)解即可；
（3）利用“總租金每輛車的租金租車數(shù)量”分別求出選擇各租車方案所需租車費(fèi)并比較即可．
（1）解：設(shè)輛型車裝滿貨物一次可運(yùn)貨噸，輛型車裝滿貨物一次可運(yùn)貨噸，
依題意得：，
解得：，
答：輛型車裝滿貨物一次可運(yùn)貨噸，輛型車裝滿貨物一次可運(yùn)貨噸；
（2）設(shè)租用輛型車，則租用輛型車，
依題意得：，
解得：，
∵為正整數(shù)，
∴可以取，，，
∴共有種租車方案，
方案：租用型車輛，型車輛；
方案：租用型車輛，型車輛；
方案：租用型車輛，型車輛；
（3）選擇方案的租車費(fèi)為（元）；
選擇方案的租車費(fèi)為（元）；
選擇方案的租車費(fèi)為（元）；
∵，
∴方案最省錢，即租用型車輛，型車輛，最少租車費(fèi)為元．
23．（2024八上·上城期中）定義：如果經(jīng)過三角形一個(gè)頂點(diǎn)的線段把這個(gè)三角形分成兩個(gè)小三角形，其中一個(gè)三角形是等腰三角形，另外一個(gè)三角形和原三角形的三個(gè)內(nèi)角分別相等，那么這條線段稱為原三角形的“和諧分割線”，例如：如圖1，等腰直角三角形斜邊上的中線就是一條“和諧分割線”．
（1）判斷命題真假：等邊三角形存在“和諧分割線”是______命題；（填“真”或“假”）
（2）如圖2，在Rt△ABC中，，試探索Rt△ABC是否存在“和諧分割線”？若存在，求出“和諧分割線”的長度；若不存在，請說明理由；
（3）如圖3，在中，，若線段 是的“和諧分割線”，且 是等腰三角形，求出所有符合條件的的度數(shù)．
【答案】（1）假
（2）解：存在“和諧分割線”，理由如下：作的平分線交于點(diǎn)，如圖
，，
，
，
在中，，
的三個(gè)內(nèi)角與的三個(gè)內(nèi)角相等，
，
是等腰三角形，
是“和諧分割線”；
過點(diǎn)作交于，如圖，
，
，，
，
．
（3）解：
①如圖所示：
當(dāng)時(shí)，
，
根據(jù)“和諧分割線”的概念可知，，
，
，
，
解得；
②如圖所示：
當(dāng)時(shí)，
，
根據(jù)“和諧分割線”的概念可知，，
，
，
解得；
綜上所述：的值為或．
【知識點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理；三角形外角的概念及性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)；勾股定理
【解析】【解答】
（1）
解：等邊三角形過一個(gè)頂點(diǎn)的線段不能分成一個(gè)等邊三角形和一個(gè)等腰三角形，等邊三角形存在“和諧分割線”是假命題．
故答案為：假．
【分析】
（1）由“和諧分割線”的概念知等邊三角形中不可能存在“和諧分割線”；
（2）由直角三角形兩銳角互余可得，則作的平分線交于點(diǎn)，則，即為“和諧分割線”，再在中應(yīng)用特殊角的性質(zhì)結(jié)合勾股定理即可求出的長；
（3）由“和諧分割線”的概念可分兩種情況討論：①當(dāng)時(shí)，則，又，則，再由三角形的內(nèi)角和定理可得，再求解即可；
②當(dāng)時(shí)，則，又，則由三角形的外角性質(zhì)知，再由三角形內(nèi)角和定理知，再求解即可．
（1）解：等邊三角形過一個(gè)頂點(diǎn)的線段不能分成一個(gè)等邊三角形和一個(gè)等腰三角形，
等邊三角形存在“和諧分割線”是假命題．
故答案為：假．
（2）解：存在“和諧分割線”，理由如下：
作的平分線交于點(diǎn)，如圖
，，
，
，
在中，，
的三個(gè)內(nèi)角與的三個(gè)內(nèi)角相等，
，
是等腰三角形，
是“和諧分割線”；
過點(diǎn)作交于，如圖，
，
，，
，
．
（3）解：①當(dāng)時(shí)，
，
根據(jù)“和諧分割線”的概念可知，，
，
，
，
解得；
②當(dāng)時(shí)，
，
根據(jù)“和諧分割線”的概念可知，，
，
，
解得；
綜上所述：的值為或．
24．（2024八上·上城期中）如圖， 在RtABC 中AB=10，BC⊥AC，P為線段AC上一點(diǎn)，點(diǎn)Q，P 關(guān)于直線BC對稱，QD⊥AB于點(diǎn)D，DQ與BC交于點(diǎn) E，連結(jié)DP， 設(shè)AP=m．
（1） 若BC=8，求AC的長，并用含m的代數(shù)式表示PQ的長；
（2）在（1）的條件下，若AP=PD．求CP的長：
（3）連結(jié)PE， 若∠A=60°，PCE與PDE的畫積之比為1：2，求m的值．
【答案】解：（1）∵RtABC 中AB=10，BC⊥AC，BC=8，
∴AC=，
∵AP=m，
∴PC=6-m，
∵點(diǎn)Q，P 關(guān)于直線BC對稱，
∴PQ= 2PC=12-2m；
（2）∵AP=PD，
∴∠A=∠ADP，
∵QD⊥AB，
∴∠ADP+∠PDQ=∠A+∠AQD=90°，
∴∠PDQ=∠AQD，
∴PD=PQ，
∴AP=PQ=PD，
∴m=12-2m，解得：m=4，
∴CP=6-4=2；
（3）∵PCE與PDE的面積之比為1：2，PCE的面積和DCE的面積相等，
∴PQE和PDE的面積相等，
∴點(diǎn)E是DQ的中點(diǎn)，即：DE=QE，
∵點(diǎn)Q，P 關(guān)于直線BC對稱，
∴EP=EQ，
∴EP=EQ=ED，
∴∠EDP=∠EPD，∠EPQ=∠EQP，
∴∠EPD+∠EPQ=180°÷2=90°，即：∠DPQ=90°，
∵∠A=60°，QD⊥AB，
∴∠AQD=30°，∠B=30°，
∴AC=AB=5，
∴AD=AQ=（AP+PQ）=（10-2m+m）=5-m，
∵∠APD=90°，
∴∠ADP=30°，
∴AP=AD=-m，
∴-m=m，解得：m=2．
【知識點(diǎn)】含30°角的直角三角形；勾股定理；軸對稱的性質(zhì)；一元一次方程的實(shí)際應(yīng)用-幾何問題；直角三角形的兩銳角互余
【解析】【分析】（1）先利用勾股定理求出AC，則PC＝AC－AP＝6-m，再利用軸對稱的性質(zhì)可得PQ＝2PC；
（2）由AP=PD，則∠A=∠ADP，再由等角的補(bǔ)角相等可得∠PDQ=∠AQD，則AP=PQ=PD，可得關(guān)于m的一元一次方程并求解即可；
（3）由軸對稱的性質(zhì)可知，又已知，且與共底同高，則點(diǎn)E平分DQ； 再由軸對稱的性質(zhì)知PE＝QE，則，又PA＝PD，則，則由直角三角形兩銳角互余可證，因?yàn)?，則，再利用直角三角形中30度所對的直角邊是斜邊的一半列方程并求解即可．
1 / 1浙江省杭州市杭州中學(xué)2024-2025學(xué)年八年級上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷
1．（2024八上·上城期中）第33屆夏季奧運(yùn)會(huì)于2024年7月26日至8月11日在法國巴黎舉行，中國取得金牌榜第一名的好成績，如圖所示巴黎奧運(yùn)會(huì)項(xiàng)目圖標(biāo)中，是軸對稱圖形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2024八上·上城期中）若三角形的三邊長分別是4、9、a，則a的取值可能是（　?。?br/>A．3 B．4 C．5 D．6
3．（2024八上·上城期中）如圖，已知，則下列條件中，不能使成立的是（　　）
A． B． C． D．
4．（2024八上·上城期中）下列各圖中，作邊邊上的高，正確的是（　?。?br/>A． B．
C． D．
5．（2024八上·上城期中）若，則下列結(jié)論正確的是（　　）
A． B． C． D．
6．（2024八上·上城期中）如圖，P是的平分線上一點(diǎn)，，垂足分別為D，E，若，則的長是（　?。?br/>A．2 B．3 C． D．4
7．（2024八上·上城期中）如圖，在中，，由圖中的尺規(guī)作圖得到射線與交于點(diǎn)E，點(diǎn)F為的中點(diǎn)，連接EF，若，則的周長為（　　）
A． B．4 C． D．
8．（2024八上·上城期中）如圖，將的按下面的方式放置在一把刻度尺上：頂點(diǎn)O與尺下沿的端點(diǎn)重合，與尺下沿重合，與尺上沿的交點(diǎn)B在尺上的讀數(shù)恰為．若按相同的方式將的放置在該刻度尺上，則與尺上沿的交點(diǎn)C在尺上的讀數(shù)為（　　）
A． B． C． D．
9．（2024八上·上城期中）如圖，把紙△ABC的∠A沿DE折疊，點(diǎn)A落在四邊形CBDE外，則，與A 的關(guān)系是（　?。?br/>A． B．
C． D．
10．（2024八上·上城期中）如圖，等腰中，，，于點(diǎn)，的平分線分別交、于、兩點(diǎn)，為的中點(diǎn)，的延長線交于點(diǎn)，連接，下列結(jié)論：①；②；③；④；⑤平分，其中正確結(jié)論有（　?。?br/>A．5個(gè) B．4個(gè) C．3個(gè) D．2個(gè)
11．（2024八上·上城期中）與的和不大于，用不等式表示為　 　．
12．（2024八上·上城期中）如圖，已知，，，則　 ?。?br/>13．（2024八上·上城期中）不等式的正整數(shù)解為1，2，則的取值范圍是　 　.
14．（2024八上·上城期中）直角三角形兩邊長為6和8，則斜邊中線長為　 ?。?br/>15．（2024八上·上城期中）如圖，為內(nèi)一點(diǎn)，平分，，，若，，則的長為　 　．
16．（2024八上·上城期中）如圖，已知在中，，，，是上的一點(diǎn)，，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿射線方向以每秒2個(gè)單位的速度向右運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為．過點(diǎn)作于點(diǎn)．在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)t為　 　時(shí)，能使？
17．（2024八上·上城期中）解下列不等式（組）：
（1）求不等式的解；
（2）解不等式組．
18．（2024八上·上城期中）在△ABC中，∠A＝∠B＝∠ACB，CD是△ABC的高，CE是∠ACB的角平分線，求∠DCE的度數(shù)．
19．（2024八上·上城期中）如圖，已知，，．
（1）用直尺和圓規(guī)作出的角平分線交于點(diǎn)，作出點(diǎn)的位置（不寫作法，保留作圖痕跡）；
（2）在（1）的基礎(chǔ)上，若，求的度數(shù)．
20．（2024八上·上城期中）如圖，在所給網(wǎng)格圖（每小格均是邊長為1的正方形）中完成下面各題：
（1）作關(guān)于直線對稱的圖形；
（2）求的面積．
21．（2024八上·上城期中）如圖，與均為等腰直角三角形，連接，，相交于點(diǎn)H．
（1）求證：；
（2）求的大?。?br/>22．（2024八上·上城期中）某廠租用、兩種型號的車給零售商運(yùn)送貨物，已知用輛型車和輛型車裝滿可運(yùn)貨噸；用輛型車和輛型車裝滿貨物一次可運(yùn)貨噸；廠家現(xiàn)有噸貨物需要配送，計(jì)劃租用、兩種型號車輛一次配送完貨物，且型車至少輛．根據(jù)以上信息，解答下列問題：
（1）輛型車和輛型車都裝滿貨物一次可分別運(yùn)貨多少噸？
（2）請你幫助廠家設(shè)計(jì)租車方案完成一次配送完噸貨物；
（3）若型車每輛需租金元每次，型車每輛需租金元每次．請選出最省錢的租車方案，并求出最少租車費(fèi)．
23．（2024八上·上城期中）定義：如果經(jīng)過三角形一個(gè)頂點(diǎn)的線段把這個(gè)三角形分成兩個(gè)小三角形，其中一個(gè)三角形是等腰三角形，另外一個(gè)三角形和原三角形的三個(gè)內(nèi)角分別相等，那么這條線段稱為原三角形的“和諧分割線”，例如：如圖1，等腰直角三角形斜邊上的中線就是一條“和諧分割線”．
（1）判斷命題真假：等邊三角形存在“和諧分割線”是______命題；（填“真”或“假”）
（2）如圖2，在Rt△ABC中，，試探索Rt△ABC是否存在“和諧分割線”？若存在，求出“和諧分割線”的長度；若不存在，請說明理由；
（3）如圖3，在中，，若線段 是的“和諧分割線”，且 是等腰三角形，求出所有符合條件的的度數(shù)．
24．（2024八上·上城期中）如圖， 在RtABC 中AB=10，BC⊥AC，P為線段AC上一點(diǎn)，點(diǎn)Q，P 關(guān)于直線BC對稱，QD⊥AB于點(diǎn)D，DQ與BC交于點(diǎn) E，連結(jié)DP， 設(shè)AP=m．
（1） 若BC=8，求AC的長，并用含m的代數(shù)式表示PQ的長；
（2）在（1）的條件下，若AP=PD．求CP的長：
（3）連結(jié)PE， 若∠A=60°，PCE與PDE的畫積之比為1：2，求m的值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知識點(diǎn)】生活中的軸對稱現(xiàn)象；軸對稱圖形
【解析】【解答】解：A、B、D選項(xiàng)中的圖形都不能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對稱圖形；
C選項(xiàng)中的圖形能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對稱圖形；
故選：C．
【分析】
如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸．
2．【答案】D
【知識點(diǎn)】三角形三邊關(guān)系
【解析】【解答】解：∵三角形的三邊長分別是4、9、a，
∴，即，
故答案為：D．
【分析】利用三角形三邊的關(guān)系可得，再求出即可。
3．【答案】A
【知識點(diǎn)】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：當(dāng)時(shí)，
不能判斷三角形全等，故符合題意，
當(dāng)時(shí)，
滿足邊角邊判定，能判斷三角形全等，故不符合題意，
當(dāng)時(shí)，
滿足角角邊判定，能判斷三角形全等，故不符合題意，
當(dāng)時(shí)，
滿足角邊角判定，能判斷三角形全等，故不符合題意，
故選：A．
【分析】
根據(jù)三角形全等的判定方法逐個(gè)判斷即可.
4．【答案】D
【知識點(diǎn)】三角形的角平分線、中線和高
【解析】【解答】解：根據(jù)三角形的高的概念可知，四個(gè)選項(xiàng)中只有D選項(xiàng)中的作圖方法是作的邊邊上的高，
故答案為：D．
【分析】利用三角形高線段的定義（從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向?qū)呑鞔咕€，垂足與頂點(diǎn)之間的線段叫做三角形的高）分析求解即可.
5．【答案】A
【知識點(diǎn)】不等式的性質(zhì)
【解析】【解答】A. 若，則，符合題意；
B. 若，則，不符合題意；
C. 若，則，不符合題意；
D. 若，則，不符合題意；
故答案為：A
【分析】利用不等式的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可。
6．【答案】A
【知識點(diǎn)】角平分線的性質(zhì)
【解析】【解答】解：是的平分線上一點(diǎn)，，，
，
，
．
故選：A．
【分析】
角平分線上的點(diǎn)到角兩邊距離相等．
7．【答案】C
【知識點(diǎn)】角平分線的概念；三角形的中位線定理
【解析】【解答】解：由題意得，為的平分線，
∵，
∴，，
由勾股定理得，，
∵點(diǎn)F為的中點(diǎn)，
∴，，
∴的周長為，
故選：C．
【分析】
由尺規(guī)作圖可知為的平分線，則由等腰三角形三線合一知，，再利用勾股定理得，再由三角形的中位線定理求得即可.
8．【答案】D
【知識點(diǎn)】含30°角的直角三角形；勾股定理；等腰直角三角形；直角三角形的兩銳角互余
【解析】【解答】解：如圖，作于D，于E，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴在中，，
故選：D．
【分析】
分別過點(diǎn)B作于D，過點(diǎn)C作于E，則可得四邊形BDEC是長方形，則有CE＝BD；再利用直角三角形兩銳角互余可得，則BD＝2；再根據(jù)含直角三角形的性質(zhì)和勾股定理計(jì)算出即可．
9．【答案】A
【知識點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理；三角形外角的概念及性質(zhì)；翻折變換（折疊問題）
【解析】【解答】如圖：分別延長CE、BD交于A'點(diǎn)，
∴∠2=∠EA'A+∠EAA'，∠1=∠DA'A+∠DAA'，
而根據(jù)折疊可以得到∠EA'A=∠EAA'，∠DA'A=∠DAA'，∴∠2﹣∠1=2（∠EAA'﹣∠DAA'）=2∠EAD．
故選A．
【分析】
如圖，分別延長CE、BD交于A'點(diǎn)，由三角形的外角性質(zhì)可得∠2=∠EA'A+∠EAA'，∠1=∠DA'A+∠DAA'，再由折疊知∠EA'A=∠EAA'，∠DA'A=∠DAA'即可．
10．【答案】A
【知識點(diǎn)】角平分線的性質(zhì)；角平分線的判定；旋轉(zhuǎn)全等模型；全等三角形中對應(yīng)邊的關(guān)系；全等三角形中對應(yīng)角的關(guān)系
【解析】【解答】解：等腰中，，，
，
平分，
，
，
故①正確．
，
由①知，
，
，
故②正確；
，，，
，，，
，
平分，
，
，
，
，，
，
，
在和中，
，
，
故③正確；
平分
由③知
．
故④正確．
過作，．
在和中，
，
，
平分，
故⑤正確．
故選：．
【分析】
①由等腰直角三角形的性質(zhì)可得，由角平分線的概念可得，再利用三角形的外角性質(zhì)即可；
②由等腰三角形的三線合一結(jié)合三角形的外角性質(zhì)可得，即有；
③由等腰三角形三線合一得，由等角對等邊得，由垂直的定義得，則依據(jù)AAS即可；
④由外角的性質(zhì)及互為余角可證明，即，則由等腰三角形三線合一知，由于，則；
⑤過作，，則可利用旋轉(zhuǎn)全等模型證明，則，再由角平分線的判定即可證明結(jié)論．
11．【答案】
【知識點(diǎn)】列一元一次不等式
【解析】【解答】解：與的和不大于2， 即，
故答案為：．
【分析】
根據(jù)不等關(guān)系列出不等式即可．
12．【答案】
【知識點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理；全等三角形中對應(yīng)角的關(guān)系
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
故答案為：．
【分析】
由全等的性質(zhì)可知，，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得即可．
13．【答案】.
【知識點(diǎn)】解一元一次不等式組；一元一次不等式的含參問題
【解析】【解答】解：3x 3a≤ 2a，
移項(xiàng)得：3x≤ 2a＋3a，
合并同類項(xiàng)得：3x≤a，
∴不等式的解集是x≤，
∵不等式3x 3a≤ 2a的正整數(shù)解為1，2，
∴2≤＜3，
解得：6≤a＜9．
故答案為6≤a＜9．
【分析】
先把字母a當(dāng)作常數(shù)解不等式，再根據(jù)不等式的正整數(shù)解得出2≤＜3，再解不等式組即可．
14．【答案】5或4
【知識點(diǎn)】勾股定理；直角三角形斜邊上的中線
【解析】【解答】解：當(dāng)6和8都為直角三角形的直角邊時(shí)，
根據(jù)勾股定理可得，直角三角形的斜邊為，
斜邊上的中線長為；
當(dāng)8為直角三角形的斜邊，6為直角三角形的直角邊時(shí)，
斜邊上的中線長為，
綜上所述，斜邊中線長為5或4，
故答案為：5或4．
【分析】此題沒有明確告知長度為6和8的邊長是直角邊還是斜邊，故需要分類討論：①6和8都為直角邊，根據(jù)勾股定理算出斜邊的長；②8為斜邊，6為直角邊，分別利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，即可解答．
15．【答案】
【知識點(diǎn)】等腰三角形的判定；三角形全等的判定-ASA；角平分線的概念；全等三角形中對應(yīng)邊的關(guān)系；三角形的高
【解析】【解答】解：如圖，延長交于，
∵平分，，
∴，，
在和中，，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案為：
【分析】
延長交于點(diǎn)，由角平分線及垂直的概念可利用可證明，則，，即可求，再根據(jù)等角對等邊得出即可．
16．【答案】5或11
【知識點(diǎn)】角平分線的性質(zhì)；勾股定理；角平分線的判定；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中對應(yīng)邊的關(guān)系
【解析】【解答】解：①點(diǎn)在線段上時(shí)，過點(diǎn)作于，如圖2所示：
則，
，
平分，
，
又，
∴，
，，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
解得：；
②點(diǎn)在線段的延長線上時(shí)，過點(diǎn)作于，如圖3所示：
同①得：，
，，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
解得：；
綜上所述，在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)?shù)闹禐?或11時(shí)，能使．
故答案為：5或11．
【分析】
由于角平分線上的點(diǎn)到角兩邊距離相等，則有DP平分，因?yàn)辄c(diǎn)P在射線BC上運(yùn)動(dòng)，則應(yīng)分兩種情況，即點(diǎn)P在點(diǎn)C左側(cè)或在點(diǎn)C右側(cè)時(shí)，再分別證明，則有PE＝PC，此時(shí)可用含t的代數(shù)式表示出PE，再利用勾股定理求出AE，則AP可得，再在直角三角形APC中應(yīng)用勾股定理求出PC，則BP分別等于BC－PC或BC+PC，則t的值可求．
17．【答案】（1）解：，
，
∴，
解得：；
（2）解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式組的解集為：．
【知識點(diǎn)】解一元一次不等式；解一元一次不等式組
【解析】【分析】（1）解一元一次不等式的一般步驟：去分母、去括號、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、系數(shù)化為1的步驟；
（2）先分別求出每一個(gè)不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小找不到確定不等式組的解集．
（1），
解：，
∴，
解得：；
（2）解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式組的解集為：．
18．【答案】解：設(shè)∠A＝x，
∵∠A＝∠B＝∠ACB，
∴∠B＝2x，∠ACB＝3x，
∵∠A＋∠B＋∠ACB＝180°，
∴x＋2x＋3x＝180°，
解得：x＝30°，
∴∠A＝30°，∠ACB＝90°，
∵CD是△ABC的高，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ACD＝90°－30°＝60°，
∵CE是∠ACB的角平分線，
∴∠ACE＝×90°＝45°，
∴∠DCE＝∠ACD－∠ACE＝60°－45°＝15°.
【知識點(diǎn)】角的運(yùn)算；三角形內(nèi)角和定理；角平分線的概念
【解析】【分析】設(shè)∠A＝x，則∠B＝2x，∠ACB＝3x，利用三角形的內(nèi)角和求出x的值，再利用角的運(yùn)算求出∠ACD＝90°－30°＝60°，利用角平分線的定義可得∠ACE＝×90°＝45°，最后利用角的運(yùn)算求出∠DCE的度數(shù)即可.
19．【答案】（1）解：如圖，點(diǎn)即為所作；
（2）解：∵在中，，，∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴的度數(shù)．
【知識點(diǎn)】三角形外角的概念及性質(zhì)；角平分線的性質(zhì)；尺規(guī)作圖-作角的平分線；直角三角形的兩銳角互余
【解析】【分析】
（1）利用尺規(guī)作圖作的角平分線的步驟：以點(diǎn)為圓心，以合適長度為半徑畫弧交、于點(diǎn)、，再分別以、為圓心，以大于一半的長度為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)，作射線交于點(diǎn)即可；
（2）先利用直角三角形兩銳角互余可得，再利用角平分線的概念可得，最后根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可．
（1）解：如圖，點(diǎn)即為所作；
（2）∵在中，，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴的度數(shù)．
20．【答案】（1）解：如圖，即為所求作；
（2）解：．
【知識點(diǎn)】三角形的面積；作圖﹣軸對稱；幾何圖形的面積計(jì)算-割補(bǔ)法
【解析】【分析】
（1）利用網(wǎng)格分別作出點(diǎn)A、B、C關(guān)于的對稱點(diǎn)、、，再順次連接即可；
（2）利用割補(bǔ)法求圖形面積的方法計(jì)算即可．
（1）解：如圖，即為所求作；
（2）解：．
21．【答案】（1）證明：與均為等腰直角三角形，
，，
，即，
，
；
（2）解：，
，
．
【知識點(diǎn)】三角形外角的概念及性質(zhì)；等腰直角三角形；手拉手全等模型；全等三角形中對應(yīng)角的關(guān)系
【解析】【分析】
（1）利用手拉手全等模型證明即可；
（2）由得到，再利用三角形的外角性質(zhì)結(jié)合等量代換可得．
（1）解：與均為等腰直角三角形，
，，
，即，
，
；
（2）解：設(shè)與交于點(diǎn)B，
，
，
又，
；
．
22．【答案】（1）解：設(shè)輛型車裝滿貨物一次可運(yùn)貨噸，輛型車裝滿貨物一次可運(yùn)貨噸，
依題意得：，
解得：，
答：輛型車裝滿貨物一次可運(yùn)貨噸，輛型車裝滿貨物一次可運(yùn)貨噸；
（2）解：設(shè)租用輛型車，則租用輛型車，依題意得：，
解得：，
∵為正整數(shù)，
∴可以取，，，
∴共有種租車方案，
方案：租用型車輛，型車輛；
方案：租用型車輛，型車輛；
方案：租用型車輛，型車輛；
（3）解：選擇方案的租車費(fèi)為（元）；
選擇方案的租車費(fèi)為（元）；
選擇方案的租車費(fèi)為（元）；
∵，
∴方案最省錢，即租用型車輛，型車輛，最少租車費(fèi)為元．
【知識點(diǎn)】有理數(shù)混合運(yùn)算的實(shí)際應(yīng)用；二元一次方程組的實(shí)際應(yīng)用-配套問題；一元一次不等式組的實(shí)際應(yīng)用-銷售問題
【解析】【分析】
（1）設(shè)輛型車裝滿貨物一次可運(yùn)貨噸，輛型車裝滿貨物一次可運(yùn)貨噸，根據(jù)相等關(guān)系“用輛型車和輛型車裝滿可運(yùn)貨噸；用輛型車和輛型車裝滿貨物一次可運(yùn)貨噸”可列出關(guān)于、的二元一次方程組并求解即可；
（2）設(shè)租用輛型車，則租用輛型車，根據(jù)不等關(guān)系“租用的型車至少輛，且能一次配送完噸貨物”可列關(guān)于的一元一次不等式組并求出其整數(shù)解即可；
（3）利用“總租金每輛車的租金租車數(shù)量”分別求出選擇各租車方案所需租車費(fèi)并比較即可．
（1）解：設(shè)輛型車裝滿貨物一次可運(yùn)貨噸，輛型車裝滿貨物一次可運(yùn)貨噸，
依題意得：，
解得：，
答：輛型車裝滿貨物一次可運(yùn)貨噸，輛型車裝滿貨物一次可運(yùn)貨噸；
（2）設(shè)租用輛型車，則租用輛型車，
依題意得：，
解得：，
∵為正整數(shù)，
∴可以取，，，
∴共有種租車方案，
方案：租用型車輛，型車輛；
方案：租用型車輛，型車輛；
方案：租用型車輛，型車輛；
（3）選擇方案的租車費(fèi)為（元）；
選擇方案的租車費(fèi)為（元）；
選擇方案的租車費(fèi)為（元）；
∵，
∴方案最省錢，即租用型車輛，型車輛，最少租車費(fèi)為元．
23．【答案】（1）假
（2）解：存在“和諧分割線”，理由如下：作的平分線交于點(diǎn)，如圖
，，
，
，
在中，，
的三個(gè)內(nèi)角與的三個(gè)內(nèi)角相等，
，
是等腰三角形，
是“和諧分割線”；
過點(diǎn)作交于，如圖，
，
，，
，
．
（3）解：
①如圖所示：
當(dāng)時(shí)，
，
根據(jù)“和諧分割線”的概念可知，，
，
，
，
解得；
②如圖所示：
當(dāng)時(shí)，
，
根據(jù)“和諧分割線”的概念可知，，
，
，
解得；
綜上所述：的值為或．
【知識點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理；三角形外角的概念及性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)；勾股定理
【解析】【解答】
（1）
解：等邊三角形過一個(gè)頂點(diǎn)的線段不能分成一個(gè)等邊三角形和一個(gè)等腰三角形，等邊三角形存在“和諧分割線”是假命題．
故答案為：假．
【分析】
（1）由“和諧分割線”的概念知等邊三角形中不可能存在“和諧分割線”；
（2）由直角三角形兩銳角互余可得，則作的平分線交于點(diǎn)，則，即為“和諧分割線”，再在中應(yīng)用特殊角的性質(zhì)結(jié)合勾股定理即可求出的長；
（3）由“和諧分割線”的概念可分兩種情況討論：①當(dāng)時(shí)，則，又，則，再由三角形的內(nèi)角和定理可得，再求解即可；
②當(dāng)時(shí)，則，又，則由三角形的外角性質(zhì)知，再由三角形內(nèi)角和定理知，再求解即可．
（1）解：等邊三角形過一個(gè)頂點(diǎn)的線段不能分成一個(gè)等邊三角形和一個(gè)等腰三角形，
等邊三角形存在“和諧分割線”是假命題．
故答案為：假．
（2）解：存在“和諧分割線”，理由如下：
作的平分線交于點(diǎn)，如圖
，，
，
，
在中，，
的三個(gè)內(nèi)角與的三個(gè)內(nèi)角相等，
，
是等腰三角形，
是“和諧分割線”；
過點(diǎn)作交于，如圖，
，
，，
，
．
（3）解：①當(dāng)時(shí)，
，
根據(jù)“和諧分割線”的概念可知，，
，
，
，
解得；
②當(dāng)時(shí)，
，
根據(jù)“和諧分割線”的概念可知，，
，
，
解得；
綜上所述：的值為或．
24．【答案】解：（1）∵RtABC 中AB=10，BC⊥AC，BC=8，
∴AC=，
∵AP=m，
∴PC=6-m，
∵點(diǎn)Q，P 關(guān)于直線BC對稱，
∴PQ= 2PC=12-2m；
（2）∵AP=PD，
∴∠A=∠ADP，
∵QD⊥AB，
∴∠ADP+∠PDQ=∠A+∠AQD=90°，
∴∠PDQ=∠AQD，
∴PD=PQ，
∴AP=PQ=PD，
∴m=12-2m，解得：m=4，
∴CP=6-4=2；
（3）∵PCE與PDE的面積之比為1：2，PCE的面積和DCE的面積相等，
∴PQE和PDE的面積相等，
∴點(diǎn)E是DQ的中點(diǎn)，即：DE=QE，
∵點(diǎn)Q，P 關(guān)于直線BC對稱，
∴EP=EQ，
∴EP=EQ=ED，
∴∠EDP=∠EPD，∠EPQ=∠EQP，
∴∠EPD+∠EPQ=180°÷2=90°，即：∠DPQ=90°，
∵∠A=60°，QD⊥AB，
∴∠AQD=30°，∠B=30°，
∴AC=AB=5，
∴AD=AQ=（AP+PQ）=（10-2m+m）=5-m，
∵∠APD=90°，
∴∠ADP=30°，
∴AP=AD=-m，
∴-m=m，解得：m=2．
【知識點(diǎn)】含30°角的直角三角形；勾股定理；軸對稱的性質(zhì)；一元一次方程的實(shí)際應(yīng)用-幾何問題；直角三角形的兩銳角互余
【解析】【分析】（1）先利用勾股定理求出AC，則PC＝AC－AP＝6-m，再利用軸對稱的性質(zhì)可得PQ＝2PC；
（2）由AP=PD，則∠A=∠ADP，再由等角的補(bǔ)角相等可得∠PDQ=∠AQD，則AP=PQ=PD，可得關(guān)于m的一元一次方程并求解即可；
（3）由軸對稱的性質(zhì)可知，又已知，且與共底同高，則點(diǎn)E平分DQ； 再由軸對稱的性質(zhì)知PE＝QE，則，又PA＝PD，則，則由直角三角形兩銳角互余可證，因?yàn)椋瑒t，再利用直角三角形中30度所對的直角邊是斜邊的一半列方程并求解即可．
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