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浙江省杭州十三中集團2024-2025學年八年級上學期數學期中試題卷
1．（2024八上·杭州期中）下面四幅圖是由體育運動項目抽象出來的簡筆畫，其中是軸對稱圖形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知識點】生活中的軸對稱現象；軸對稱圖形
【解析】【解答】解：A、B、D選項中的圖形都不能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對稱圖形；
C選項中的圖形能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對稱圖形；
故選：C．
【分析】
根據如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸．
2．（2024八上·杭州期中）已知三角形的三邊長分別是4，8，，則的取值可能是（　　）
A．10 B．11 C．12 D．13
【答案】A
【知識點】三角形三邊關系
【解析】【解答】解：根據三角形三邊關系可得：
解得：
故答案為：A
【分析】根據三角形三邊關系“兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊”列不等式組解題即可．
3．（2024八上·杭州期中） 若x>y， 則下列式子中正確的是
A． B． C． D．
【答案】B
【知識點】不等式的性質
【解析】【解答】解：A： 若0B：若x>y， 兩邊同時減3得 ，原式正確；
C：若x>y， 兩邊同時乘以-2得 ，原式錯誤；
D：若x>y， 兩邊同時除以2得 ，原式錯誤；
故答案為：B.
【分析】根據不等式的基本性質判斷即可.
4．（2024八上·杭州期中）如圖，點在上，，，，則的長為（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【知識點】全等三角形中對應邊的關系
【解析】【解答】解： 根據題意可得，
， ，
，
故選：C
【分析】
由全等三角形的對應邊相等可得即可．
5．（2024八上·杭州期中）以a，b，c為邊的三角形是直角三角形的是（　　）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】B
【知識點】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、，故不是直角三角形，不符合題意；
B、，故是直角三角形，符合題意；
C、，故不是直角三角形，不符合題意；
D、，故不是直角三角形，不符合題意，
故選：B．
【分析】
使用勾股定理的逆定理時，只要驗證較小兩邊的平方和等于最長邊的平方即可．
6．（2024八上·杭州期中）對于命題“如果與互補，那么”，能說明這個命題是假命題的反例是（　　）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【知識點】真命題與假命題
【解析】【解答】解：A、∵80°+110°=190°，∴∠1與∠2不互補，∴不能作為說明這個命題是假命題的反例；
B、 ∵10°+169°=179°，∴∠1與∠2不互補，∴不能作為說明這個命題是假命題的反例；
C、 ∵60°+120°=180°，∴∠1與∠2互補，但，∴能作為說明這個命題是假命題的反例；
D、 ∵60°+140°=200°，∴∠1與∠2不互補，∴不能作為說明這個命題是假命題的反例.
故答案為：C.
【分析】要使命題：如果∠1與∠2互補，那么∠1=∠2=90°為假命題所舉的反例需滿足∠1與∠2互補，但不滿足∠1=∠2=90°，據此判斷.
7．（2024八上·杭州期中）如圖，已知，，增加下列條件：①；②；③；④．其中能使的條件有(　　)
A．4個 B．3個 C．2個 D．1個
【答案】B
【知識點】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：①，，，
和不一定全等，
故①不符合題意；
②，，，
，
故②符合題意；
③，
，
，
，，
，
故③符合題意；
④，，，
，
故④符合題意；
所以，增加上列條件，其中能使的條件有3個，
故選：B．
【分析】一般三角形全等的判定共有四種方法，即SSS、SAS、ASA和AAS，注意不存在SSA一說．
8．（2024八上·杭州期中）如圖，在中，點D在邊BC上，且滿足，過點D作，交AC于點E．設，，，則（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知識點】三角形內角和定理；三角形外角的概念及性質；等腰三角形的性質-等邊對等角；直角三角形的兩銳角互余
【解析】【解答】解：∵AB=AD=DC，，
∴，，
∵，
∴，
∴
∵，
∴
∴
故選：D
【分析】
由等邊對等角可得，，再由三角形的外角性質可得，再根據直角三角形的兩銳角互余或三角形的內角和定理逐項檢驗即可.
9．（2024八上·杭州期中）對于下列兩個命題：①三角形一條邊的兩個頂點到這條邊上的中線所在直線的距離相等.②三角形一條邊上的中點到另兩邊的距離相等.說法正確的（　　）
A．①為真命題，②為假命題 B．①為假命題，②為真命題
C．①②均為真命題 D．①②均為假命題
【答案】A
【知識點】真命題與假命題；三角形的中線
【解析】【解答】解： ①三角形一條邊的兩個頂點到這條邊上的中線所在直線的距離相等，是真命題；
②三角形一條邊上的中點到另兩邊的距離相等，是假命題；
故答案為：A.
【分析】根據三角形的中線的定義判斷即可.
10．（2024八上·杭州期中）如圖，中，，分別以為邊在AB的同側作正三角形，圖中四塊陰影部分的面積分別為，，，，則（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知識點】等邊三角形的性質；勾股定理；勾股樹模型
【解析】【解答】解：如圖，過點E作于點G，
∵是等邊三角形，
∴，，
∴，
∴，
同理，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故選：D．
【分析】
過點E作于點G，利用等邊三角形的性質和勾股定理可知，，，從而可得出，得到，即可求解．
11．（2024八上·杭州期中）“如果，那么”的逆命題是　 　.
【答案】如果a=b，那么|a|=|b|
【知識點】逆命題
【解析】【解答】解：“如果|a|=|b|，那么a=b”的逆命題是：
“如果a=b，那么|a|=|b|”，
故答案為：如果a=b，那么|a|=|b|.
【分析】原命題的條件為|a|=|b|，結論為a=b，將條件與結論互換可得逆命題.
12．（2024八上·杭州期中）根據下列數量關系列不等式：x的4倍不大于3的不等式是　 　。
【答案】4x≤3
【知識點】用代數式表示和差倍分的數量關系
【解析】【解答】解： x的4倍不大于3的不等式是 ：4x≤3，
故答案為：4x≤3.
【分析】根據題意列出不等式即可.
13．（2024八上·杭州期中）若等腰三角形的兩邊長分別是4和6，則這個三角形的周長是　 　.
【答案】14或16
【知識點】三角形三邊關系；等腰三角形的性質
【解析】【解答】解： ①若4為腰，滿足構成三角形的條件，周長為 ；
②若6為腰，滿足構成三角形的條件，則周長為 .
故答案為：14或16.
【分析】分兩種情況：①若4為腰，②若6為腰，根據等腰三角形的性質及三角形三邊關系判斷能否圍成三角形，對能圍成三角形的，利用周長的計算方法算出答案.
14．（2024八上·杭州期中）如圖，在中，是邊上的高線，是邊上的中線，是線段的垂直平分線．已知，則　 　．
【答案】
【知識點】三角形外角的概念及性質；線段垂直平分線的性質；等腰三角形的性質；直角三角形斜邊上的中線
【解析】【解答】解：如圖，連接，
∵，
∴，
∵是邊上的中線，
∴，
∵是線段的垂直平分線，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案為：．
【分析】
連接，由垂直平分線的性質得，則有；由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得，則有，再根據三角形的外角性質即可求解．
15．（2024八上·杭州期中）如圖，已知的面積為4，平分，且于點，那么的面積為　 　．
【答案】8
【知識點】等腰三角形的判定與性質；三角形全等的判定-ASA；角平分線的概念；全等三角形中對應邊的關系；利用三角形的中線求面積
【解析】【解答】解：如圖，延長BD交AC于點E，
∵AD平分∠BAE，AD⊥BD，
∴∠BAD=∠EAD，∠ADB=∠ADE，
在△ABD和△AED中，
，
∴△ABD≌△AED（ASA），
∴BD=DE，
∴S△ABD=S△ADE，S△BDC=S△CDE，
∴S△ABD+S△BDC=S△ADE+S△CDE=S△ADC，
∴S△ADC=S△ABC，
∴；
故答案為：8.
【分析】
借助角平分線的概念可延長BD交AC于點E，則可利用ASA證明△ABD≌△AED，則有BD＝ED，則由中線的性質可得S△ABD=S△ADE，S△BDC=S△CDE，即S△ADC=S△ABC.
16．（2024八上·杭州期中）如圖，在中，，點，分別在，上，且，將沿折疊，點恰好落在邊上的點處，與交于點．下列結論：其中正確的結論有　 　．（填序號）
；
若，則；
若，，則；
若，，則．
【答案】
【知識點】等腰三角形的判定與性質；勾股定理；翻折變換（折疊問題）；直角三角形斜邊上的中線；直角三角形的兩銳角互余
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，故正確；
∵，
∴，，
∴，
則，故正確；
，
∴，
∵，，
∴，
，
∴，故不正確；
，，
則由勾股定理得，
∴，故正確，
綜上可知：正確，
故答案為：．
【分析】
由折疊的性質知DE垂直平分CF，則，再由等角的補角相等可得，即CF ＝AF，同理可得，等量代換得；
由折疊的性質結合已知可得，由直角三角形兩銳角互余可得，再利用三角形的外角性質即可；
先由勾股定理可得，再利用等面積法求出，再利用勾股定理分別求得，即可判斷；
先由勾股定理求得，再利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得CF，最后再由折疊的性質即可求解．
17．（2024八上·杭州期中）已知：如圖，，相交于點O，，．
求證：（1）；
（2）．
【答案】證明：（1）在與中，∵，
∴（AAS）；
（2）∵，
∴OB=OC，
∴．
【知識點】等腰三角形的判定與性質；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中對應邊的關系
【解析】【分析】（1）由于對頂角相等，則可根據AAS證明；
（2）根據全等三角形的性質得OB=OC，再由等邊對等角即可證明結論成立．
18．（2024八上·杭州期中）已知a<0，試著用不等式的基本性質2和3分別比較3a與2a的大小.
解法一(利用基本性質2)
解法二(利用基本性質3)
【答案】解：解法一：
解法二：
【知識點】不等式的性質
【解析】【分析】根據不等式的基本性質2“兩邊同時乘以一個正數，不等號的方向不變”和基本性質3“兩邊同時乘以一個負數，不等號的方向改變”解答即可.
19．（2024八上·杭州期中）如圖，在正方形網格中點A，B，C均為格點，按要求作圖（保留作圖痕跡，不寫作法）：
（1）作出關于直線l的對稱圖形；
（2）求的面積；
（3）在直線l上找一點D，使最小．
【答案】（1）解：如圖，即為所作，
（2）解：的面積；
（3）解：如圖，點D即為所作．
【知識點】三角形的面積；軸對稱的應用-最短距離問題；幾何圖形的面積計算-割補法；將軍飲馬模型-一線兩點（一動兩定）；作圖-畫給定對稱軸的對稱圖形
【解析】【分析】
（1）根據軸對稱的性質分別確定A、B 、C關于直線的對稱點A`、B`、C`，再順次連接即可；
（2）利用割補法計算即可；
（3）連接交直線l于點D，則點D即為所求．
（1）解：如圖，即為所作，
（2）解：的面積；
（3）解：如圖，點D即為所作．
20．（2024八上·杭州期中）如圖，在中，．
（1）用尺規(guī)作圖：作邊的垂直平分線，交邊于點；（保留作圖痕跡）
（2）在（）的情況下，連結，若，，求的度數．
【答案】（1）答：如圖，以，為圓心，大于長度為半徑，兩弧相交于點，，連接交于點，
∴即為所求；
（2）解：由（）得垂直平分，∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知識點】三角形內角和定理；線段垂直平分線的性質；等腰三角形的性質；尺規(guī)作圖-垂直平分線
【解析】【分析】（）利用尺規(guī)作圖作垂直平分線的作法即可；
（）先利用三角形的外角性質求出，再由等邊對等角可得，然后根據三角形內角和計算的度數．
21．（2024八上·杭州期中）如圖，是的角平分線，，，點P是上一動點．
（1）連接，求的最小值；
（2）若，求的面積．
【答案】（1）解：如圖所示，過點D作于H，∵是的角平分線，，，
∴，
∵，
∴當點P與點H重合時，有最小值，最小值為；
（2）解：在中，，∴，
∵是的角平分線，
∴，
∴，
∴，
同理可得，
∴．
【知識點】垂線段最短及其應用；三角形內角和定理；角平分線的性質；含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【分析】（1）由垂線段最短知，當時最小，此時再應用角平分線的性質知；
（2）由直角三角形兩銳角互余可得，由角平分線的概念可知，則由直角三角形中30度角所對的直角邊是斜邊的一半可求出AD的長，再應用勾股定理可得AC，則AB可求，再利用三角形面積公式計算即可．
（1）解：如圖所示，過點D作于H，
∵是的角平分線，，，
∴，
∵，
∴當點P與點H重合時，有最小值，最小值為；
（2）解：在中，，
∴，
∵是的角平分線，
∴，
∴，
∴，
同理可得，
∴．
22．（2024八上·杭州期中）在中，，是上的一點．
（1）若E是的中點，，，，求的長；
（2）若是的角平分線，，，求的度數．
【答案】（1）解：，
，
，
，
，
，
在中，，，
，
，
是的中點，
，
，
；
（2）解：，，
，
是的角平分線，
，
，
，
．
【知識點】三角形內角和定理；勾股定理；角平分線的概念；直角三角形的兩銳角互余
【解析】【分析】
（1）先在直角三角形ABD中應用勾股定理可得BD長，再證三角形ACD是等腰三角形，則可得CD長，再利用中點的概念可得BE長，即DE可得，再在直角三角形AED中應用勾股定理即可；
（2）先由三角形內角和定理可得，然后利用角平分線的定義可得，再利用直角三角形的兩個銳角互余求得即可．
（1）解：，
，
，
，
，
，
在中，，，
，
，
是的中點，
，
，
；
（2）解：，，
，
是的角平分線，
，
，
，
．
23．（2024八上·杭州期中）如圖，在中，，于點D，E為上一點，連結．
（1）若，．
①求證：；
②若，求的度數；
（2）若，，，，求．
【答案】（1）①證明：∵，∴，
又∵，，
∴在和中
，
∴，即；
②解：∵，
∴，，
又∵，
∴，
∵，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知識點】直角三角形全等的判定-HL；勾股定理；全等三角形中對應邊的關系；全等三角形中對應角的關系；等腰三角形的性質-三線合一
【解析】【分析】
（1）①直接應用證明即可；
②由全等的性質可得，，則，再利用已知即可求解；
（2）由于，，則由等角的余角相等可得，即，再由等腰三角形三線合一知，由于，再在中應用勾股定理即可．
（1）①證明：∵，
∴，
又∵，，
∴在和中
，
∴，即；
②解：∵，
∴，，
又∵，
∴，
∵，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴．
24．（2024八上·杭州期中）在中，，，D為邊上一點．
（1）如圖1，若，，求的面積；
（2）如圖2，作，且，連結交邊于點F，連結．
①若，求證：；
②若，寫出線段，，長度之間的等量關系，并說明理由．
【答案】（1）解：∵，，，∴，，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）①證明：過作于，過作于，則，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，，，
∵，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴；
②解：，理由如下：
由①可得，
∴，
∴．
【知識點】三角形外角的概念及性質；三角形全等的判定；勾股定理；等腰直角三角形；異側一線三垂直全等模型
【解析】【分析】
（1）先利用等腰直角三角形的性質和勾股定理可求得AB的長，又和同高共底，則其面積比等于底邊比，此時利用三角形面積公式求出的面積即可；
（2）①證明：由于，則可過作于，過作于，則可利用一線三垂直全等模型證明，則有，，再由等腰直角三角形三線合一可證，等量代換得，則，所以，再由結合三角形的外角性質即可；
②由于，再由勾股定理可得到．
（1）解：∵，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）①證明：過作于，過作于，則，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，，，
∵，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴；
②解：，理由如下：
由①可得，
∴，
∴．
1 / 1浙江省杭州十三中集團2024-2025學年八年級上學期數學期中試題卷
1．（2024八上·杭州期中）下面四幅圖是由體育運動項目抽象出來的簡筆畫，其中是軸對稱圖形的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2024八上·杭州期中）已知三角形的三邊長分別是4，8，，則的取值可能是（　　）
A．10 B．11 C．12 D．13
3．（2024八上·杭州期中） 若x>y， 則下列式子中正確的是
A． B． C． D．
4．（2024八上·杭州期中）如圖，點在上，，，，則的長為（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．（2024八上·杭州期中）以a，b，c為邊的三角形是直角三角形的是（　　）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
6．（2024八上·杭州期中）對于命題“如果與互補，那么”，能說明這個命題是假命題的反例是（　　）
A．， B．，
C．， D．，
7．（2024八上·杭州期中）如圖，已知，，增加下列條件：①；②；③；④．其中能使的條件有(　　)
A．4個 B．3個 C．2個 D．1個
8．（2024八上·杭州期中）如圖，在中，點D在邊BC上，且滿足，過點D作，交AC于點E．設，，，則（　　）
A． B．
C． D．
9．（2024八上·杭州期中）對于下列兩個命題：①三角形一條邊的兩個頂點到這條邊上的中線所在直線的距離相等.②三角形一條邊上的中點到另兩邊的距離相等.說法正確的（　　）
A．①為真命題，②為假命題 B．①為假命題，②為真命題
C．①②均為真命題 D．①②均為假命題
10．（2024八上·杭州期中）如圖，中，，分別以為邊在AB的同側作正三角形，圖中四塊陰影部分的面積分別為，，，，則（　　）
A． B． C． D．
11．（2024八上·杭州期中）“如果，那么”的逆命題是　 　.
12．（2024八上·杭州期中）根據下列數量關系列不等式：x的4倍不大于3的不等式是　 　。
13．（2024八上·杭州期中）若等腰三角形的兩邊長分別是4和6，則這個三角形的周長是　 　.
14．（2024八上·杭州期中）如圖，在中，是邊上的高線，是邊上的中線，是線段的垂直平分線．已知，則　 　．
15．（2024八上·杭州期中）如圖，已知的面積為4，平分，且于點，那么的面積為　 　．
16．（2024八上·杭州期中）如圖，在中，，點，分別在，上，且，將沿折疊，點恰好落在邊上的點處，與交于點．下列結論：其中正確的結論有　 　．（填序號）
；
若，則；
若，，則；
若，，則．
17．（2024八上·杭州期中）已知：如圖，，相交于點O，，．
求證：（1）；
（2）．
18．（2024八上·杭州期中）已知a<0，試著用不等式的基本性質2和3分別比較3a與2a的大小.
解法一(利用基本性質2)
解法二(利用基本性質3)
19．（2024八上·杭州期中）如圖，在正方形網格中點A，B，C均為格點，按要求作圖（保留作圖痕跡，不寫作法）：
（1）作出關于直線l的對稱圖形；
（2）求的面積；
（3）在直線l上找一點D，使最小．
20．（2024八上·杭州期中）如圖，在中，．
（1）用尺規(guī)作圖：作邊的垂直平分線，交邊于點；（保留作圖痕跡）
（2）在（）的情況下，連結，若，，求的度數．
21．（2024八上·杭州期中）如圖，是的角平分線，，，點P是上一動點．
（1）連接，求的最小值；
（2）若，求的面積．
22．（2024八上·杭州期中）在中，，是上的一點．
（1）若E是的中點，，，，求的長；
（2）若是的角平分線，，，求的度數．
23．（2024八上·杭州期中）如圖，在中，，于點D，E為上一點，連結．
（1）若，．
①求證：；
②若，求的度數；
（2）若，，，，求．
24．（2024八上·杭州期中）在中，，，D為邊上一點．
（1）如圖1，若，，求的面積；
（2）如圖2，作，且，連結交邊于點F，連結．
①若，求證：；
②若，寫出線段，，長度之間的等量關系，并說明理由．
答案解析部分
1．【答案】C
【知識點】生活中的軸對稱現象；軸對稱圖形
【解析】【解答】解：A、B、D選項中的圖形都不能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對稱圖形；
C選項中的圖形能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對稱圖形；
故選：C．
【分析】
根據如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸．
2．【答案】A
【知識點】三角形三邊關系
【解析】【解答】解：根據三角形三邊關系可得：
解得：
故答案為：A
【分析】根據三角形三邊關系“兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊”列不等式組解題即可．
3．【答案】B
【知識點】不等式的性質
【解析】【解答】解：A： 若0B：若x>y， 兩邊同時減3得 ，原式正確；
C：若x>y， 兩邊同時乘以-2得 ，原式錯誤；
D：若x>y， 兩邊同時除以2得 ，原式錯誤；
故答案為：B.
【分析】根據不等式的基本性質判斷即可.
4．【答案】C
【知識點】全等三角形中對應邊的關系
【解析】【解答】解： 根據題意可得，
， ，
，
故選：C
【分析】
由全等三角形的對應邊相等可得即可．
5．【答案】B
【知識點】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、，故不是直角三角形，不符合題意；
B、，故是直角三角形，符合題意；
C、，故不是直角三角形，不符合題意；
D、，故不是直角三角形，不符合題意，
故選：B．
【分析】
使用勾股定理的逆定理時，只要驗證較小兩邊的平方和等于最長邊的平方即可．
6．【答案】C
【知識點】真命題與假命題
【解析】【解答】解：A、∵80°+110°=190°，∴∠1與∠2不互補，∴不能作為說明這個命題是假命題的反例；
B、 ∵10°+169°=179°，∴∠1與∠2不互補，∴不能作為說明這個命題是假命題的反例；
C、 ∵60°+120°=180°，∴∠1與∠2互補，但，∴能作為說明這個命題是假命題的反例；
D、 ∵60°+140°=200°，∴∠1與∠2不互補，∴不能作為說明這個命題是假命題的反例.
故答案為：C.
【分析】要使命題：如果∠1與∠2互補，那么∠1=∠2=90°為假命題所舉的反例需滿足∠1與∠2互補，但不滿足∠1=∠2=90°，據此判斷.
7．【答案】B
【知識點】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：①，，，
和不一定全等，
故①不符合題意；
②，，，
，
故②符合題意；
③，
，
，
，，
，
故③符合題意；
④，，，
，
故④符合題意；
所以，增加上列條件，其中能使的條件有3個，
故選：B．
【分析】一般三角形全等的判定共有四種方法，即SSS、SAS、ASA和AAS，注意不存在SSA一說．
8．【答案】D
【知識點】三角形內角和定理；三角形外角的概念及性質；等腰三角形的性質-等邊對等角；直角三角形的兩銳角互余
【解析】【解答】解：∵AB=AD=DC，，
∴，，
∵，
∴，
∴
∵，
∴
∴
故選：D
【分析】
由等邊對等角可得，，再由三角形的外角性質可得，再根據直角三角形的兩銳角互余或三角形的內角和定理逐項檢驗即可.
9．【答案】A
【知識點】真命題與假命題；三角形的中線
【解析】【解答】解： ①三角形一條邊的兩個頂點到這條邊上的中線所在直線的距離相等，是真命題；
②三角形一條邊上的中點到另兩邊的距離相等，是假命題；
故答案為：A.
【分析】根據三角形的中線的定義判斷即可.
10．【答案】D
【知識點】等邊三角形的性質；勾股定理；勾股樹模型
【解析】【解答】解：如圖，過點E作于點G，
∵是等邊三角形，
∴，，
∴，
∴，
同理，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故選：D．
【分析】
過點E作于點G，利用等邊三角形的性質和勾股定理可知，，，從而可得出，得到，即可求解．
11．【答案】如果a=b，那么|a|=|b|
【知識點】逆命題
【解析】【解答】解：“如果|a|=|b|，那么a=b”的逆命題是：
“如果a=b，那么|a|=|b|”，
故答案為：如果a=b，那么|a|=|b|.
【分析】原命題的條件為|a|=|b|，結論為a=b，將條件與結論互換可得逆命題.
12．【答案】4x≤3
【知識點】用代數式表示和差倍分的數量關系
【解析】【解答】解： x的4倍不大于3的不等式是 ：4x≤3，
故答案為：4x≤3.
【分析】根據題意列出不等式即可.
13．【答案】14或16
【知識點】三角形三邊關系；等腰三角形的性質
【解析】【解答】解： ①若4為腰，滿足構成三角形的條件，周長為 ；
②若6為腰，滿足構成三角形的條件，則周長為 .
故答案為：14或16.
【分析】分兩種情況：①若4為腰，②若6為腰，根據等腰三角形的性質及三角形三邊關系判斷能否圍成三角形，對能圍成三角形的，利用周長的計算方法算出答案.
14．【答案】
【知識點】三角形外角的概念及性質；線段垂直平分線的性質；等腰三角形的性質；直角三角形斜邊上的中線
【解析】【解答】解：如圖，連接，
∵，
∴，
∵是邊上的中線，
∴，
∵是線段的垂直平分線，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案為：．
【分析】
連接，由垂直平分線的性質得，則有；由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得，則有，再根據三角形的外角性質即可求解．
15．【答案】8
【知識點】等腰三角形的判定與性質；三角形全等的判定-ASA；角平分線的概念；全等三角形中對應邊的關系；利用三角形的中線求面積
【解析】【解答】解：如圖，延長BD交AC于點E，
∵AD平分∠BAE，AD⊥BD，
∴∠BAD=∠EAD，∠ADB=∠ADE，
在△ABD和△AED中，
，
∴△ABD≌△AED（ASA），
∴BD=DE，
∴S△ABD=S△ADE，S△BDC=S△CDE，
∴S△ABD+S△BDC=S△ADE+S△CDE=S△ADC，
∴S△ADC=S△ABC，
∴；
故答案為：8.
【分析】
借助角平分線的概念可延長BD交AC于點E，則可利用ASA證明△ABD≌△AED，則有BD＝ED，則由中線的性質可得S△ABD=S△ADE，S△BDC=S△CDE，即S△ADC=S△ABC.
16．【答案】
【知識點】等腰三角形的判定與性質；勾股定理；翻折變換（折疊問題）；直角三角形斜邊上的中線；直角三角形的兩銳角互余
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，故正確；
∵，
∴，，
∴，
則，故正確；
，
∴，
∵，，
∴，
，
∴，故不正確；
，，
則由勾股定理得，
∴，故正確，
綜上可知：正確，
故答案為：．
【分析】
由折疊的性質知DE垂直平分CF，則，再由等角的補角相等可得，即CF ＝AF，同理可得，等量代換得；
由折疊的性質結合已知可得，由直角三角形兩銳角互余可得，再利用三角形的外角性質即可；
先由勾股定理可得，再利用等面積法求出，再利用勾股定理分別求得，即可判斷；
先由勾股定理求得，再利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得CF，最后再由折疊的性質即可求解．
17．【答案】證明：（1）在與中，∵，
∴（AAS）；
（2）∵，
∴OB=OC，
∴．
【知識點】等腰三角形的判定與性質；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中對應邊的關系
【解析】【分析】（1）由于對頂角相等，則可根據AAS證明；
（2）根據全等三角形的性質得OB=OC，再由等邊對等角即可證明結論成立．
18．【答案】解：解法一：
解法二：
【知識點】不等式的性質
【解析】【分析】根據不等式的基本性質2“兩邊同時乘以一個正數，不等號的方向不變”和基本性質3“兩邊同時乘以一個負數，不等號的方向改變”解答即可.
19．【答案】（1）解：如圖，即為所作，
（2）解：的面積；
（3）解：如圖，點D即為所作．
【知識點】三角形的面積；軸對稱的應用-最短距離問題；幾何圖形的面積計算-割補法；將軍飲馬模型-一線兩點（一動兩定）；作圖-畫給定對稱軸的對稱圖形
【解析】【分析】
（1）根據軸對稱的性質分別確定A、B 、C關于直線的對稱點A`、B`、C`，再順次連接即可；
（2）利用割補法計算即可；
（3）連接交直線l于點D，則點D即為所求．
（1）解：如圖，即為所作，
（2）解：的面積；
（3）解：如圖，點D即為所作．
20．【答案】（1）答：如圖，以，為圓心，大于長度為半徑，兩弧相交于點，，連接交于點，
∴即為所求；
（2）解：由（）得垂直平分，∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知識點】三角形內角和定理；線段垂直平分線的性質；等腰三角形的性質；尺規(guī)作圖-垂直平分線
【解析】【分析】（）利用尺規(guī)作圖作垂直平分線的作法即可；
（）先利用三角形的外角性質求出，再由等邊對等角可得，然后根據三角形內角和計算的度數．
21．【答案】（1）解：如圖所示，過點D作于H，∵是的角平分線，，，
∴，
∵，
∴當點P與點H重合時，有最小值，最小值為；
（2）解：在中，，∴，
∵是的角平分線，
∴，
∴，
∴，
同理可得，
∴．
【知識點】垂線段最短及其應用；三角形內角和定理；角平分線的性質；含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【分析】（1）由垂線段最短知，當時最小，此時再應用角平分線的性質知；
（2）由直角三角形兩銳角互余可得，由角平分線的概念可知，則由直角三角形中30度角所對的直角邊是斜邊的一半可求出AD的長，再應用勾股定理可得AC，則AB可求，再利用三角形面積公式計算即可．
（1）解：如圖所示，過點D作于H，
∵是的角平分線，，，
∴，
∵，
∴當點P與點H重合時，有最小值，最小值為；
（2）解：在中，，
∴，
∵是的角平分線，
∴，
∴，
∴，
同理可得，
∴．
22．【答案】（1）解：，
，
，
，
，
，
在中，，，
，
，
是的中點，
，
，
；
（2）解：，，
，
是的角平分線，
，
，
，
．
【知識點】三角形內角和定理；勾股定理；角平分線的概念；直角三角形的兩銳角互余
【解析】【分析】
（1）先在直角三角形ABD中應用勾股定理可得BD長，再證三角形ACD是等腰三角形，則可得CD長，再利用中點的概念可得BE長，即DE可得，再在直角三角形AED中應用勾股定理即可；
（2）先由三角形內角和定理可得，然后利用角平分線的定義可得，再利用直角三角形的兩個銳角互余求得即可．
（1）解：，
，
，
，
，
，
在中，，，
，
，
是的中點，
，
，
；
（2）解：，，
，
是的角平分線，
，
，
，
．
23．【答案】（1）①證明：∵，∴，
又∵，，
∴在和中
，
∴，即；
②解：∵，
∴，，
又∵，
∴，
∵，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知識點】直角三角形全等的判定-HL；勾股定理；全等三角形中對應邊的關系；全等三角形中對應角的關系；等腰三角形的性質-三線合一
【解析】【分析】
（1）①直接應用證明即可；
②由全等的性質可得，，則，再利用已知即可求解；
（2）由于，，則由等角的余角相等可得，即，再由等腰三角形三線合一知，由于，再在中應用勾股定理即可．
（1）①證明：∵，
∴，
又∵，，
∴在和中
，
∴，即；
②解：∵，
∴，，
又∵，
∴，
∵，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴．
24．【答案】（1）解：∵，，，∴，，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）①證明：過作于，過作于，則，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，，，
∵，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴；
②解：，理由如下：
由①可得，
∴，
∴．
【知識點】三角形外角的概念及性質；三角形全等的判定；勾股定理；等腰直角三角形；異側一線三垂直全等模型
【解析】【分析】
（1）先利用等腰直角三角形的性質和勾股定理可求得AB的長，又和同高共底，則其面積比等于底邊比，此時利用三角形面積公式求出的面積即可；
（2）①證明：由于，則可過作于，過作于，則可利用一線三垂直全等模型證明，則有，，再由等腰直角三角形三線合一可證，等量代換得，則，所以，再由結合三角形的外角性質即可；
②由于，再由勾股定理可得到．
（1）解：∵，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）①證明：過作于，過作于，則，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，，，
∵，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴；
②解：，理由如下：
由①可得，
∴，
∴．
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