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第十三章 三角形 單元提高卷 2025-2026學(xué)年人教版數(shù)學(xué)八年級上冊
學(xué)校:___________姓名:___________班級:___________考號:___________
一、單選題
1．在下列長度的三條線段中，能組成三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．用直角三角板作的高，下列作法正確的是（ ）
A． B． C． D．
3．已知三角形的三邊長為連續(xù)整數(shù)，且周長為12cm，則它的最短邊長為（　　）
A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
4．一定能將三角形的面積分成相等的兩部分的是三角形的（　　）
A．高線 B．中線 C．角平分線 D．都不是
5．為估計池塘兩岸A、B間的距離，曉聰在池塘一側(cè)選取了一點P，測得，，那么間的距離不可能是（ ）
A． B． C． D．
6．如圖，已知直線，，，則的度數(shù)為（ ）．
A． B． C． D．
7．如圖所示，∠的度數(shù)是（　 　）
A．10° B．20° C．30° D．40°
8．如圖，在中，，，點、在邊、上，沿向內(nèi)折疊得到，則圖中等于（ ）
A． B． C． D．
9．如圖，中，，點、分別是、上的點，，，連接、交于點，當四邊形的面積為7時，則線段長度的最小值為（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
10．如圖，在三角形中，，平分，，，以下四個結(jié)論：①；②；③；④．其中正確的結(jié)論有（ ）

A．4個 B．3個 C．2個 D．1個
二、填空題
11．一個三角形的三個內(nèi)角的度數(shù)的比試，這個三角形是 三角形
12．用3根長度為整數(shù)的小棒來拼三角形，已知兩根小棒的長度分別為10厘米和5厘米，那么第三根小棒的長度最長是 厘米，最短是 厘米．
13．一個零件的形狀如圖所示，按規(guī)定應(yīng)等于，，應(yīng)分別是和．李叔叔量得，他斷定這個零件 （填“合格”或“不合格”）．
14．如圖，在中，分別是的高和角平分線，，，則 度．
15．如圖，已知， ．
16．一副三角板按如圖所示的方式擺放，，，，若，則的度數(shù)為 ．
17．如圖，在中，點在邊上，連接，點為線段的中點，連接，點為線段的中點，連接、，若的面積等于，則陰影部分的面積等于 ．
18．如圖，在中，已知，點O為內(nèi)一點，且，其中 平分，平分，平分，平分平分，平分，…，以此類推，則 ， ．
三、解答題
19．如圖，AD，AE分別是△ABC的高和角平分線，∠B＝40°，∠ACB＝80°，點F在BC的延長線上，F(xiàn)G⊥AE，垂足為H，F(xiàn)G與AB相交于點G．
（1）求∠AGF的度數(shù)；
（2）求∠EAD的度數(shù)．
20．如圖，在中，是的中點，，，用剪刀從點處進行裁剪．
（1）如圖1，若沿將剪成兩個三角形，求它們周長的差．
（2）如圖2，若點在上，沿將剪開，得到的兩部分圖形的周長差為2，求的長．
21．將三角尺（，）放置在上（點D在內(nèi)），如圖1，三角尺的兩邊，恰好經(jīng)過點B和點C．我們來探究：與是否存在某種數(shù)量關(guān)系．
(1)特例探索：當時，______°，______°；
(2)類比探索：寫出，與之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
(3)變式探索：如圖2，改變?nèi)浅叩奈恢茫裹cD在外，三角尺的兩邊，仍恰好經(jīng)過點B和點C，寫出，與之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
22．【初步認識】
（1）如圖①，在中，平分，平分．若，則___________；如圖②，平分，平分外角，則與的數(shù)量關(guān)系是___________；
【繼續(xù)探索】
（2）如圖③，平分外角，平分外角．請?zhí)剿髋c之間的數(shù)量關(guān)系；
【拓展應(yīng)用】
（3）如圖④，點是兩內(nèi)角平分線的交點，點是兩外角平分線的交點，延長交于點．在中，存在一個內(nèi)角等于另一個內(nèi)角的3倍，直接寫出的度數(shù)．
23．如圖1，，點分別在上運動（不與點重合），是的平分線，的反向延長線交的平分線于點．

【特殊探究】
（1）若，則______；
【推理論證】
（2）隨著點的運動，的大小是否會變化？如果不變，求的度數(shù)；如果變化，請說明理由．
【拓展探究】
（3）如圖2，直線與直線相交于點，夾角為，點在點右側(cè)，點在上方，點在點左側(cè)，點在射線上運動（不與重合），平分平分交直線于點，當時，求的度數(shù)．
參考答案
1．【答案】B
【分析】根據(jù)三角形中任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊，逐個判斷即可．
【詳解】解：．，不能組成三角形，故此選項不符合題意；
．，能組成三角形，故此選項符合題意；
．，不能組成三角形，故此選項不符合題意；
．，不能組成三角形，故此選項不符合題意；
故選．
2．【答案】C
【分析】
根據(jù)高線的定義即可得出結(jié)論．
【詳解】
解：A、B、D均不是高線．
故選：C．
【點睛】
本題考查的是作圖-基本作圖，熟知三角形高線的定義是解答此題的關(guān)鍵．
3．【答案】B
【分析】設(shè)大小處于中間的邊長是xcm，則最大的邊是（x+1）cm，最小的邊長是（x-1）cm，根據(jù)三角形的周長即可求得x，進而求解．
【詳解】設(shè)大小處于中間的邊長是xcm，則最大的邊是(x+1)cm，最小的邊長是(x 1)cm.
則(x+1)+x+(x 1)=12，
解得：x=4，
則最短的邊長是：4 1=3cm.
故選B.
【點睛】本題考查了三角形的周長，適當?shù)脑O(shè)三邊長是關(guān)鍵．
4．【答案】B
【詳解】解：根據(jù)等底同高的兩個三角形的面積相等即可知三角形的中線把三角形分成面積相等的兩部分．
故選B．
5．【答案】D
【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系確定的范圍，即可得到答案．
【詳解】解：，，
，即，
間的距離不可能是，
故選D．
6．【答案】A
【分析】本題考查的是平行線的性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)等知識點，掌握兩直線平行，內(nèi)錯角相等是解題的關(guān)鍵．
先根據(jù)三角形外角的性質(zhì)求出的度數(shù)，再由平行線的性質(zhì)求解即可．
【詳解】解：，，
，
，
．
故選A．
7．【答案】A
【解析】
如圖：
∠1=30°+20°=40+∠，則∠=10°，
故選A.
8．【答案】C
【分析】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，折疊的性質(zhì)，由三角形內(nèi)角和定理計算得出，由折疊的性質(zhì)可得，，從而得出，即可得解，熟練掌握以上知識點并靈活運用是解此題的關(guān)鍵．
【詳解】解：∵在中，，，
∴，
∴，
∵沿向內(nèi)折疊得到，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故選C．
9．【答案】D
【分析】過點作于點，連接，根據(jù)題意得出，，，設(shè)，，，建立方程組，解方程組，進而根據(jù)垂線段最短，即可求解．
【詳解】解：如圖所示，過點作于點，連接，
設(shè)，，，
∴，
∵，，
∴，，，
∴，，
聯(lián)立，
∴，
∵，
∴，
∴當時，最小為．
故選D．
10．【答案】B
【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)、角平分線的定義、余角的性質(zhì)等來判斷即可．
【詳解】解：∵，
∴，故①正確；
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，故②正確；
∵，而與不一定垂直，
∴不一定成立，故③錯誤；
∵，
∴和互余，和互余，而，
∴，故④正確．
故選B．
11．【答案】直角
【分析】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，三角形類別，解答此題應(yīng)明確三角形的內(nèi)角度數(shù)的和是，求出最大的角的度數(shù)，然后根據(jù)三角形的分類判定類型．
【詳解】解：，
這個三角形是直角三角形.
12．【答案】14；6
【分析】本題主要考查了三角形三邊關(guān)系，根據(jù)三角形的特征：任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊，由此解答即可．
【詳解】解：設(shè)第三根小棒的長度為厘米，
根據(jù)題意，可得，即，
∵第三根小棒的長度為整厘米，
∴第三根小棒的長度最長是14厘米，最短是6厘米．
13．【答案】不合格
【分析】連接，延長到點M，由是的外角，是的外角，利用三角形的外角性質(zhì)，可得出，，將其相加后，可得出，結(jié)合李叔叔量得，即可得出這個零件不合格．
【詳解】解：連接，延長，如圖所示．
∵是的外角，是的外角，
∴，，
∴
．
又∵李叔叔量得，
∴他斷定這個零件不合格．
14．【答案】
【分析】根據(jù)，得到，根據(jù)角平分線得到，根據(jù)高線得到即可得到答案．
【詳解】解：∵，，
∴，
∵分別是的高和角平分線，
∴，，
∴.
15．【答案】/240度
【分析】由三角形的外角性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理即可得出結(jié)果．
【詳解】連接，，
∴
又，
∴
．
16．【答案】
【分析】根據(jù)三角板得出，，根據(jù)，得出，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)和對頂角相等即可求解．
【詳解】如圖；
，，，
，
，
，
，
，
.
17．【答案】
【分析】根據(jù)三角形的中線把三角形分成兩個面積相等的兩個小三角形得出，，，根據(jù)的面積即可求出的面積，從而求出陰影部分的面積即可．
【詳解】解：∵點E為線段的中點，
∴，，
∵的面積等于，
∴，
∴，
∴，
∵點F為線段CE的中點，
∴.
18．【答案】；
【分析】本題考查了角平分線的定義、三角形的內(nèi)角和定理，正確歸納類推出一般規(guī)律是解題關(guān)鍵．
先根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可得的度數(shù)，再根據(jù)角平分線的定義、三角形內(nèi)角和定理即可求出的度數(shù)，同樣的方法求出的度數(shù)，然后歸納類推出一般規(guī)律，由此即可得出答案．
【詳解】解：，
，
，
，
，
平分，平分，
，，
，
，
，
，
，
，
同理可得：，
，
，
，
，
，
，
歸納類推得：，其中為正整數(shù)，
∴.
19．【答案】（1）60°；（2）20°
【分析】（1）由題意根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理和角平分線的定義即可得到結(jié)論；
（2）由題意根據(jù)垂直的定義得到∠ADB＝90°，進而根據(jù)三角形的內(nèi)角定理即可得到結(jié)論．
【詳解】解：（1）∵∠B＝40°，∠ACB＝80°，
∴，
∵AE是∠BAC的角平分線，
∴∠BAE＝∠BAC＝30°，
∵FG⊥AE，
∴∠AHG＝90°，
∴；
（2）∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∵∠AED＝∠B+∠BAE＝40°+30°＝70°，
∴．
20．【答案】（1）4
（2）1或 3
【分析】（1）由圖可得到的周長的周長，即可求解；
（2）分兩種情況：四邊形的周長的周長和的周長四邊形的周長解答即可．
【詳解】（1）解：∵是的中點，
，
∴的周長的周長；
（2）解：設(shè)，則，
當四邊形的周長的周長時，
即，
整理得，，
，
解得；
當?shù)闹荛L四邊形的周長時，
即，
整理得，，
，
解得：；
或3．
21．【答案】(1)90；54
(2)．理由見解析
(3)．理由見解析
【分析】（1）在中利用三角形內(nèi)角和即可求出的度數(shù)，再根據(jù)三角形內(nèi)角和得到得到，進而求出最后結(jié)果．
（2）利用得到的度數(shù)，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出，進而得到結(jié)論．
（3）設(shè)交于點O，根據(jù)對頂角相等得到，進而得到從而得到結(jié)論．
【詳解】（1）解：，
，
，
，
，
故答案為：90，54；
（2）．理由如下：
，
．
，
，
，
．
（3）．理由如下：
設(shè)交于點O，如圖．
，
，即，
．
22．【答案】（1），；（2）；（3）或或或．
【分析】本題主要考查了角平分線、三角形內(nèi)角和定理、三角形外角的性質(zhì)等知識點，明確角之間的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
（1）如圖①，由角平分線可得，由三角形內(nèi)角和可求；根據(jù)計算求解即可；如圖②，由角平分線與外角可得，再整理即可解答；
（2）由角平分線可得，由，可得，則根據(jù)，然后計算求解即可；
（3）由題意知，、、，當在中，存在一個內(nèi)角等于另一個內(nèi)角的3倍，分①，②，③，④四種情況求解即可．
【詳解】（1）解：如圖①，∵平分，平分，
∴，
∵，
∴；
如圖②，∵平分，平分外角，
∴，
∵，，
∴，整理得，．
（2）解：∵平分外角，平分外角，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：由題意知，，、，
∴當在中，存在一個內(nèi)角等于另一個內(nèi)角的3倍，
①當時，即，解得：，
∴；
②當時，即，則；
③當時，，解得，；
④當時，，解得，．
綜上所述，的度數(shù)為或或或．
23．【答案】（1）
（2）的大小不會變，
（3）的度數(shù)為或
【分析】（1）由題意可得，，由平分，平分，可得，根據(jù)，計算求解即可；
（2）同理（1）求解即可；
（3）由平分平分，可得，，設(shè)，，則，，由題意知，分點在上方，點在下方兩種情況，利用三角形外角的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理求解作答即可．
【詳解】（1）解：∵，，
∴，，
∵平分，平分，
∴，
∴.
（2）解：∵，
∴，
∵平分，平分，
∴，
∴，
∴的大小不會變，度數(shù)為；
（3）解：∵平分平分，
∴，，
設(shè)，，則，，
由題意知，分點在上方，點在下方兩種情況求解；
當點在上方時，如圖2，

∴，即，
解得，，
∴；
當點在下方時，如圖3，
圖3
由題意知，，
∵，
∴，
解得，，
∴；
綜上所述，的度數(shù)或．
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