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2025-2026學(xué)年度高中數(shù)學(xué)必修一
1.1-1.5集合與簡(jiǎn)易邏輯滾動(dòng)測(cè)試卷
一、單選題
1．集合可化簡(jiǎn)為（ ）
A． B． C． D．
2．已知集合，，則 （ ）
A． B． C． D．
3．已知，則“”是“且”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
4．已知全集，若，且則集合A有（ ）
A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)
5．已知集合，，則（ ）
A． B． C． D．
6．已知是的充分不必要條件，是的充分條件，是的必要條件，q是s的必要條件，下列命題正確的是（ ）
A．是的必要不充分條件 B．是的充要條件
C．是的充分不必要條件 D．是的充要條件
7．設(shè)集合，，定義集合，則集合中元素的個(gè)數(shù)是（ ）
A．5 B．6 C．8 D．9
8．設(shè)有限集M所含元素的個(gè)數(shù)用表示，并規(guī)定.已知集合A，B滿足，，若，，則滿足條件的所有不同集合A的個(gè)數(shù)為（ ）
A．3 B．6 C．10 D．64
二、多選題
9．在下列結(jié)論中，正確的有（ ）
A．是的必要不充分條件
B．在中，“”是“為直角三角形”的充要條件
C．若，則“”是“，不全為0”的充要條件
D．一個(gè)四邊形是正方形是它是菱形的必要條件
10．若集合A，B，U滿足，則（ ）
A． B． C． D．
11．設(shè)P是一個(gè)數(shù)集，且至少含有兩個(gè)數(shù)，若對(duì)任意a、b∈P，都有a+b、a－b，ab、∈P（除數(shù)b≠0），則稱P是一個(gè)數(shù)域．例如有理數(shù)集Q是一個(gè)數(shù)域；數(shù)集也是一個(gè)數(shù)域．下列關(guān)于數(shù)域的命題中是真命題的為（ ）
A．0，１是任何數(shù)域中的元素； B．若數(shù)集M，Ｎ都是數(shù)域，則是一個(gè)數(shù)域；
C．存在無窮多個(gè)數(shù)域； D．若數(shù)集M，Ｎ都是數(shù)域，則有理數(shù)集．
三、填空題
12．集合中實(shí)數(shù)的取值范圍是 ．
13．給出下列命題：①；②；③；④，則；⑤“”的充分條件是“”．其中正確命題的序號(hào)是 ．
14．已知全集，非空集合. 若在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)中的任意點(diǎn)，與關(guān)于軸、軸以及直線對(duì)稱的點(diǎn)也均在中，則以下命題：
①若，則；
②若，則S中至少有8個(gè)元素；
③若，則S中元素的個(gè)數(shù)可以為奇數(shù)；
④若，則.
其中正確命題的序號(hào)為 ．
四、解答題
15．已知集合，，求，，，.
16．已知集合，集合．
(1)若，求；
(2)設(shè)命題；命題，若命題是命題的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
17．（1）若命題“，”為假命題，求實(shí)數(shù)a的最小值.
（2）求證：方程有兩個(gè)同號(hào)且不相等的實(shí)根的充要條件是.
18．設(shè)集合，．
(1)若，求實(shí)數(shù)的值；
(2)若集合中有兩個(gè)元素，求實(shí)數(shù)的取值范圍，并用含的代數(shù)式表示；
(3)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
19．（1）已知集合且，任意從中取出k個(gè)四元子集，均滿足的元素個(gè)數(shù)不超過2個(gè)，求k的最大值.（舉出一個(gè)例子即可，無需證明）
（2）已知集合且，任意從中取出k個(gè)三元子集，均滿足的元素個(gè)數(shù)不超過一個(gè)，求k的最大值.
試卷第2頁，共3頁
試卷第3頁，共3頁
《2025-2026學(xué)年度高中數(shù)學(xué)必修一1.1-1.5集合與簡(jiǎn)易邏輯滾動(dòng)測(cè)試卷》參考答案
題號(hào) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C B C C B C C AC AD
題號(hào) 11
答案 ACD
1．B
【分析】通過解方程，根據(jù)的含義進(jìn)行求解即可.
【詳解】解方程,得，因?yàn)椋?br/>所以，
故選：B
2．C
【分析】根據(jù)交集含義即可得到答案.
【詳解】根據(jù)交集的含義得，
故選：C.
3．B
【分析】根據(jù)充分條件、必要條件的定義判斷即可.
【詳解】解：因?yàn)榛颍杂刹荒芡瞥銮遥闯浞中圆粷M足；
但由且可得，即由且可推出，所以必要性滿足；
所以是且的必要不充分條件.
故選：B.
4．C
【分析】根據(jù)題意，列舉出符合題意的集合.
【詳解】因?yàn)槿簦遥?br/>所以或或.
故選：C
5．C
【分析】解方程組，求得交點(diǎn)坐標(biāo)即可求解.
【詳解】由得，所以，
故選：C.
6．B
【分析】根據(jù)充分條件與必要條件的定義進(jìn)行判斷即可.
【詳解】依題意是的充分不必要條件，是的充分條件， 是的必要條件，是的必要條件，，
所以是的充要條件，A、C錯(cuò)誤;是的充分不必要條件, D錯(cuò)誤; 是的充要條件，B正確.
故選：B
7．C
【分析】先根據(jù)條件，，對(duì)，進(jìn)行取值，再驗(yàn)證是否成立，滿足條件的數(shù)對(duì)即為集合的元素，從而即可求解.
【詳解】∵集合，，，，
∴可取1，2，3，可取0，1，2，4.
（1）當(dāng)時(shí)，
，由，，成立，數(shù)對(duì)為的一個(gè)元素；
，由，，成立，數(shù)對(duì)為的一個(gè)元素；
，由，，成立，數(shù)對(duì)為的一個(gè)元素；
，由，，成立，數(shù)對(duì)為的一個(gè)元素；
（2）當(dāng)時(shí)，
，由，，成立，數(shù)對(duì)為的一個(gè)元素；
，由，，成立，數(shù)對(duì)為的一個(gè)元素；
，由，，不成立，數(shù)對(duì)不是的元素；
，由，，不成立，數(shù)對(duì)不是的元素；
（3）當(dāng)時(shí)，
，由，，成立，數(shù)對(duì)為的一個(gè)元素；
，由，，成立，數(shù)對(duì)為的一個(gè)元素；
，由，，不成立，數(shù)對(duì)不是的元素；
，由，，不成立，數(shù)對(duì)不是的元素.
綜上，的元素有八個(gè)，分別為：，，，，，，，.
故選：C.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解題的關(guān)鍵是理解元素與集合的關(guān)系，并且分類討論時(shí)要做到不重復(fù)，不遺漏.
8．C
【分析】設(shè)，由題意結(jié)合兩集合元素個(gè)數(shù)和為，可推理出，按的取值分類求解即可.
【詳解】若時(shí)，，
則，則，
這與題意矛盾，故不滿足題意；
故.
設(shè)A中元素的個(gè)數(shù)為，
則B中元素的個(gè)數(shù)為，且，
由且，得，.
①當(dāng)時(shí)，則，又，
所以，滿足題意；
②當(dāng)時(shí)，則，，則，，又，
若，則；
若，則；
若，則；
若，則；以上情況都滿足題意；
③當(dāng)時(shí)，即，則，，
但此時(shí)，故產(chǎn)生矛盾，所以不滿足題意；
④當(dāng)時(shí)，則由且，得，，
又，與②同理可得不同集合的個(gè)數(shù)有個(gè)，
即不同集合的個(gè)數(shù)有個(gè)；
⑤當(dāng)時(shí)，則由，得，又，
所以，滿足題意；
綜上，滿足條件的所有不同集合A的個(gè)數(shù)為.
故選：C.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決此題的關(guān)鍵在于理清題意，明確兩個(gè)集合及集合中元素個(gè)數(shù)的相互制約關(guān)系，所以有如下推理：若，則；若，，則，且.
9．AC
【分析】根據(jù)充分條件、必要條件的判定方法，逐項(xiàng)判定，即可求解.
【詳解】對(duì)于A中，由，可得，可得，所以充分性不成立，
反之：由，可得，可得，所以必要性成立，
所以是的必要不充分條件，所以A正確；
對(duì)于B中，在中，由，可得為直角三角形，
反之：由為直角三角形，不一定得到，
所以是為直角三角形的充分不必要條件，所以B不正確；
對(duì)于C中，若，由，可得不全為，
反之：當(dāng)不全為，可得，所以是不全為0”的充要條件，
所以C正確；
對(duì)于D中，若一個(gè)四邊形是正方形，可得它一定是菱形，所以充分性成立，
反之：菱形不一定是正方形，所以必要性不成立，
所以一個(gè)四邊形是正方形是它是菱形的充分不必要條件，所以D不正確.
故答案為：AC
10．AD
【分析】根據(jù)韋恩圖即可得之間的關(guān)系，進(jìn)而結(jié)合選項(xiàng)即可逐一求解.
【詳解】
由知：與沒有共同的元素，故，故A正確，
∴，即B錯(cuò)誤；僅當(dāng)時(shí)，即C錯(cuò)誤；，即D正確．
故選：AD．
11．ACD
【分析】利用數(shù)域的定義，對(duì)選項(xiàng)依次判斷,正確的選項(xiàng)要證明其一般性，錯(cuò)誤的選項(xiàng)給出反例即可.
【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)：由定義可知，對(duì)任意的數(shù)域P，至少含有兩個(gè)數(shù)，則至少有一個(gè)元素，所以有，故A對(duì);
對(duì)于B選項(xiàng)：假設(shè)數(shù)域，，所以當(dāng)時(shí)，且，
故,故B錯(cuò);
對(duì)于C選項(xiàng)：可以利用題中的數(shù)域的例子進(jìn)行構(gòu)造，對(duì)于任意非完全平方數(shù)的正整數(shù)Z,
集合都是數(shù)域，這樣就有無窮多個(gè)數(shù)域，故C對(duì)；
對(duì)于D選項(xiàng)：在A選項(xiàng)的基礎(chǔ)上進(jìn)行證明：任意數(shù)域P，都有有理數(shù)集，
下證：因?yàn)?，１是任何數(shù)域中的元素，而且任意整數(shù)都可以看成有限個(gè)0或1的和或差，
故所有整數(shù)都屬于數(shù)域P，
又任意有理數(shù)均能表示成兩個(gè)整數(shù)的商，故所有有理數(shù)也均在數(shù)域P中，即，
所以,自然有，故D對(duì).
故選：ACD
【點(diǎn)睛】“新定義”主要是指即時(shí)定義新概念、新公式、新定理、新法則、新運(yùn)算五種，然后根據(jù)此新定義去解決問題，有時(shí)還需要用類比的方法去理解新的定義，這樣有助于對(duì)新定義的透徹理解.但是，透過現(xiàn)象看本質(zhì)，它們考查的還是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)知識(shí)，所以說“新題”不一定是“難題”，掌握好三基，以不變應(yīng)萬變才是制勝法寶.
12．.
【分析】根據(jù)集合中元素的互異性，即可求解.
【詳解】由集合，根據(jù)集合元素的互異性，可得，
即實(shí)數(shù)的取值范圍是.
故答案為：.
13．①③④⑤
【分析】根據(jù)元素與集合的關(guān)系判斷①②，關(guān)于集合與集合的關(guān)系判斷③，由可得，即可判斷④，根據(jù)充分條件的定義判斷⑤；
【詳解】解：對(duì)于①，由元素與集合之間的關(guān)系可知，故正確；
對(duì)于②，因?yàn)榧媳硎救w數(shù)集，而是一個(gè)有序數(shù)對(duì)，所以，故錯(cuò)誤；
對(duì)于③，，故正確；
對(duì)于④，由可得，所以，故正確；
對(duì)于⑤，由可推出，故是的充分條件，故正確．
故答案為：①③④⑤．
14．①④
【分析】①根據(jù)定義和點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱的性質(zhì)可判斷；
②若，則中至少有4個(gè)元素，故錯(cuò)誤；
③若，則中元素的個(gè)數(shù)一定為成對(duì)出現(xiàn)，故為偶數(shù)；
④根據(jù)，顯然圖象關(guān)于軸，軸，和軸對(duì)稱，判斷即可．
【詳解】中的點(diǎn)在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)形成的圖形關(guān)于軸、軸和直線均對(duì)稱.
所以當(dāng)，則有，，，
進(jìn)而有：，，，，
①若，則，故①正確；
②若，則，，，能確定4個(gè)元素，故②不正確；
③根據(jù)題意可知，，若，能確定4個(gè)元素，
當(dāng)，也能確定個(gè)，當(dāng)，也能確定8個(gè)所以，
則中元素的個(gè)數(shù)一定為偶數(shù)，故③錯(cuò)誤；
④若，由中的點(diǎn)在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)形成的圖形關(guān)于軸、軸和直線均對(duì)稱可知，
則，，，即，
即，故④正確，
綜上：①④正確.
故答案為：①④.
15．或，或，，或或.
【分析】由題意，利用集合交并補(bǔ)的運(yùn)算，可得答案.
【詳解】由，，
則，，
或，或，
所以或，或，
或，或或.
16．(1)
(2)
【分析】（1）求出集合，再求即可；
（2）由命題是命題的必要不充分條件得集合是集合的真子集，再分、討論可得答案.
【詳解】（1），
若，則集合，
所以，
則=；
（2）∵命題是命題的必要不充分條件，
∴集合是集合的真子集，
當(dāng)時(shí)，，解得，
當(dāng)時(shí)，，或，
解得，
綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為．
17．（1）2；（2）證明見解析
【分析】（1）根據(jù)全稱量詞命題和存在量詞命題的真假求解即可；
（2）根據(jù)一元二次方程的根的分布及充要條件的定義證明即可.
【詳解】（1）“，”為假命題，
“，”為真命題，
則對(duì)恒成立，
即，
故實(shí)數(shù)的最小值為2.
（2）先證明充分性：
若，設(shè)方程的兩個(gè)實(shí)根為，，
則，所以
，方程有兩個(gè)不等實(shí)根，
而，，所以兩根同號(hào)，
故方程有兩個(gè)同號(hào)且不相等的實(shí)根；
再證明必要性：
若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根，
則，解得①；
又方程有兩個(gè)同號(hào)的實(shí)根，
由韋達(dá)定理得兩根之積必為正數(shù)，即，
②
由①②得的取值范圍是.
方程有兩個(gè)同號(hào)且不相等的實(shí)根的充要條件是.
18．(1)或
(2)，
(3)
【分析】（1）由已知，代入后解方程并檢驗(yàn)是否滿足題意；
（2）根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系和完全差的平方公式化簡(jiǎn)求值即可；
（3）由條件可得，結(jié)合集合確定集合，再根據(jù)集合情況分類求解即可．
【詳解】（1）由題意得，因?yàn)椋裕?br/>所以即，
化簡(jiǎn)得，即，解得或，
檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，，滿足，
當(dāng)時(shí)，，滿足，
所以或．
（2）因?yàn)榧现杏袃蓚€(gè)元素，所以方程有兩個(gè)根，
所以且，，
所以，．
（3）因?yàn)椋裕郑?br/>所以或或或，
當(dāng)時(shí)，，解得，符合題意；
當(dāng)時(shí)，則，無解；
當(dāng)時(shí)，則，所以；
當(dāng)時(shí)，則，無解，
綜上，的范圍為．
19．（1）3 （2）7
【分析】（1）列舉所有的四元子集，根據(jù)的元素個(gè)數(shù)不超過2個(gè)即可求解，
（2）列舉所有的三元子集，根據(jù)的元素個(gè)數(shù)不超過1個(gè)，可得 滿足要求，當(dāng)時(shí)得到元素個(gè)數(shù)之和超過21矛盾，即可求解.
【詳解】由題意知：，四元子集的個(gè)數(shù)一共有15個(gè)，
則有， ，
要使任意的元素個(gè)數(shù)不超過2個(gè)，則最大為2，
比如：
（2）由題意知：，三元子集的個(gè)數(shù)一共有35個(gè)，如下：
,
,
對(duì),則 與中其他元素共構(gòu)成6個(gè)含的二元數(shù)對(duì)，
而在每個(gè)含的三元子集中，恰好含的有2個(gè)這種數(shù)對(duì)，
由題意可知：兩個(gè)不同的三元子集中所含的相應(yīng)數(shù)對(duì)不同，
所以至多屬于三元集組中的3個(gè)，即至多出現(xiàn)在3個(gè)三元集中，
由于的元素個(gè)數(shù)不超過一個(gè)，
故在含的三元數(shù)對(duì)中，，
由m的任意性，不妨取 ，
包含1的三元集合不妨取滿足，
去掉1，剩下6個(gè)元素為 ，分為3組：
若選這組中的2，則中可選一個(gè)數(shù)字4或5，
則滿足至多一個(gè)元素的三元集合還有，
故,
故可取7.
由于，所以至多屬于三元集組中的3個(gè)，
即至多出現(xiàn)在3個(gè)三元集中，中一共有7個(gè)元素，
則這7個(gè)元素故總共出現(xiàn)的次數(shù)至多為
當(dāng)時(shí)，每個(gè)三元集中的元素出現(xiàn)3次，
那么所有的三元集中的元素出現(xiàn)次數(shù)為，則 ，這與總次數(shù)21矛盾，故，
故的最大值為7
答案第10頁，共11頁
答案第1頁，共11頁

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