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2025-2026學(xué)年度高中數(shù)學(xué)必修一
1.1-1.4集合與充分條件必要條件滾動(dòng)測(cè)試卷
一、單選題
1．已知全集，則（ ）
A． B． C． D．
2．已知空集，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知集合，，，且，則的值為（ ）
A．1或 B．1或3 C．或3 D．1，或3
4．已知集合M={－2，3}，N={－4,5,6}，依次從集合M，N中各取出一個(gè)數(shù)分別作為點(diǎn)P的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)，則在平面直角坐標(biāo)系中位于第一、二象限內(nèi)的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)是
A．4 B．5 C．6 D．7
5．若、為實(shí)數(shù)，則“”是“或”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
6．設(shè)，，若，則=
A． B． C． D．
7．設(shè)X是一個(gè)集合，是一個(gè)以X的某些子集為元素的集合，且滿足：（1）X屬于，屬于；（2）中任意多個(gè)元素的并集屬于（3）中任意多個(gè)元素的交集屬于；則稱是集合X上的一個(gè)拓?fù)?已知集合，對(duì)于下面給出的四個(gè)集合：
①；
②；
③；
④；
其中是集合X上的拓?fù)涞募系男蛱?hào)是（ ）
A．② B．①③ C．②④ D．②③
8．已知集合.若，且對(duì)任意的，，均有，則集合B中元素個(gè)數(shù)的最大值為
A．25 B．49 C．75 D．99
二、多選題
9．已知集合，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A． B．
C． D．
10．下列各個(gè)選項(xiàng)中，滿足 的集合A有（ ）
A． B． C． D．
11．（多選）若非空實(shí)數(shù)集滿足任意，都有， ，則稱為“優(yōu)集”．已知是優(yōu)集，則下列命題中正確的是（ ）
A．是優(yōu)集 B．是優(yōu)集
C．若是優(yōu)集，則或 D．若是優(yōu)集，則是優(yōu)集
三、填空題
12．用列舉法表示集合 .
13．在“ =”中，選擇最合適的符號(hào)填空：已知，，，則M N，M P，N P.
14．已知有限集合，定義集合中的元素個(gè)數(shù)為集合的“容量”，記為．若集合，則 ；若集合，且，則正整數(shù)的值是 ．
四、解答題
15．選擇適當(dāng)方法表示下列集合：
(1)由不超過(guò)5的所有自然數(shù)組成的集合A；
(2)不等式的解集組成集合；
(3)二次函數(shù)的圖象上所有的點(diǎn)組成的集合．
16．已知集合，集合為整數(shù)集，令.
(1)求集合；
(2)若集合，，求實(shí)數(shù)的值.
17．設(shè)為全集，集合，．
(1)若，求，；
(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
18．已知全集為R，集合，集合或．
(1)若是成立的充分不必要條件，求的取值范圍；
(2)若，求的取值范圍．
19．已知方程的兩個(gè)不相等實(shí)根為．集合，，，，，求的值？
試卷第2頁(yè)，共3頁(yè)
試卷第1頁(yè)，共3頁(yè)
參考答案
題號(hào) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D B A A A D D AD AC
題號(hào) 11
答案 ACD
1．C
【分析】
由集合補(bǔ)集及交集的性質(zhì)即可求得.
【詳解】，
又
故選：C
2．D
【分析】根據(jù)二次方程無(wú)解等價(jià)于判別式小于0計(jì)算即可.
【詳解】由題意，二次方程無(wú)解，故，解得.
故選：D
3．B
【分析】根據(jù)元素與集合的關(guān)系，得到或，從而求得m值，并驗(yàn)證是否符合集合互異性即可.
【詳解】解：，，，
或，即或.
當(dāng)時(shí)，，5，；
當(dāng)時(shí)，，3，；
當(dāng)時(shí)，，1，不滿足互異性，
的取值集合為，.
故選：.
4．A
【分析】由對(duì)于集合中的元素作為點(diǎn)的橫坐標(biāo)，中的元素作點(diǎn)的縱坐標(biāo)，在第一象限的點(diǎn)共有個(gè)，在第二象限的點(diǎn)共有個(gè)，由分類(lèi)計(jì)數(shù)原理，即可求解．
【詳解】由題意，要使得點(diǎn)在平面直角坐標(biāo)系中位于第一、二象限內(nèi)，
對(duì)于集合中的元素作為點(diǎn)的橫坐標(biāo)，中的元素作點(diǎn)的縱坐標(biāo)，
在第一象限的點(diǎn)共有個(gè)；
在第二象限的點(diǎn)共有個(gè)；
由分類(lèi)計(jì)數(shù)原理可得點(diǎn)的個(gè)數(shù)為個(gè)，
故選A．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了分類(lèi)計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，其中解答中解答這類(lèi)問(wèn)題理解題意很關(guān)鍵，一定多讀題才能挖掘出隱含條件．解題過(guò)程中要首先分清“是分類(lèi)還是分步”、“是排列還是組合”，在應(yīng)用分類(lèi)計(jì)數(shù)加法原理討論時(shí)，既不能重復(fù)交叉討論又不能遺漏，這樣才能提高準(zhǔn)確率．在某些特定問(wèn)題上，也可充分考慮“正難則反”的思維方式．
5．A
【分析】利用不等式的基本性質(zhì)、特殊值法結(jié)合充分條件、必要條件的定義判斷可得出結(jié)論.
【詳解】若，若，則，此時(shí)有，
若，則，此時(shí)有，
所以，若，則“或”，
即“”“或”；
若“或”，若，不妨取，，則；
若，不妨取，，則.
所以，“”“或”.
因此，“”是“或”的充分不必要條件.
故選：A.
6．A
【詳解】試題分析：由知，所以
所以顯然，
故選A．
考點(diǎn)：1、集合的交并運(yùn)算；2、一元二次方程的解法．
7．D
【分析】根據(jù)集合X上的拓?fù)涞募系亩x，逐個(gè)驗(yàn)證即可.
【詳解】①，而，故①不是集合X上的拓?fù)涞募希?br/>②，滿足：①X屬于，屬于；
②中任意多個(gè)元素的并集屬于；③中任意多個(gè)元素的交集屬于，
因此②是集合X上的拓?fù)涞募希?br/>③，滿足：①X屬于，屬于；
②中任意多個(gè)元素的并集屬于；③中任意多個(gè)元素的交集屬于，
因此③是集合X上的拓?fù)涞募希?br/>④，而，故④不是集合X上的拓?fù)涞募希?br/>綜上得，是集合X上的拓?fù)涞募系男蛱?hào)是②③.
故答案為：D.
8．D
【分析】先分析集合元素的特點(diǎn)，通過(guò)列舉可得.
【詳解】當(dāng)或的值較小時(shí)，集合B中元素個(gè)數(shù)最多，即共有99個(gè)元素.
【點(diǎn)睛】本題主要考查集合的表示方法，抓住集合元素的特點(diǎn)是求解的關(guān)鍵.
9．AD
【分析】利用常用數(shù)集化簡(jiǎn)集合，再利用集合的關(guān)系與交并補(bǔ)運(yùn)算即可得解.
【詳解】因?yàn)椋?br/>又，所以，且，故A正確，B錯(cuò)誤；
，，故C錯(cuò)誤，D正確.
故選：AD.
10．AC
【分析】先化簡(jiǎn)集合，利用子集、真子集的含義可得答案.
【詳解】因?yàn)椋从?，
所有滿足條件的集合A為：，，.
故選：AC.
11．ACD
【分析】結(jié)合集合的運(yùn)算，緊扣集合的新定義，逐項(xiàng)推理或舉出反例，即可求解.
【詳解】對(duì)于A中，任取，
因?yàn)榧鲜莾?yōu)集，則，則 ，
，則，所以A正確；
對(duì)于B中，取，
則或，
令，則，所以B不正確；
對(duì)于C中，任取，可得，
因?yàn)槭莾?yōu)集，則，
若，則，此時(shí) ；
若，則，此時(shí) ，
所以C正確；
對(duì)于D中，是優(yōu)集，可得，則為優(yōu)集；
或，則為優(yōu)集，所以是優(yōu)集，所以D正確.
故選：ACD.
【點(diǎn)睛】解決以集合為背景的新定義問(wèn)題要抓住兩點(diǎn)：1、緊扣新定義，首先分析新定義的特點(diǎn)，把心定義所敘述的問(wèn)題的本質(zhì)弄清楚，應(yīng)用到具體的解題過(guò)程中；2、用好集合的性質(zhì)，解題時(shí)要善于從試題中發(fā)現(xiàn)可以使用的集合的性質(zhì)的一些因素.
12．
【分析】由題意可得或，解之即可求解.
【詳解】因?yàn)椋?br/>所以或，解得或0或2或3，
即.
故答案為：
13． =
【詳解】集合．
對(duì)于集合：
(1)當(dāng)是偶數(shù)時(shí)，令，則；
(2)當(dāng)是奇數(shù)時(shí)，令，則
從而，得．
對(duì)于集合：
(1)當(dāng)時(shí)，
(2)當(dāng)時(shí)，
從而，得．
綜上，．
故答案為：① ；② ；③＝
14．
【分析】第一問(wèn)：由所給定義得到集合，從而得到；第二問(wèn)：由集合中元素確定集合中元素的最大值和最小值，從而得出的表達(dá)式，解方程可得．
【詳解】第一問(wèn)：因?yàn)椋裕?br/>所以，
第二問(wèn)：因?yàn)椋?br/>易知集合中任意兩個(gè)元素的和最小值是，最大值是，
且對(duì)任意，，都存在，，使得，
所以，由，解得．
故答案為：；
15．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用列舉法表示集合即可；
（2）利用描述法表示集合即可；
（3）利用描述法表示集合即可．
【詳解】（1）利用列舉法表示集合；
（2）利用描述法表示集合；
（3）利用描述法表示集合．
16．(1)
(2)
【分析】（1）求出集合，利用交集的定義可求得集合；
（2）利用并集的結(jié)果可求得實(shí)數(shù)的值.
【詳解】（1）解：因?yàn)椋?br/>所以，；
（2）解：因?yàn)椋遥?
17．(1)，
(2)
【分析】（1）先求出集合，，然后結(jié)合集合的交集及補(bǔ)集運(yùn)算即可求解；
（2）由已知結(jié)合集合的包含關(guān)系對(duì)集合是否為空集進(jìn)行分類(lèi)討論即可求解．
【詳解】（1）由題意可得，
當(dāng)時(shí)，，
所以，
因?yàn)椋?br/>所以
（2）由（1）知，，
若，即，解得，此時(shí)滿足；
若，要使，則，解得，
綜上，若，所求實(shí)數(shù)的取值范圍為．
18．(1)或；
(2)．
【分析】（1）由是成立的充分不必要條件所以是的真子集，進(jìn)而求出結(jié)果；
（2）由可得且，解不等式即可求出結(jié)果．
【詳解】（1）因?yàn)槭浅闪⒌某浞植槐匾獥l件，所以是的真子集，
則或，解得或，
又因?yàn)樗曰颍?br/>所以的取值范圍為或；
（2），且
∴且，即
故的取值范圍是．
19．.
【詳解】試題分析：先根據(jù)A∩C=A，可確定集合A、C的關(guān)系，進(jìn)而可得到α∈C，β∈C，再由A∩B= 可知α B，β B，然后觀察集合B、C中的元素即可確定α，β的值，然后根據(jù)韋達(dá)定理可確定p、q的值．
試題解析：由知
又，則，.
而，故，
顯然即屬于又不屬于的元素只有1和3.
不妨設(shè)，.
對(duì)于方程的兩根
應(yīng)用韋達(dá)定理可得.
答案第8頁(yè)，共8頁(yè)
答案第1頁(yè)，共8頁(yè)

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