資源簡介

廣東省深圳市2016年啟智杯小學五六年級數學思維及應用能力競賽（A2組）
1．（2016·深圳競賽）在1、2、3、……、99、100這100個數中，選取96個數，使它們的和等于5035。
（1）寫出兩種不同的取法，其中一組包含1，另一組不包含1.(只寫選取方法，不必寫出全部96個數)
（2）總共有多少種不同的取法？
（3）如果不允許取數10，是否可以做到？ (寫出你的答案，不必寫過程)
【答案】（1）解：因為1+2+3+ +99+100=5050，因此被棄的4個數之和為5050-5035=15。
包含1 的一組可取1+2+3+9=15，
不包含1 的一組可取 2+3+4+6=15，
答：包含1 的一組可取1、2、3、9；不包含1 的一組可取 2、3、4、6。
（2）解：已知1+2+3+ +100=5050，5050 5035=15。
這意味著要從 1 到 100 中選 4 個數，使它們的和等于 15，剩下的 96 個數的和就等于 5035。
通過列舉可得：
1+2+3+9=15
1+2+4+8=15
1+2+5+7=15
1+3+4+7=15
1+3+5+6=15
2+3+4+6=15
所以選 96 個數，和等于 5035，共有 6 種選法。
答：共有 6 種選法。
（3）解：因為要找出 4 個數相加等于 15，而 10 加任意三個不同的數都不可能等于 15，所以不允許取數 10。
答： 不允許取數10，不可以做到。
【知識點】數字和問題；枚舉法
【解析】【分析】 要先計算 1 到 100 的總和，然后根據與 5035 的差值找出選取 4 個數和為該差值的組合數；
因為1+2+3+ +99+100=5050， 因此被棄的4個數之和為5050-5035=15。
⑴含數字1：15=1+2+3+9； 不含數字1：15=2+3+4+6。
⑵采用從小到大的順序枚舉，確保不重不漏，1+2+3+9；1+2+4+8；1+2+5+7；1+3+4+7； 1+3+5+6； 2+3+4+6， 共6種。
⑶如⑵所示，在所有的15的拆法中，不含10這個數，因此不能棄掉10。
2．（2016·深圳競賽）一列數1、1、3、7、 17、41、…， 其特點是： 從第三項開始， 每一項等于其前一項的2倍加更前一項，比如 . 問該數列的第2016項被3除余數是多少？ 寫出答案并說明理由。
【答案】解：數列被3除的余數規律為1、1、0、1、2、2、0、2、1、1、0、…，
每8個為一周期，因為2016÷8=252，正好被整除，第2016項正好是第252個完整周期的結尾。
所以第2016項被3除余數是2。
答： 數列的第2016項被3除余數是2。
【知識點】數列中的規律；其他余數問題
【解析】【分析】原數列滿足通項 根據余數的“可加性”與“可乘性”，則數列中每一項除以 3 的余數也滿足類似的規律，由此可以得到由這列數除以3的余數組成的新數列：1，1，0，1，2，2，0，2，1，1，0，…，每8個余數形成一個周期. 再由2016÷8=252，可知第2016項正好是第252個完整周期的結尾，因此原數列第2016 項除以3的余數為2。
3．（2016·深圳競賽）一個長為99cm的線段上標注著100個點，分別連接其中兩點可以得到一條線段，總共有多少條線段？ 在一個矩形內隨機分布著100個點，分別連接其中兩點可以得到一條線段，總共有多少條線段？ 說明理由。
【答案】解：（1）以第一個點為左端點共有99條線段，以第二個點為左端點有98條線段，以此類推，最后以第99個點為左端點有1條線段。
總共有1+2+3+…+99=（1+99)=4950（條）
（2）若矩形內隨機分布著100個點， 分別連接其中兩點可以得到一條線段 ，則線段的數量不變，仍為4950條。
答： 總共有4950條線段，若矩形內隨機分布著100個點， 分別連接其中兩點可以得到一條線段 ，則線段的數量仍為4950條。
【知識點】等差數列；幾何中的計數問題
【解析】【分析】 本題主要考查線段的計數 ， 從左到右，以第一個點為左端點共有99條線段，以第二個點為左端點有98條線段，以此類推，最后以第99個點為左端點有1條線段，總共有1+2+3+…+99=4950（條）。
若是這100個點隨機分布，也仍然為1+2+3+…+99=4950（條）。
4．（2016·深圳競賽）請將2016 寫成 的形式，其中a，b，c是3個不同的兩位數，其中 。請給出所有不同的寫法。
【答案】解：133=2197＞2016，所以a最大只能取12，
當a=12時，2016-123=288，b最大只能取16，
所以2016=123+162+32；
2016=123+152+63；
2016=123+142+92；
當a=11時，2016-113=685，b最大只能取25，
所以2016=113+252+60；
當a=10時，2016-103=1016，b最大只能取31，
2016=103+312+55
故有5種不同的寫法。
答：有5種不同的寫法，分別為：
2016=123+162+32；
2016=123+152+63；
2016=123+142+92；
2016=113+252+60；
2016=103+312+55
【知識點】整數的裂項與拆分；枚舉法
【解析】【分析】 本題需要找出滿足條件的三個不同兩位數 a、b、c，使得 =2016。我們可以通過對兩位數的范圍進行分析，逐步嘗試不同的數值來找到所有可能的組合。
因為 a 是兩位數，最小的兩位數是 10，103=1000；最大的兩位數是 99，但 993 遠大于 2016。最小的數可以從 10 開始嘗試 a 的值。 因為133=2197＞2016，所以a最大只能取12，最大的數可以從 12 開始嘗試 a 的值。
5．（2016·深圳競賽）由2016個單個的1組成的，結果為118的加減法算式，一次改變其中的4個運算符號(加號變為減號，減號變為加號) 稱為是一次操作。問：
（1）這個算式中原本有多少個減號？
（2）對這個算式，能否經過若干次操作，使算式結果為0？ 若能，請寫出你的操作過程； 若不能，請說明理由.
【答案】（1）解：設這個算式中原本有x個減號，則有（2015-x）個加號，
則2016-x-x=118，
解得x=949；
答：這個算式中原本有949 個減號。
（2）解：一次改變其中的4個運算符號，對應的情形是增加或減少8或增加或減少4，結果不變，
所以經過若干次操作，不能使算式結果為0。
答： 不能使算式結果為0。
【知識點】奇數和偶數；列方程解含有一個未知數的應用題
【解析】【分析】(1)設這個算式中原本有x個減號，則有（2015-x）個加號，由2016個單個的1組成的、結果為118的加減法算式，建立方程，即可得出結論；
(2016-x)-x=118， 解之得x=949. 因此初始狀態有949個減號。
(2) 每次操作，減號的個數變化量可以是：+4個、+2個、不變、-2個、-4個，總是變化偶數個。 而起始狀態減號有949個，是奇數； 目標狀態減號有 1008個，是偶數，因此永遠不能實現。
6．（2016·深圳競賽）在下面乘法算式中，漢字“啟、智、杯、好”分別代表一個不同的數字，每個空格代表一個數字，求“啟智杯好”連在一起代表什么數？ 說明你的關鍵步驟。
【答案】解： 由第一步：好×好，個位數還是“好”，說明“好”等于1或5或6；
由第二步：杯×好，個位數還是“好”，而且“杯”和“好”不是同一個數字，說明“杯”=1，從而“好”只能等于5或6；
由第三步：智×啟智杯好=0，說明“智”=0，
由第四步：啟×啟智杯好，結果為四位數，說明啟≤3，所以“啟”=2或3，“啟×好”的個位數為“啟”，當“啟”=2時，“好”=6；當“啟”=3時，無解，所以“啟”=2。
所以“啟智杯好”=2016。
答： 啟智杯好”連在一起代表的數是2016。
【知識點】豎式數字謎
【解析】【分析】通過觀察乘法算式的特點，利用乘法運算的規律和數字的性質來逐步推導每個漢字所代表的數字。
7．（2016·深圳競賽）考察算式 而 由此得到平方和等式； 請仿照這種觀點. 通過對99進行不同的因數分解，寫出類似的所有可能的平方和等式。
【答案】解： 對99進行不同的因數分解，所有可能的平方和等式如下：
99=1×99=9×11=3×33。
1×99=452-442；
9×11=102-12；
3×33=182-152。
452+12=442+102，
452+152=182+442，
102+152=182+12。
【知識點】分解質因數；十大公式法
【解析】【分析】 觀察算式可得，一個數等于它的兩個數因數的乘積，也等于把較大的因數分成差是較小的因數的兩個數的平方差，兩個相等的平方差構成平方和等式。99=1×99=9×11=3×33。1×99=452-442；9×11=102-12；3×33=182-152。452+12=442+102，452+152=182+442，102+152=182+12。
8．（2016·深圳競賽）一個箱子內裝有2016顆棋子，兩人輪流在其中取任意多顆棋子，規定每人每次只能提取1、3、7顆棋子，不得不取，也不得多取，取到最后棋子的人取勝。為了確保取勝，你是愿意先手，還是愿意后手？ 說出你的選擇答案和必勝的策略。
【答案】解：2016是偶數，1、3、7是奇數，奇數+奇數=偶數，每次兩人取的和是偶數，所以后取者必勝。
若先手者取1，則后手者3，1+3=4，
先手者取3，則后手者1，1+3=4，
先手者取7，則后手者1，1+7=8，
按此方法，最留給先手者的球數總是4的倍數，即4顆或8顆。
答： 為了確保取勝 ，應該后手，策略為若先手者取1，則后手者3；先手者取3，則后手者1；先手者取7，則后手者1。
【知識點】策略問題
【解析】【分析】初始狀態有2016顆棋子，為偶數； 目標狀態為0顆棋子，也為偶數，而每次操作，不管是取1顆、3顆還是7顆，都會改變棋子個數的奇偶性，先手永遠在把偶數變奇數，后手永遠在把奇數變偶數，因此后手必勝，跟每步取幾顆毫無關系。
9．（2016·深圳競賽）在移動通訊領域，一個基站發出的信號可以覆蓋以基站為中心、500米為半徑的圓形區域。一個邊長為1000米的正方形住宅區，為了使區內信號全覆蓋，至少要建幾個基站？ 請說明理由。如果是長為2000米、寬為1000 米的矩形住宅區呢？ 請說出答案。
【答案】解： (1)如圖1所示，將一個半徑為500的圓放入邊長為1000的正方形，得到四塊“角落區域”. 顯然，任何一個基站不能同時完全覆蓋2個“角落區域”，因此蓋住四塊“角落區域”至少需要4個基站，利用4個基站實現覆蓋的方式有很多，圖2和圖3舉了其中兩種方式以供參考.
(2)如圖4 所示，當長增加到 2000m時，“角落區域”會相應地變為6個，因此至少需要6個基站才能滿足要求。圖5給出了一種6個基站的覆蓋方案以供參考。
答： 一個邊長為1000米的正方形住宅區，為了使區內信號全覆蓋，至少要建4個基站， 如果是長為2000米、寬為1000 米的矩形住宅區至少要建6個基站。
【知識點】幾何容斥原理（圖形重疊）
【解析】【分析】 本題涉及圓形覆蓋和幾何圖形的關系。對于正方形和矩形住宅區，要考慮如何用半徑為 500 米的圓形覆蓋區域，關鍵在于分析不同位置放置基站能否完全覆蓋住宅區的各個部分。
(1)如圖1所示，將一個半徑為500的圓放入邊長為1000的正方形，得到四塊“角落區域”. 顯然，任何一個基站不能同時完全覆蓋2個“角落區域”，因此蓋住四塊“角落區域”至少需要4個基站，利用4個基站實現覆蓋的方式有很多，圖2和圖3舉了其中兩種方式以供參考.
(2)如圖4 所示，當長增加到 2000m時，“角落區域”會相應地變為6個，因此至少需要6個基站才能滿足要求。圖5給出了一種6個基站的覆蓋方案以供參考。

10．（2016·深圳競賽）張老師去書店選購圖書，他決定將以下四本書各買若干本：《啟智杯習題集》(定價：19元)，《數學思維方法》(定價：58元)，《小學數學競賽題典》(定價：57元)，《奇妙的數學》(定價：38元)。最終，張老師一共花費2016元.細心的同學會發現，58元這個價格與其他三個價格有不同的特征。請問：《數學思維方法》買了多少本？ 答案是否唯一？ 請說明理由。
【答案】解：因為19、38和57都是19的倍數，而58除以19余1。 因為2016除以19余2，所以余出的2是由《數學思維方法》的本數造成的。 本數必然除以19余2，當本數是2本或21本符合要求， 當本數為40本時，40×58=2320＞2016，不合題意。 所以只能是2本或21本。
答： 《數學思維方法》買了2本或21本，答案不唯一。
【知識點】數字問題；其他余數問題
【解析】【分析】本題關鍵在于觀察數字之間是數量關系，19、38和57都是19的倍數，而58除以19余1，通過余數判斷《數學思維方法》的本數。
11．（2016·深圳競賽）有2016個人，其中有些人總說真話，我們把他們叫做“真話先生”，另一些人總說假話，我們把他們叫做“假話先生”。有一天，一個陌生人問這2016個人中有多少個“真話先生”，第1 個人說：“少于 1 個”； 第2 個人說：“少于 2個”； ……； 第2016個人說：“少于2016個”。請問， 這2016人中究竟有多少個“真話先生”？ 請說明理由。
【答案】解：假設一共有n個“真話先生”，
說少于“n+1～2016個”的人都是“真話先生”，
所以有：2016-（n+1）+1=n，
解得：n=1008，
即從第1009個人到2016個人都說的是真話。
答：這2016個人中有1008個“真話先生”。
【知識點】邏輯推理
【解析】【分析】假設一共有n個“真話先生”，一方面， “少于1個”， “少于2個”， ……， “少于n個”，這n句話全是假的，而剩下的2016-n句話都是真的，那么說“少于n+1～2016個”的人都是“真話先生”，由此解答。
12．（2016·深圳競賽）圖1、圖2、圖3、圖4中，圓圈上的數是按照每個圖形中兩個三角形中的數字與圖形中的兩個正方形中的數字，經過運算規律得出的。請你找出此規律，求出圖3、圖4中字母x、y表示的數字。
【答案】解：觀察圖，分析可得，
x=（10-4）×（9+8）=102
（19-y）×（12+13）=100
（19-y）×25=100
19-y=4
y=15
答：x=102，y=15。
【知識點】列方程解含有一個未知數的應用題；數形結合規律
【解析】【分析】觀察前兩張圖，不難發現：兩個三角形中的數求差，兩個正方形中的數求和，用所得的差乘以所得的和，恰好是圓形中的數. 根據這個規律，有：x=(10-4)×(9+8)， (19-y)×(12+13)=100. 解之得x=102， y=15
1 / 1廣東省深圳市2016年啟智杯小學五六年級數學思維及應用能力競賽（A2組）
1．（2016·深圳競賽）在1、2、3、……、99、100這100個數中，選取96個數，使它們的和等于5035。
（1）寫出兩種不同的取法，其中一組包含1，另一組不包含1.(只寫選取方法，不必寫出全部96個數)
（2）總共有多少種不同的取法？
（3）如果不允許取數10，是否可以做到？ (寫出你的答案，不必寫過程)
2．（2016·深圳競賽）一列數1、1、3、7、 17、41、…， 其特點是： 從第三項開始， 每一項等于其前一項的2倍加更前一項，比如 . 問該數列的第2016項被3除余數是多少？ 寫出答案并說明理由。
3．（2016·深圳競賽）一個長為99cm的線段上標注著100個點，分別連接其中兩點可以得到一條線段，總共有多少條線段？ 在一個矩形內隨機分布著100個點，分別連接其中兩點可以得到一條線段，總共有多少條線段？ 說明理由。
4．（2016·深圳競賽）請將2016 寫成 的形式，其中a，b，c是3個不同的兩位數，其中 。請給出所有不同的寫法。
5．（2016·深圳競賽）由2016個單個的1組成的，結果為118的加減法算式，一次改變其中的4個運算符號(加號變為減號，減號變為加號) 稱為是一次操作。問：
（1）這個算式中原本有多少個減號？
（2）對這個算式，能否經過若干次操作，使算式結果為0？ 若能，請寫出你的操作過程； 若不能，請說明理由.
6．（2016·深圳競賽）在下面乘法算式中，漢字“啟、智、杯、好”分別代表一個不同的數字，每個空格代表一個數字，求“啟智杯好”連在一起代表什么數？ 說明你的關鍵步驟。
7．（2016·深圳競賽）考察算式 而 由此得到平方和等式； 請仿照這種觀點. 通過對99進行不同的因數分解，寫出類似的所有可能的平方和等式。
8．（2016·深圳競賽）一個箱子內裝有2016顆棋子，兩人輪流在其中取任意多顆棋子，規定每人每次只能提取1、3、7顆棋子，不得不取，也不得多取，取到最后棋子的人取勝。為了確保取勝，你是愿意先手，還是愿意后手？ 說出你的選擇答案和必勝的策略。
9．（2016·深圳競賽）在移動通訊領域，一個基站發出的信號可以覆蓋以基站為中心、500米為半徑的圓形區域。一個邊長為1000米的正方形住宅區，為了使區內信號全覆蓋，至少要建幾個基站？ 請說明理由。如果是長為2000米、寬為1000 米的矩形住宅區呢？ 請說出答案。
10．（2016·深圳競賽）張老師去書店選購圖書，他決定將以下四本書各買若干本：《啟智杯習題集》(定價：19元)，《數學思維方法》(定價：58元)，《小學數學競賽題典》(定價：57元)，《奇妙的數學》(定價：38元)。最終，張老師一共花費2016元.細心的同學會發現，58元這個價格與其他三個價格有不同的特征。請問：《數學思維方法》買了多少本？ 答案是否唯一？ 請說明理由。
11．（2016·深圳競賽）有2016個人，其中有些人總說真話，我們把他們叫做“真話先生”，另一些人總說假話，我們把他們叫做“假話先生”。有一天，一個陌生人問這2016個人中有多少個“真話先生”，第1 個人說：“少于 1 個”； 第2 個人說：“少于 2個”； ……； 第2016個人說：“少于2016個”。請問， 這2016人中究竟有多少個“真話先生”？ 請說明理由。
12．（2016·深圳競賽）圖1、圖2、圖3、圖4中，圓圈上的數是按照每個圖形中兩個三角形中的數字與圖形中的兩個正方形中的數字，經過運算規律得出的。請你找出此規律，求出圖3、圖4中字母x、y表示的數字。
答案解析部分
1．【答案】（1）解：因為1+2+3+ +99+100=5050，因此被棄的4個數之和為5050-5035=15。
包含1 的一組可取1+2+3+9=15，
不包含1 的一組可取 2+3+4+6=15，
答：包含1 的一組可取1、2、3、9；不包含1 的一組可取 2、3、4、6。
（2）解：已知1+2+3+ +100=5050，5050 5035=15。
這意味著要從 1 到 100 中選 4 個數，使它們的和等于 15，剩下的 96 個數的和就等于 5035。
通過列舉可得：
1+2+3+9=15
1+2+4+8=15
1+2+5+7=15
1+3+4+7=15
1+3+5+6=15
2+3+4+6=15
所以選 96 個數，和等于 5035，共有 6 種選法。
答：共有 6 種選法。
（3）解：因為要找出 4 個數相加等于 15，而 10 加任意三個不同的數都不可能等于 15，所以不允許取數 10。
答： 不允許取數10，不可以做到。
【知識點】數字和問題；枚舉法
【解析】【分析】 要先計算 1 到 100 的總和，然后根據與 5035 的差值找出選取 4 個數和為該差值的組合數；
因為1+2+3+ +99+100=5050， 因此被棄的4個數之和為5050-5035=15。
⑴含數字1：15=1+2+3+9； 不含數字1：15=2+3+4+6。
⑵采用從小到大的順序枚舉，確保不重不漏，1+2+3+9；1+2+4+8；1+2+5+7；1+3+4+7； 1+3+5+6； 2+3+4+6， 共6種。
⑶如⑵所示，在所有的15的拆法中，不含10這個數，因此不能棄掉10。
2．【答案】解：數列被3除的余數規律為1、1、0、1、2、2、0、2、1、1、0、…，
每8個為一周期，因為2016÷8=252，正好被整除，第2016項正好是第252個完整周期的結尾。
所以第2016項被3除余數是2。
答： 數列的第2016項被3除余數是2。
【知識點】數列中的規律；其他余數問題
【解析】【分析】原數列滿足通項 根據余數的“可加性”與“可乘性”，則數列中每一項除以 3 的余數也滿足類似的規律，由此可以得到由這列數除以3的余數組成的新數列：1，1，0，1，2，2，0，2，1，1，0，…，每8個余數形成一個周期. 再由2016÷8=252，可知第2016項正好是第252個完整周期的結尾，因此原數列第2016 項除以3的余數為2。
3．【答案】解：（1）以第一個點為左端點共有99條線段，以第二個點為左端點有98條線段，以此類推，最后以第99個點為左端點有1條線段。
總共有1+2+3+…+99=（1+99)=4950（條）
（2）若矩形內隨機分布著100個點， 分別連接其中兩點可以得到一條線段 ，則線段的數量不變，仍為4950條。
答： 總共有4950條線段，若矩形內隨機分布著100個點， 分別連接其中兩點可以得到一條線段 ，則線段的數量仍為4950條。
【知識點】等差數列；幾何中的計數問題
【解析】【分析】 本題主要考查線段的計數 ， 從左到右，以第一個點為左端點共有99條線段，以第二個點為左端點有98條線段，以此類推，最后以第99個點為左端點有1條線段，總共有1+2+3+…+99=4950（條）。
若是這100個點隨機分布，也仍然為1+2+3+…+99=4950（條）。
4．【答案】解：133=2197＞2016，所以a最大只能取12，
當a=12時，2016-123=288，b最大只能取16，
所以2016=123+162+32；
2016=123+152+63；
2016=123+142+92；
當a=11時，2016-113=685，b最大只能取25，
所以2016=113+252+60；
當a=10時，2016-103=1016，b最大只能取31，
2016=103+312+55
故有5種不同的寫法。
答：有5種不同的寫法，分別為：
2016=123+162+32；
2016=123+152+63；
2016=123+142+92；
2016=113+252+60；
2016=103+312+55
【知識點】整數的裂項與拆分；枚舉法
【解析】【分析】 本題需要找出滿足條件的三個不同兩位數 a、b、c，使得 =2016。我們可以通過對兩位數的范圍進行分析，逐步嘗試不同的數值來找到所有可能的組合。
因為 a 是兩位數，最小的兩位數是 10，103=1000；最大的兩位數是 99，但 993 遠大于 2016。最小的數可以從 10 開始嘗試 a 的值。 因為133=2197＞2016，所以a最大只能取12，最大的數可以從 12 開始嘗試 a 的值。
5．【答案】（1）解：設這個算式中原本有x個減號，則有（2015-x）個加號，
則2016-x-x=118，
解得x=949；
答：這個算式中原本有949 個減號。
（2）解：一次改變其中的4個運算符號，對應的情形是增加或減少8或增加或減少4，結果不變，
所以經過若干次操作，不能使算式結果為0。
答： 不能使算式結果為0。
【知識點】奇數和偶數；列方程解含有一個未知數的應用題
【解析】【分析】(1)設這個算式中原本有x個減號，則有（2015-x）個加號，由2016個單個的1組成的、結果為118的加減法算式，建立方程，即可得出結論；
(2016-x)-x=118， 解之得x=949. 因此初始狀態有949個減號。
(2) 每次操作，減號的個數變化量可以是：+4個、+2個、不變、-2個、-4個，總是變化偶數個。 而起始狀態減號有949個，是奇數； 目標狀態減號有 1008個，是偶數，因此永遠不能實現。
6．【答案】解： 由第一步：好×好，個位數還是“好”，說明“好”等于1或5或6；
由第二步：杯×好，個位數還是“好”，而且“杯”和“好”不是同一個數字，說明“杯”=1，從而“好”只能等于5或6；
由第三步：智×啟智杯好=0，說明“智”=0，
由第四步：啟×啟智杯好，結果為四位數，說明啟≤3，所以“啟”=2或3，“啟×好”的個位數為“啟”，當“啟”=2時，“好”=6；當“啟”=3時，無解，所以“啟”=2。
所以“啟智杯好”=2016。
答： 啟智杯好”連在一起代表的數是2016。
【知識點】豎式數字謎
【解析】【分析】通過觀察乘法算式的特點，利用乘法運算的規律和數字的性質來逐步推導每個漢字所代表的數字。
7．【答案】解： 對99進行不同的因數分解，所有可能的平方和等式如下：
99=1×99=9×11=3×33。
1×99=452-442；
9×11=102-12；
3×33=182-152。
452+12=442+102，
452+152=182+442，
102+152=182+12。
【知識點】分解質因數；十大公式法
【解析】【分析】 觀察算式可得，一個數等于它的兩個數因數的乘積，也等于把較大的因數分成差是較小的因數的兩個數的平方差，兩個相等的平方差構成平方和等式。99=1×99=9×11=3×33。1×99=452-442；9×11=102-12；3×33=182-152。452+12=442+102，452+152=182+442，102+152=182+12。
8．【答案】解：2016是偶數，1、3、7是奇數，奇數+奇數=偶數，每次兩人取的和是偶數，所以后取者必勝。
若先手者取1，則后手者3，1+3=4，
先手者取3，則后手者1，1+3=4，
先手者取7，則后手者1，1+7=8，
按此方法，最留給先手者的球數總是4的倍數，即4顆或8顆。
答： 為了確保取勝 ，應該后手，策略為若先手者取1，則后手者3；先手者取3，則后手者1；先手者取7，則后手者1。
【知識點】策略問題
【解析】【分析】初始狀態有2016顆棋子，為偶數； 目標狀態為0顆棋子，也為偶數，而每次操作，不管是取1顆、3顆還是7顆，都會改變棋子個數的奇偶性，先手永遠在把偶數變奇數，后手永遠在把奇數變偶數，因此后手必勝，跟每步取幾顆毫無關系。
9．【答案】解： (1)如圖1所示，將一個半徑為500的圓放入邊長為1000的正方形，得到四塊“角落區域”. 顯然，任何一個基站不能同時完全覆蓋2個“角落區域”，因此蓋住四塊“角落區域”至少需要4個基站，利用4個基站實現覆蓋的方式有很多，圖2和圖3舉了其中兩種方式以供參考.
(2)如圖4 所示，當長增加到 2000m時，“角落區域”會相應地變為6個，因此至少需要6個基站才能滿足要求。圖5給出了一種6個基站的覆蓋方案以供參考。
答： 一個邊長為1000米的正方形住宅區，為了使區內信號全覆蓋，至少要建4個基站， 如果是長為2000米、寬為1000 米的矩形住宅區至少要建6個基站。
【知識點】幾何容斥原理（圖形重疊）
【解析】【分析】 本題涉及圓形覆蓋和幾何圖形的關系。對于正方形和矩形住宅區，要考慮如何用半徑為 500 米的圓形覆蓋區域，關鍵在于分析不同位置放置基站能否完全覆蓋住宅區的各個部分。
(1)如圖1所示，將一個半徑為500的圓放入邊長為1000的正方形，得到四塊“角落區域”. 顯然，任何一個基站不能同時完全覆蓋2個“角落區域”，因此蓋住四塊“角落區域”至少需要4個基站，利用4個基站實現覆蓋的方式有很多，圖2和圖3舉了其中兩種方式以供參考.
(2)如圖4 所示，當長增加到 2000m時，“角落區域”會相應地變為6個，因此至少需要6個基站才能滿足要求。圖5給出了一種6個基站的覆蓋方案以供參考。

10．【答案】解：因為19、38和57都是19的倍數，而58除以19余1。 因為2016除以19余2，所以余出的2是由《數學思維方法》的本數造成的。 本數必然除以19余2，當本數是2本或21本符合要求， 當本數為40本時，40×58=2320＞2016，不合題意。 所以只能是2本或21本。
答： 《數學思維方法》買了2本或21本，答案不唯一。
【知識點】數字問題；其他余數問題
【解析】【分析】本題關鍵在于觀察數字之間是數量關系，19、38和57都是19的倍數，而58除以19余1，通過余數判斷《數學思維方法》的本數。
11．【答案】解：假設一共有n個“真話先生”，
說少于“n+1～2016個”的人都是“真話先生”，
所以有：2016-（n+1）+1=n，
解得：n=1008，
即從第1009個人到2016個人都說的是真話。
答：這2016個人中有1008個“真話先生”。
【知識點】邏輯推理
【解析】【分析】假設一共有n個“真話先生”，一方面， “少于1個”， “少于2個”， ……， “少于n個”，這n句話全是假的，而剩下的2016-n句話都是真的，那么說“少于n+1～2016個”的人都是“真話先生”，由此解答。
12．【答案】解：觀察圖，分析可得，
x=（10-4）×（9+8）=102
（19-y）×（12+13）=100
（19-y）×25=100
19-y=4
y=15
答：x=102，y=15。
【知識點】列方程解含有一個未知數的應用題；數形結合規律
【解析】【分析】觀察前兩張圖，不難發現：兩個三角形中的數求差，兩個正方形中的數求和，用所得的差乘以所得的和，恰好是圓形中的數. 根據這個規律，有：x=(10-4)×(9+8)， (19-y)×(12+13)=100. 解之得x=102， y=15
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