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湖南省長沙市長沙市一中教育集團聯考2024-2025學年八年級下學期7月期末數學試題
一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，滿分30分）
1．（2025八下·長沙期末）下列各數中，是無理數的是（　　）
A． B． C．－1 D．0
【答案】B
【知識點】無理數的概念；有理數的概念
【解析】【解答】解：A、是分數，屬于有理數，A不符合題意；
B、π是無理數，B符合題意；
C、-1是整數，屬于有理數，C不符合題意；
D、0是整數，屬于有理數，D不符合題意．
故答案為：B.
【分析】根據無限不循環小數叫做無理數，常見的無理數有：π，，分數和整數統稱為有理數即可求解.
2．（2025八下·長沙期末）一次函數的圖像與軸的交點坐標為（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知識點】一次函數圖象與坐標軸交點問題
【解析】【解答】解：當時，．
∴一次函數的圖像與軸的交點坐標為．
故答案為：B．
【分析】根據y軸上點的坐標特征，把代入一次函數求得y的值即可解答．
3．（2025八下·長沙期末）某班8名同學墊排球的測試成績（單位：個）分別為：，，，，，，，，則這組數據的眾數是（　　）
A．25 B．26 C．27 D．30
【答案】B
【知識點】眾數
【解析】【解答】解：在所給數據中，數據出現了三次，次數最多，
故眾數為．
故答案為：B。
【分析】根據眾數的定義：一組數據中出現次數最多的數據叫做眾數，據此即可求解
4．（2025八下·長沙期末）若是一元二次方程的根，則的值為（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】B
【知識點】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：將代入得，
，得
故答案為：B
【分析】將代入可得，再求出即可。
5．（2025八下·長沙期末）如圖，平地上A、B兩點被池塘隔開，測量員在岸邊選一點C，并分別找到和的中點D、E，測量得米，則A、B兩點間的距離為（　　）
A．30米 B．32米 C．36米 D．48米
【答案】B
【知識點】三角形的中位線定理
【解析】【解答】解：∵D、E分別是AC、BC中點，
∴DE是的中位線，
∴，
∵DE=16米，
∴AB=32米，
∴A、B兩點間的距離為32米.
故選：B.
【分析】根據連接三角形任意兩邊中點的連線叫中位線，三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半即可求解.
6．（2025八下·長沙期末）甲、乙、丙、丁四位同學五次數學測驗成績統計如下表．如果從這四位同學中，選出一位成績較高且狀態穩定的同學參加數學比賽，那么應選（　　）
　 甲 乙 丙 丁
平均數
方差
A．甲 B． C．丙 D．丁
【答案】A
【知識點】平均數及其計算；方差
【解析】【解答】解：由于甲的平均數較大且方差較小，
故答案為：A
【分析】根據方差的意義：方差是反映一組數據整體波動大小的特征量.它是指一組數據中各個數據與這組數據的平均數的差的平方的平均數，它反映的是一組數據偏離平均值的情況。方差越大，數據的波動越大；方差越小，數據的波動越小，據此即可求解
7．（2025八下·長沙期末）關于一次函數，下列結論正確的是（　　）
A．圖象不經過第二象限
B．圖象與軸的交點是
C．將一次函數的圖象向下平移個單位長度后，所得圖象的函數表達式為
D．點和在一次函數的圖象上，若，則
【答案】C
【知識點】一次函數圖象與坐標軸交點問題；一次函數圖象、性質與系數的關系；比較一次函數值的大小；一次函數圖象的平移變換
【解析】【解答】解：、∵，，
∴一次函數的圖象經過一、二、四象限，該選項錯誤，不合題意；
、把代入得，，
∴，
∴一次函數圖象與軸的交點坐標為，該選項錯誤，不合題意；
、將一次函數的圖象向下平移個單位長度后，所得圖象的函數表達式為，該選項正確，符合題意；
、∵，
∴隨的增大而減小，
若，則，該選項錯誤，不合題意；
故選：．
【分析】
A、對于直線，當時，直線過一、二、三象限；當時，直線過一、三象限；當時，直線過一、三、四象限；當時，直線過一、二、四象限；當時，直線過二、四象限；當時，直線過二、三、四象限；
B、直線分別交兩坐標軸于點和；
C、直線的平移規律：上加下減、左加右減；
D、對于，當時，隨的增大而增大；當時，隨的增大而減小．
8．（2025八下·長沙期末）《九章算術》是中國傳統數學最重要的著作，書中有一個關于門和竹竿的問題：今有戶不知高、廣，竿不知長短．橫之不出四尺，從之不出二尺，邪之適出．問戶高、廣、邪各幾何？簡譯為：今有一扇門，不知門的高和寬．另有一竹竿，也不知竹竿的長短．竹竿橫著放時比門的寬長4尺，竹竿豎著放時比門的高長2尺，竹竿斜著放時與門的對角線恰好相等，求門的高、寬和對角線的長各是多少？若設門的對角線長為x尺，則可列方程為（　　）．
A． B．
C． D．
【答案】B
【知識點】勾股定理的實際應用-其他問題
【解析】【解答】解：設門的對角線長為x尺，則可列方程為：
，
故選：B．
【分析】
由題意知，若對角線的長為x尺，則門高為尺、門寬為尺，由于門的形狀可抽象為矩形，則利用勾股定理可列關于x的方程即可．
9．（2025八下·長沙期末）如圖，在平行四邊形中，的平分線和的平分線交于上一點，若，則的長為（　　）
A． B．5 C． D．
【答案】A
【知識點】角平分線的性質；等腰三角形的判定與性質；勾股定理；平行四邊形的性質
【解析】【解答】解：∵四邊形為平行四邊形，，
∴，
∴，
∵的平分線和的平分線交于上一點，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案為：A．
【分析】根據平行四邊形的性質及角平分線的性質得出AB=CD，，根據等腰三角形的判定得到AB=BE，CD=CE，從而求出AD=4，再由，得到直角三角形ADE，根據勾股定理即可解答.
10．（2025八下·長沙期末）小明家、食堂、圖書館在同一條直線上，小明從家去食堂吃早餐，接著去圖書館讀報，然后回家，如圖反映了這個過程中，小明離家的距離與時間之間的對應關系．根據圖象，下列說法錯誤的是（　　）
A．小明吃早餐用了
B．小明讀報用了
C．食堂到圖書館的距離為
D．小明從圖書館回家的速度為
【答案】D
【知識點】通過函數圖象獲取信息
【解析】【解答】解：A、小明吃早餐用了，A正確；
B、小明讀報用了，B正確；
C、食堂到圖書館的距離為，C正確；
D、小明從圖書館回家的速度為，D錯誤；
故選D．
【分析】
A、觀察圖象知，小明出發8分鐘后到達食堂，25分鐘后離開，即吃早餐用時＝25-8＝17；
B、小明離家28分鐘后到達圖書館，58分鐘后離開圖書館回家，即讀報用時＝58－28＝30；
C、食堂距離圖書館的路＝0.8-0.6＝0.2；
D、小明從圖書館回家的速度＝．
二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，滿分18分）
11．（2025八下·長沙期末）在函數中，自變量的取值范圍是　 　．
【答案】
【知識點】二次根式有無意義的條件；函數自變量的取值范圍
【解析】【解答】解：由題意，得：，解得：；
故答案為：
【分析】根據二次根式被開方數為非負數，列出關于自變量x的不等式，求解即可.
12．（2025八下·長沙期末）某中學將晨練及體育課外活動、期中成績、期末成績按照的比例確定學期體育綜合成績．若小云這三項的成績（百分制）依次是95，90，80，則小云這學期的體育綜合成績是　 　．
【答案】87分
【知識點】加權平均數及其計算
【解析】【解答】解：小云這學期的體育綜合成績是（分），
故答案為：87分．
【分析】根據加權平均數的意義和計算方法，將 95，90，80， 按照的比例計算即可.
13．（2025八下·長沙期末）若一元二次方程有兩個不相等的實數根，則的取值范圍為　 　．
【答案】
【知識點】一元二次方程根的判別式及應用
【解析】【解答】解：一元二次方程有兩個不相等的實數根，
∴，
解得，，
∴的取值范圍為，
故答案為： ．
【分析】
對于一元二次方程有根的判別式，當時方程有兩個不相等的實數根；當時方程有兩個相等的實數根；當時方程沒有實數根．
14．（2025八下·長沙期末）如圖，在平面直角坐標系中，一次函數與（、為常數，且）的圖象交點的橫坐標為3，則關于、的二元一次方程組的解為　 　
【答案】
【知識點】一次函數與二元一次方程（組）的關系
【解析】【解答】解：∵ 一次函數與（、為常數，且）的圖象交點的橫坐標為3，
∴當x=3時，y=3+1=4，
∴關于x、y的二元一次方程組的解為，
故答案為：．，
【分析】本題從圖上以及條件可以得出，當時，代入即可求出y的值，即交點坐標，即可解答.
15．（2025八下·長沙期末）如圖，四邊形是菱形，，，于點H，則　 　．
【答案】
【知識點】勾股定理；菱形的性質；平行四邊形的面積
【解析】【解答】解：四邊形是菱形，
，
在中，，
，
，
，
．
故答案為．
【分析】
由菱形的性質知對角線AC與BD互相垂直平分，則利用勾股定理可得菱形的邊長AB，又菱形的面積既等于底乘高也等于對角線乘積的一半，則AB的高DH可求．
16．（2025八下·長沙期末）“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關系證明了勾股定理，是我國古代數學的驕傲，如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形和一個小正方形拼成的一個大正方形．設直角三角形較長直角邊長為a，較短直角邊長為b，若，大正方形的面積為25，則小正方形的邊長為　 　．
【答案】3
【知識點】勾股定理的證明；“趙爽弦圖”模型
【解析】【解答】解：由題意可知：中間小正方形的邊長為：，
∵ ，
∴每一個直角三角形的面積為：，
∴大正方形的面積為：，
．
故答案為：3．
【分析】本題首先確定中間小正方形的邊長，這樣，中間小正方形的面積就是（a-b）2，然后列式求出每一個直角三角形的面積，最后列式“大正方形的面積=4×直角三角形面積+中間小正方形面積”，即可解答.
三、解答題（本大題共9小題，滿分72分）
17．（2025八下·長沙期末）解下列方程：
（1）
（2）
【答案】（1）解：
∴或；
（2）解：
∴或
【知識點】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】
（1）直接利用提取公因式求解即可．
（2）直接利用因式分解法求解即可．
（1）解：
∴或；
（2）解：
∴或
18．（2025八下·長沙期末）如圖，在平面直角坐標系中，一直線與軸相交于點，與軸相交于點，與正比例函數的圖象交于點．
（1）求直線的解析式．
（2）直接寫出的解集．
【答案】（1）解：將、代入，得到
，解得：，
直線的解析式為．
（2）解：觀察函數圖象，可知：
當時，直線在直線的上方，
的解集為．
【知識點】待定系數法求一次函數解析式；一次函數與不等式（組）的關系
【解析】【分析】（1）利用待定系數法將點B、點P的坐標代入，列出二元一次方程組求出k1和b的值，即可求出直線的解析式；
（2）結合圖象觀察兩條直線的相對位置，確定出點P左邊符合題意，進而得出不等式的解集.
（1）解：將、代入，
，解得：，
直線的解析式為．
（2）觀察函數圖象，可知：當時，直線在直線的上方，
的解集為．
19．（2025八下·長沙期末）如圖，在四邊形中，，，對角線，相交于點．
（1）求證：四邊形是平行四邊形；
（2）若，，，求的長
【答案】（1）證明：，
，
，
，
，
四邊形是平行四邊形；
（2）解：∵四邊形是平行四邊形，
∴，，
，
，
，
．
【知識點】勾股定理；平行四邊形的判定與性質
【解析】【分析】（1）根據平行線的性質及判定，可以先得到，再由兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形即可證明；
（2）根據平行四邊形的性質得出，，然后根據勾股定理即可求解.
（1）證明：，
，
，
，
，
四邊形是平行四邊形；
（2）解：∵四邊形是平行四邊形，
∴，，
，
，
，
．
20．（2025八下·長沙期末）百度推出了“文心一言”AI聊天機器人（以下簡稱A款），抖音推出了“豆包”聊天機器人（以下簡稱B款）．有關人員開展了A，B兩款聊天機器人的使用滿意度評分測驗，并從中各隨機抽取20份，對數據進行整理、描述和分析（評分分數用x表示，分為四個等級：不滿意，比較滿意，滿意，非常滿意），下面給出了部分信息：
抽取對A款聊天機器人的評分數據中“滿意”的數據：84，86，86，87，88，89；
抽取對B款聊天機器人的評分數據：66，68，69，81，84，85，86，87，87，87，88，89，95，97，98，98，98，98，99，100．
抽取的對A，B款AI聊天機器人的評分統計表
設備 平均數 中位數 眾數 “非常滿意”所占百分比
A 88 b 96
B 88 87 c
根據以上信息，解答下列問題：
（1）上述圖表中________，_________，________；
（2）根據以上數據，你認為哪款AI聊天機器人更受用戶喜愛？請說明理由（寫出一條理由即可）；
（3）在此次測驗中，有240人對A款聊天機器人進行評分、300人對B款聊天機器人進行評分，通過計算，估計此次測驗中對聊天機器人不滿意的共有多少人？
【答案】（1）15；88.5；98
（2）解：A款聊天機器人更受用戶喜愛，理由如下：
∵兩款的評分數據的平均數都是88，但A款評分數據的中位數比B款高，
∴A款聊天機器人更受用戶喜愛．
（3）解：B款中“不滿意”的有3人，所占百分比為，
估計此次測驗中對聊天機器人不滿意的共有（人）．
【知識點】統計表；扇形統計圖；中位數；眾數；用樣本所占百分比估計總體數量
【解析】【解答】解：（1）由題意得：“滿意”所占百分比為，
∴“比較滿意”所占百分比為，
∴；
∵A款的評分非常滿意有個，“滿意”的數據：84，86，86，87，88，89；
∴把A款的評分數據從小到大排列，排在中間的兩個數是88、89，
∴，
在B款的評分數據中，96出現的次數最多，
∴；
故答案為：；
【分析】
（1）先求出“滿意”所占的百分比，再用1分別減去其他三個等級所占百分比可得a的值，根據中位數的定義把A款的評分數據從小到大排列，取排在中間的兩個數的平均數可得b的值，根據眾數的定義96出現的次數最多可得c的值，即可解答；
（2）通過比較A，B款的評分統計表的數據，解答即可；
（3）由A、B兩款的不滿意的人數之和即可得出答案，解答即可．
（1）解：由題意得：“滿意”所占百分比為，
∴“比較滿意”所占百分比為，
∴；
∵A款的評分非常滿意有個，“滿意”的數據：84，86，86，87，88，89；
∴把A款的評分數據從小到大排列，排在中間的兩個數是88、89，
∴，
在B款的評分數據中，96出現的次數最多，
∴；
故答案為：
；
（2）解：A款聊天機器人更受用戶喜愛，理由如下：
因為兩款的評分數據的平均數都是88，但A款評分數據的中位數比B款高，所以A款聊天機器人更受用戶喜愛．
（3）解：B款中“不滿意”的有3人，所占百分比為，
估計此次測驗中對聊天機器人不滿意的共有（人）．
21．（2025八下·長沙期末）已知： 四邊形中， ，， ， ，．
（1）求的長；
（2）求四邊形的面積．
【答案】（1）解：在中， ，，，
．
答：的長為5．
（2）解：，，
，
是直角三角形，且，
．
∴四邊形的面積為36．
【知識點】勾股定理；勾股定理的逆定理；幾何圖形的面積計算-割補法
【解析】【分析】
（1）直接利用勾股定理即可；
（2）先利用勾股定理的逆定理判定出是直角三角形，再利用割補法求解即可．
（1）解：在中， ，，，
根據勾股定理得，．
∴的長為5．
（2）解：，，
，
是直角三角形，且，
．
∴四邊形的面積為36．
22．（2025八下·長沙期末）如圖所示，在矩形中，對角線的垂直平分線分別交于點，連接．
（1）求證：四邊形是菱形；
（2）若，，求菱形的面積．
【答案】（1）證明：∵是的垂直平分線，
，
∵四邊形是矩形，
，
，
又∵，
，
，
∵，
，
∴四邊形為平行四邊形，
，
∴四邊形為菱形.
（2）解：∵四邊形為菱形，
，
∴可設，
∵，
∴BF=8-x，
∵四邊形是矩形，
，
∴，
∵AB=4，BF=8-x，AF=x，
∴，
解得：，
∴，
，
∴菱形的面積．
【知識點】菱形的判定與性質；矩形的性質
【解析】【分析】（1）先利用ASA證得，再根據全等三角形的性質證得，再證明AE//CF，從而可根據有一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，證得四邊形為平行四邊形，然后根據對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，證得結論；
（2）先根據菱形的性質證得，再設，然后利用x表示出BF，再利用勾股定理，得出關于x的方程求出，再求出菱形AECF的面積．
（1）證明：∵是的垂直平分線，
，
∵四邊形是矩形，
，
，
在和中
，
，
，
，
∴四邊形為平行四邊形，
，
∴四邊形為菱形；
（2）解：∵四邊形為菱形，
，
設，
∵四邊形是矩形，
，
由勾股定理得：，
即，
解得：，
即，
，
∴菱形的面積．
23．（2025八下·長沙期末）為迎接湖南師大附中梅溪湖中學辦學十周年慶，某校友為母校設計了一款紀念版文化衫，原計劃每件的售價為元，經過校友意見征集后，連續兩次降價，最終每件的售價為元，并且每次降價的百分率相同．
（1）求該文化衫每次降價的百分率；
（2）若該文化衫每件的成本價為元，兩次降價后，至少要售出多少件，總利潤才能不低于元？
【答案】（1）解：設該文化衫每次降價的百分率為，
根據題意得，
解得，（舍去），
∴該文化衫每次降價的百分率為；
（2）解：設至少要售出件，總利潤才能不低于元，
根據題意得，
解得，
∴至少要售出件，總利潤才能不低于元．
【知識點】一元一次不等式的應用；一元二次方程的實際應用-百分率問題
【解析】【分析】（1）設該文化衫每次降價的百分率為，這樣第一次降價后的售價是60（1-x）元，第二次是在第一次降價的基礎上繼續降價x，即元，此時可以列出方程，求解即可；
（2）設至少要售出件，則利潤為（48.6-40）y元，此時可以列出不等式，求解即可。
（1）解：設該文化衫每次降價的百分率為，
根據題意得，
解得，（舍去），
答：該文化衫每次降價的百分率為；
（2）解：設至少要售出件，總利潤才能不低于元，
根據題意得，
解得，
答：至少要售出件，總利潤才能不低于元．
24．（2025八下·長沙期末）如果關于的一元二次方程有兩個實數根，且其中一個根是另一個根的倍為正整數），則稱這樣的方程為“倍根方程”．例如：方程的兩個根分別是2和4，則這個方程就是“二倍根方程”；方程的兩個根分別是1和3，則這個方程就是“三倍根方程”．
（1）根據上述定義，是“________倍根方程”；
（2）若關于的方程是“三倍根方程”，求的值；
（3）直線：與軸交于點，直線過點，且與相交于點．若一個五倍根方程的兩個根為和，且點在的內部（不包含邊界），求的取值范圍．
【答案】（1）四
（2）解：∵關于的方程是“三倍根方程”，
可設這個方程的兩個根分別為，
∴，
∴，
∴；
（3）解：設直線解析式為，把代入到中得，
∴，
∴直線解析式為；
∵一個五倍根方程的兩個根為和，
∴，
∴點P的坐標為，
∴點P在直線上，
聯立，解得，
聯立，解得，
∵點在的內部（不包含邊界），
∴．

【知識點】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程的根與系數的關系（韋達定理）；一次函數的實際應用-幾何問題
【解析】【解答】（1）解：∵，
變形得到，
∴或，
解得，
∵，
∴是“四倍根方程”；
故答案為：（1）四；
【分析】（1）先求出一元二次方程的兩個根，再根據“倍根方程”的定義進行計算判斷即可解答；
（2）根據三倍根方程的定義，可設這個方程的兩個根分別為，然后根據一元二次方程根與系數的關系可得，求解即可；
（3）利用待定系數法求出直線解析式為；再根據五倍根方程的定義可得，由此可判斷點P在直線上，求出直線與直線的交點坐標，直線與直線的交點坐標，根據點在的內部（不包含邊界），結合函數圖象中的位置關系即可解答．
（1）解：∵，
∴，
∴或，
解得，
∵，
∴是“四倍根方程”；
（2）解：∵關于的方程是“三倍根方程”，
∴可設這個方程的兩個根分別為，
∴，
∴，
∴；
（3）解：設直線解析式為，
把代入到中得，
∴，
∴直線解析式為；
∵一個五倍根方程的兩個根為和，
∴，
∴點P的坐標為，
∴點P在直線上，
聯立，解得，
聯立，解得，
∵點在的內部（不包含邊界），
∴．
25．（2025八下·長沙期末）如圖1，已知正方形中，是邊上的一點（不與，重合）．延長至點使，連接，得到，的延長線交于點．
（1）①求證：；
②求的度數．
（2）如圖2，連接，．
①求證：；
②求的值
【答案】（1）①證明：∵正方形，延長至點，
∴，
∵，
∴；
②由①得，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）證明：如圖，過點作于點，作延長線于點，
∵四邊形是正方形，
∴，，
∵，，，
∴，
∴四邊形是矩形，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴四邊形是正方形，
∴，
∵，
∴；
，
理由：由可知，
過點C作于點，作延長線于點，
∵四邊形是正方形，
∴，，
∵，，，
∴，
∴四邊形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴四邊形是正方形，
∴，
∵，
∴；
兩式相加得，，
∴，
∴．
【知識點】矩形的判定；正方形的判定與性質；四邊形的綜合
【解析】【分析】（）①根據正方形的性質得出，最后利用SAS證明即可；②由①的結論以及三角形內角和定理，計算即可求解；
（）過點作于點，作于點，由正方形性質可得，，證明四邊形是矩形，然后再證明，由全等三角形的性質得可得，，故證明出四邊形是正方形，根據正方形性質及勾股定理得出，即可解答；
由可知，同理，過點C作于點，作延長線于點，即可得出，然后代入整理計算即可解答.
（1）①證明：∵正方形，延長至點，
∴，
∵，
∴；
②由①得，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）證明：如圖，過點作于點，作延長線于點，
∵四邊形是正方形，
∴，，
∵，，，
∴，
∴四邊形是矩形，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴四邊形是正方形，
∴，
∵，
∴；
，
理由：由可知，
過點C作于點，作延長線于點，
∵四邊形是正方形，
∴，，
∵，，，
∴，
∴四邊形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴四邊形是正方形，
∴，
∵，
∴；
兩式相加得，，
∴，
∴．
1 / 1湖南省長沙市長沙市一中教育集團聯考2024-2025學年八年級下學期7月期末數學試題
一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，滿分30分）
1．（2025八下·長沙期末）下列各數中，是無理數的是（　　）
A． B． C．－1 D．0
2．（2025八下·長沙期末）一次函數的圖像與軸的交點坐標為（　　）
A． B． C． D．
3．（2025八下·長沙期末）某班8名同學墊排球的測試成績（單位：個）分別為：，，，，，，，，則這組數據的眾數是（　　）
A．25 B．26 C．27 D．30
4．（2025八下·長沙期末）若是一元二次方程的根，則的值為（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
5．（2025八下·長沙期末）如圖，平地上A、B兩點被池塘隔開，測量員在岸邊選一點C，并分別找到和的中點D、E，測量得米，則A、B兩點間的距離為（　　）
A．30米 B．32米 C．36米 D．48米
6．（2025八下·長沙期末）甲、乙、丙、丁四位同學五次數學測驗成績統計如下表．如果從這四位同學中，選出一位成績較高且狀態穩定的同學參加數學比賽，那么應選（　　）
　 甲 乙 丙 丁
平均數
方差
A．甲 B． C．丙 D．丁
7．（2025八下·長沙期末）關于一次函數，下列結論正確的是（　　）
A．圖象不經過第二象限
B．圖象與軸的交點是
C．將一次函數的圖象向下平移個單位長度后，所得圖象的函數表達式為
D．點和在一次函數的圖象上，若，則
8．（2025八下·長沙期末）《九章算術》是中國傳統數學最重要的著作，書中有一個關于門和竹竿的問題：今有戶不知高、廣，竿不知長短．橫之不出四尺，從之不出二尺，邪之適出．問戶高、廣、邪各幾何？簡譯為：今有一扇門，不知門的高和寬．另有一竹竿，也不知竹竿的長短．竹竿橫著放時比門的寬長4尺，竹竿豎著放時比門的高長2尺，竹竿斜著放時與門的對角線恰好相等，求門的高、寬和對角線的長各是多少？若設門的對角線長為x尺，則可列方程為（　　）．
A． B．
C． D．
9．（2025八下·長沙期末）如圖，在平行四邊形中，的平分線和的平分線交于上一點，若，則的長為（　　）
A． B．5 C． D．
10．（2025八下·長沙期末）小明家、食堂、圖書館在同一條直線上，小明從家去食堂吃早餐，接著去圖書館讀報，然后回家，如圖反映了這個過程中，小明離家的距離與時間之間的對應關系．根據圖象，下列說法錯誤的是（　　）
A．小明吃早餐用了
B．小明讀報用了
C．食堂到圖書館的距離為
D．小明從圖書館回家的速度為
二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，滿分18分）
11．（2025八下·長沙期末）在函數中，自變量的取值范圍是　 　．
12．（2025八下·長沙期末）某中學將晨練及體育課外活動、期中成績、期末成績按照的比例確定學期體育綜合成績．若小云這三項的成績（百分制）依次是95，90，80，則小云這學期的體育綜合成績是　 　．
13．（2025八下·長沙期末）若一元二次方程有兩個不相等的實數根，則的取值范圍為　 　．
14．（2025八下·長沙期末）如圖，在平面直角坐標系中，一次函數與（、為常數，且）的圖象交點的橫坐標為3，則關于、的二元一次方程組的解為　 　
15．（2025八下·長沙期末）如圖，四邊形是菱形，，，于點H，則　 　．
16．（2025八下·長沙期末）“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關系證明了勾股定理，是我國古代數學的驕傲，如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形和一個小正方形拼成的一個大正方形．設直角三角形較長直角邊長為a，較短直角邊長為b，若，大正方形的面積為25，則小正方形的邊長為　 　．
三、解答題（本大題共9小題，滿分72分）
17．（2025八下·長沙期末）解下列方程：
（1）
（2）
18．（2025八下·長沙期末）如圖，在平面直角坐標系中，一直線與軸相交于點，與軸相交于點，與正比例函數的圖象交于點．
（1）求直線的解析式．
（2）直接寫出的解集．
19．（2025八下·長沙期末）如圖，在四邊形中，，，對角線，相交于點．
（1）求證：四邊形是平行四邊形；
（2）若，，，求的長
20．（2025八下·長沙期末）百度推出了“文心一言”AI聊天機器人（以下簡稱A款），抖音推出了“豆包”聊天機器人（以下簡稱B款）．有關人員開展了A，B兩款聊天機器人的使用滿意度評分測驗，并從中各隨機抽取20份，對數據進行整理、描述和分析（評分分數用x表示，分為四個等級：不滿意，比較滿意，滿意，非常滿意），下面給出了部分信息：
抽取對A款聊天機器人的評分數據中“滿意”的數據：84，86，86，87，88，89；
抽取對B款聊天機器人的評分數據：66，68，69，81，84，85，86，87，87，87，88，89，95，97，98，98，98，98，99，100．
抽取的對A，B款AI聊天機器人的評分統計表
設備 平均數 中位數 眾數 “非常滿意”所占百分比
A 88 b 96
B 88 87 c
根據以上信息，解答下列問題：
（1）上述圖表中________，_________，________；
（2）根據以上數據，你認為哪款AI聊天機器人更受用戶喜愛？請說明理由（寫出一條理由即可）；
（3）在此次測驗中，有240人對A款聊天機器人進行評分、300人對B款聊天機器人進行評分，通過計算，估計此次測驗中對聊天機器人不滿意的共有多少人？
21．（2025八下·長沙期末）已知： 四邊形中， ，， ， ，．
（1）求的長；
（2）求四邊形的面積．
22．（2025八下·長沙期末）如圖所示，在矩形中，對角線的垂直平分線分別交于點，連接．
（1）求證：四邊形是菱形；
（2）若，，求菱形的面積．
23．（2025八下·長沙期末）為迎接湖南師大附中梅溪湖中學辦學十周年慶，某校友為母校設計了一款紀念版文化衫，原計劃每件的售價為元，經過校友意見征集后，連續兩次降價，最終每件的售價為元，并且每次降價的百分率相同．
（1）求該文化衫每次降價的百分率；
（2）若該文化衫每件的成本價為元，兩次降價后，至少要售出多少件，總利潤才能不低于元？
24．（2025八下·長沙期末）如果關于的一元二次方程有兩個實數根，且其中一個根是另一個根的倍為正整數），則稱這樣的方程為“倍根方程”．例如：方程的兩個根分別是2和4，則這個方程就是“二倍根方程”；方程的兩個根分別是1和3，則這個方程就是“三倍根方程”．
（1）根據上述定義，是“________倍根方程”；
（2）若關于的方程是“三倍根方程”，求的值；
（3）直線：與軸交于點，直線過點，且與相交于點．若一個五倍根方程的兩個根為和，且點在的內部（不包含邊界），求的取值范圍．
25．（2025八下·長沙期末）如圖1，已知正方形中，是邊上的一點（不與，重合）．延長至點使，連接，得到，的延長線交于點．
（1）①求證：；
②求的度數．
（2）如圖2，連接，．
①求證：；
②求的值
答案解析部分
1．【答案】B
【知識點】無理數的概念；有理數的概念
【解析】【解答】解：A、是分數，屬于有理數，A不符合題意；
B、π是無理數，B符合題意；
C、-1是整數，屬于有理數，C不符合題意；
D、0是整數，屬于有理數，D不符合題意．
故答案為：B.
【分析】根據無限不循環小數叫做無理數，常見的無理數有：π，，分數和整數統稱為有理數即可求解.
2．【答案】B
【知識點】一次函數圖象與坐標軸交點問題
【解析】【解答】解：當時，．
∴一次函數的圖像與軸的交點坐標為．
故答案為：B．
【分析】根據y軸上點的坐標特征，把代入一次函數求得y的值即可解答．
3．【答案】B
【知識點】眾數
【解析】【解答】解：在所給數據中，數據出現了三次，次數最多，
故眾數為．
故答案為：B。
【分析】根據眾數的定義：一組數據中出現次數最多的數據叫做眾數，據此即可求解
4．【答案】B
【知識點】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：將代入得，
，得
故答案為：B
【分析】將代入可得，再求出即可。
5．【答案】B
【知識點】三角形的中位線定理
【解析】【解答】解：∵D、E分別是AC、BC中點，
∴DE是的中位線，
∴，
∵DE=16米，
∴AB=32米，
∴A、B兩點間的距離為32米.
故選：B.
【分析】根據連接三角形任意兩邊中點的連線叫中位線，三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半即可求解.
6．【答案】A
【知識點】平均數及其計算；方差
【解析】【解答】解：由于甲的平均數較大且方差較小，
故答案為：A
【分析】根據方差的意義：方差是反映一組數據整體波動大小的特征量.它是指一組數據中各個數據與這組數據的平均數的差的平方的平均數，它反映的是一組數據偏離平均值的情況。方差越大，數據的波動越大；方差越小，數據的波動越小，據此即可求解
7．【答案】C
【知識點】一次函數圖象與坐標軸交點問題；一次函數圖象、性質與系數的關系；比較一次函數值的大小；一次函數圖象的平移變換
【解析】【解答】解：、∵，，
∴一次函數的圖象經過一、二、四象限，該選項錯誤，不合題意；
、把代入得，，
∴，
∴一次函數圖象與軸的交點坐標為，該選項錯誤，不合題意；
、將一次函數的圖象向下平移個單位長度后，所得圖象的函數表達式為，該選項正確，符合題意；
、∵，
∴隨的增大而減小，
若，則，該選項錯誤，不合題意；
故選：．
【分析】
A、對于直線，當時，直線過一、二、三象限；當時，直線過一、三象限；當時，直線過一、三、四象限；當時，直線過一、二、四象限；當時，直線過二、四象限；當時，直線過二、三、四象限；
B、直線分別交兩坐標軸于點和；
C、直線的平移規律：上加下減、左加右減；
D、對于，當時，隨的增大而增大；當時，隨的增大而減小．
8．【答案】B
【知識點】勾股定理的實際應用-其他問題
【解析】【解答】解：設門的對角線長為x尺，則可列方程為：
，
故選：B．
【分析】
由題意知，若對角線的長為x尺，則門高為尺、門寬為尺，由于門的形狀可抽象為矩形，則利用勾股定理可列關于x的方程即可．
9．【答案】A
【知識點】角平分線的性質；等腰三角形的判定與性質；勾股定理；平行四邊形的性質
【解析】【解答】解：∵四邊形為平行四邊形，，
∴，
∴，
∵的平分線和的平分線交于上一點，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案為：A．
【分析】根據平行四邊形的性質及角平分線的性質得出AB=CD，，根據等腰三角形的判定得到AB=BE，CD=CE，從而求出AD=4，再由，得到直角三角形ADE，根據勾股定理即可解答.
10．【答案】D
【知識點】通過函數圖象獲取信息
【解析】【解答】解：A、小明吃早餐用了，A正確；
B、小明讀報用了，B正確；
C、食堂到圖書館的距離為，C正確；
D、小明從圖書館回家的速度為，D錯誤；
故選D．
【分析】
A、觀察圖象知，小明出發8分鐘后到達食堂，25分鐘后離開，即吃早餐用時＝25-8＝17；
B、小明離家28分鐘后到達圖書館，58分鐘后離開圖書館回家，即讀報用時＝58－28＝30；
C、食堂距離圖書館的路＝0.8-0.6＝0.2；
D、小明從圖書館回家的速度＝．
11．【答案】
【知識點】二次根式有無意義的條件；函數自變量的取值范圍
【解析】【解答】解：由題意，得：，解得：；
故答案為：
【分析】根據二次根式被開方數為非負數，列出關于自變量x的不等式，求解即可.
12．【答案】87分
【知識點】加權平均數及其計算
【解析】【解答】解：小云這學期的體育綜合成績是（分），
故答案為：87分．
【分析】根據加權平均數的意義和計算方法，將 95，90，80， 按照的比例計算即可.
13．【答案】
【知識點】一元二次方程根的判別式及應用
【解析】【解答】解：一元二次方程有兩個不相等的實數根，
∴，
解得，，
∴的取值范圍為，
故答案為： ．
【分析】
對于一元二次方程有根的判別式，當時方程有兩個不相等的實數根；當時方程有兩個相等的實數根；當時方程沒有實數根．
14．【答案】
【知識點】一次函數與二元一次方程（組）的關系
【解析】【解答】解：∵ 一次函數與（、為常數，且）的圖象交點的橫坐標為3，
∴當x=3時，y=3+1=4，
∴關于x、y的二元一次方程組的解為，
故答案為：．，
【分析】本題從圖上以及條件可以得出，當時，代入即可求出y的值，即交點坐標，即可解答.
15．【答案】
【知識點】勾股定理；菱形的性質；平行四邊形的面積
【解析】【解答】解：四邊形是菱形，
，
在中，，
，
，
，
．
故答案為．
【分析】
由菱形的性質知對角線AC與BD互相垂直平分，則利用勾股定理可得菱形的邊長AB，又菱形的面積既等于底乘高也等于對角線乘積的一半，則AB的高DH可求．
16．【答案】3
【知識點】勾股定理的證明；“趙爽弦圖”模型
【解析】【解答】解：由題意可知：中間小正方形的邊長為：，
∵ ，
∴每一個直角三角形的面積為：，
∴大正方形的面積為：，
．
故答案為：3．
【分析】本題首先確定中間小正方形的邊長，這樣，中間小正方形的面積就是（a-b）2，然后列式求出每一個直角三角形的面積，最后列式“大正方形的面積=4×直角三角形面積+中間小正方形面積”，即可解答.
17．【答案】（1）解：
∴或；
（2）解：
∴或
【知識點】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】
（1）直接利用提取公因式求解即可．
（2）直接利用因式分解法求解即可．
（1）解：
∴或；
（2）解：
∴或
18．【答案】（1）解：將、代入，得到
，解得：，
直線的解析式為．
（2）解：觀察函數圖象，可知：
當時，直線在直線的上方，
的解集為．
【知識點】待定系數法求一次函數解析式；一次函數與不等式（組）的關系
【解析】【分析】（1）利用待定系數法將點B、點P的坐標代入，列出二元一次方程組求出k1和b的值，即可求出直線的解析式；
（2）結合圖象觀察兩條直線的相對位置，確定出點P左邊符合題意，進而得出不等式的解集.
（1）解：將、代入，
，解得：，
直線的解析式為．
（2）觀察函數圖象，可知：當時，直線在直線的上方，
的解集為．
19．【答案】（1）證明：，
，
，
，
，
四邊形是平行四邊形；
（2）解：∵四邊形是平行四邊形，
∴，，
，
，
，
．
【知識點】勾股定理；平行四邊形的判定與性質
【解析】【分析】（1）根據平行線的性質及判定，可以先得到，再由兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形即可證明；
（2）根據平行四邊形的性質得出，，然后根據勾股定理即可求解.
（1）證明：，
，
，
，
，
四邊形是平行四邊形；
（2）解：∵四邊形是平行四邊形，
∴，，
，
，
，
．
20．【答案】（1）15；88.5；98
（2）解：A款聊天機器人更受用戶喜愛，理由如下：
∵兩款的評分數據的平均數都是88，但A款評分數據的中位數比B款高，
∴A款聊天機器人更受用戶喜愛．
（3）解：B款中“不滿意”的有3人，所占百分比為，
估計此次測驗中對聊天機器人不滿意的共有（人）．
【知識點】統計表；扇形統計圖；中位數；眾數；用樣本所占百分比估計總體數量
【解析】【解答】解：（1）由題意得：“滿意”所占百分比為，
∴“比較滿意”所占百分比為，
∴；
∵A款的評分非常滿意有個，“滿意”的數據：84，86，86，87，88，89；
∴把A款的評分數據從小到大排列，排在中間的兩個數是88、89，
∴，
在B款的評分數據中，96出現的次數最多，
∴；
故答案為：；
【分析】
（1）先求出“滿意”所占的百分比，再用1分別減去其他三個等級所占百分比可得a的值，根據中位數的定義把A款的評分數據從小到大排列，取排在中間的兩個數的平均數可得b的值，根據眾數的定義96出現的次數最多可得c的值，即可解答；
（2）通過比較A，B款的評分統計表的數據，解答即可；
（3）由A、B兩款的不滿意的人數之和即可得出答案，解答即可．
（1）解：由題意得：“滿意”所占百分比為，
∴“比較滿意”所占百分比為，
∴；
∵A款的評分非常滿意有個，“滿意”的數據：84，86，86，87，88，89；
∴把A款的評分數據從小到大排列，排在中間的兩個數是88、89，
∴，
在B款的評分數據中，96出現的次數最多，
∴；
故答案為：
；
（2）解：A款聊天機器人更受用戶喜愛，理由如下：
因為兩款的評分數據的平均數都是88，但A款評分數據的中位數比B款高，所以A款聊天機器人更受用戶喜愛．
（3）解：B款中“不滿意”的有3人，所占百分比為，
估計此次測驗中對聊天機器人不滿意的共有（人）．
21．【答案】（1）解：在中， ，，，
．
答：的長為5．
（2）解：，，
，
是直角三角形，且，
．
∴四邊形的面積為36．
【知識點】勾股定理；勾股定理的逆定理；幾何圖形的面積計算-割補法
【解析】【分析】
（1）直接利用勾股定理即可；
（2）先利用勾股定理的逆定理判定出是直角三角形，再利用割補法求解即可．
（1）解：在中， ，，，
根據勾股定理得，．
∴的長為5．
（2）解：，，
，
是直角三角形，且，
．
∴四邊形的面積為36．
22．【答案】（1）證明：∵是的垂直平分線，
，
∵四邊形是矩形，
，
，
又∵，
，
，
∵，
，
∴四邊形為平行四邊形，
，
∴四邊形為菱形.
（2）解：∵四邊形為菱形，
，
∴可設，
∵，
∴BF=8-x，
∵四邊形是矩形，
，
∴，
∵AB=4，BF=8-x，AF=x，
∴，
解得：，
∴，
，
∴菱形的面積．
【知識點】菱形的判定與性質；矩形的性質
【解析】【分析】（1）先利用ASA證得，再根據全等三角形的性質證得，再證明AE//CF，從而可根據有一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，證得四邊形為平行四邊形，然后根據對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，證得結論；
（2）先根據菱形的性質證得，再設，然后利用x表示出BF，再利用勾股定理，得出關于x的方程求出，再求出菱形AECF的面積．
（1）證明：∵是的垂直平分線，
，
∵四邊形是矩形，
，
，
在和中
，
，
，
，
∴四邊形為平行四邊形，
，
∴四邊形為菱形；
（2）解：∵四邊形為菱形，
，
設，
∵四邊形是矩形，
，
由勾股定理得：，
即，
解得：，
即，
，
∴菱形的面積．
23．【答案】（1）解：設該文化衫每次降價的百分率為，
根據題意得，
解得，（舍去），
∴該文化衫每次降價的百分率為；
（2）解：設至少要售出件，總利潤才能不低于元，
根據題意得，
解得，
∴至少要售出件，總利潤才能不低于元．
【知識點】一元一次不等式的應用；一元二次方程的實際應用-百分率問題
【解析】【分析】（1）設該文化衫每次降價的百分率為，這樣第一次降價后的售價是60（1-x）元，第二次是在第一次降價的基礎上繼續降價x，即元，此時可以列出方程，求解即可；
（2）設至少要售出件，則利潤為（48.6-40）y元，此時可以列出不等式，求解即可。
（1）解：設該文化衫每次降價的百分率為，
根據題意得，
解得，（舍去），
答：該文化衫每次降價的百分率為；
（2）解：設至少要售出件，總利潤才能不低于元，
根據題意得，
解得，
答：至少要售出件，總利潤才能不低于元．
24．【答案】（1）四
（2）解：∵關于的方程是“三倍根方程”，
可設這個方程的兩個根分別為，
∴，
∴，
∴；
（3）解：設直線解析式為，把代入到中得，
∴，
∴直線解析式為；
∵一個五倍根方程的兩個根為和，
∴，
∴點P的坐標為，
∴點P在直線上，
聯立，解得，
聯立，解得，
∵點在的內部（不包含邊界），
∴．

【知識點】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程的根與系數的關系（韋達定理）；一次函數的實際應用-幾何問題
【解析】【解答】（1）解：∵，
變形得到，
∴或，
解得，
∵，
∴是“四倍根方程”；
故答案為：（1）四；
【分析】（1）先求出一元二次方程的兩個根，再根據“倍根方程”的定義進行計算判斷即可解答；
（2）根據三倍根方程的定義，可設這個方程的兩個根分別為，然后根據一元二次方程根與系數的關系可得，求解即可；
（3）利用待定系數法求出直線解析式為；再根據五倍根方程的定義可得，由此可判斷點P在直線上，求出直線與直線的交點坐標，直線與直線的交點坐標，根據點在的內部（不包含邊界），結合函數圖象中的位置關系即可解答．
（1）解：∵，
∴，
∴或，
解得，
∵，
∴是“四倍根方程”；
（2）解：∵關于的方程是“三倍根方程”，
∴可設這個方程的兩個根分別為，
∴，
∴，
∴；
（3）解：設直線解析式為，
把代入到中得，
∴，
∴直線解析式為；
∵一個五倍根方程的兩個根為和，
∴，
∴點P的坐標為，
∴點P在直線上，
聯立，解得，
聯立，解得，
∵點在的內部（不包含邊界），
∴．
25．【答案】（1）①證明：∵正方形，延長至點，
∴，
∵，
∴；
②由①得，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）證明：如圖，過點作于點，作延長線于點，
∵四邊形是正方形，
∴，，
∵，，，
∴，
∴四邊形是矩形，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴四邊形是正方形，
∴，
∵，
∴；
，
理由：由可知，
過點C作于點，作延長線于點，
∵四邊形是正方形，
∴，，
∵，，，
∴，
∴四邊形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴四邊形是正方形，
∴，
∵，
∴；
兩式相加得，，
∴，
∴．
【知識點】矩形的判定；正方形的判定與性質；四邊形的綜合
【解析】【分析】（）①根據正方形的性質得出，最后利用SAS證明即可；②由①的結論以及三角形內角和定理，計算即可求解；
（）過點作于點，作于點，由正方形性質可得，，證明四邊形是矩形，然后再證明，由全等三角形的性質得可得，，故證明出四邊形是正方形，根據正方形性質及勾股定理得出，即可解答；
由可知，同理，過點C作于點，作延長線于點，即可得出，然后代入整理計算即可解答.
（1）①證明：∵正方形，延長至點，
∴，
∵，
∴；
②由①得，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）證明：如圖，過點作于點，作延長線于點，
∵四邊形是正方形，
∴，，
∵，，，
∴，
∴四邊形是矩形，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴四邊形是正方形，
∴，
∵，
∴；
，
理由：由可知，
過點C作于點，作延長線于點，
∵四邊形是正方形，
∴，，
∵，，，
∴，
∴四邊形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴四邊形是正方形，
∴，
∵，
∴；
兩式相加得，，
∴，
∴．
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