資源簡介

永嘉中學2023級九月數學教學質量檢測試題
考生注意：
1.本科目試卷共1張，4頁,19道小題。滿分150分，考試時間120分鐘。答題前，請務必檢查試題卷與答題卷印刷情況，并將自己的姓名、準考證號用黑色字跡的簽字筆或鋼筆填寫在答題紙上。
2.答題時，請按照答題紙上“注意事項”的要求，在答題紙相應的位置上規范作答，在本試題卷，草稿紙上作答一律無效。同時考生請注意端正考試行為，把握考試時間，預?？荚図樌?br/>3.非選擇題的答案須用黑色字跡的簽字筆或鋼筆寫在答題紙上相應區域內，作圖時可先使用2B鉛筆，確定后須用黑色字跡的簽字筆或鋼筆描黑，答案寫在本試題卷上無效。
一．選擇題：本題共8小題，每小題5分，共計40分，每題有且僅有一個正確選項符合題意
1.已知一扇形的半徑為3，周長為10，則該扇形的面積為
A.3 B.6 C.9 D.12
2.已知集合 }, },則集合C = 中元素個數為
A.1 B.2 C.3 D.4
3.依據變量和的成對樣本數據，由一元線性回歸模型可得到經驗回歸模型，對應殘差如圖所示，可判斷該模型誤差
A．滿足一元線性回歸模型的所有假設
B．僅滿足一元線性回歸模型的的假設
C．僅滿足一元線性回歸模型的的假設
D．不滿足一元線性回歸模型的，的假設
4.點是所在平面內一點，滿足，若為中點，則的值為
A． B． C． D．
5.已知角滿足，則角所在的區間可能是
A． B． C． D．
6.在平面直角坐標系中有曲線和，直線與、分別相切于A、B，直線（不同于）與、分別相切于點C、D，則AB與CD交點的橫坐標是
A． B． C． D．
7.在平面直角坐標系中，存在圓，點A和點B，M為圓O上的動點，則下列說法中正確的是
A.|MA|-|MB|的最大值為 B.|MA|+|MB|的最大值為
C.|MA|-|MB|的最大值為 D.|MA|+|MB|的最大值為
8.已知函數，記函數的反函數為，設函數的極值點個數為c ;當時，，則實數的取值范圍是
A. B. C. D.
二．選擇題：本題共3小題，每小題6分，共計18分，每題至少有一個正確選項符合題意
9.隨機事件A，B滿足,
其中分別指事件A和B的概率，則下列說法中正確的是
= B.= C.事件A與B不獨立 D.
在平面直角坐標系中，曲線，試判斷下列說法中正確的是
曲線與直線：沒有交點
存在垂直于x軸的直線與曲線沒有交點
曲線與直線：0 有兩個交點
曲線與圓： 有三個交點
11.已知是由具有公共直角邊的兩塊直角三角板（和）組成的三角形，如下圖所示，其中，.現將沿斜邊進行翻折成（不在平面上）.若分別為和的中點，則在翻折過程中，下列說法中正確的是
A．在線段上存在一定點，使得平面
B．存在某個位置，使得直線平面
C．存在某個位置，使得直線與所成角為
D．對于任意位置，二面角始終不小于直線與平面所成角
三．填空題：本題共3小題，每小題5分，共計15分
12.已知拋物線：焦點為，過向第一象限作射線，過點作的切線，切點為，且，則點的軌跡是 的一部分（選填：直線，圓，橢圓，拋物線，雙曲線）.
13.已知函數的定義域為，對任意，有且．
若f(1)=1，則f(49)= .
已知，且，記隨機變量X為x，y，z中的最小值，則D(X)= ．
四．解答題：本題共5小題，其中第15題13分，第16,17題一題15分，18,19題一題17分，共計77 分
15．如圖，棱長為的正方體的頂點在平面內，三條棱,,都在平面的同側.
（1）若平面與平面所成的二面角為，求頂點到平面的距離的最大值；
（2）若頂點,到平面的距離分別為,，求平面與平面所成銳二面角的余弦值.
16.已知滿足三個條件：
①， ②， ③________________.
（1）若條件③是“是直角三角形”，求A；
（2）從下列選項中選擇一個作為條件③，使滿足條件的恰好有2個，并說明你的選擇理由。
Ⅰ. Ⅱ. 是等腰三角形
17.在一個不透明的口袋中裝有大小、形狀都完全相同的n個小球，將它們分別編號為．每次從口袋中隨機抽取一個小球，記錄編號后放回，取遍所有標號的小球后停止摸球．記總摸球次數為，其期望為．
（1）求與；
（2）求；
（3）求證：．
附：若隨機變量，則；若隨機變量的可能取值為，
則．
18.平面直角坐標系中，點在以，為左，右焦點的雙曲線：上，雙曲線C的漸近線和y軸將xOy平面六等分．
（1）求雙曲線C的標準方程；
（2）若不過的直線l與交于不同的兩點；
（i）設l的斜率為，若為直線斜率的等差中項，求到l的距離的取值范圍；
（ii）如圖，點P在雙曲線C的左支上，點A在第一象限，l與的平分線m垂直，垂足為D，點O為線段AP的中點，求的最大值．
19.已知函數，.
（1）設，曲線y=在點（）處切線均經過坐標原點。
（i）求 ;
（ii）求證：;
（2）將的極小值點從小到大排列，形成的數列記為，，首項記為.
（i）求證：，是單調遞增數列；
（ii）求的最小值.
永嘉中學2023級九月數學教學質量檢測答案
選擇題（本題共11小題，共計58分）填空題（本題共3小題，共計15分） 平均：42.76+8.95 最高：70/73
題號 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B C D B C A C A
題號 9 10 11 12 13 14
答案 BC BD ABD 0.16 /
解答題（本題共5小題，其中第15題13分，第16,17題一題15分，18,19題一題17分，共計77 分）
15.（1）5分
過點A作垂直于平面的截面，可知當底面與平面所成的角與底面過點對角線所成的角相等時，頂點到平面的距離的最大，為.（亦可通過最大角定理，三正弦定理證明）·········5分
（2）8分
建立如圖所示的空間直角坐標系，設平面 的一個法向量為 ，設連結則四面體為直角四面體；作平面的法線作 于 于 于連結 ，令
由體積相等可得 令
可得設，解得； ······9分
設的法向量
由得，∴，設平面的法向量為，故平面與平面所成銳二面角余弦值 ······13分
（亦可通過不同位置建立坐標系，幾何法構造二面角快速解答；本題所給解法巧妙，但稍顯繁瑣）
16.（1）6分
若是直角三角形，分三種情況討論：
①若，，
整理得，無解；·········2分
②若，，，，滿足條件；·········4分
③若，，，整理得，，
，無解，·········5分
故，又，，即，滿足條件；·········6分
或 。
（2）9分
僅條件Ⅰ符合題意，理由如下：·········8分
Ⅰ.Ⅱ.對給定的，，若滿足的恰好有2個，則為銳角，且解出需有兩解，分別為一個銳角和一個鈍角. 設的銳角解為，則鈍角解為，要使存在，需滿足解得，所以，即，·········11分
解得，即，Ⅰ符合題意。
若是等腰三角形，分三種情況討論：
①若，，，又，，即，滿足條件；·········12分
②若，，，，，整理得，設，又，，則在上有零點，即存在使成立，滿足條件；·········14分
③若，，，，
，整理得，設，，，即存在使成立，滿足條件；
又當時，不滿足條件?！ぁぁぁぁぁぁぁぁ?5分（可根據②簡化步驟）
故滿足題意的至少有三個。
（若考生第二問通過解三角形確定條件Ⅰ中三角形，或簡要論證條件Ⅱ和結果三角形無法滿足題意，亦可給滿分）
17.（1）3分
，．·········3分（前者給1分，后者給2分，算式不要求）
表示袋中共兩個球，前3次摸出同一個球，第4次才摸出另一個球，表示袋中共3個球，前4次摸出的是兩個不同編號的球，第5次才摸出最后一個編號的球
（2）6分
依題意可得：，則， ，設 ，，作差得，所以，···7分
故 ；·········9分
（若考生通過裂項相消等數列求和方式進行化簡或者有求和意識，可酌情給分）
（3）6分
設隨機變量表示恰好記錄了個不同的編號下，繼續摸球直到記錄到第個新的編號所需要的摸球次數，則 ，其中，則， ，·········10分
設 ，
作差得：，
所以 ，·········11分
所以 ，即，·········12分
令，當時，，在單調遞增，所以，即，·········14分
所以，．·········15分
（若考生通過裂項或放縮等方式對證明對象進行化簡，可酌情給分）
18.（1）3分
：，因為點在C上，所以 ①，
又因為雙曲線C的漸近線和y軸將xOy平面六等分，所以漸近線與x軸的交角為 ②，
由①②解得，故雙曲線的方程為．·········3分（其中①②一條1分）
（2）（i）7分
設直線的方程為，聯立可得，，
有韋達定理得，，且，得，·········5分
因為直線的斜率的等差中項，，代入，得，
整理可得，，·········7分
當時，直線為，此時直線過焦點，不合題意，，即，，代入化簡可得，，解得或，
又，令可得，·········9分
， 在上均單調遞減，．·········10分
（ii）7分
由題意，點A與點P關于原點對稱．由雙曲線的對稱性，設，則．
可知直線m斜率存在，設直線m斜率為k，記，又m為的平分線，則．
，，，···12分
同理，·········12分
又，，代入，得，
化簡得．·········14分
又，，所以，將代入，，得，，
，，．
設直線m的方程為，將代入得，·········15分
直線m的方程為，，由點到直線距離公式得，
直線的斜率為，設直線的方程為，將代入得，
直線的方程為，
將其與聯立得，·········16分
設，，則，，由得，
．由基本不等式，，當且僅當時，等號成立?！ぁぁぁぁぁぁぁぁ?7分
，當且僅當時，等號成立，故的最大值為．（猜出答案給2分）
（本題解法多元但計算量較大，若考生有一定思路并給出或化簡重要變量的表達式，可酌情給分）
19.（1）（i）4分
由題意知，，則，所以曲線在點處的切線方程分別為，·········2分
因為切線均過原點，所以，即，得；·········4分
（ii）5分
由（1）（i）得，畫出函數與圖象，如圖，·········6分
如圖，設，知
，由正切函數圖象性質，得，即，又，所以，·········8分
即，解得，即；
·········9分
（2）（i）6分
，于是令，所以，·········10分
即在上單調遞減，在上單調遞增.又，，所以在上有唯一零點且為的極大值點，
又，所以在上有唯一的零點且位于，易知此零點為函數的極小值點.所以，；
·········12分
令，又，即，令，
則 ，所以，又因為，所以在上單調遞減，于是.
所以是單調遞增數列；
·········15分
（ii）2分
顯然的極小值中最小的值為的最小值，又 ，又，所以，所以.
·········17分
第5題：解方程？繪制圖像估計交點！ 第6題：關注函數圖像對稱性！
第7題：阿氏圓轉換線段長！特殊點！ 第9題：使用維恩圖表示已知量。
第12題： 第13題：f(x)=。
第14題：變式，記隨機變量X為x，y，z中的最小值，則D(X)=。

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