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13.2 命題與證明滬科版（ 2024）初中數學八年級上冊同步練習
分數：120分 考試時間：120分鐘 命題人：
一、選擇題：本題共12小題，每小題3分，共36分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.已知命題“三角形三條高線的交點一定不在三角形的外部”小冉想舉一反例說明它是假命題，則下列選項中符合要求的反例是( )
A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 銳角三角形 D. 鈍角三角形
2.下面說法正確的個數有( )
三條線段組成的圖形叫三角形；如果，那么是直角三角形；三角形的三條角平分線交于一點，且這點在三角形內部；如果一個三角形只有一條高在三角形的內部，那么這個三角形一定是鈍角三角形；三角形的一個外角大于任何一個內角．
A. 個 B. 個 C. 個 D. 個
3.下列命題中錯誤的是( )
A. 三角形任意兩邊之和大于第三邊 B. 全等三角形的對應邊相等
C. 三角形的一個外角等于任意兩個內角之和 D. 全等三角形的對應角相等
4.如圖，在正方形中，是對角線的中點，為正方形內的一點，連接，，使得，延長與的角平分線交于點若，連接，則的度數為( )
A.
B.
C.
D.
5.一副三角板，按如圖所示疊放在一起，則圖中的度數為( )
A.
B.
C.
D.
6.如圖，直角三角板中，，，已知斜邊的端點，分別在相互垂直的射線，上滑動，連接給出下列結論：
若，兩點關于對稱，則；
，兩點距離的最大值為；
若平分，則；
在滑動過程中，始終等于．
其中所有正確結論的序號是( )
A. B. C. D.
7.如圖，平面鏡放置在水平地面上，墻面于點，一束光線照射到鏡面上，反射光線為，點在上，若，則的度數為( )
A. B. C. D.
8.如圖，直線，，，則的度數為( )
A. B. C. D.
9.下列說法不正確的是( )
A. 三角形的三個內角之和為 B. 三角形的內心在三角形內部
C. 同旁內角互補 D. 直角三角形的兩個銳角互余
10.如圖，在中，，分別平分和，的延長線與的外角的平分線交于點以下結論：，，，其中正確的是( )
A. B. C. D.
11.將一個含角的直角三角板和直尺按如圖所示的方式放置，若，則的度數是( )
A. B. C. D.
12.形如燕尾的幾何圖形我們通常稱之為“燕尾形”，如圖是一個“燕尾形”，已知，，，則的度數為( )
A. B. C. D.
二、填空題：本題共4小題，每小題3分，共12分。
13.如圖所示的網格是正方形網格，則________點，，是網格線交點
14.如圖，，，則 ______．
15.如圖所示， ．
16.如圖，的度數是 ．
三、解答題：本題共9小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
17.本小題分
我們可以應用“三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和”探索邊形的內角和。
探索：在圖中探索與的關系，并證明你的結論；
應用：在圖中運用所得的結論，證明四邊形的內角和為；
推廣：在圖中將的思路延伸，說明邊形的內角和為。
18.本小題分
如圖，直線，的直角頂點在直線上，頂點在直線上，交于點，，，求的度數．
19.本小題分
如圖，是的外角的平分線，若，，求的度數．
20.本小題分
如圖，是的外角，與的角平分線交于點．
若，，則______， ________ ；
探索與的數量關系，并說明理由；若，，求的度數
21.本小題分
如圖，每個小正方形的邊長均為．
在圖中以格點為頂點，畫出一個面積為的直角三角形；
在圖中以格點為頂點，畫出一個面積為的正方形．
22.本小題分
如圖，已知點，在直線上，點在線段上，與交于點，，．
求證：；
試判斷與之間的數量關系，并說明理由；
若，，求的度數．
23.本小題分
如圖，在中，是的平分線，，，求的度數．
24.本小題分
如圖，在中，，，的外角的平分線交的延長線于點．
求的度數；
過點作，交的延長線于點，求的度數．
25.本小題分
如圖，在中，于點，平分若，．
求的度數；
若為線段上的任意一點，當為直角三角形時，求的度數．
答案和解析
1.【答案】
【解析】略
2.【答案】
【解析】解：由題知，
因為三角形是由三條線段首尾順次連接，組成的封閉圖形，
所以的說法錯誤．
由及得，
，
則，
所以，
顯然此三角形不是直角三角形，
所以的說法錯誤．
因為三角形的三條角平分線交于一點，且這點在三角形內部，
所以的說法正確．
因為銳角三角形的三條高都在三角形內部，
直角三角形的兩條高為直角邊，第三條高在三角形內部，
鈍角三角形的兩條高在三角形外部，一條高在三角形內部，
所以的說法正確．
因為鈍角三角形中，鈍角相鄰的外角是銳角，比鈍角小，
所以的說法錯誤．
故選：．
根據直角三角形的性質及三角形角平分線、中線和高的定義，對所給說法依次進行判斷即可．
本題主要考查了直角三角形的性質、三角形的外角性質及三角形的角平分線、中線和高，熟知直角三角形的性質及三角形的外角性質是解題的關鍵．
3.【答案】
【解析】解：根據三角形外角的性質、三角形的三邊關系、全等三角形的性質判斷如下：
A、三角形任意兩邊之和大于第三邊，是正確的；
B、全等三角形的對應邊相等，是正確的；
C、三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角之和，是錯誤的；
D、全等三角形的對應角相等，是正確的．
故選：．
根據三角形外角的性質、三角形的三邊關系、全等三角形的性質判斷即可．
本題考查的是命題的真假判斷．判斷命題的真假關鍵是要熟悉課本中的性質定理．
4.【答案】
【解析】解：連接，如圖，
四邊形是正方形，
，，
，
，，
，
是的角平分線，
，
，，，
≌，
，
，
，
，
，
是對角線的中點，
，
，
，即的度數為，
故選：．
連接，先證明≌，得到，從而得，繼而，然后利用直角 三角形的性質，得出，從而有，然后由三角形外角的性質可求解．
本題考查正方形的性質，直角三角形的性質，等腰三角形的性質，三角形外角的性質，全等三角形的判定與性質，證明是解題的關鍵．
5.【答案】
【解析】解：如下圖：
三角板是等腰直角三角形，三角板是含角的直角三角形，
，，，
是的外角，與是對頂角，
，
是的外角，
根據三角形外角的性質得，．
則圖中的度數為．
故選：．
結合三角板的特征得到，，，再由是的外角、是的外角即可得解．
本題考查的是三角形外角的性質，解題關鍵是熟練掌握三角形外角等于與其不相鄰的兩內角和．
6.【答案】
【解析】解：在中，，，，
，，
若、兩點關于對稱，如圖，
為的垂直平分線，
，故正確；
如圖，取的中點為，連接、．
由條件可知．
當經過點時，最大且、兩點距離的最大值為，故不正確；
如圖，當，
與相互平分，但不成立，故不正確；
延長至點，如圖，
，
，
．
同理：，，
，
，故正確．
故選：．
在中，由，，，求出，由軸對稱的性質得，可判斷正確；取的中點為，連接、，由三角形三邊關系可知當經過點時，最大且、兩點距離的最大值為，可判斷不正確；當，則四邊形是矩形，滿足與相互平分，但不成立，可判斷不正確；
本題考查了軸對稱的性質，解直角三角形，三角形外角的性質，矩形的性質，直角三角形斜邊中線的性質，熟練掌握各知識點是解答本題的關鍵．
7.【答案】
【解析】【分析】
根據題意可得，進而根據直角三角形的兩個銳角互余即可求解．
本題考查了直角三角形中兩個銳角互余，入射角等于反射角，熟練掌握以上知識是解題的關鍵．
【解答】
解：依題意，，
，
，
，
故選C．
8.【答案】
【解析】【分析】
此題主要考查了平行線的性質，三角形的外角定理，準確識圖，熟練掌握平行線的性質和三角形的外角定理是解答此題的關鍵．首先根據平行線的性質得，再由三角形的外角定理可得的度數．
【解答】
解：，，
，
又，
．
9.【答案】
【解析】解：、、中的說法正確，故A、、不符合題意；
C、兩直線平行，同旁內角互補，故C符合題意．
故選：．
根據三角形內角和定理、三角形的內心的概念、同旁內角的定義、直角三角形的性質，即可判斷．
本題考查三角形內角和定理、三角形的內心、同旁內角、直角三角形的性質，熟練掌握相關知識點是解題的關鍵．
10.【答案】
【解析】解：由題意，平分，平分，
，．
根據三角形外角性質，，，
，即，故正確．
由，根據三角形內角和定理，，
又，
，
不一定是，
，故錯誤．
、分別平分和，
，．
根據三角形內角和定理，．
又，
，故正確．
由知，由知．
．
不一定是，
，故錯誤．
綜上，正確的是．
故選：．
依據題意，由平分，平分，可得，，然后結合三角形的外角的性質及三角形內角和定理，即可逐個判斷得解．
本題主要考查考查了三角形的外角性質、角平分線的定義、三角形內角和定理，解題時要熟練掌握并能結合圖形列出關系式是關鍵．
11.【答案】
【解析】解：如圖所示，，
根據題意，對頂角相等，
在中，，
，
所以的度數是，
故選：．
根據題意，，中，，根據對頂角相等即可求解．
本題考查了直角三角形的性質，對頂角、鄰補角，理解圖示，掌握角的和差計算是解題的關鍵．
12.【答案】
【解析】連接，延長到，根據三角形的外角的性質得出，繼而得出，代入已知數據，即可求解．
【詳解】解：連接，延長到．
，
，
，，，
故選：
13.【答案】
【解析】解：如圖，延長到，連接，
設小正方形的邊長為，
則，，
，
是等腰直角三角形，且，
，
．
14.【答案】
【解析】解：由條件可知，
，，
，
故答案為：．
根據，即可求解．
本題考查了三角形外角的性質，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和是關鍵．
15.【答案】
【解析】略
16.【答案】
度
【解析】【分析】根據三角形外角的性質得出，，進而在四邊形中，根據四邊形內角和即可求解．
【詳解】解：如圖所示，，，
在四邊形中，，故答案為：．
【點睛】本題考查了多邊形內角和定理，三角形外角的性質，掌握以上知識是解題的關鍵．
17.【答案】【小題】
解：數量關系：。
證明：因為與分別為的兩個外角，
所以，，
所以。
因為三角形的內角和為，
所以，
所以。
【小題】
證明：由知。
在中，，
所以，
所以，
即四邊形的內角和為。
【小題】
由知，三角形剪去一個角，變為四邊形，其內角和變為。
依次類推，四邊形剪去一個內角變為五邊形，
其內角和為，
，
邊形剪去一個內角變為邊形，其內角和為。
故邊形的內角和為。

【解析】 見答案
見答案
見答案
18.【答案】解：，，．
在中，，，
．
．

【解析】略
19.【答案】解：，是的外角的平分線，
，
，，
．
【解析】根據角平分線定義求出，根據三角形的外角性質得出，即可求出答案．
本題考查了三角形外角的性質，三角形內角和定理等知識，能根據三角形的外角性質得出是解此題的關鍵．
20.【答案】解：；；
與的數量關系是．
理由：平分，
，
平分，
，
設與交于點，
，
，
，
是的外角，
，
，
；
如圖，與交于點，
，
，
，
，
，
，
，
，，
．
【解析】【分析】
本題主要考查了三角形的內角和定理以及外角的性質問題，平行線的性質，角平分線定義，能夠掌握并熟練運用平行線的性質是解決問題的關鍵．
由三角形內角和定理可求，求出和，再由三角形外角的性質即可求出結論；
與的數量關系是設與交于點，由三角形內角和可得，進而由角平分線定義得出，再根據三角形外角的性質得出，代入可得，則，即可得出結論；
與交于點，由，證得，由，證得，得出，進而證得，即可證得結論．
【解答】
解：，，
，
與的角平分線交于點，
，，
，
故答案為：；；
見答案；
見答案．
21.【答案】【小題】
解： 答案不唯一，如
是以格點為頂點，面積為的直角三角形．
【小題】
位置不唯一，如
正方形是以格點為頂點，面積為的正方形．

【解析】 略
略
22.【答案】證明：，
；
解：與之間的數量關系是．
理由：，
，
，
，
，
；
解：，，
，
，
，
，
，
．
【解析】本題考查了平行線的判定和性質，三角形外角的性質，平角的定義．
根據同位角相等，兩直線平行，可證；
根據平行線的性質可得，根據等量關系可得，根據內錯角相等，兩直線平行可得，再根據平行線的性質可得與之間的數量關系；
根據對頂角相等可求，根據三角形外角的性質可求，根據平行線的性質可得，，再根據平角的定義可求的度數．
23.【答案】解：，
．
是的平分線，
，
．

【解析】略
24.【答案】解：在中，，，
，
．
是的平分線，
；
，，
．
，
．
【解析】本題考查了三角形內角和定理，三角形外角的性質，平行線的性質，鄰補角定義，角平分線定義．掌握各定義與性質是解題的關鍵．
先根據直角三角形兩銳角互余求出，由鄰補角定義得出再根據角平分線定義即可求出；
先根據三角形外角的性質得出，再根據平行線的性質即可求出．
25.【答案】【小題】
平分，，，，
【小題】
當時，當時，，綜上所述，的度數為或

【解析】 略
略
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