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3.6三元一次方程組及其解法滬科版（ 2024）初中數學七年級上冊同步練習
分數：120分 考試時間：120分鐘 命題人：
一、選擇題：本題共12小題，每小題3分，共36分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.某校購買體育器材，第一次購買籃球個，排球個，足球個，共花費元，第二次又購買同樣的籃球個，排球個，足球個，共花費元，則購買同樣的籃球、排球、足球各個，共需花費( )
A. 元 B. 元 C. 元 D. 元
2.用現代高等代數的符號可以將方程組的系數排成一個表，這種由數列排成的表叫做矩陣矩陣表示，，三元一次方程組，若為定值，則與關系( )
A. B. C. D.
3.已知方程組則的值為( )
A. B. C. D.
4.已知實數，，滿足，若，則的最大值為( )
A. B. C. D.
5.如圖，在某張桌子上放相同的木塊，，，則桌子的高度是( )
A. B. C. D.
6.在數學知識競賽中，為獎勵成績突出的學生，班級計劃用元錢購買甲，乙，丙三種獎品，三種獎品都要購買，甲種獎品每個元，乙種獎品每個元，丙種獎品每個元，在丙種獎品不超過兩個且錢全部用完的情況下，購買方案有( )
A. 種 B. 種 C. 種 D. 種
7.已知三元一次方程組，則( )
A. B. C. D.
8.方程組的解為( )
A. B. C. D.
9.已知，，滿足，，則關于的一元二次方程的解的情況為( )
A. ， B. ，
C. 方程的解與，的取值有關 D. 方程的解與，，的取值有關
10.下列說法：
已知，，滿足，則；
已知，，是正整數，，且，則，，；
若實數，，滿足，，則代數式的值可以是．
其中正確的個數是( )
A. B. C. D.
11.已知三個實數，，，滿足，，，則( )
A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，
12.為確保信息安全，信息需要加密傳輸，發送方由明文密文加密，接收方由密文明文解密已知加密規則：明文，，對應密文，，如果接收方收到密文，，，則解密得到的明文為．
A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，
二、填空題：本題共4小題，每小題3分，共12分。
13.已知，且，則的值為 ．
14.有甲、乙、丙三種貨物如果買甲件，乙件，丙件，共花去元；如果買甲件，乙件，丙件，共花去元現在買甲、乙、丙各件，需要花 元
15.利用兩塊形狀和大小完全相同的長方體木塊測量一張桌子的高度首先按如圖所示的方式放置，再將兩塊木塊按如圖所示的方式放置測量的數據如圖所示，則桌子的高度是 ．
16.九宮格填數作為一種益智游戲，深受數學愛好者的喜愛在如下所示的每一個方格中填入這個數字，使得每行、每列以及每條對角線上的個數字之和相等，則圖中的值為 ．
三、解答題：本題共9小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
17.本小題分
在等式中，當時，；當時，；當時，求當時，的值．
18.本小題分
某農場名職工耕種公頃土地，計劃種植水稻、棉花和蔬菜，已知種植農作物每公頃所需的勞動力人數及投入的設備資金如下表：
農作物品種 每公頃需勞動力 每公頃需投入資金
水稻 人 萬元
棉花 人 萬元
蔬菜 人 萬元
已知該農場計劃投入設備資金萬元，應該怎樣安排這三種作物的種植面積，才能使所有職工有工作，而且投入的資金正好夠用
19.本小題分
已知，且，求的值．
20.本小題分
為確保信息安全，在傳輸時往往需加密，發送方發出一組密碼，，時，則接收方對應收到的密碼為，，雙方約定：，，，例如發出，，，則收到，，．
當發送方發出一組密碼為，，時，則接收方收到的密碼是多少？
當接收方收到一組密碼，，時，則發送方發出的密碼是多少？
21.本小題分
閱讀感悟：
有些關于方程組的問題，要求的結果不是每一個未知數的值，而是關于未知數的代數式的值，如以下問題：
已知實數、滿足，，求和的值．
某班級組織活動購買小獎品，買支鉛筆、塊橡皮、本日記本共需元，買支鉛筆、塊橡皮、本日記本共需元，則購買支鉛筆、塊橡皮、本日記本共需多少元？
22.本小題分
解方程組：．
23.本小題分
關于的代數式，當時，其值為；當時，其值為；當時，其值為；
求，，的值
當時，求代數式的值．
24.本小題分
為確保信息安全，在傳輸時往往需加密，發送方發出一組密碼，，時，則接收方對應收到的密碼為，，雙方約定：，，，例如發出，，，則收到，，．
當發送方發出一組密碼為，，時，則接收方收到的密碼是多少？
當接收方收到一組密碼為，，時，則發送方發出的密碼是多少？
25.本小題分
第二波疫情爆發后，某公司購買了噸物資打算運往河北支援，現有甲、乙、丙三種車型供選擇，每輛汽車的運載能力和運費如表所示：假設每輛車均滿載
車型 甲 乙 丙
汽車運載量噸輛
汽車運費元輛
若該公司決定用甲、乙、丙三種汽車共輛同時參與運送，請你寫出所有可能的運輸方案甲、乙、丙三種車輛均要參與運送
在第問的基礎上，請再幫助該集團找出運費最省的方案，并計算最省運費．
答案和解析
1.【答案】
【解析】本題考查了三元一次方程組的應用．設籃球的單價為元，排球的單價為元，足球的單價為元，依題意得，，然后作答即可．
【詳解】解：設籃球的單價為元，排球的單價為元，足球的單價為元，依題意得，
由得：，
由得：，
則購買同樣的籃球、排球、足球各個，共需花費元，
故選：．
2.【答案】
【解析】解：由題意得：，
得：，
為定值，
．
故選：．
根據矩陣定義列方程組可解答．
本題考查了解三元一次方程組，二元一次方程組的定義，理解題意，根據新定義解答問題是此題的關鍵．
3.【答案】
【解析】【分析】
此題考查了解三元一次方程組，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．加減消元，去掉，即可解答．
【解答】
解：，
得：，
解得．
故選：．
4.【答案】
【解析】略
5.【答案】
【解析】解：設木塊的長為，寬為，桌子的高度為，
由題意得：，
由得：，
由得：，
即，
解得；
即桌子的高度是．
故選A．
可設木塊的長為，寬為，桌子的高度為，根據第一個圖可得：桌子的高度木塊的寬木塊的長，由第二個圖可得：桌子的高度木塊的長木塊的寬，由此將問題轉化為解三元一次方程組的問題．
此題主要考查了三元一次方程組的應用和解法，解決問題的關鍵是根據圖形中的信息，正確列出三元一次方程組，有一定難度，注意掌握方程的解法．
6.【答案】
【解析】解：設購買、、三種獎品分別為，，個，
根據題意列方程得，
即，
由題意得，，均為正整數．
當時，，
，
分別取，，，，，，，共種情況時，為正整數；
當時，，
，
可以分別取，，，，，共種情況，為正整數；
綜上所述：共有種購買方案，
綜上所述，只有選項D正確，符合題意．
故選：．
設購買、、三種獎品分別為，，個，根據題意列方程得，化簡后根據，，均為正整數，結合種獎品不超過兩個分類討論，確定解的個數即可．
本題考查了三元一次方程組的應用，根據題意列出方程，并確定方程組的解為正整數是解題關鍵．
7.【答案】
【解析】解：三個方程相加得：，
；
故選：．
利用加減消元法進行求解即可．
本題考查解三元一次方程組，熟練掌握消元法是關鍵．
8.【答案】
【解析】【分析】
本題考查了解三元一次方程組的解法，解此題的關鍵是能把三元一次方程組轉化成二元一次方程組，難度適中． 得出，由和組成一個二元一次方程組，求出、的值，把代入求出即可．
【解答】
解：
得出，
和建立方程組得
得，
解得，
把代入得，
把代入得，
方程組的解為．
故選．
9.【答案】
【解析】解：，，
，，
得，
將代入得：，
，
將，代入得：，
，
，
，
解得，，
故選：．
根據已知條件求出、、之間的關系，代入方程即可解答．
本題考查了一元二次方程的概念及利用因式分解法解一元二次方程，理解一元二次方程的概念是解題的關鍵．
10.【答案】
【解析】解：，
，
，
由非負數的性質可得，，，
，
故正確，
，
，，是正整數，
，都是整數，
，
，
，
而只能分解成和的乘積，
當時，
解得：，，或，，，
當時，
解得：，，
，
，與矛盾，不符合題意，舍去，
故錯誤，
實數，，滿足，，
兩方程相減得：，
當，均大于或等于時，，
即，
，
則，故不成立，
由條件可知，故不成立，
當，都小于時，，不符合題意，
故錯誤．
故正確的為：，共個，
故選：．
利用完全平方公式及平方的非負性判定即可，利用平方差公式轉化成方程組，判定方程組的整數解即可，兩方程相減得，根據，得取值判斷即可．
本題考查了完全平方公式及平方的非負性，二次根式的性質，不定方程的解，熟練掌握以上知識點是關鍵．
11.【答案】
【解析】解：由題意，得，
把代入，得，
解得：，
把代入，得．
，
，
，
，．
故選：．
根據已知，解方程組，可得，，再根據，即可得出，．
本題考查了不等式的性質，解三元一次方程組，掌握不等式的性質，解三元一次方程組的方法是解題的關鍵．
12.【答案】
【解析】略
13.【答案】
【解析】方法一：由題意，得解得
所以．
方法二：設，則，，．
分別代入，得，解得，
所以，，，所以．
14.【答案】
【解析】解：設購買甲、乙、丙各件分別需要，，元，
根據意列三元一次方程組得：
，
，得：；
即現在買甲、乙、丙各件，需要花元；
故答案為：．
設購買甲、乙、丙各件分別需要，，元，根據題意，列出三元一次方程組進行求解即可．
本題考查三元一次方程組的應用，關鍵是根據題意找到關系式．
15.【答案】
【解析】解：設桌子的高度為，長方體的長為，寬為，
根據題意列三元一次方程組得：，
利用消元法，得：，
解得，，
所以桌子的高度為，
故答案為：．
設桌子的高度為，長方體的長為，寬為，根據圖中兩種測量方式測出的數據，可列出三元一次方程組，再利用消元法解之即可得出結論．
本題考查了三元一次方程組的應用，關鍵是根據題意找到關系式．
16.【答案】
【解析】解：根據題意列三元一次方程組可得，
，
解得，
即使得每行、每列以及每條對角線上的個數字之和相等，圖中的值為，
故答案為：．
利用九宮格的規則列出三元一次方程組求解即可．
本題主要考查了三元一次方程組的應用，解題的關鍵是找準正確的等量關系，列出三元一次方程組．
17.【答案】解：根據題意，得 解得
所以
當時，，
即當時，的值是

【解析】略
18.【答案】解：設種植水稻公頃，棉花公頃，蔬菜公頃，
由題意得解得
答：種植水稻公頃，棉花公頃，蔬菜公頃．

【解析】略
19.【答案】解：由已知，得 解得
由，得，解得

【解析】略
20.【答案】【小題】
解：由題意，得答：接收方收到的密碼是，，．
【小題】
由題意，得解得答：發送方發出的密碼是，，．

【解析】 略
略
21.【答案】，；
購買 支鉛筆、塊橡皮．本日記本共需元
【解析】實數、滿足，，
得，
得，
即的值為，的值為；
設鉛筆的單價為元，橡皮的單價為元，日記本的單價為元，
依題意列二元一次方程組得：，
由可得，
，
答：購買支鉛筆、塊橡皮、本日記本共需元．
根據整體代入的思想，即可求得的值，由即可求得的值；
設鉛筆的單價為元，橡皮的單價為元，日記本的單價為元，根據題意列出方程組，根據整體的思想由可得，即可求解．
本題考查了三元一次方程組的應用，掌握加減消元法是解題的關鍵．
22.【答案】．
【解析】解：，
得，
把和組成方程組得，
解此二元一次方程組得，
把，代入得，
解得，
原方程組得解為．
利用消元法先把三元一次方程組變形為二元一次方程組，再解二元一次方程組即可得解．
本題主要考查了解三元一次方程組，把三元一次方程組通過消元法化為二元一次方程組是解題的關鍵．
23.【答案】解：由題意得： ，
得： ，
得： ，
得： ，
得： ，
解得： ，
把 代入得： ，
解得： ，
把 ， 代入得： ，
解得： ，
原方程組的解為： ，
當 時， ，
的值為．

【解析】本題考查了解三元一次方程組，熟練掌握解三元一次方程組是解題的關鍵．
根據題意列出關于，，的三元一次方程組，進行計算即可解答；
根據中算出的，，，得到代數式，然后令 代入計算即可．
24.【答案】解：由題意，得解得
答：接收方收到的密碼是，，；
由題意，得解得
答：發送方發出的密碼是，，．
【解析】此題主要考查了三元一次方程組的應用，關鍵是正確理解題意，根據密文與明文之間的關系列出方程組．
根據題意可得方程組，再解方程組即可．
根據題意可得方程組，再解方程組即可．
25.【答案】解：
設需甲車型輛，乙車型輛，丙車型輛，由題意得：
消去得：，，
甲、乙、丙三種車型都參與運送，
、、是正整數，且小于，得，，，
解得：
有三種運送方案：
甲車型輛，乙車型輛，丙車型輛；
甲車型輛，乙車型輛，丙車型輛；
甲車型輛，乙車型輛，丙車型輛；
三種方案的運費分別是：
元，
元，
元，
，
甲車型輛，乙車型輛，丙車型輛，運費最省，最省運費為元．
【解析】詳細解答和解析過程見【答案】
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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