資源簡介

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4.1等式與方程蘇科版（ 2024）初中數學七年級上冊同步練習
分數：120分 考試時間：120分鐘 命題人：
一、選擇題：本題共12小題，每小題3分，共36分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.如圖，等于( )
A. B. C. D.
2.已知等式，則下列等式中不一定成立的是( )
A. B. C. D.
3.下列等式變形正確的是( )
A. 由，得 B. 由，得
C. 由，得 D. 由，得
4.給出一個一元一次方程的解題過程：上述解題過程，沒有應用等式性質的是( )
A. B. C. D.
5.小紅學習了等式的性質后，在甲、乙兩臺天平的左右兩邊分別放入“”“”“”三種物體，如圖所示，天平都保持平衡若設“”與“”的質量分別為，，則下列關系式正確的是( )
A. B. C. D.
6.下列等式變形正確的是( )
A. 若，則 B. 若，則
C. 若，則 D. 若，則
7.有個小正方體，它們的大小和顏色都相同，其中有個小正方體的質量相等，有個小正方體質量和其他不相等可以利用天平進行實驗操作探究，如果用最少的操作次數一定能找出這個質量略重的小正方體，那么最多的操作次數是( )
A. 次 B. 次 C. 次 D. 次
8.下列變形中，正確的是( )
A. 若，則 B. 若，則
C. 若，則 D. 若，則
9.已知實數，，滿足，有下列結論：若，則；若，；若，則其中正確結論有( )
A. 個 B. 個 C. 個 D. 個
10.已知數，，滿足，，則與的關系是( )
A. B. C. D.
11.已知實數、、滿足，下列結論正確的是( )
A. 可能為
B. 若、、中有兩個數相等，則
C. 若，則
D. 若，則
12.已知實數，，滿足，，，則下列結論正確的是( )
A. B. C. D.
二、填空題：本題共4小題，每小題3分，共12分。
13.如果，那么 ．
14.一列方程及其解如下排列：的解是，的解是，的解是根據觀察得到的規律，寫出其中解是的方程： ．
15.甲倉庫有煤，乙倉庫有煤，從甲倉庫取出，運到乙倉庫，這時甲倉庫有煤 ，乙倉庫有煤 ，如果這時甲倉庫的煤的質量是乙倉庫的一半，那么根據這個條件列出的方程是 ．
16.某校四個班為“希望工程”捐款，甲班捐的錢數是另外三個班捐款總和的一半，乙班捐的錢數是另外三個班捐款總和的，丙班捐的錢數是另外三個班捐款總和的，丁班共捐了元，若設這四個班捐款數的總和為元，請根據條件列出方程： ．
三、解答題：本題共9小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
17.本小題分
閱讀理解題：
下面是小明將等式進行變形的過程：
，
，
的依據是 ；
小明出錯的步驟是 ，錯誤的原因是 ；
給出正確的解法．
18.本小題分
在一次植樹活動中，甲班植樹的棵數比乙班多，乙班植樹的棵數比甲班的一半多設乙班植樹棵．
列兩個不同的含的代數式表示甲班植樹的棵數．
根據題意列出含未知數的方程．
檢驗乙班和甲班植樹的棵數是不是和．
19.本小題分
方程的解的定義：使方程兩邊相等的未知數的值．如果一個方程的解都是整數，那么這個方程叫作“立信方程”．
若“立信方程”的解也是關于的方程的解，則 ；
若關于的方程的解也是“立信方程”的解，求的值；
關于的方程是“立信方程”，直接寫出符合要求的正整數的值．
20.本小題分
如圖，將一塊長方形鐵皮的個角各剪去一個邊長為的正方形后，剩下的部分剛好能圍成一個容積為的無蓋長方體盒子，且此盒子底面的長比寬多設該長方體盒子底面的寬為
用含的代數式分別表示出該長方體盒子底面的長和容積；
請根據題意列出關于的方程．
21.本小題分
已知，利用等式的基本性質寫出個關于和的等式，并說明理由。
22.本小題分
請按照表格中的步驟，嘗試求方程的解。
的值 左邊的值 右邊的值 比較左右兩邊的值
第次 左邊右邊
第次 左邊右邊
第次
23.本小題分
在蕭紅中學的社團活動中，同學們利用天平和常見的物品探究等式的基本性質，現在每個小組有一架天平，和克的砝碼，如何稱出一張卡片和一根吸管的重量呢？
以下是篤行小組的實驗記錄：
實驗準備：重量相同的卡片若干和重量相同的吸管若干
天平右邊 天平左邊 天平狀態
記錄 張卡個砝碼 根吸管 平衡
記錄 張卡根吸管 根吸管個克砝碼 平衡
設一張卡片重克，則一根吸管重______克；
分別求一張卡片和一根吸管的重量各是多少？
明辨小組根據篤行小組的實驗結論提出這樣的一個假設：在天平左邊放上一個的砝碼，再把若干卡片和若干吸管分別放在天平的兩側使天平處于平衡狀態，此時吸管的數量是卡片的倍請用方程的知識進行判斷，若假設不成立，請說明理由；若假設成立，請求出卡片的數量．
24.本小題分
在學校社團活動中，同學們利用天平和身邊的物品探究等式的基本性質，現在每個小組有一架天平，和的砝碼，如何稱出一塊橡皮和一支鋼筆的重量呢？
以下是篤行小組的實驗記錄：
實驗準備：重量相同的橡皮若干和重量相同的鋼筆若干．
天平右邊 天平左邊 天平狀態
記錄 塊橡皮個砝碼 支鋼筆 平衡
記錄 塊橡皮 支鋼筆個砝碼 平衡
設一塊橡皮重，則一支鋼筆重______；
分別求一塊橡皮和一支鋼筆的重量各是多少？
明辨小組根據篤行小組的實驗結論提出一個假設：
如果在天平左邊放上一個的砝碼，再把若干橡皮和若干鋼筆分別放在天平的兩邊，使天平處于平衡狀態，那么此時橡皮的數量是鋼筆數量的倍．
請用方程的知識進行判斷，若假設成立，請求出鋼筆的數量；若假設不成立，請說明理由．
25.本小題分
數學上常用“作差法”來比較兩個式子的大小，即：若，則；若，則；若，則．
【生活觀察】人們常用糖水中糖與糖水的比表示糖水的甜度，將克糖放入水中，得到克糖水，此時糖水的濃度為．
【數學思考】
再往杯中加入克糖，生活經驗告訴我們糖水變甜了，用數學關系式可以表示為______；
請證明中的數學關系式；
【知識遷移】
在中，三條邊的長度分別為，，，證明：．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
此題考查三角形內角和定理和等式性質，根據三角形內角和定理列出方程，再根據等式性質求解．
【解答】
解：
，，
得：．
故選D
2.【答案】
【解析】解：，
，，，，
，，，
四個選項中，只有選項中的等式不一定成立，
故選：．
利用等式的性質進行求解即可．
本題主要考查了等式的性質，熟知等式的性質是解題的關鍵：等式兩邊同時加上或減去同一個數或整式，等式仍然成立；等式兩邊同時乘以一個數或式子等式仍然成立；等式兩邊同時除以一個不為零的數字或式子等式仍然成立．
3.【答案】
【解析】解：、在等式的兩邊同時減去，可得，正確，故本選項符合題意；
B、在等式的兩邊同時加上，可得，原變形錯誤，故本選項不符合題意；
、在等式的兩邊同時除以，可得，原變形錯誤，故本選項不符合題意．
故選：．
等式的性質：等式兩邊加或減同一個數或式子，結果仍相等；等式的性質：等式兩邊乘同一個數，或除以同一個不為的數或式子，結果仍相等．根據等式的基本性質，逐項進行判斷即可．
本題主要考查了等式的基本性質，掌握等式的基本性質是解題的關鍵．
4.【答案】
【解析】解：根據等式的三個基本性質逐步解答判斷如下：
第步根據基本性質，等式兩邊都乘以，不符合題意；
第步根據基本性質，等式的兩邊減去，不符合題意；
第步根據整式的加減法法則計算，符合題意；
第步根據基本性質，等式的兩邊除以，不符合題意．
故選：．
根據等式的基本性質解答每一步，再判斷即可．
本題主要考查了等式的基本性質的應用，熟練掌握等式性質是關鍵．
5.【答案】
【解析】略
6.【答案】
【解析】解：根據等式的性質逐項分析判斷如下：
A.若，則，故原等式變形錯誤，不符合題意；
B.若，當時，則，故原等式變形錯誤，不符合題意；
C.若，則，故原等式變形正確，符合題意；
D.若，則，故原等式變形錯誤，不符合題意；
故選：．
根據等式的基本性質逐項判斷即可．
本題考查了等式的基本性質，熟練掌握該知識點是關鍵．
7.【答案】
【解析】解：第一次稱重：
把個小正方體分成個、個、個三組，將兩組個的小正方體分別放在天平兩端，如果天平平衡，那么剩下的那個就是質量不同的小正方體，這樣只需稱次就能找出．如果天平不平衡，那么質量不同的小正方體就在天平翹起的那個當中．
第二次稱重：針對第一次稱重天平不平衡的情況從天平翹起的那個小正方體中任取個，分別放在天平兩端，
如果天平平衡，那么沒稱的那個就是質量不同的小正方體．如果天平不平衡，那么天平翹起一端的那個就是質量不同的小正方體．
綜合以上情況，考慮最不利的情形，最少需要稱次一定能找出這個質量不同的小正方體．
故選：．
利用天平稱重找次品時，通過合理分組并比較重量，根據天平的平衡情況逐步縮小次品所在的范圍，從而確定最少的操作次數．
本題考查等式的性質，理解等式的性質以及合理的分組方法是正確解答的關鍵．
8.【答案】
【解析】【分析】
此題考查了等式的性質，關鍵是注意互為相反數的兩個數的絕對值及平方數相等．根據等式的性質對每個選項注意論證，得出正確選項．
【解答】
解：若，則，如果和互為相反數時，也有，即，故若，則不正確；
B.如果和互為相反數即時，也有，故若，則不正確；
C.，當時，時，也成立，故若，則不正確；
D.若，不能為，由等式的性質得：，故若，則正確．
故選D．
9.【答案】
【解析】解：若，則，
，正確；
，
，正確；
由條件可知，正確；
故正確結論有個．
故選：．
根據等式的性質及完全平方公式逐項分析判斷即可．
本題考查了等式的性質、完全平方公式，熟練掌握以上知識點是關鍵．
10.【答案】
【解析】解：由條件可知，
，
，
；
故選：．
根據等式的性質，得到，等量代換得到，即可得出結果．
本題考查等式的性質，熟練掌握該知識點是關鍵．
11.【答案】
【解析】【分析】
此題考查的是等式的性質，完全平方公式等知識，掌握其性質定理是解決此題的關鍵．
A、把代入后判斷即可、假如或進行判斷即可、利用等式的性質進行判斷即可、利用完全平方公式進行變形進行判斷即可．
【解答】
解：、把代入，得，移項后得，，是不成立的，故原說法不正確，不合題意
B、假如或，均得不到，故原說法不正確，不合題意
C、等式兩邊同時乘可得，，與原式相矛盾，故原說法不正確，不合題意
D、若，則，，故原說法正確，
符合題意故選：．
12.【答案】
【解析】解：由條件可知，
，
．
把代入，
解得．
，
，
．
A.因為，所以，該選項錯誤，不符合題意；
B.由前面計算可知，，所以，該選項正確，符合題意；
C.因為，所以，該選項錯誤，不符合題意；
D.因為，所以，該選項錯誤，不符合題意；
故選：．
根據已知條件求出、、的值，再逐一分析選項．
本題考查了實數的運算與等式性質，解題關鍵是通過對已知等式進行運算求出、、的值．
13.【答案】
【解析】略
14.【答案】
【解析】提示：觀察可知該列方程可寫為的解是，的解是，的解是所以解是的方程為，即．
15.【答案】

【解析】略
16.【答案】
【解析】因為甲班捐的錢數是另外三個班捐款總和的一半，所以甲班的捐款數是四個班捐款數總和的因為乙班捐的錢數是另外三個班捐款總和的，所以乙班的捐款數是四個班捐款數總和的因為丙班捐的錢數是另外三個班捐款總和的，所以丙班的捐款數是四個班捐款數總和的四個班捐款數的總和為元，則甲班捐款元，乙班捐款元，丙班捐款元，根據題意可列出方程為．
17.【答案】【小題】
等式的兩邊都加上或減去同一個數或整式，所得結果仍是等式
【小題】
等式兩邊都除以，可能為
【小題】
，，，，，．

【解析】 略
略
略
18.【答案】【小題】
解：根據甲班植樹的棵數比乙班多，得甲班植樹的棵數為棵；根據乙班植樹的棵數比甲班的一半多棵，得甲班植樹的棵數為棵．
【小題】
解：．
【小題】
解：把分別代入題中方程的左邊和右邊，得左邊，右邊因為左邊右邊，所以是方程的解，即乙班植樹的棵數是棵．由上面的檢驗過程可得甲班植樹的棵數是棵，而不是棵．

【解析】 略
略
略
19.【答案】【小題】
【小題】
因為，所以，則，將代入，得，得．
【小題】
符合要求的正整數的值為，，

【解析】
因為，所以，把代入，得，即，得．
略

由得，當取，，，，即取，，，時，的值為整數．所以符合要求的正整數的值為，，．
20.【答案】【小題】
長方體盒子底面的寬為，則長為．
容積為．
【小題】
根據題意，得．

【解析】 略
略
21.【答案】解：。理由：依據等式的基本性質，等式兩邊都減去，得，即。
。理由：依據等式的基本性質，等式兩邊都除以，得。
。理由：依據等式的基本性質，等式兩邊都乘，得；依據等式的基本性質，等式兩邊都減去，得。答案不唯一

【解析】見答案
22.【答案】解：因為當時，左邊右邊；
當時，左邊右邊
所以的值在到之間，
所以第次可以選，左邊，右邊，
因此是方程的解．
【解析】本題考查了估算方程的解，熟練掌握方程角的概念是解題的關鍵．
當時，右邊小了，當時，右邊大了，
因此方程的解在之間，所以第三次可以取，可以得到答案．
23.【答案】或
【解析】解：設一張卡片重克，
由記錄得：根吸管重量，
一根吸管重克，
由記錄得：根吸管重量根吸管重量，
一根吸管重克；
綜上所述，一根吸管重克或克，
故答案為：或；
由得：一根吸管重克或克，
，
解得：，
，
答：一張卡片重克，一根吸管重克；
成立，理由如下：
設卡片的數量是張，則吸管的數量是根，
由得出一張卡片克，一根吸管克；
卡片重克，吸管重克，
為正整數，
，
把卡片與砝碼一同放入天平左邊，吸管放入天平右邊，
，
解得：，
假設成立，卡片張．
根據記錄和，天平平衡，則天平左右兩邊的重量相同，據此列式求解即可；
由一根吸管重克或克，列出一元一次方程，解方程即可；
設卡片的數量是張，則吸管的數量是根，由得出一張卡片克，一根吸管克，根據天平處于平衡狀態，列出一元一次方程，解方程即可．
本題主要考查了一元一次方程的應用以及等式的性質等知識，找準等量關系，正確列出一元一次方程是解題的關鍵．
24.【答案】或；
一塊橡皮重，一支鋼筆的重量是；
假設成立，鋼筆為一個，理由見解答．
【解析】解：根據題意得：一支鋼筆重 或，
故答案為：或；
設一塊橡皮重，一支鋼筆的重量是，
則：，
解得：，
答：一塊橡皮重，一支鋼筆的重量是；
假設成立，鋼筆為一個，
理由：設鋼筆的數量為支，橡皮的數量為塊，
則：，
鋼筆的重量為：，橡皮的重量為，
，
把鋼筆放右邊，橡皮和砝碼放左邊，
，
解得：，
假設成立，鋼筆為一個．
根據“天平平衡，兩邊的重量相等”列式表示；根據“記錄“列方程組求解；
假設成立，列方程求解．
本題考查了二元一次方程組的應用，找到相等關系是解題的關鍵．
25.【答案】；
證明過程見解析部分；
證明過程見解析部分．
【解析】解：數學關系式可以表示為，
故答案為：；
證明：
，
，
，
又，，，
，
即；
證明：由的結論可知，，
，
，
，
，
即．
根據題意，列出關系式；
利用作差法，證明不等式即可；
根據的結論，結合作差法，可證得結論．
本題考查了分式的運算，熟練掌握作差法比較大小是解題的關鍵．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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