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山東省煙臺市牟平第一中學2025-2026學年高二上學期9月限時訓練數學試題
學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________
一、單選題
1．下列關于空間向量的說法中錯誤的是（ ）
A．平行于同一個平面的向量叫做共面向量
B．直線可以由其上一點和它的方向向量確定
C．空間任意三個向量都可以構成空間的一個基底
D．任意兩個空間向量都可以通過平移轉化為同一平面內的向量
2．已知直線的方向向量與平面的法向量分別為，，則（ ）
A．∥ B．
C．∥或 D．，相交但不垂直
3．如圖，在平行六面體中，，，，點在上，且，則（ ）
A． B．
C． D．
4．若向量則（ ）
A． B．3 C． D．
5．在空間直角坐標系中，向量，，下列結論正確的是（ ）
A．若，則 B．若，則
C．若為鈍角，則 D．若在上的投影向量為，則
6．如圖，在正四棱柱中，，，則直線與平面所成角的正弦值為（ ）
A． B． C． D．
7．如圖所示，已知在一個的二面角的棱上，有兩個點，分別是在這個二面角的兩個面內垂直于的線段，且，，，則的長為（ ）
A． B． C． D．
8．教材44頁第17題：在空間直角坐標系中，已知向量，點，點．（1）若直線l經過點，且以為方向向量，P是直線l上的任意一點，求證：；（2）若平面經過點，且以為法向量，P是平面內的任意一點，求證：．利用教材給出的材料，解決下面的問題：已知平面的方程為，直線是平面與的交線，則直線與平面所成角的正弦值為（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
9．關于空間向量，以下說法正確的是（ ）
A．若構成空間的一個基底，則，，必共面
B．若空間中任意一點，有，則P，A，B，C四點共面
C．若空間向量、滿足，則與夾角為鈍角
D．點關于平面對稱的點的坐標是
10．在三棱錐中，，則（ ）
A．
B．向量與夾角的余弦值為
C．向量是平面的一個法向量
D．與平面所成角的正弦值為
11．如圖，點是棱長為1的正方體的側面上的一個動點（包含邊界），則下列結論正確的是（ ）

A．當時，點一定在線段上
B．當為的中點時，三棱錐的外接球的表面積為
C．當點在棱上運動時，的最小值為
D．線段上存在點，使異面直線與所成角的正切值為
三、填空題
12．已知點，，，，若A，B，C，D四點共面，則 .
13．已知直線l的方向向量為，平面α的法向量為.若，則實數λ的值為 .
14．已知矩形，，，沿對角線將折起，使得，則二面角的余弦值是
四、解答題
15．如圖，在平行六面體中，，，，點為的中點，.
(1)求的值；
(2)求與所成的角的余弦值.
16．如圖，在三棱柱中，平面，，，，點、分別在棱和棱上，且，，為棱的中點.
（1）求證：；
（2）求二面角的余弦值；
17．如圖，在棱長為2的正方體中，P為棱的中點，Q為棱所在直線上一點，且（）.
(1)若，求直線與所成角的余弦值；
(2)若直線與平面所成角為45°，求實數的值.
18．如圖，在三棱柱中，底面是以為斜邊的等腰直角三角形，側面為菱形，，．

(1)證明：平面平面；
(2)若為棱中點，求直線與平面所成角的余弦值．
19．在梯形中，，，，P為的中點，線段與交于O點（如圖1）將沿折起到位置，使得平面平面（如圖2）.
(1)求證：平面；
(2)求二面角的大小；
(3)線段上是否存在點Q，使得與平面所成角的余弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.
《山東省煙臺市牟平第一中學2025-2026學年高二上學期9月限時訓練數學試題》參考答案
題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C A D D B A A ABD ACD
題號 11
答案 ABD
1．C
【詳解】A：平行于平面m的向量，均可平移至一個平行于m的平面，故它們為共面向量，正確；
B：直線的方向向量是直線任取一點，向其兩個方向的任意方向作出一個向量即可得，故一點和方向向量確定直線，正確；
C：空間任意三個向量都共面時，則不能構成空間的基底，錯誤；
D：由向量的位置的任意性，將空間兩個向量某一端點移至重合位置，它們即可構成一個平面，即可為同一平面的向量，正確.
故選：C
2．C
【詳解】因為，
所以，
所以∥或
故選：C.
3．A
【詳解】在平行六面體中，
因為，，，點在上，且，
所以.
故選：A
4．D
【詳解】由于向量，，所以.
故
故選：D
5．D
【詳解】對于選項A:若，則，解得,故選項A錯誤；
對于選項B:若，則，解得，故選項B錯誤；
對于選項C:若為鈍角，則且，解得且，故選項C錯誤；
對于選項D:在上的投影向量為，則，解得，故選項D正確．
故選：D.
6．B
【詳解】構建如下圖的空間直角坐標系，則，
所以，，，
若是面的一個法向量，則，
取，則，
所以，
則直線與平面所成角的正弦值為.
故選：B
7．A
【詳解】∵，，∴，
∵，∴．
∵，∴
．
∴．
故選：A．
8．A
【詳解】平面的方程為，
平面的一個法向量，
同理，可得平面的一個法向量，平面的一個法向量，
設平面與平面的交線的方向向量為，
則，取，則
設直線與平面所成角為，
則
故選：A
9．ABD
【詳解】對于A，構成空間的一個基底，則，，不共面，
因為，則，，必共面，故A正確；
對于B，在中，所以P，A，B，C四點共面，故B正確；
對于C，當時，則是鈍角或，故C錯誤；
對于D，關于平面對稱的點，橫坐標和豎坐標不變，縱坐標變為相反數，
所以點關于平面對稱的點的坐標是，故D正確．
故選：ABD．
10．ACD
【詳解】 ，
，故 A 正確；
，
，
，故 B 錯誤；
，,
，
是平面的一個法向量，故 C 正確；
與平面 所成角的正弦值為：
，故 D 正確．
故選：ACD.
11．ABD
【詳解】對于A，若， 又因為平面，平面，
所以，又平面，可得平面，
所以，又因為是正方形，所以，所以點一定在線段上，故A正確；
，
對于C，如圖，旋轉平面，使之與平面共面，
連接交于，此時最短為，大小為，故C錯誤，
對于B，分別以所在的直線為軸，建立空間直角坐標系，
當為的中點時，則，，，
設三棱錐的外接球的球心為，則，
即，解得，
∴三棱錐的外接球半徑，
∴三棱錐的外接球表面積為，則B正確；

設線段上存在點，設，
則可得，又，，，
則，
設異面直線與所成角為，若正切值為，則，
即，化簡得，
解得，故線段上存在點，使異面直線與所成角的正切值為，故D正確.
故選：ABD.
12．
【詳解】由題可知，，，因為A，B，C，D四點共面，所以（m，），，
即，解得，，所以.
故答案為：.
13．/2.5
【詳解】由題意可得：，
即，
解得：，
故答案為：
14．
【詳解】過和分別作，，
，，
，
，
，
則，即，
，
，
，
，
二面角的余弦值為，
故答案為：.
15．
【詳解】（1）因為點為的中點
所以
所以
所以，所以
（2）因為
；
所以；
因為；
又。
所以；
所以直線與所成的角的余弦值為.
16．
【詳解】（1）在三棱柱中，平面，，
以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，如下圖所示：
則點、、、、、，
，，則，
因此，；
（2），，設平面的法向量為，
由，取，可得，，所以，，
易知平面的一個法向量為，.
由圖形可知，二面角為銳角，所以，二面角的余弦值為.
17．
【詳解】（1）建立空間直角坐標系并求點的坐標：以為正交基底，建立空間直角坐標系.
已知正方體棱長為，則，，.因為為棱的中點，，，所以點坐標為；
又因為，，所以點坐標為.
所以，.
根據向量的夾角公式，，
，所以.
因為異面直線所成角的范圍是，所以與所成角的余弦值為.
（2）因為，，所以點坐標為.
那么，，.
設平面的法向量為，有，即.
令，得，解得；
把，代入得，解得.
所以.
已知直線與平面所成角為，根據線面角向量關系（為線面角），
則.
等式兩邊同時平方得.
化簡：，即.
展開得. 移項整理得，
又因為，所以，解得.
18．
【詳解】（1）取中點，連結，，，
由題意，在中，，，
所以為等邊三角形，所以，
因為底面是以為斜邊的等腰直角三角形，所以，
所以，為二面角的平面角，
在中，，，，
所以，
可得，所以，
所以，平面平面．
（2）以為坐標原點，，，所在直線分別為x，y，z軸建立如圖空間直角坐標系，
則，，，，．
所以，，
由于為棱中點，故，
所以，，
設平面的法向量為，
所以，令，，
設直線與平面所成角為，則
，
所以，
所以，直線與平面所成角的余弦值為．

19．
【詳解】（1）在梯形中，，，，P為的中點，
可得為等邊三角形，四邊形為菱形，
故，而平面，平面，
平面，
（2）由（1）得，，，故，，
而平面平面，平面平面，平面，，
平面，
兩兩垂直，如圖所示建立空間直角坐標系，
則，，，
，，
設平面的一個法向量為，
則，取得，
平面的一個法向量為，
故，二面角的大小為；
（3）設，則，,,
的，，
設平面的一個法向量為
CQ與平面所成角的正弦值為，
化簡得，解得（舍去）
故存在，使得CQ與平面所成角的余弦值為．

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