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22.2二次函數(shù)與一元二次方程達標測試卷-2025-2026學年數(shù)學九年級上冊人教版
一、單選題
1．若，則當時，x的取值范圍是（　　）
A． B． 或 C． 或 D．
2．拋物線與x軸交點的橫坐標是（ ）
A．2， B．，3 C．2，3 D．，
3．已知二次函數(shù)（，，，為常數(shù)）的與的部分對應值如表：
判斷方程的一個解的取值范圍是（　　）
A． B．
C． D．
4．已知二次函數(shù)的圖象與軸有交點，對稱軸位于軸左側，則當關于，的代數(shù)式有最小值時，該二次函數(shù)的頂點坐標為（　　）
A． B． C． D．
5．下列關于拋物線的描述，正確的是（　　）
A．開口向上
B．與x軸沒有交點
C．對稱軸為直線
D．一定經(jīng)過三、四兩個象限
6．已知二次函數(shù)，點在其第一象限的圖象上，點在其第二象限的圖象上，則關于的一元二次方程的兩根，判斷正確的是（　　）
A．
B．
C．
D．與的符號都不確定
7．二次函數(shù)，的圖象與x軸交點的橫坐標為m，n，且，則a，b，m，n的大小關系是（　　）
A． B． C． D．
8．如圖，點，在二次函數(shù)的圖象上，則方程的一個根的近似值可能是（　　）
A． B． C． D．
9．二次函數(shù)的部分圖象如圖所示，對稱軸為直線，則下列結論中：
①； ②（m為任意實數(shù)）； ③；
④若、是拋物線上不同的兩個點，則．其中正確的結論有（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
二、填空題
10．若拋物線的頂點在x軸上，則k的值為 ．
11．已知二次函數(shù)的y與x的部分對應值如下表：
x 0 1 2 3
y 5 0
則方程的所有解的和是 ．
12．如圖，若的部分圖象如圖所示，則關于的方程的另一個解為 ．
13．關于x的二次函數(shù)的圖象與x軸有且只有一個交點，則實數(shù)m的值為 ．
14．二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點，，則關于的一元二次方程的解為 ．
15．在平面直角坐標系中，二次函數(shù)的圖象與軸交于，兩點，則一元二次方程的解為 ．
16．如圖，拋物線與軸相交于點，，與軸相交于點C，作軸交拋物線于點D，交于點，那么與的面積比值是 ．
17．如圖，已知拋物線與軸交于點，與軸交于點，且過點，連接．
（1）點A的坐標為 ；
（2）若點是直線下方拋物線對稱軸上的一點，且，則點的坐標為 ．
三、解答題
18．如圖，拋物線的頂點，且經(jīng)過原點O；
(1)求此拋物線的解析式；
(2)若拋物線與x軸的另一個交點為P，求點P的坐標．
19．在平面直角坐標系中，拋物線經(jīng)過和兩點．
(1)若為拋物線上一點，求的值；
(2)若存在，使得，求的取值范圍．
20．已知拋物線過點和點．拋物線的對稱軸為直線．
(1)當時，比較的大小；
(2)已知點在該拋物線上，若對于，都有，求的取值范圍．
21．如圖，拋物線和直線交于A，B兩點．
(1)求A，B兩點的坐標；
(2)根據(jù)圖象，寫出當x取何值時，．
22．如圖，拋物線與軸交于和兩點．
(1)求此拋物線的解析式；
(2)過點的直線與拋物線在第一象限交于點，若點的橫坐標為4，請直接寫出當時，的取值范圍是_______．
23．對于平面直角坐標系中的點，若x，y満足，則點就稱為“平衡點”．例如：，因為，所以是“平衡點”．
(1)下列是平衡點的是______；(填序號)
①， ② ③ ④
(2)已知一次函數(shù) (k為常數(shù))圖像上有一個“平衡點”的坐標是，求出一次函數(shù) (k為常數(shù))圖像上另一個“平衡點”的坐標；
(3)已知二次函數(shù)的圖像上有且僅有兩個“平衡點”，請直接寫出a的取值范圍．
《22.2二次函數(shù)與一元二次方程達標測試卷-2025-2026學年數(shù)學九年級上冊人教版》參考答案
題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9
答案 B A D C D A A D B
1．B
【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象性質，根據(jù)交點確定不等式的解集，此類題目熟練掌握二次函數(shù)圖象的性質是解題的關鍵．
令求出二次函數(shù)圖象與x軸的交點坐標，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質寫出x的取值范圍即可．
【詳解】解：∵
∴函數(shù)的開口方向向上，
令，則，
解得，
∴二次函數(shù)圖象與x軸的交點坐標為，
∵，函數(shù)的開口方向向上，
∴x的取值范圍是或，
故選：B．
2．A
【分析】本題考查了二次函數(shù)與軸的交點問題，熟練掌握二次函數(shù)的相關知識點是解此題的關鍵．
令，則，計算即可得到答案．
【詳解】解：令，則，
解得：或，
∴拋物線與x軸交點的橫坐標是2，，
故選：A．
3．D
【分析】本題考查的知識點是圖象法求一元二次方程的近似根，解題關鍵是正確理解二次函數(shù)圖象和一元二次方程關系．
仔細看表，可發(fā)現(xiàn)的值和最接近，再看對應的的值即可得解．
【詳解】解：由表可以看出，當取與之間的某個數(shù)時，，
即這個數(shù)是的一個根，
的一個解的取值范圍為．
故選：．
4．C
【分析】根據(jù)題意得，，則，而，結合二次函數(shù)的性質即可求解．
【詳解】解：二次函數(shù)的圖象與軸有交點，
即一元二次方程有實數(shù)根，
，
，
對稱軸位于軸左側，
，
，
，當時，等號成立，
又，
代數(shù)式取得最小值時，，此時，
解得（舍去正值），
當關于，的代數(shù)式有最小值時，，，
此時拋物線的表達式為，頂點為．
故選：．
【點睛】本題考查的知識點是拋物線與軸的交點問題、二次函數(shù)的圖象與性質，解題關鍵是根據(jù)二次函數(shù)與一元二次方程的關系得出．
5．D
【分析】本題考查拋物線與x軸的交點、二次函數(shù)的性質，根據(jù)題意可知，再結合二次函數(shù)的性質，即可判斷各個選項中的說法是否正確．
【詳解】解：拋物線，
∵m的正負不能確定，
∴拋物線的開口方向無法確定，故選項A錯誤，不符合題意；
當時，，故選項B錯誤，不符合題意；
該拋物線的對稱軸為直線，故選項C錯誤，不符合題意；
當時，拋物線開口向下，頂點坐標為，該函數(shù)圖象經(jīng)過第一、二、三、四象限，
當時，拋物線開口向上，頂點坐標為，該函數(shù)圖象經(jīng)過第一、二、三、四象限，
故選項D正確，符合題意；
故選：D．
6．A
【分析】本題考查了函數(shù)圖象上點的坐標特征以及根與系數(shù)的關系，點在其第一象限的圖象上，則，在其第二象限的圖象上，則，即，則，進而求解．
【詳解】解：點在二次函數(shù)第一象限的圖象上
在二次函數(shù)第二象限的圖象上
異號，，
設，即，
即，則，
故，
，則，
由得，，
故選：A．
7．A
【分析】本題考查了拋物線與x軸的交點以及二次函數(shù)的圖象，依照題意畫出圖象，利用數(shù)形結合解決問題是解題的關鍵．
依照題意畫出二次函數(shù)及的圖象，觀察圖象即可得出結論．
【詳解】解：二次函數(shù)與x軸交點的橫坐標為a、b，將其圖象往下平移2個單位長度可得出二次函數(shù)的圖象，如圖所示．
觀察圖象，可知：．
故選：A．
8．D
【分析】本題考查了圖象法求一元二次方程的近似值，根據(jù)自變量兩個取值所對應的函數(shù)值是和，可得當函數(shù)值為時，的取值應在所給的自變量兩個值之間．
【詳解】解：∵點，在二次函數(shù)的圖象上，
∴當時，，當時，，
∴當時，，
∴選項符合，
故選：．
9．B
【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質，根據(jù)拋物線的開口方向，對稱軸可得，即可判斷①，時，函數(shù)值最大，即可判斷②，根據(jù)時，，即可判斷③，根據(jù)對稱性可得即可判斷④，即可求解．
【詳解】解：∵二次函數(shù)圖象開口向下
∴
∵對稱軸為直線，
∴
∴
∵拋物線與軸交于正半軸，則
∴，故①錯誤，
∵拋物線開口向下，對稱軸為直線,
∴當時，取得最大值，最大值為
∴（m為任意實數(shù)）
即，故②正確；
∵時，
即
∵
∴
即
∴，故③正確；
∵、是拋物線上不同的兩個點，
∴關于對稱，
∴即故④不正確，
正確的有②③，
故選：B．
10．
【分析】本題主要考查二次函數(shù)的圖象與性質，令，得，根據(jù)拋物線的頂點在x軸上知方程有兩個相等的實數(shù)根，根據(jù)列式求解即可．
【詳解】解：令，得，
∵拋物線的頂點在x軸上，
∴方程有兩個相等的實數(shù)根，
∴
解得，，
故答案為：．
11．4
【分析】本題考查了二次函數(shù)的對稱性及與一元二次方程的關系，熟練掌握二次函數(shù)的對稱性及與一元二次方程的關系是本題解題關鍵．
先根據(jù)所給數(shù)據(jù)求出對稱軸，進而求出點在拋物線上的對稱點，點及其對稱點的橫坐標即為方程的解，然后即可求出和．
【詳解】解：解：根據(jù)題意得：點，均在二次函數(shù)的圖象上，
∴二次函數(shù)圖象的對稱軸為直線，
由表格信息可得：
當時，，
∴點關于對稱軸的對稱點為點，
∴關于x的方程的解是，．
方程的所有解的和是．
故答案為：4．
12．
【分析】本題主要考查了二次函數(shù)與一元二次方程之間的關系，二次函數(shù)與x軸交點的橫坐標即為對應的一元二次方程的解，據(jù)此利用對稱性求出二次函數(shù)與x軸的另一個交點的坐標即可得到答案．
【詳解】解：∵二次函數(shù)圖象的對稱軸為直線且與x軸的一個交點坐標為，
∴二次函數(shù)與x軸的另一個交點坐標為，
∴關于的方程的另一個解為，
故答案為：．
13．4
【分析】本題考查二次函數(shù)與一元二次方程，根據(jù)拋物線與x軸有且只有一個交點，得到，結合二次項的系數(shù)不為0，進行求解即可．
【詳解】解：∵二次函數(shù)的圖象與x軸有且只有一個交點，
∴且，
解得：；
故答案為：4．
14．，
【詳解】本題考查了二次函數(shù)與一元二次方程，根據(jù)二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點，，可以得到方程解為，，然后將所求方程變形，即可求得所求方程的解，熟練掌握二次函數(shù)與一元二次方程的關系是解題的關鍵．
【解答】解：∵二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點，，
∴當時，可以得到方程解為或，
∵方程可以轉化為方程，
∴或，
解得：，，
故答案為：，．
15．，
【分析】此題考查了二次函數(shù)和一元二次方程的關系，二次函數(shù)圖象與x軸的交點橫坐標即為所對應的一元二次方程的解．據(jù)此進行解答即可．
【詳解】解：∵二次函數(shù)的圖象與軸交于，兩點，
∴當或時，，
即一元二次方程的解為，，
故答案為：，
16．4
【分析】首先利用待定系數(shù)法求得拋物線解析式為，進而確定點坐標，即可求得的面積；再確定點坐標，利用待定系數(shù)法解得直線、、的解析式，聯(lián)立直線解析式和直線解析式，求解即可確定點坐標，過點作于點，易得，然后解得的面積，然后求解即可．
【詳解】解：將點，代入拋物線，
可得，解得，
∴該拋物線解析式為，
當時，可得，即，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵軸交拋物線于點D，
∴可令，可得，
解得，，即，
∴，
設直線的解析式為，
將點，代入，
可得，解得，
∴直線的解析式為，
設直線的解析式為，
將點，代入，
可得，解得，
∴直線的解析式為，
∵，
∴可設直線的解析式為，
將點代入，可得，解得，
∴直線的解析式為，
聯(lián)立直線解析式和直線解析式，
可得，解得，
∴，
如下圖，過點作于點，
∴，
∴，
∴．
故答案為：4．
【點睛】本題主要考查了求一次函數(shù)解析式、求二次函數(shù)解析式、一次函數(shù)與二次函數(shù)綜合應用等知識，解題關鍵是運用數(shù)形結合的思想分析問題．
17．
【分析】本題主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、二次函數(shù)與一元二次方程、二次函數(shù)與面積的綜合等知識點知識點，掌握數(shù)形結合思想是解題的關鍵．
（1）先將點代入求得b的值，進而確定函數(shù)解析式，再令，求得m的值即可解答；
（2）用待定系數(shù)法求出直線的解析式，設交y軸于點D，拋物線對稱軸交x軸于點E，則可求得點D的坐標，從而求得的面積；設，利用面積關系即可求解即可．
【詳解】解：（1）∵拋物線與軸交于點，
∴，解得：，
∴，
令，則，
∴．
故答案為：．
（2）∵
∴，對稱軸為，
設直線的解析式為，
把B、A坐標代入得：
，解得：，
∴直線的解析式為；
設交y軸于點D，拋物線對稱軸交x軸于點E；
在中，令，可得，則；
∴，
∴的面積為；
∵，
∴，
如圖：設，
∵點P在下方時，，
∴，解得：，
∴．
故答案為：．
18．(1)
(2)
【分析】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)與一元二次方程的關系等知識，求出函數(shù)解析式是解題的關鍵；
（1）設拋物線解析式為頂點式，即，由拋物線過原點即可求得a的值，從而求解；
（2）令，解一元二次方程即可求解．
【詳解】（1）解：∵拋物線的頂點，
∴設拋物線解析式為，
∵拋物線經(jīng)過原點O，
∴，
解得：，
∴，
化為一般式為；
（2）解：令，
解得：，
∴點P的坐標為．
19．(1)
(2)
【分析】此題考查了二次函數(shù)的性質，二次函數(shù)和x軸交點問題，解題的關鍵是掌握以上知識點．
（1）將代入求解即可；
（2）首先求出拋物線與x軸的交點為和，然后得出拋物線開口向上，然后根據(jù)題意得，進而求解即可．
【詳解】（1）∵為拋物線上一點
∴
解得；
（2）當時，
解得或
∴拋物線與x軸的交點為和
∵
∴拋物線開口向上
∵存在，使得
∴
解得：
∴的取值范圍．
20．(1)
(2)
【分析】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質，解不等式組，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質是解題的關鍵．
（1）根據(jù)可得拋物線上的點離對稱軸越近，其縱坐標越小，據(jù)此即可解答；
（2）同理，根據(jù)拋物線上的點離對稱軸越近，其縱坐標越小，列得，計算即可解答．
【詳解】（1）解：∵拋物線中，，
∴拋物線開口向上，
∵點和點在拋物線上，對稱軸為直線，
∴點到對稱軸的距離大于點到對稱軸的距離，
∴；
（2）解：∵拋物線開口向上，且，都有，
∴點在對稱軸的左側，點在對稱軸上或對稱軸的右側，點在對稱軸的右側，且點到對稱軸的距離小于點到對稱軸的距離，大于點到對稱軸的距離，
∴，解得，
∴的取值范圍是．
21．(1)A的坐標是，點B的坐標是
(2)
【分析】本題考查二次函數(shù)與方程組，解答本題的關鍵是明確題意，利用數(shù)形結合的思想解答．
（1）聯(lián)立兩函數(shù)解析式，即可求解；
（2）直接觀察圖象，即可求解．
【詳解】（1）解：根據(jù)題意，得，
解得或，
∴A的坐標是，點B的坐標是；
（2）解：根據(jù)圖象，時，的圖象在的圖象上方，
此時．
22．(1)；
(2)或．
【分析】本題主要考查待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)與一次函數(shù)圖形交點求不等式解集，掌握二次函數(shù)圖形的性質是關鍵．
（1）利用待定系數(shù)法求解即可；
（2）利用圖象法求解即可．
【詳解】（1）解：∵拋物線與軸交于和兩點，
，
解得，
拋物線的解析式為；
（2）解：觀察圖象可知當或時，當，
故答案為：或．
23．(1)①④
(2)另一個平衡點為
(3)或
【分析】本題主要考查了定義新運算，求一次函數(shù)關系式，二次函數(shù)與一元二次方程，
對于（1），根據(jù)平衡點的定義逐個判斷即可；
對于（2），將點代入關系式，求出k，再根據(jù)平衡點的定義得出方程，求出解即可；
對于（3），根據(jù)平衡點的定義得，再分兩種情況求出解即可.
【詳解】（1）解：點，因為，所以點是“平衡點”；
點，因為，所以點不是“平衡點”；
點，因為，所以點不是“平衡點”；
點，因為，所以點是“平衡點”．
故答案為：①④；
（2）解：將點代入關系式，
得，
解得，
∴一次函數(shù)的關系式為.
∵一次函數(shù)的圖象上有另一個“平衡點”，
∴，
即或，
解得或，
則，
所以另一個“平衡點”的坐標是；
（3）解：或．
∵二次函數(shù)的圖象上有且僅有兩個“平衡點”，
∴，
∴或，
即或
當，且時，
解得；
當，且時，
解得．
所以a的取值范圍是或．
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