資源簡介

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22.3實際問題與二次函數達標測試卷-2025-2026學年數學九年級上冊人教版
一、單選題
1．一種大模型飛機模型表演中，已知該種飛機登陸后滑行的距離（單位：米）與滑行時間（單位：秒）之間的函數關系表達式為，則該種模型飛機登陸后滑行停止所需要的時間為（ ）
A．20秒 B．25秒 C．30秒 D．40秒
2．某工廠七月份生產零件萬個，設該廠第三季度平均每月的增長率為，如果第三季度共生產零件萬個，那么與滿足的函數關系式是（ ）
A． B．
C． D．
3．某商店購進一批單價為20元的日用商品，如果以單價30元銷售，那么月內可售出400件，根據銷售經驗，提高銷售單價會導致銷量的減少，即銷售單價每提高1元，每月銷售量相應減少10件，則寫出利潤y與單價x之間的函數關系式（ ）
A． B．
C． D．
4．如圖1是一座拋物線型拱橋，按如圖2所示建立坐標系，在正常水位時水面寬米，拱頂O到水面的距離為9米，當水位上升5米時，則水面寬為（ ）
A．10米 B．15米 C．18米 D．20米
5．如圖，等邊的邊長為，動點從點出發，以每秒的速度，沿的方向運動，當點回到點時運動停止．設運動時間為（秒），，則關于的函數的圖象大致為（ ）
A． B．
C． D．
6．一種玻璃水杯的截面如圖1所示，其左右輪廓線為某一拋物線的一部分，杯口，杯底，且，杯深，如圖2若盛有部分水的水杯傾斜（即），水面正好經過點B，則此時點P到杯口的距離為（ ）
A． B． C． D．
7．市場調查表明：某種水果一周內的銷售率y（銷售率售出數量進貨數量）與價格倍數x（價格倍數售出價格進貨價格）的關系滿足函數關系 （）．根據有關規定，該商品售價不得超過進貨價格的2倍，同時，一周內未售出的水果直接廢棄．某商場希望通過銷售該種水果可獲取的最大利潤率是（ ）
A． B． C． D．
8．如圖，人民醫院在某流感高發時段，用防護隔簾布臨時搭建了一隔離區，隔離區一面靠長為的墻，隔離區分成兩個區域，中間也用防護隔簾布隔開．已知整個隔離區所用防護隔簾布總長為，如果隔離區出入口的大小不計，并且隔離區靠墻的一面不能超過墻長，小明認為：隔離區的最大面積為；小亮認為：隔離區的面積可能為，你認為他們倆的說法是（　　）
A．小明正確，小亮錯誤 B．小明錯誤，小亮正確
C．兩人均正確 D．兩人均錯誤
9．如圖是一款拋物線形落地燈示意圖，燈柱為，拋物線的最高點到地面的距離是，點距燈柱的水平距離為，燈罩與地面的距離是，則燈罩到燈柱的水平距離為（ ）
A． B． C． D．
10．建筑隊在工地一邊靠墻（不限長）處，用85米長的鐵柵欄圍成三個相連的長方形倉庫，倉庫總面積為平方米，為方便取物，在各個倉庫之間留出了1米寬的缺口作通道，在平行于墻的一邊留下一個1米寬的缺口作小門，則的最大值為（　　）
A．418 B．484 C．516 D．648
二、填空題
11．在校運動會上，小華在某次試投中鉛球所經過的路線是如圖所示的拋物線的一部分．已知鉛球出手處A距離地面的高度是米，當鉛球運行的水平距離為4米時，達到最大高度3米的B處，小華此次投擲的成績是 米．
12．如圖，若被擊打的小球飛行高度（單位：）與飛行時間（單位：）直接具有的關系為，則小球從飛出到落地所用的時間為 ．
13．某商品現在的售價為每件35元，每天可賣出50 件．市場調查反映：如果調整價格，每降價1元，每天可多賣出2 件．當每天的銷售額最大時，每件商品的售價為 元．
14．運動會上，小明同學在推鉛球時，鉛球行進的高度（米）與水平距離（米）之間的函數關系式為，則小明的成績是 米．
15．如圖，在中，，．設直線截這個三角形所得的涂色部分的面積為，則與之間的函數解析式為 ．
16．如圖，水平地面點處有一網球發射器向空中發射網球，網球飛行路線是一條拋物線，在地面上落點為，小武在直線上點（靠點一側）豎直向上擺放若干個無蓋的圓柱形桶，已知米，米，網球飛行最大高度米，圓柱形桶的直徑為米，高為米（網球的體積和圓柱形桶的厚度忽略不計）．

（1）當豎直擺放8個圓柱形桶時，網球 （填“能”或“不能”）落入桶內．
（2）當豎直擺放圓柱形桶至少 個時，網球能落入桶內．
17．某拱橋的主橋拱近似地看作拋物線，橋拱在水面的跨度約為米，若按如圖所示方式建立平面直角坐標系，則主橋拱所在拋物線可以表示為，則 ，主橋拱最高點與其在水中倒影點之間的距離為 米．
18．如圖①是我市某廣場音樂噴泉，出水口處的水流呈拋物線形，該水流噴出的高度（單位：米）與水平距離（單位：米）之間的關系如圖②所示，點為該水流的最高點，點為該水流的落地點，且，垂足為，若米，米，米，則的長是 米．
三、解答題
19．在2024年巴黎奧運會上，全紅嬋憑借總分分的成績蟬聯奧運會女子10米跳臺冠軍，成為中國奧運史上最年輕的三金王．在進行跳水訓練時，運動員身體（視作一點）在空中的運動路線可視作一條拋物線．如圖所示，建立平面直角坐標系．已知米，米，跳水曲線在離起跳點A水平距離為米時達到距水面最大高度米．
(1)當時，
①求這條拋物線的解析式；
②求運動員落水點G與點A的距離；
(2)圖中米，米，若跳水運動員在區域內（含點E，F）入水時才能達到訓練要求，請直接寫出的取值范圍．
20．用長的鋁合金條制成如圖所示的矩形窗框，長表示窗框的寬，（鋁合金條的寬度忽略不計）．
(1)求窗框的透光面積與窗框的寬之間的函數關系式．
(2)如何設計才能使窗框的透光面積最大？最大透光面積是多少？
(3)當窗框的透光面積不小于時，直接寫出x的取值范圍．
21．根據年杭州體育中考實心球項目的評分標準，男生的投擲成績是大于或等于米時獲得滿分分．如圖，實心球投擲的運動軌跡可以看作是拋物線的一部分．男生小剛利用錄像設備記錄了自己某次投擲練習中實心球從出手到著陸的過程，通過測量得到實心球在空中運動時的水平距離（單位：米）與豎直高度（單位：米）的數據如表：
水平距離
豎直高度
(1)求實心球運動軌跡的拋物線解析式；
(2)小剛在此次訓練中是否得到滿分，請說明理由；
(3)體育老師根據視頻給小剛提出了“出手高度和力度已經達到極限，要調整出手角度”的建議，體現在拋物線的解析式上可以理解為保持，值不變，調整值．求能使得小剛得到滿分的的取值范圍．
22．一位助農主播利用（“互聯網+”銷售一種農業加工品）這種加工品的成本價為10元/件，已知銷售價不低于成本價，且物價部門規定這種加工品的銷售利潤率不高于，市場調查發現，當銷售價定為12元/件時，每天售出220件，售價每上漲2元，每天銷售量減少20件，設該加工品每天的銷售量y（件），銷售價x（元/件），每天的銷售利潤W（元）．
(1)求y與x之間的函數表達式，并寫出自變量x的取值范圍；
(2)求每天的銷售利潤W（元）與銷售價x（元/件）之間的函數關系式，并求出每件銷售價為多少元時，每天的銷售利潤最大？最大利潤是多少？（銷售利潤=銷售量×每件的利潤）
23．如圖是一座懸索橋側面示意圖．橋塔與橋塔均垂直于橋面，纜索段與纜索段、纜索段均呈拋物線型．纜索段所在的拋物線與纜索段所在的拋物線關于所在的直線對稱，橋塔與橋塔之間的距離（橋塔的粗細忽略不計），纜索段的最低點到的距離．請你建立適當的坐標系，解答問題：
(1)在你所建坐標系下，求纜索段所在的拋物線的函數解析式；
(2)若，求的長．
24．在巴黎舉行的年奧運會跳水女子單人米跳臺決賽中，全紅嬋榮獲冠軍．在精彩的比賽過程中，全紅嬋選擇了一個極具難度的（向后翻騰三周半抱膝）．如圖所示，建立平面直角坐標系，如果她從點起跳后的運動路線可以看作拋物線的一部分，從起跳到入水的過程中，當她離起跳點的水平距離為時，離水面高度為，當她離起跳點的水平距離為時，離水面的高度為．
(1)求拋物線的表達式．
(2)全紅嬋起跳后到達最高點開始計時，若點到水平面的距離為，則她到水面的距離與時間之間近似滿足，如果全紅嬋在達到最高點后需要秒的時間才能完成極具難度的動作，請通過計算說明，她能否成功完成此動作？
《22.3實際問題與二次函數達標測試卷-2025-2026學年數學九年級上冊人教版》參考答案
題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B B D D D C B B B
1．A
【分析】本題考查二次函數的實際應用，解題的關鍵是掌握當飛機停止時，取得最大值．先將函數關系表達式化為，由飛機停止時，取得最大值，即可得到答案．
【詳解】解：
當時，取得最大值，即此時飛機滑行停止
故選：A．
2．B
【分析】本題考查了根據實際問題列二次函數關系式．設該廠第三季度平均每月的增長率為，則八月份生產零件萬個，九月份生產零件萬個，根據第三季度共生產零件萬個，即可列出與之間的函數關系式．
【詳解】解：設該廠第三季度平均每月的增長率為，則八月份生產零件萬個，九月份生產零件萬個，
依題意得：．
故選：B．
3．B
【分析】本題考查了二次函數的實際應用．單價為x元，單價提高了元．原來每月能售出400件，每漲價1元，月銷售量就減少10件．漲元，那么月銷售量就減少件，再根據利潤每件利潤數量即可求得解析式．
【詳解】解：根據題意得：
利潤y與單價x之間的函數關系式為：．
故選：B．
4．D
【分析】本題考查二次函數的應用，根據圖形找出相關數據求值是解題的關鍵．
根據正常水位時水面寬米，找出點A的坐標為，再根據水位上升米時，代入解析式求值即可．
【詳解】解：由題可知點A的坐標為，
設拋物線解析式為，則，
解得，
∴拋物線解析式為，
當水位上升5米時，，
即，解得，
∴水面寬為米，
故選：D．
5．D
【分析】需要分類討論：①當，即點在線段上時，過作于點，由勾股定理即可求得與的函數關系式，然后根據函數關系式確定該函數的圖象．②當，，與的函數關系式是，根據該函數關系式可以確定該函數的圖象；③當時，則，根據該函數關系式可以確定該函數的圖象．本題考查了二次函數與動點問題的函數圖象．解答該題時，需要對點的位置進行分類討論，以防錯選．
【詳解】解：如圖，過作于點，
則，，
①當點在上時，，，，
，
該函數圖象是開口向上的拋物線，對稱軸為直線；
由此可排除A，B，C．
②當時，即點在線段上時，；
則，
該函數的圖象是在上的拋物線，且對稱軸為；
③當時，即點在線段上，此時，，
則，
該函數的圖象是在上的拋物線，且對稱軸為直線；
故選：D．
6．D
【分析】本題考查的是二次函數的實際應用，先以的中點為原點建立平面直角坐標系，求解拋物線為，再進一步的解答即可．
【詳解】解：以的中點為原點建立平面直角坐標系，
∴，，，，
設輪廓線，所在拋物線的解析式為，記與軸的交點為，
把、代入得
，解得：，
∴
∵，
∴，
∴
設直線的解析式為
把、代入得：
，解得：，
∴直線：
由，解得，（舍）
當，，
∴，
此時點P到杯口的距離為，
故選：D．
7．C
【分析】本題主要考查二次函數的應用，設這種水果的進貨價格為，則售出價格為，進貨數量為，則售出數量為，利潤率為，根據“利潤率出貨價格進貨價格售出數量進貨價格進貨數量進貨價格進貨數量”列出關于的函數解析式，利用二次函數的性質求得最值即可．解題的關鍵是熟練掌握利潤率的計算公式，并根據利潤率公式設出所需量及二次函數的性質．
【詳解】解：設這種水果的進貨價格為，則售出價格為，進貨數量為，則售出數量為，利潤率為，
則，
∵商品售價不得超過進貨價格的2倍，
∴，
∵當時，利潤率隨的增大而增大，
∴當時，取得最大值，最大值為，
故選：C．
8．B
【分析】本題主要考查了二次函數的應用，不等式組的應用，設垂直于墻的一邊為，矩形的面積為，則隔離區的另一邊為，根據矩形的面積公式列出面積S關于x的函數解析式，再根據題意求出x的取值范圍，然后分別令和，解方程求出x，取在x取值范圍內的值即可．
【詳解】解：設垂直于墻的一邊為，矩形的面積為，則隔離區的另一邊為，
∴，
根據題意，得不等式組，
解得：，
當時，，
解得（不合題意，舍去）；
當時，，
解得，（不合題意，舍去），
故小明錯誤，小亮說法正確．
故選：B．
9．B
【分析】本題主要考查了二次函數的應用，正確解得拋物線解析式是解題關鍵．根據題意建立坐標系，設拋物線的解析式為，將點代入，求得拋物線解析式，再將代入，計算并確定滿足要求的解即可．
【詳解】解：建立坐標系如下圖，
根據題意，可設拋物線的解析式為，
將點代入，可得，
解得，
∴該拋物線解析式為，
將代入，得，
解得，或（舍去），
故選：B．
10．B
【分析】本題考查了二次函數的應用，二次函數的最值，正確列出解析式是解題的關鍵．設倉庫的寬為米，根據題意可求得倉庫的長為米，再由矩形的面積公式列出函數解析式，最后根據函數性質求最值即可．
【詳解】解：設倉庫的寬為米
則倉庫的長為：米
根據題意可得：
當時，有最大值，最大值為484．
故選：B．
11．10
【分析】本題主要考查了二次函數的實際應用．根據題意可知點的坐標為，頂點為，設拋物線的表達式為，將點A和點B的坐標代入即可求出該拋物線的表達式，最后令，求出此時x的值即可．
【詳解】解：建立如圖所求的平面直角坐標系，
則點的坐標為，頂點為．
設拋物線的表達式為，
點在拋物線上，
，
解得．
拋物線的表達式為，
令，則，
解得或（不合實際，舍去）．
答：小華此次投擲的成績是10米．
故選：10．
12．6
【分析】本題考查二次函數的實際應用，令，求出的值，即可得出結果．
【詳解】解：∵，
∴當時，，
解得：，
∴小球從飛出到落地所用的時間為；
故答案為：6．
13．30
【分析】本題考查二次函數的應用，利用數學知識解決實際問題，解題的關鍵是建立函數模型，利用配方法求最值．設商品降價x元，銷售額為y元，由題意可得到y和x的二次函數關系，利用配方法可求最值，即可求解．
【詳解】解：設商品降價x元，銷售額為y元，
根據題意，得
，
∵，
∴當時，y有最大值，
∴每件商品的售價元時，每天的銷售額最大，
故答案為：30．
14．10
【分析】本題主要考查了二次函數的應用，包括點的坐標的求法及二次函數的實際應用．此題為數學建模題，借助二次函數解決實際問題．
依據題意，令，得到關于的方程，解方程即可．
【詳解】解：令，則，
解得，（舍去），
小明這次投擲的成績是10米，
故答案為：10．
15．
【分析】本題主要考查的是二次函數的應用，解題的關鍵是能夠找到題目中的有關面積的等量關系，難度不大．
先證明，然后根據三角形的面積公式可求的面積，解答出與之間的函數關系式．
【詳解】解：如圖所示，
∵中，，且，
，
，
，
，
，
，
，
即．
故答案為：．
16． 不能
【分析】本題主要考查二次函數的實際應用，求能否落入桶內時高度的比較關系是解題關鍵．
（1）建立直角坐標系，根據題意頂點、點，利用待定系數法可求出函數解析式；當桶的左側最高點位于拋物線以下，右側最高點位于拋物線以上時，球才能落入桶內，據此可分別計算和時的值，與桶高比較可知；
（2）可設桶的個數為，根據（1）中關系列出不等式，即可求出的范圍，從而求出的最小值．
【詳解】解：（1）以點為原點，所在直線為軸建立直角坐標系（如圖），

∴頂點、點，
設拋物線的解析式為，
拋物線過點，
，
解得，
拋物線解析式為：，
，且，
，，
即點的橫坐標是1.5，點的橫坐標是1，
當時，；當時，；
若豎直擺放8個圓柱形桶，則桶高為，
，
網球不能落在桶內，
故答案為：不能；
（2）設豎直擺放的圓柱形桶有個時，網球能落入桶內，
則，
解得：，
為整數，
的值為或，
當豎直擺放圓柱形桶至少個時，網球能落入桶內．
故答案為：．
17． /
【分析】本題考查了二次函數的運用，根據橋拱在水面的跨度約為米，則，且主橋拱所在拋物線可以表示為，代入計算即可求解的值，根據頂點坐標，對稱的性質，兩點之間距離的計算方法即可求解．
【詳解】解：主橋拱所在拋物線可以表示為，橋拱在水面的跨度約為米，則，
∴，
解得，，
∴，
∴倒影點的坐標為，
∴主橋拱最高點與其在水中倒影點之間的距離為，
故答案為：；．
18．
【分析】本題考查了二次函數在實際問題中的應用，解題關鍵是利用待定系數法求出拋物線解析式．
本題根據最高點B點的坐標，設出拋物線的頂點式解析式后代入C點坐標，求出解析式，最后令即可求出．
【詳解】解：設該拋物線的解析式為，
∵在該拋物線上，
∴
∴，
∴，
當時，，
∴的長是．
故答案為： ．
19．(1)①；②米
(2)
【分析】本題考查二次函數的實際應用，正確的求出函數解析式，是解題的關鍵：
（1）①根據題意，得到點坐標和拋物線的頂點坐標，利用待定系數法求出函數解析式即可；②求出時，的值，進而求出運動員落水點與點的距離即可；
（2）設拋物線的解析式為：，將代入得到，再把點，兩點分別代入求出的值，即可得出結論．
【詳解】（1）解：①由題意得，拋物線頂點坐標為，，
設拋物線解析式為，
∴，
解得，
∴拋物線解析式為；
②當時，，
解得：（舍去）；
∴，
∵，
∴米；
∴運動員落水點G與點A的距離為米；
（2）解：設拋物線的解析式為：，把，代入，得：
，
∴，
∴，
當拋物線過點時，，解得：；
當拋物線過點時，，解得：；
∴．
20．(1)
(2)當時，窗框的透光面積最大，最大透光面積是
(3)
【分析】本題考查了二次函數的性質及應用，準確表示窗框的長和寬，進而得到面積函數，再結合二次函數的圖像與性質分析是解題的關鍵．
（1）首先根據鋁合金條長度與窗框各邊的關系求出，建立透光面積與寬的函數關系即可．
（２）根據二次函數的圖像和性質回答即可；
（3）由于，根據二次函數圖像與一元二次函數的關系列方程求方程的根，再結合圖像即可求解不等式即可．
【詳解】（1）解：由題意可知，
，，
∴．
∴，
即．
（2）∵，
∴當時，．
即當時，窗框的透光面積最大，最大透光面積是．
（3）當時，即，即，
解方程得，
二次函數開口向上，
所以不等式的解集為．
．
21．(1)；
(2)不能得到滿分，見解析；
(3)．
【分析】本題考查了二次函數的應用，熟練掌握待定系數法求拋物線解析式是關鍵．
（1）待定系數法求出拋物線解析式即可；
（2）令代入解析式求出值與比較即可得到結論；
（3）設調整后拋物線解析式為，當時，，令，求出的取值范圍即可．
【詳解】（1）解：設拋物線解析式為，由表中數據可得：
，
解得，
拋物線解析式為；
（2）解：當時，
解得舍去，，
，
小剛在此次訓練中不能得到滿分；
（3）解：設調整后拋物線解析式為，
當時，，
令，
解得，
的取值范圍為：．
22．(1)
(2)，每件銷售價為16元時，每天的銷售利潤最大，最大利潤是1080元
【分析】本題考查二次函數的應用，二次函數的最值問題，掌握知識點是解題的關鍵．
（1）根據當銷售價定為12元/件時，每天售出220件，售價每上漲2元，每天銷售量減少20件，列出一次函數解析式，并求出x的取值范圍，即可解答；
（2）根據每天的銷售利潤等于單件的利潤每天的銷售量，列出二次函數，再由確定W的最大值，即可解答．
【詳解】（1）解：，
由 ，
解得．
（2），
由，開口向下，對稱軸為，
∴當時，W隨x的增大而增大，
∴當時，W取得最大值為（元）．
答：每件銷售價為16元時，每天的銷售利潤最大，最大利潤是1080元．
23．(1)
(2)
【分析】（1）先根據已知條件確定拋物線的頂點坐標和拋物線上一點的坐標，然后設出拋物線的頂點式解析式，將點的坐標代入求出解析式中的系數．
（2）先根據拋物線的對稱性得到另一段拋物線的解析式，再將的值代入解析式求出的值，最后結合條件確定的長．
本題主要考查了二次函數的應用，熟練掌握二次函數的性質是解題的關鍵．
【詳解】（1）解：如圖，以點為坐標原點，所在直線為軸，所在直線為軸建立平面直角坐標系，
∵，
∴．
又，纜索段的最低點到的距離，
∴拋物線的頂點的坐標為．
故可設拋物線解析式為．
將代入拋物線解析式，
得．
∴．
∴纜索段所在拋物線的解析式為．
（2）解：∵纜索段所在拋物線與纜索段所在拋物線關于所在直線對稱，
又纜索段所在拋物線的解析式為，
∴纜索段所在拋物線的解析式為．
∵，
∴可令，
∴．
解得或．
又，
∴．
∴的長為．
24．(1)
(2)能，理由見解析
【分析】本題主要考查了求二次函數關系式，二次函數的應用，
（1）待定系數法求解析式即可；
（2）先求出的值，再求出時的的值，與進行比較得出答案．
【詳解】（1）解：設二次函數表達式為：
依題意，圖象經過點，
∴，
∴，
∴
解得，
∴，
（2）解：能，理由如下：
根據題意可知，
∴，
當時，
解得：（負值的舍去）
∵
∴她能成功完成此動作．
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