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2025-2026學年數學九年級上冊蘇科版-第1章一元二次方程章末測試卷
一、單選題
1．下列方程中，關于的一元二次方程是（ ）
A． B．
C． D．
2．關于x的一元二次方程的二次項系數是（ ）
A． B．1 C．2 D．3
3．方程經過配方法化為的形式，正確的是（ ）
A． B．
C． D．
4．關于的一元二次方程有兩個實數根，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C．且 D．且
5．設方程的兩個根為，那么的值等于（ ）
A． B． C．4 D．6
6．對于實數，定義一種新運算“”：當時，；當時，．若，則實數（　　）
A．10 B．4 C．4或 D．4或或10
7．為執行“兩免一補”政策，某地區2018年投入教育經費3600萬元，2020年投入4900萬元，設這兩年投入教育經費的年平均增長百分率為，則下列方程正確的是（ ）
A． B．
C． D．
8．如圖是某地下停車場的平面示意圖，停車場的長為40米，寬為19米，停車場內車道的寬度都相等．停車位的占地面積為352平方米．設停車場內車道的寬度為x米，根據題意，下列方程正確的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空題
9．當 時，關于的方程是一元二次方程．
10．某畢業班同學互送相片作紀念，已知全班共送出相片132張，則該班有 人．
11．是一元二次方程的兩個實數根，則 ．
12．關于的一元二次方程有實數根，則的取值范圍為 ．
13．設為兩相異實數．滿足的值是 ．
14．已知，且有，則的值等于 ．
15．如圖，要設計一幅長為，寬為的矩形圖案，其中各有兩條橫、豎向的彩帶，橫、豎向彩帶的寬度比為，彩帶所占面積是圖案面積的，設豎向彩帶的寬為，則可列方程為 ．
三、解答題
16．解方程：
(1)
(2)
(3)
(4)
17．已知：關于的方程．
(1)若方程總有兩個實數根，求的取值范圍；
(2)若該方程的一個根為3，求的值及該方程的另一根．
18．某城市為綠化環境，改善城市容貌，投入專項費用，用于對某段公路進行綠化．施工第一個月投入費用30萬元，由于加大綠化面積每月投入費用增長，施工第三個月投入費用36.3萬元，若施工第二、三個月投入費用的月平均增長率相同．求施工第二、三個月投入費用的月平均增長率．
19．我們規定：對于任意實數a、b、c、d有，其中等式右邊是通常的乘法和減法運算，如：．
(1)求的值；
(2)已知關于的方程有兩個實數根，求的取值范圍．
20．如圖，若要建一個長方形雞場，雞場的一邊靠墻，墻對面有一個米寬的門，另三邊用竹籬笆圍成，籬笆總長米，圍成的長方形的雞場除門之外四周不能有空隙．
(1)若墻長為米，要圍成的雞場的面積為平方米，則雞場的長和寬各為多少米？
(2)圍成的雞場的面積可能達到平方米嗎？
(3)若墻長為米，對建平方米面積的雞場有何影響？
21．如果關于x的一元二次方程 有兩個實數根，且其中一個根為另一個根的3倍，那么稱這樣的方程為“三倍根方程”．
例如，一元二次方程的兩個根是1和3，則方程 就是“三倍根方程”．
(1)通過計算，判斷方程是否是“三倍根方程”？
(2)若是“三倍根方程”，求n的值．
22．如圖，在矩形中，，．點從點出發向點運動，運動到點即停止；同時，點從點出發向點運動，運動到點即停止，點、的速度都是．連接、、，設點、運動的時間為．
(1)求當為何值時，四邊形是矩形；
(2)求當為何值時，四邊形是菱形；
(3)在運動過程中，沿著把翻折，求當為何值時，翻折后點的對應點恰好落在邊上．
《2025-2026學年數學九年級上冊蘇科版-第1章一元二次方程章末測試卷》參考答案
題號 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A D A C C B A A
1．A
【分析】本題考查一元二次方程的定義，解題的關鍵是掌握一元二次方程的定義：只含有一個未知數，并且未知數的最高次數是2的整式方程．
依次分析每個選項是否符合一元二次方程的定義．
【詳解】解：A、方程，展開可得，即，整理為．它只含有一個未知數，且未知數的最高次數是2，是整式方程，所以是一元二次方程；
B、方程，分母中含有未知數，是分式方程，不是整式方程，所以不是一元二次方程；
、方程，當時，方程變為，此時未知數的最高次數是1，不是一元二次方程，所以該方程不一定是一元二次方程；
D、方程，整理可得，未知數的最高次數是1，是一元一次方程，不是一元二次方程．
故選：A．
2．D
【分析】本題考查了一元二次方程的一般形式：（a，b，c是常數且），在一般形式中稱為二次項，稱為一次項，c稱為常數項．其中a，b，c分別稱為二次項系數，一次項系數，常數項．
根據一元二次方程系數的定義，即可知道的二次項系數．
【詳解】解：關于x的一元二次方程的二次項系數為3．
故選：D．
3．A
【分析】本題考查了利用配方法解一元二次方程，熟練掌握配方法是解題關鍵．先將方程變形為，再兩邊同時加上1，利用完全平方公式進行配方即可得．
【詳解】解：，
，
，
，
故選：A．
4．C
【分析】本題主要考查了一元二次方程根的判別式．一元二次方程根的判別式．一元二次方程有兩個不相等的實數根，；一元二次方程有兩個相等的實數根，；一元二次方程沒有實數根，．熟練掌握是解決問題的關鍵．
根據方程有兩個實數根，求解，且即可得到答案．
【詳解】解：∵關于的一元二次方程有兩個實數根，
∴，
∴，
又．
∴，且．
故選：C．
5．C
【分析】本題考查了一元二次方程的根與系數的關系“對于一元二次方程，若它的兩個實數根為，，則，”，熟練掌握一元二次方程的根與系數的關系是解題關鍵．根據一元二次方程的根與系數的關系可得，代入計算即可得．
【詳解】解：∵方程的兩個根為，
∴，
∴，
故選：C．
6．B
【分析】本題考查新定義，一元一次方程的解法，一元二次方程的解法．分兩種情況討論：當時，當時，再分別根據新定義列出方程，再解方程即可．
【詳解】解：∵當時，則，當時，，
∴當時，
解得，不符合題意，舍去；
當時，則，
∴，
∴，
解得：，（舍去），
∴，
綜上，，
故選：B．
7．A
【分析】此題考查從實際問題中抽象出一元二次方程，平均增長率問題，一般形式為，a為起始時間的有關數量，b為終止時間的有關數量．利用增長后的量=增長前的量×（1+增長率），如果設這兩年投入教育經費的年平均增長百分率為x，再根據“2020年投入4900萬元”可得出方程．
【詳解】解：2019年投入為，2020年投入為，
∴可列方程為：；
故選：A．
8．A
【分析】本題考查了一元二次方程的應用，由題意可得停車位可合成長為米，寬為米的長方形，即可列出關于的一元二次方程，理解題意是解此題的關鍵．
【詳解】解：∵停車場的長為40米，寬為19米，且停車場內車道的寬度為x米，
∴停車位可合成長為米，寬為米的長方形，
∴由題意可得：，
故選：A．
9．
【分析】本題考查了一元二次方程的概念，注意一元二次方程中，方程最高次數為二次；二次項系數．
【詳解】解：由題意可得：，且，
解得：．
故答案為：．
10．12
【分析】本題主要考查了一元二次方程的應用，正確理解題意是解題的關鍵．由題意可得，每個人都要送給這個班中除了自己之外的所有人相片，設該班有x人，則每個人要送張相片，所以共送出張，又知全班共送出132張，列出方程求出x值．
【詳解】解：設該班有x人，每人會給人送相片，
由題意得：
即
（舍去），，
所以該班有12人．
故答案為：12．
11．
【分析】本題考查了一元二次方程的根與系數的關系：，根據是一元二次方程的兩個實數根，把數值代入進行計算，即可作答．
【詳解】解：∵是一元二次方程的兩個實數根，
∴，
故答案為：．
12．
【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式，對于一元二次方程，其判別式，當時，方程有實數根；當時，方程沒有實數根；本題中根據方程有實數根，得到，進而求出的取值范圍．
【詳解】解：∵關于的一元二次方程有實數根，
∴，
解得．
故答案為：．
13．
【分析】本題考查的是一元二次方程根與系數的關系及分式的化簡求值，先得出是一元二次方程的兩個不相等的實數根，進而得出，再將分式進行化簡后代入求值即可．
【詳解】解：為兩相異實數．滿足，
是一元二次方程的兩個不相等的實數根，
一元二次方程可化為，
，
，
故答案為：．
14．
【分析】本題考查了一元二次方程根與系數的關系．熟練掌握同解方程，和根與系數的關系，是解題的關鍵．
把的兩邊同時除以，得到，則x、是關于x的方程的兩根，則利用根與系數的關系求得的值．
【詳解】解：∵，
∴，
∵，
∴x、是關于x的方程的兩根，
∴．
故答案為：．
15．
【分析】本題主要考查一元二次方程的應用，熟練掌握一元二次方程的應用是解題的關鍵．設豎彩帶的寬是，則橫彩帶的寬是，根據彩帶所占面積是圖案面積的，可列方程求解．
【詳解】解：彩帶面積是圖案面積的，
空白部分面積是圖案面積的，
可列方程為：．
故答案為：．
16．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本題考查解一元二次方程，掌握解法是解決問題的關鍵．
（1）用因式分解法求解即可；
（2）用因式分解法求解即可；
（3）用求根公式法求解即可；
（4）用直接開方法求解即可．
【詳解】（1）解：，
，
；
（2）解：，
，
，
；
（3）解：，
，
，
，
；
（4）解：，
，
，
．
17．(1)
(2)的值為1時，該方程的另一根為1，的值為5時，該方程的另一根為9
【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式，一元二次方程根的定義及解法等知識．
（1）先計算出，根據題意得到，即可求出；
（2）設方程的一個根為3，求出，分和兩種情況解出一元二次方程即可求解．
【詳解】（1）解：，
∴，
∵方程總有兩個實數根，
∴，
∴；
（2）解：∵ 方程的一個根為3，
∴，
解得，
當時，原方程化為，解得，
∴另一根為1；
當時，原方程化為，解得，
∴另一根為9；
∴的值為1時，該方程的另一根為1，的值為5時，該方程的另一根為9．
18．
【分析】此題考查了一元二次方程的應用．設施工第二、三個月投入費用的月平均增長率為，第一個月投入費用30萬元，施工第三個月投入費用36.3萬元，施工第二、三個月投入費用的月平均增長率相同．據此列方程，解方程即可得到答案．
【詳解】解：設施工第二、三個月投入費用的月平均增長率為，
根據題意列方程得，
解得，（舍），
∴施工第二、三個月投入費用的月平均增長率為．
19．(1)14
(2)，且
【分析】本題主要考查了新定義下的實數運算，一元二次方程根的判別式，解一元一次不等式，解題的關鍵是掌握新定義下的實數運算．
（1）根據新定義進行實數的運算即可；
（2）根據新定義列出一元二次方程，根據根的判別式列出不等式，然后進行求解即可．
【詳解】（1）解：；
（2）解：，
∴，
解得，且．
20．(1)雞場的長為米，寬為米
(2)雞場面積不可能達到平方米，見解析
(3)當時，不能圍成一個長方形養雞場；當時，可以圍成一個長方形養雞場；當時，可以圍成兩個長寬不同的長方形養雞場
【分析】本題考查一元二次方程的應用，找到等量關系列出方程是解決問題的關鍵．
（1）先設養雞場的寬為，得出長方形的長，再根據面積公式列出方程，求出的值即可，注意要符合題意；
（2）先設養雞場的寬為，得出長方形的長，再根據面積公式列出方程，判斷出的值，即可得出答案；
（3）根據實際問題當時，當時，當時，三種情況進行討論，得出符合條件的值即可．
【詳解】（1）解：設養雞場的寬為，根據題意得：
，
解得：，，
當時，，
當時，，（舍去），
則養雞場的寬是，長為；
（2）解：設養雞場的寬為，根據題意得：
，
整理得：，
，
∵方程沒有實數根，
∴圍成養雞場的面積不能達到；
（3）解：當時，不能圍成一個長方形養雞場；
當時，可以圍成一個長方形養雞場；
當時，可以圍成兩個長寬不同的長方形養雞場．
21．(1)方程是“三倍根方程”
(2)或9
【分析】本題考查了根據一元二次方程根的情況求參數，因式分解法解一元二次方程，解題關鍵是掌握上述知識點并能運用求解．
（1）先解方程，然后根據“三倍根方程”的定義進行判斷；
（2）先解方程，然后根據“三倍根方程”的定義求出n的值即可．
【詳解】（1）解：∵，
∴，
解得，，
∴，
∴方程是“三倍根方程”；
（2）∵，
∴，
解得，，
∵是“三倍根方程”，
∴或，
即或，
∴或9．
22．(1)
(2)
(3)1或3
【分析】（1）由題意得，，，根據矩形的性質可得，，，當時，四邊形是矩形，據此列出關于的方程，即可求解；
（2）先證明四邊形是平行四邊形，當時，四邊形是菱形，利用勾股定理表示出，利用列出關于的方程，即可求解；
（3）由折疊的性質可得，，，，由可得，進而得到，在中利用勾股定理列出方程，求出的值即可解答．
【詳解】（1）解：由題意得，，，
在矩形中，，，，
當時，四邊形是矩形，則，解得，
∴當時，四邊形是矩形；
（2）解：∵，，
∴四邊形是平行四邊形，
∴當時，四邊形是菱形，
根據勾股定理得：，
則，
解得，
∴當時，四邊形是菱形；
（3）解：如圖2，
由折疊的性質可得，，，，，
在矩形中，，
，
，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
，
整理得：，
解得，，
即當等于1或3時，翻折后點的對應點恰好落在邊上．
【點睛】本題考查了矩形的性質與判定、菱形的判定、翻折的性質、勾股定理、一元二次方程的應用，熟練掌握矩形與菱形的判定是解題的關鍵．
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