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第21章一元二次方程達(dá)標(biāo)測試卷-2025-2026學(xué)年數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊人教版
一、單選題
1．下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
2．關(guān)于的方程的根的情況是（　　）
A．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根
C．沒有實(shí)數(shù)根 D．不能確定
3．若是關(guān)于x的一元二次方程的解，則（ ）．
A． B． C．27 D．18
4．下列方程中，沒有實(shí)數(shù)根的是（ ）
A． B． C． D．
5．一元二次方程的解為（ ）
A．， B．， C．， D．，
6．用十字相乘法解一元二次方程，變形正確的是（ ）
A． B．
C． D．
7．利用公式法解一元二次方程得到兩個(gè)根，其中較小的根為（ ）
A． B． C． D．
8．某廠今年一月份新產(chǎn)品的研發(fā)資金為10萬元，以后每月新產(chǎn)品的研發(fā)資金與上月相比增長率都是x，則該廠今年一季度新產(chǎn)品的研發(fā)資金y（元）關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為（ ）
A． B．
C． D．
9．從一塊正方形的木板上鋸掉寬的長方形木條（長為正方形邊長），剩下的面積是，則原來這塊木板的面積是（ ）
A． B． C． D．
10．若關(guān)于x的一元二次方程的兩個(gè)根分別是，，則的值為（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
二、填空題
11．一元二次方程的根為 ．
12．已知實(shí)數(shù)滿足，，且，則的值為 ．
13．已知是一元二次方程，則的值為 ．
14．某生物實(shí)驗(yàn)室需培育一群有益菌．現(xiàn)有個(gè)活體樣本，經(jīng)過兩輪培育后，總和達(dá)個(gè)，其中每個(gè)有益菌每一次可分裂出若干個(gè)相同數(shù)目的有益菌．每輪分裂中平均每個(gè)有益菌可分裂出 個(gè)有益菌．
15．若，是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且，則m的值為 ．
16．目前人工智能技術(shù)涵蓋基礎(chǔ)學(xué)習(xí)類、語言處理類、視覺處理類和其他技術(shù)類等幾大領(lǐng)域．某高校開設(shè)了人工智能相關(guān)選修課程，2022年和2024年報(bào)名學(xué)生人數(shù)分別為100，169．若報(bào)名人數(shù)年平均增長率相同，則年平均增長率是 ．
三、解答題
17．按照指定方法解下列方程：
(1)（用直接開平方法）
(2)（用配方法）
18．已知關(guān)于的一元二次方程，若該方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求的取值范圍．
19．已知關(guān)于的方程．
(1)求證：方程必有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根；
(2)當(dāng)取的整數(shù)時(shí)，存在兩個(gè)有理數(shù)根，求的值和這兩個(gè)有理數(shù)根．
20．冬季來臨，某超市以每件35元的價(jià)格購進(jìn)某款棉帽，并以每件58元的價(jià)格出售．經(jīng)統(tǒng)計(jì)，10月份的銷售量為256只，12月份的銷售量為400只．
(1)求該款棉帽10月份到12月份銷售量的月平均增長率；
(2)經(jīng)市場預(yù)測，下個(gè)月份的銷售量將與12月份持平，現(xiàn)超市為了減少庫存，采用降價(jià)促銷方式，調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該棉帽每降價(jià)1元，月銷售量就會(huì)增加20只．當(dāng)該棉帽售價(jià)為多少元時(shí)，月銷售利潤達(dá)8400元？
21．如圖，利用一面墻（墻長25米），用總長度49米的柵欄（圖中實(shí)線部分）圍成一個(gè)矩形圍欄，且中間共留兩個(gè)1米的小門，設(shè)柵欄長為x；
(1)_______米（用含x的代數(shù)式表示）；
(2)若矩形圍欄面積為210平方米，求柵欄的長．
22．已知實(shí)數(shù)、滿足，試求的值．
解：設(shè)，
則原方程可化為，即：
解得．
∵，
∴
上面這種方法稱為“換元法”，換元法是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中最常用的一種思想方法，在結(jié)構(gòu)較復(fù)雜的數(shù)和式的運(yùn)算中，若把其中某些部分看成一個(gè)整體，并用新字母代替（即換元），則能使復(fù)雜的問題簡單化，根據(jù)以上閱讀材料為內(nèi)容，解決下列問題：
(1)若四個(gè)連續(xù)正整數(shù)的積為120，直接寫出這四個(gè)連續(xù)的正整數(shù)．
(2)已知實(shí)數(shù)、滿足，求的值．
《第21章一元二次方程達(dá)標(biāo)測試卷-2025-2026學(xué)年數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊人教版》參考答案
題號(hào) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C A B D A C B B B A
1．C
【分析】本題主要考查了一元二次方程的定義，熟練掌握一元二次方程的定義是解題的關(guān)鍵．
根據(jù)一元二次方程的定義：只含有一個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的最高次數(shù)為2的整式方程是一元二次方程，據(jù)此逐項(xiàng)判斷即可解答．
【詳解】解：A、不是整式方程，不是一元二次方程，不符合題意；
B、含有兩個(gè)未知數(shù)，不是一元二次方程，不符合題意；
C、是一元二次方程，符合題意；
D、未知數(shù)的最高次不是2，不是一元二次方程，不符合題意．
故選：C．
2．A
【分析】此題考查了根據(jù)一元二次方程的根的判別式判斷一元二次方程的根的情況，熟練掌握一元二次方程根的判別式，當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根是解題的關(guān)鍵．
計(jì)算一元二次方程根的判別式，進(jìn)而即可求解．
【詳解】解：，
∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
故選：A．
3．B
【分析】本題主要考查了一元二次方程的解、代數(shù)式求值等知識(shí)點(diǎn)，掌握整體思想成為解題的關(guān)鍵．
把代入一元二次方程得到，再把變形為，然后利用整體代入計(jì)算即可．
【詳解】解：把代入方程得：，
∴，
∴．
故選：B．
4．D
【分析】本題主要考查了一元二次方程根的判別式，對(duì)于一元二次方程，若，則方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，若，則方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，若，則方程沒有實(shí)數(shù)根，據(jù)此求解即可．
【詳解】解：A、，則原方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，不符合題意；
B、，則原方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，不符合題意；
C、，則原方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，不符合題意；
D、，則原方程無實(shí)數(shù)根，符合題意；
故選：D．
5．A
【分析】本題考查了解一元二次方程，根據(jù)因式分解法解一元二次方程即可．
【詳解】解：，
，
或，
∴，，
故選：A．
6．C
【分析】本題主要考查解一元二次方程，掌握用因式分解法解一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
直接根據(jù)十字相乘法求解即可．
【詳解】解：∵，
∴．
故選：C．
7．B
【分析】本題考查了利用公式法解一元二次方程，公式法解一元二次方程的過程：先確定的值，代入計(jì)算判別式，當(dāng)，方程有實(shí)數(shù)根，當(dāng)，方程無實(shí)數(shù)根，當(dāng)時(shí)，將的值代入求根公式求解方程．
【詳解】解：
，，，
，
，
，
一元二次方程的兩個(gè)根，其中較小的根為．
故選：B．
8．B
【分析】此題主要考查了根據(jù)實(shí)際問題抽象出二次函數(shù)解析式，直接利用二月的研發(fā)資金為：，故三月份新產(chǎn)品的研發(fā)資金為：，再求和即可，正確表示出三月份的研發(fā)資金是解題關(guān)鍵．
【詳解】解：根據(jù)題意可得二月的研發(fā)資金為：，故三月份新產(chǎn)品的研發(fā)資金為：，
今年一季度新產(chǎn)品的研發(fā)資金，
故選：B．
9．B
【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是找出等量關(guān)系，正確列出一元二次方程．
設(shè)原來的正方形木板的邊長為，利用余下木板的面積正方形木板的面積長方形木板的面積，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其正值進(jìn)一步即可得出結(jié)論．
【詳解】解：設(shè)原來的正方形木板的邊長為，
依題意，得：，
解得：（不合題意，舍去）．
則原來這塊木板的面積是
故選：B．
10．A
【分析】根據(jù)韋達(dá)定理解答即可．
本題考查了韋達(dá)定理，熟練掌握定理是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：一元二次方程的兩個(gè)根分別是，，
即的兩個(gè)根分別是，，
則，，
解得，
故，，
故，
解得
故選：A．
11．，
【分析】本題考查了解一元二次方程，利用直接開平方法解一元二次方程即可得解，熟練掌握解一元二次方程的方法是解此題的關(guān)鍵．
【詳解】解：∵，
∴，
∴，．
12．10
【分析】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是關(guān)鍵．根據(jù)題意可知實(shí)數(shù)是方程的兩個(gè)根，然后根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得到的值，即可求解．
【詳解】解：實(shí)數(shù)滿足，，且，
∴實(shí)數(shù)是方程的兩個(gè)根，
∴，
∴，
故答案為：10 ．
13．7
【分析】本題考查了一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，代數(shù)式求值，一元二次方程的解．先將代入方程得到，再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到，代入求值即可．
【詳解】解：，是一元二次方程的兩根，
，即，，
，
故答案為：7．
14．
【分析】本題考查了一元二次方程的實(shí)際運(yùn)用，解答時(shí)分別表示出每輪分解后的總數(shù)得出數(shù)量關(guān)系是關(guān)鍵．設(shè)每輪分裂中平均每個(gè)有益菌可分裂成個(gè)有益菌，則第一輪分裂后有個(gè)，第二輪分裂成個(gè)，第二輪后有24000個(gè)，建立方程求出其解就可以．
【詳解】解：設(shè)每輪分裂中平均每個(gè)有益菌可分裂成個(gè)有益菌，由題意，得
，
解得，，
，
．
所以每輪分裂中平均每個(gè)有益菌可分裂出20個(gè)有益菌．
故答案為：20．
15．
【分析】此題主要考查了根與系數(shù)的關(guān)系，將根與系數(shù)的關(guān)系與代數(shù)式變形相結(jié)合是解題的關(guān)鍵．首先根據(jù)根的判別式求得m的取值范圍，然后由根與系數(shù)的關(guān)系來求m的值．
【詳解】解：∵，是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
∴，
，
解得，
，是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
，
又，
，
即，
解得，或，
又，
的值是.
故答案為：
16．
【分析】本題考查了一元二次方程應(yīng)用中的增長率問題，本題的關(guān)鍵是根據(jù)增長率模型列出一元二次方程．
設(shè)年平均增長率是，結(jié)合題意找出初始量、最終量和增長年數(shù)，正確列出方程求解即可．
【詳解】解：設(shè)年平均增長率是．根據(jù)題意得
，即，
解得（不合題意，舍去）．
故答案為：．
17．(1)
(2)
【分析】本題考查了解一元二次方程；
（1）兩邊開平方得到，即可求出方程的解；
（2）把原方程配方成，再利用開平方法解方程即可．
【詳解】（1）解：，
開平方得，，
∴或，
解得：；
（2）解：原方程整理得，
二次項(xiàng)系數(shù)化為1，得：，
配方，得：，即，
兩邊開平方，得，
∴．
18．
【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式，根據(jù)列出關(guān)于的不等式解答即可求解，掌握一元二次方程根的判別式與一元二次方程根的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：由題意得，，
解得．
19．(1)方程必有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根；
(2)m的值為1，這兩個(gè)有理數(shù)根為和．
【分析】本題考查了根的判別式以及公式法解一元二次方程．
（1）由方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式，可得出，進(jìn)而可證出方程必有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根；
（2）由m的取值范圍及方程存在兩個(gè)有理數(shù)根，可得出，代入后可得出原方程為，且，再利用公式法，即可求出原方程的兩個(gè)有理數(shù)根．
【詳解】（1）證明：
．
∵，
∴，
即，
∴方程必有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根；
（2）解：∵當(dāng)m取的整數(shù)時(shí)，存在兩個(gè)有理數(shù)根，且，
∴，
∴原方程為，且，
∴此時(shí)原方程的解為，
∴m的值為1，這兩個(gè)有理數(shù)根為和．
20．(1)該款棉帽10月份到12月份銷售量的月平均增長率為
(2)該款棉帽售價(jià)為50元時(shí)，月銷售利潤達(dá)8400元
【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，理解題意找準(zhǔn)等量關(guān)系列出方程是解題的關(guān)鍵．
（1）設(shè)該款棉帽10月份到12月份銷售量的月平均增長率為x，可列出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其符合題意的值，即可得出結(jié)論；
（2）設(shè)該款棉帽售價(jià)為y元，則每件的銷售利潤為元，利用月銷售利潤=每件的銷售利潤×月銷售量，可列出關(guān)于y的一元二次方程，解之取其符合題意的值，即可得出結(jié)論．
【詳解】（1）解：設(shè)該款棉帽10月份到12月份銷售量的月平均增長率為x，
由題意得：，
解得：，(不符合題意，舍去)
答：該款棉帽10月份到12月份銷售量的月平均增長率為．
（2）解：設(shè)該款棉帽售價(jià)為y元，則每件的銷售利潤為元，
根據(jù)題意得：，
解得：，(不符合題意，舍去)
答：該款棉帽售價(jià)為50元時(shí)，月銷售利潤達(dá)8400元．
21．(1)
(2)的長為10米
【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用、列代數(shù)式以及根的判別式；
（1）設(shè)柵欄長為米，根據(jù)柵欄的全長結(jié)合中間共留2個(gè)1米的小門，即可用含的代數(shù)式表示出的長；
（2）根據(jù)矩形圍欄面積為210平方米，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其較大值即可得出結(jié)論．
【詳解】（1）解：設(shè)柵欄長為米，
∵柵欄的全長為49米，且中間共留兩個(gè)1米的小門，
∴（米），
故答案為：
（2）解：依題意，得：，
整理，得：，
解得：．
當(dāng)時(shí)，，不合題意，舍去，
當(dāng)時(shí)，，符合題意，
答：柵欄的長為10米．
22．(1)這四個(gè)連續(xù)的正整數(shù)為，，，；
(2)的值為．
【分析】本題考查平方差公式，解題的關(guān)鍵是正確理解“換元法”．
（1）設(shè)這四個(gè)連續(xù)的正整數(shù)為，，，，，根據(jù)題意列方程，用換元法求解即可；
（2）設(shè)，根據(jù)題意列方程，用換元法求解即可．
【詳解】（1）解：設(shè)這四個(gè)連續(xù)的正整數(shù)為，，，，為正整數(shù)，
根據(jù)題意可得，
∴，
設(shè)，，則，
解得或（舍去），
∴，，
∴，
∴，，，
答：這四個(gè)連續(xù)的正整數(shù)為，，，．
（2）解：設(shè)，，則，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
答：的值為．
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