資源簡介

湖南省懷化市溆浦縣第一中學2024-2025學年九年級上學期
10月月考數學試卷
一、單選題
1．在解關于x的方程時，甲看錯了方程中的常數項，解得兩根為8和2，乙看錯了方程中的一次項，解得兩根為和，則正確的方程為（ ）
A． B．
C． D．
2．關于反比例函數，下列說法中錯誤的是（ ）
A．當時，隨的增大而增大 B．圖象位于第二、四象限
C．點在函數圖象上 D．當時，
3．一個小組有若干人，新年互相發送1條祝福信息，已知全組共發送306條信息，則這個小組有多少人？設這個小組有x人，根據題意可列方程（ ）
A． B．
C． D．
4．如圖，D是的邊上一點，，，．若的面積為6，則的面積為（ ）
A．6 B．2 C．3 D．4
5．如圖，在平面直角坐標系中，“雙曲線階梯”的所有線段均與軸平行或垂直，且滿足，點，，，均在雙曲線的一支上．若點A的坐標為，則第三級階梯的高（ ）
A． B． C． D．
6．下列關于的一元二次方程有實數根的是（　　）
A． B． C． D．
7．如圖，一張銳角三角形紙片，點、分別在邊、上，，沿將剪成面積相等的兩部分，則的值為（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．學校開放日即將來臨，負責布置的林老師打算從學校圖書館的頂樓拉出一條彩旗繩到地面，如圖所示．已彩旗繩與地面形成角（即）、彩旗繩固定在地面的位置與圖書館相距32米（即米），則彩旗繩的長度為（ ）

A．米 B．米 C．米 D．米
9．等腰三角形的兩邊長分別是方程的兩個根，則這個三角形的周長為（　　）
A．或 B．或 C． D．
10．如果一個等腰三角形的頂角為，那么其底邊與腰之比等于，我們把這樣的等腰三角形稱為黃金三角形．如圖，在中，，，看作第一個黃金三角形；作的平分線，交于點，看作第二個黃金三角形；作的平分線，交于點，看作第三個黃金三角形；以此類推，第個黃金三角形的腰長是（ ）

A． B． C． D．
二、填空題
11．為解決群眾看病貴的問題，我市有關部門決定降低藥價，對某種原價為300元的藥品進行連續兩次降價后為243元．設平均每次降價的百分率為x，則x的值為 ．
12．在平面直角坐標系中，把以原點為位似中心放大，得到．若點和它的對應點的坐標分別為，，則與的相似比為 ．
13．如圖，點在反比例函數的圖象上，點的橫坐標為1，經過點的直線與軸交于點，則的值為 ．
14．已知關于x的方程x2+3x+a＝0有一個根為﹣2，則另一個根為 ．
15．如圖，點A在反比例函數（）的圖象上，C是y軸上一點，過點A作軸，垂足為B，連接、．若的面積為2，則k的值為 ．
16．如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，斜邊AB=2，O是AB的中點，以O為圓心，線段OC的長為半徑畫圓心角為90°的扇形OEF，弧EF經過點C，則圖中陰影部分的面積為 ．
17．如圖，正方形中，A，E，F分別為上的點，交于點H，交于點M，O為的中點，交于點N，連接．下列結論：①；②；③；④，正確的有 ．（填序號）

18．如圖，點、、分別為矩形的邊、、的中點，連接、、，點為上的動點，過作于于，點為邊上一動點，連接，已知，則的最小值為 ．
三、解答題
19．如圖，已知在正方形中，點在邊上，過點作交延長線于點，連接，過點作交于點，
(1)求證：；
(2)連接．如果為的中點，求證：．
20．已知關于x的方程
（1）當該方程的一個根為1時，求a的值及該方程的另一根；
（2）求證：不論a取何實數，該方程都有兩個不相等的實數根．
21．如圖1，在平面直角坐標系中，交x軸于B，D兩點，交y軸于A、C兩點，連結交x軸于點G．
(1)當時，求的度數；
(2)如圖2，若．
①求證：；
②若，，求點A的坐標及的長度．
22．某商店銷售一批頭盔，售價為每頂80元，每月可售出200頂，在“創建文明城市”期間，計劃將頭盔降價銷售，但不能虧本，且降價需大于0元．經調查發現：每頂降價1元，每月可多售出10頂．已知頭盔的成本為每頂50元．
(1)當每月獲利5250元時，求此時每頂頭盔的售價．
(2)當每頂頭盔售價多少元時，每月的銷售利潤最大？最大利潤是多少元？
23．風電項目對于調整能源結構和轉變經濟發展方式具有重要意義．某電力部門在一處坡角為的坡地新安裝了一架風力發電機，如圖1．某校實踐活動小組對該坡地上的這架風力發電機的塔桿高度進行了測量，圖2為測量示意圖．已知斜坡長16米，在地面點處測得風力發電機塔桿頂端點的仰角為，利用無人機在點的正上方53米的點處測得點的俯角為，求該風力發電機塔桿的高度．（參考數據：，，）

24．如圖，在正方形網格中，每個小正方形的邊長都是1個單位長度，在平面直角坐標系中，的三個頂點坐標分別為．
(1)將向上平移5個單位長度，再向右平移1個單位長度，得到，畫出兩次平移后的，并寫出點的坐標；
(2)畫出繞原點O逆時針旋轉后得到的，并寫出點的坐標；
(3)在（2）的條件下，求點旋轉到點的過程中，所經過的路徑長（結果保留π）．
25．如圖，內接于，是直徑，的平分線交于點，交于點，連接，作，交的延長線于點．
(1)試判斷直線與的位置關系，并說明理由；
(2)若，，求的長．
參考答案
題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D C B B D C D C A
11．
12．/
13．2
14．-1
15．4
16．
17．①②③④
18．
19．（1）證明：∵四邊形是正方形，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴由三角形內角和定理得：，
在和中，
∴．
（2）解：設正方形的邊長為a，
∵為的中點，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴由勾股定理得：，
∵，
∴，即，
∵四邊形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
20．解：（1）設方程的另一根為x1，
∵該方程的一個根為1，
∴，
解得．
∴a的值為，該方程的另一根為．
（2）∵，
∴不論a取何實數，該方程都有兩個不相等的實數根．
21．（1）解：連接，
∵，，
∴，
∴，
又∵，
∴；
（2）①證明：延長交于點E，連接，
則，是的直徑，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
解：設，則，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，即∴，
解得，
∴點A的坐標為，，，
∴．
22．（1）設降價元，每月的利潤為5250元，
根據題意，得，
解得，（不合題意舍去），
答：頭盔的銷售單價為65元．
（2）設降價元，每月的利潤為元，
根據題意得，，
不能虧本且降價不低于0元，
當時，每月的銷售利潤最大，
答：當每頂頭盔售價75元時，每月的銷售利潤最大，最大利潤是6250元．
23．解：過點P作于點F，延長交延長線于點E，
根據題意可得：、垂直于水平面，，，，
∴，
∵米，
∴（米），
設米，則米，
∵，，
∴米，
∵，，，
∴四邊形為矩形，
∴米，米，
∵米，
∴米，
∵，
∴，
∴，即，
解得：，
答：該風力發電機塔桿的高度為32米．

24．（1）解：如圖，即為所求：
∵，
∴向上平移5個單位長度，再向右平移1個單位長度得到，即；
（2）解：如圖，即為所求，；
（3）解：，
∴點旋轉到點的過程中，所經過的路徑長為
25．（1）解：直線是的切線．理由如下：
如圖，連接、，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵是的半徑，
∴是的切線；
（2）在中，，
∵，，，
∴，即：，
解得：，
∴的半徑為，
∵是的直徑，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，
，即，
解得：或（負值不符合題意，舍去），
∴，
∵，，，
∴，即，
∴．
即的長為．

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