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高中數學人教A版（2019）必修第一冊
第四章 指數函數與對數函數 4.2 指數函數
一、單選題
1.若函數為指數函數，則實數的取值范圍是（ ）
A.
B.
C.
D.
2.如圖是指數函數；；；的圖象，則與1的大小關系是（ ）
A.
B.
C.
D.
3.已知函數的圖象與指數函數的圖象關于軸對稱，則實數的值是（ ）
A. 1
B. 2
C. 4
D. 8
4.若，則實數的取值范圍是（ ）
A.
B.
C.
D.
5.函數（且）在上的最大值比最小值大，則的值為（ ）
A. 或
B.
C.
D. 2或3
6.函數的定義域為（ ）
A.
B.
C.
D.
二、多選題（共3小題，基礎題1道，中檔題2道）
7.（2024浙江浙南名校聯盟期中）如圖，某池塘里浮萍的面積（單位：）與時間（單位：月）的關系式為，其中且，且，則下列說法正確的是（ ）
A. 浮萍每月增加的面積都相等
B. 第6個月時，浮萍的面積會超過
C. 浮萍從蔓延到只需經過5個月
D. 若浮萍蔓延到，，所經過的時間分別為，，，則
8.已知函數，，且，則下列式子可能成立的是（ ）
A.
B.
C.
D.
9.下列命題中正確的是（ ）
A. 函數的值域為
B. 函數的值域為
C. 函數的值域為
D. 函數的值域為
三、填空題
10.（2025北京師范大學附屬實驗中學月考）已知函數，若，則________。
11.解不等式，其解集為________。
12.已知函數，若函數的圖象與軸有兩個交點，則實數的取值范圍是________。
四、解答題
13.（2025河南九校聯盟期末）某種藥物被服用后，在人體內大致要經過釋放和代謝兩個主要過程，已知在藥物釋放過程中，血液中的藥物濃度與時間成正比，藥物釋放完畢后，與的函數關系式為（，且，是常數），如圖所示。
（1）根據圖象寫出關于的函數表達式；
（2）據測算，藥物濃度不低于時才有效，求該藥物的有效時長。
14.已知函數（且），其中均為實數。
（1）若函數的圖象經過點，，求函數的值域；
（2）若函數的定義域和值域都是，求的值。
15.已知函數（其中為常數，且，，）的圖象經過點，。
（1）求函數的解析式；
（2）若不等式在區間上恒成立，求實數的取值范圍。
一、單選題
1.答案：A
解析：指數函數定義為（且），故且：
由得；
由得；
綜上，。
2.答案：B
解析：指數函數圖象性質：
底數時，函數遞減，且底數越小，圖象越靠近軸（如(1)(2)），故；
底數時，函數遞增，且底數越大，圖象越靠近軸（如(3)(4)），故；
綜上，。
3.答案：C
解析：若與關于軸對稱，則（因關于軸對稱的函數為）：
本題中，故；
解方程得，驗證（滿足底數要求）。
4.答案：A
解析：底數，指數函數單調遞減，故不等式等價于：
指數關系：；
解得，即。
5.答案：A
解析：分兩種情況討論指數函數單調性：
當時，在上遞增，最大值，最小值，故，解得（舍去）；
當時，在上遞減，最大值，最小值，故，解得（舍去）；
綜上，或。
6.答案：B
解析：定義域需滿足兩個條件：
根號內非負：；
分母不為0：；
綜上，。
二、多選題
7.答案：BCD
解析：由圖象得浮萍面積公式：
代入時，得；代入時，得，故。
A錯誤：每月增加面積不相等（如增2，增4）；
B正確：時，；
C正確：從到，；
D正確：設蔓延到的時間為，則，，，故。
8.答案：BCD
解析：設（）：
A錯誤：若則，若則，矛盾；
B正確：時，，，因，故；
C正確：時，；
D正確：時，，故。
9.答案：BCD
解析：
A錯誤：，指數，故，值域；
B正確：，（根號非負），故；
C正確：設，則，開口向上，時；
D正確：，，故。
三、填空題
10.答案：
解析：，由得，故。
11.答案：
解析：底數，指數函數遞增，故。
12.答案：
解析：分段函數與軸有兩個交點：
時，，需；
時，，需；
綜上，。
四、解答題
13.解：（1） 分兩段討論：
藥物釋放階段（）：與成正比，設。
由圖象知時，代入得，故。
藥物代謝階段（）：（）。
代入時，時：
兩式相除得（），代入得，故。
綜上，函數表達式為：
（2） 分兩段解不等式：
當時：，故。
當時：，化簡為，因遞增，故，故。
有效時長為（小時）。
14.解：（1） 由過、：
代入：；
代入：；
故。
因，故。
（2） 分和討論：
當時：遞增，故定義域對應值域：
解得，（無解，舍去）。
當時：遞減，故定義域對應值域：
解得，。
故。
15.解：（1） 由過、：
兩式相除得（），代入得，故。
（2） 不等式在恒成立，即。
設：
和在上均遞減，故遞減；
在上的最小值為。
故，即的取值范圍為。

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