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人教版八年級上同步分層訓練15.3等腰三角形
一、夯實基礎
1．如圖，△ABC 是等邊三角形，點 D 在 AC 邊上，∠DBC=40°，則∠ABD 的度數為(　　)
A．15° B．20° C．25° D．30°
【答案】B
【知識點】等邊三角形的性質
【解析】【解答】解：∵ △ABC 是等邊三角形，
∴ ∠ABC=60°，
∵ ∠DBC = 40°，
∴ ∠ABD =∠ABC-∠DBC=20°.
故答案為：B
【分析】根據等邊三角形性質可得∠ABC=60°，再根據角之間的關系即可求出答案.
2．（2025八上·期末） 如圖是蹺蹺板示意圖，橫板AB繞中點O 上下轉動，立柱 OC與地面垂直，當橫板AB 的A 端著地時，測得∠OAC=30°，若OC=0.5m ，則AB 的長為 (　　)
A．0.5m B．1m C．1.5m D．2m
【答案】D
【知識點】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：由題意知，OC⊥AC，
∵∠OAC=30°，OC=0.5m，
∴AO=2OC=1m ，
又∵點O 是AB的中點，
∴AB=2AO=2m.
故答案為：D
【分析】根據含30°角的直角三角形性質可得AO=2OC=1m ，再根據線段中點即可求出答案.
3．（人教版八年級數學上冊 13.4 課題學習 最短路徑問題 同步練習）如圖，在△ABC中，AB=AC，AD、CE是△ABC的兩條中線，P是AD上一個動點，則下列線段的長度等于BP+EP最小值的是（　　）
A．BC B．CE C．AD D．AC
【答案】B
【知識點】等腰三角形的性質
【解析】【解答】解：如圖連接PC，
∵AB=AC，BD=CD，
∴AD⊥BC，
∴PB=PC，
∴PB+PE=PC+PE，
∵PE+PC≥CE，
∴P、C、E共線時，PB+PE的值最小，最小值為CE的長度，
故答案為：B.
【分析】先添加輔助線連接PC，然后根據等腰三角形的性質可得AD⊥BC，從而確定PB=PC，再根據三角形的三邊關系可得最小值.
4．（2024八上·吳興月考）如圖，中，，，要求用圓規和直尺作圖，把它分成兩個三角形，其中一個三角形是等腰三角形，其作法錯誤的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知識點】等腰三角形的判定與性質；尺規作圖-垂直平分線
【解析】【解答】、由圖可知，以點為圓心，為半徑畫弧，交于點，
∴，
∵中，，，
∴∠A=180°-∠C-∠B=60°，
又∵，
∴△ADC是等邊三角形，
∴∠ACD=60°，
∴∠DCB=∠ACD-∠ACD=30°，
又∵，
∴∠DCB=∠B，
∴DB=DC
∴△DBC是等腰三角形，
即此圖中有兩個等腰三角形，故A符合題意；
、由圖可知，DE是BC的垂直平分線，
∴和不一定等腰三角形，符合題意；
、由圖可知，分別以點，點為圓心，大于為半徑畫圓弧，連接弧線，交于點，交于點，
∴是等腰三角形，不符合題意；
、由圖可知，分別以點，點為圓心，大于為半徑畫圓弧，連接弧線，交于點，交于點，
∴和是等腰三角形，不符合題意；
故答案為：．
【分析】本題考查尺規作圖和等腰三角形的判定，對各項的尺規作圖分析，再根據等腰三角形的判定判斷即可，解題的關鍵是掌握基本的尺規作圖，熟練掌握垂直平分線的性質的應用．
5． 如圖，在△ABC 中，D 在AC 上，E 在AB上，且AB=AC，BC=BD，AD=DE=BE，則∠A的度數為(　　).
A．30° B．45° C．60° D．75°
【答案】B
【知識點】三角形內角和定理；等腰三角形的性質
【解析】【解答】解： ∵DE=EB
∴設∠BDE=∠ABD=x，
∴∠AED=∠A=2x，
∴∠BDC=∠C=∠ABC=3x，
在△ABC中，3x+3x+2x=180°，
解得x=22.5°．
∴∠A=2x=22.5°×2=45°．
故選B．
【分析】 本題考查了等腰三角形的性質，注意掌握，①求角的度數常常要用到“三角形的內角和是180°”這一隱含的條件；②三角形的外角通常情況下是轉化為內角來解決．
6．（2020八上·長春月考）已知等腰三角形兩邊的長分別為3和7，則此等腰三角形的周長為（　　）
A．13 B．17 C．13或17 D．13或10
【答案】B
【知識點】三角形三邊關系；等腰三角形的性質
【解析】【解答】解：當腰為3，底邊為7時，由于3+3＜7，不能構成三角形，故此種情況須舍去；
當腰為7，底邊為3時，能構成三角形，此時三角形的周長=7+7+3=17．
故答案為：B．
【分析】分腰為3和腰為7兩種情況并結合三角形的三邊關系解答即可．
7．（2025八上·鎮海區期末）已知等腰三角形，若邊上的高線與邊的夾角為，則邊的長為　 　．
【答案】
【知識點】等邊三角形的判定與性質
8．如圖，在△ABC 中，已知∠ACB=90°，AC=BC，D 是邊AB 上的動點，連接CD，點 B 關于直線CD 的對稱點為E，射線AE 與射線CD 交于點 F.
（1）連接CE，求證：∠CAE=∠CEA.
（2）當 BD（3）若AD=AC，求證：AE=CD.
【答案】（1）證明： ：點B關于直線CD的對稱點為E，
∴BC = CE，
∵AC= BC，
∴AC = CE，
∴△ACE是等腰三角形，
∴∠CAE=∠CEA；
（2）解：點B關于直線CD的對稱點為E，
∴CF垂直平分BE，
∵CE= CB= CA，
∴∠CAE= ∠CEA， ∠CBE= ∠CEB，
∴∠CEB +∠AEC'= (360°- 90°)÷2 = 135°，
∴∠BEF= 45°，
∴∠AFC = 45°；
（3）相等，證明如下：
由(1) 知，AD= AC= CE，
∵AC = CD，
∴∠ADC= 67.5°，
又∵∠ADC=∠DCB+∠ABC，
∴∠DCB = 22.5°，
又∵點B關于直線CD的對稱點為E，
∴∠ECD=∠DCB= 22.5°，
∴ ACE=∠ACB-∠ECD-∠DCB= 45°，
在△ACD與△CAE中，
∴△ACD≌△CAE（SAS）
∴AE=CD
【知識點】三角形全等及其性質；等腰三角形的判定與性質
【解析】【分析】 (1)由點B關于直線CD的對稱點為E，得BC = CE再根據AC= BC，可知CA = CE，從而證明結論；
(2)根據等邊對等角得∠CAE=∠CEA， ∠CBE=∠CEB，則∠CEB +∠AEC = (360°- 90°)÷2= 135°，再根據CF垂直平分BE，可得答案；
(3)當AD= AC，則∠ADC= 67.5°，得∠BCD= 22.5°，由軸對稱的性質得∠ECD=∠DCB =22.5°，從而∠ACE=∠ACB-∠ECD-∠DCB= 45°，再利用SAS證明△AEC≌△ADC即可.
9．（2024八上·東陽期中）如圖，在中，點是邊上的一點，連結，垂直平分，垂足為，交于點．連結．
（1）若的周長為，的周長為，求的長．
（2）若，，求的度數．
【答案】（1）解：垂直平分，
，，
的周長為，的周長為，
，，
，
（2）解：∵，，，
，
，
，
，
，

【知識點】三角形外角的概念及性質；線段垂直平分線的性質；等腰三角形的性質
【解析】【分析】（1）利用垂直平分線的性質（垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等）得到BA=BE和DA=DE，再結合 和 的周長關系，通過等量代換即可求出BA 的長度；
（2）先求出三角形內角和定理求出再根據等腰三角形的性質求出，進一步求得，最后利用三角形的外角性質即可求出的度數。
（1）解：垂直平分，
，，
的周長為，的周長為，
，，
，
．
（2）解：∵，，
，
，
，
，
，
，
．
二、能力提升
10．如圖，一場暴雨過后，垂直于地面的一棵樹在距離地面2m 處折斷，樹尖B 恰好碰到地面，經測量∠ABC=30°，則樹原來的高度為 (　　)
A．6m B．9m C．10m D．12m
【答案】A
【知識點】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：在 Rt△ABC 中，
∵∠ABC=30°，AC=2m，
∴ BC=4m ，
∴ 樹原來的高度為AC+BC=6(m).
故答案為：A
【分析】根據含30°角的直角三角形性質可得BC，再根據邊之間的關系即可求出答案.
11．在平面直角坐標系中，已知點 A(3，-3)，P是y 軸上一點，則使△AOP 為等腰三角形的點 P 共有(　　)個.
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【知識點】坐標與圖形性質；等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：如圖所示：
以O為圓心，AO長為半徑畫弧，交y軸兩點B3、B4；
以A為圓心，AO長為半徑畫弧，交y軸一點B1；
過A作y軸的垂線，交y軸于一點B2．
故答案為：4．
【分析】 已知A(3，-3)，點P是y軸上一點，所以AO可以為腰，也可以為底，應分情況進行討論.本題考查了等腰三角形的判定及坐標與圖形的性質；解答本題極易漏解，所以解答時，應分別以AO為腰和底邊兩種情況進行討論.
12．如圖，在△ABC中，AB=BC，在BC上取點M，在MC上取點N，使MN=NA，若∠BAM=∠NAC，則∠MAC=　 　.
【答案】60°
【知識點】三角形內角和定理；三角形外角的概念及性質；等腰三角形的性質
【解析】【解答】解： ∵AB=BC，∠BAM=∠NAC，
∴∠BAC=∠BCA=∠BAM+∠NAC+∠MAN=2∠BAM+∠MAN．
∵MN=NA，
∴∠MAN=∠AMN=∠B+∠BAM，
∴∠BAC=∠BCA=2∠BAM+∠B+∠BAM=∠B+3∠BAM
∴∠B+2（∠B+3∠BAM）=180°，即∠B+2∠BAM=60°
又∵∠B+2（∠MAN+2∠BAM）=180°，即∠B+2∠BAM+2∠BAM+2∠MAN=180°，即2（∠BAM+∠MAN）=180°-60°=120°
∴∠MAC=∠NAC+∠MAN=∠BAM+∠MAN=60°．
故答案為：60．
【分析】 設∠BAM=∠CAN=x，∠MAN=y， 再由MN=NA得出∠AMN=∠MAN=y，故可得出∠B=y-x，同理可得∠C=∠BAC=2x+y，再由三角形內角和定理即可得出結論.本題考查的是等腰三角形的性質，涉及到三角形內角和定理及三角形外角的性質，熟知等腰三角形的兩個底角相等是解答此題的關鍵.
13．（2025八上·西湖期末）如圖，在中，點D，E在上，，，若，則的度數為　 　．
【答案】
【知識點】三角形內角和定理；等腰三角形的性質
【解析】【解答】解：∵AC= AE，BC=BD，
∴∠AEC=∠ACE，∠BDC=∠BCD，
設∠AEC=∠ACE=x°，∠BDC=∠BCD=y°，
∴∠A=180°-2x°，∠B=180°-2y°，
∵∠DCE=180°-(∠AEC+∠BDC)=180°-(x°+y°)=20°，
∴x°+y°=160°，
∵∠ACB+∠A+∠B=180°，
∴∠ACB+(180°-2x°)+(180°-2y°)=∠ACB+360°-2(x°+y°)=∠ACB+360°-2×160°=180°，
∴∠ACB=140°，
故答案為：140°．
【分析】根據題意，找出等腰三角形，找出相等的邊與角度，設出未知量，找出滿足條件的方程，求解，即可得出結論.
14．（2025八上·敘永期末）如圖，在等邊中，，是延長線上一點，且，是上一點，且，則的長為　 　．
【答案】3
【知識點】等腰三角形的性質；等邊三角形的判定與性質；含30°角的直角三角形
15．（2024八上·吳興期中）為了測量一條兩岸平行的河流的寬度，三個數學研究小組設計了不同的方案，他們在河南岸的點處測得河北岸的樹恰好在的正北方向，測量方案如下表：
課題 測量河流寬度
工具 測量角度的儀器，標桿，皮尺等
小組 第一小組 第二小組 第三小組
測量方案 觀察者從點向東走到點，此時恰好測得 觀測者從點出發，沿著南偏西的方向走到點，此時恰好測得 觀測者從點向東走到點，在點插上一面標桿，繼續向東走相同的路程到達點后，一直向南走到點，使得樹，標桿，人在同一直線上
測量示意圖
（1）第一小組認為要知道河寬，只需要知道線段__________的長度．
（2）第二小組測得米，請你幫他們求出河寬．
（3）第三小組認為只要測得就能得到河寬，你認為第三小組的方案可行嗎 如果可行，請給出證明；如果不可行，請說明理由．
【答案】（1）
（2）解：，，
，
，
（米），
河寬為米
（3）解：可行，理由如下：
由題意可知：，
在和中，
，
，
，
只要測得就能得到河寬，
故第三小組的方案可行，
答：第三小組的方案可行
【知識點】垂線段最短及其應用；等腰三角形的判定；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】（1）解：，，
，
，
，
要知道河寬，只需要知道線段的長度，
故答案為：；
【分析】（1）由直角三角形的兩個銳角互余可得，則可得，根據等角對等邊得可求解；
（2）由三角形外角的性質“三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角之和”可求得∠CAB的度數，然后由等角對等邊得AB=BC可求解；
（3）由題意可知，結合已知，用角邊角可證得，根據全等三角形的對應邊相等可求解．
（1）解：，，
，
，
，
要知道河寬，只需要知道線段的長度，
故答案為：；
（2）解：，，
，
，
（米），
河寬為米；
（3）解：可行，證明如下：
由題意可知：，
在和中，
，
，
，
只要測得就能得到河寬，
故第三小組的方案可行，
答：第三小組的方案可行．
16．（2024八上·衢江期末）如圖1，在等邊三角形中，點D是邊上的一點，點E是延長線上的一點，且．
（1）【特例探究】如圖2，當D是的中點時，求的度數．
（2）【猜想證明】小兵由圖2發現，進而猜想：當D是邊上的任意一點時，．請你利用圖1幫助小兵證明這個結論．
（3）【拓展應用】如圖3，當D是邊上的任意一點時，取的中點F，連結，，求的度數．
【答案】（1）解：等邊三角形，
，
，
D是的中點，
，
，
，
；
（2）證明：取，連接，如圖所示：，
AI
為等邊三角形，
，，
為等邊三角形，
，，
，
，
，
，
，
；
（3）解：延長至，使，連接，如圖所示：
F為的中點，
，
在與中，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
在與中，
，
，
．
【知識點】平行線的判定與性質；等邊三角形的判定與性質；線段的中點；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中對應邊的關系
【解析】【分析】（1）先得到，再利用中點的定義推出，然后根據等邊對等角解題即可．
（2）取，連接，即可得到為等邊三角形，然后得到，解題即可．
（3）延長至，使，連接，得到，即可得到，，進而求出，再推導得到，即可得到，然后利用解題即可．
（1）解：等邊三角形，
，
，
D是的中點，
，
，
，
；
（2）證明：取，連接，如圖所示：，
AI
為等邊三角形，
，，
為等邊三角形，
，，
，
，
，
，
，
；
（3）解：延長至，使，連接，如圖所示：
F為的中點，
，
在與中，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
在與中，
，
，
．
三、拓展創新
17．（2019八上·重慶期末）如圖，已知每個小方格的邊長為1，A，B兩點都在小方格的頂點上，請在圖中找一個頂點C，使△ABC為等腰三角形，則這樣的頂點C有（　　）
A．8個 B．7個 C．6個 D．5個
【答案】A
【知識點】等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：如圖，
當AB為底時，作AB的垂直平分線，可找出格點C的個數有5個，
當AB為腰時，分別以A、B點為頂點，以AB為半徑作弧，可找出格點C的個數有3個；
∴這樣的頂點C有8個.
故答案為：A.
【分析】利用方格紙的特點及等腰三角形的判定方法，分：①以AB為底，②以AB為腰且A為等腰三角形頂角的頂點，③以AB為腰且B為等腰三角形頂角的頂點，三種情況分類討論即可得出符合條件的點C，從而得出答案。
18．（2024八上·昆明期中）如圖，已知，，點、、…在射線上，點、、在射線上，、、、均為等邊三角形，若，則的邊長為（　　）
A．16 B．32 C．64 D．128
【答案】C
【知識點】平行線的性質；三角形外角的概念及性質；等邊三角形的性質；用代數式表示圖形變化規律
【解析】【解答】是等邊三角形，
，，
，
，
，
又，
，
，
，
，
、是等邊三角形，
，，
，
，
，，
，
，，，
以此類推：的邊長為，
的邊長為：．
故答案為：C．
【分析】本題考查等邊三角形的性質，平行線的性質、三角形外角的性質，熟知等邊三角形的性質是解題關鍵.
根據等邊三角形的性質：三邊相等，三個角都是60°以及平行線的性質：內錯角相等，兩直線平行可得：，以及，得出，，…根據上述規律，可知：的邊長為：，由此可得出答案．
19．（2023八上·如皋月考）如圖，，面積為12，平分交于D，交的延長線于E，連接，則的面積為（　　）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】A
【知識點】等腰三角形的判定與性質
20．（2025八上·海珠期末）已知，如圖，是等邊三角形，，于，交于點，下列說法：①，②，③，④，其正確的結論有（　　）．
A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③④
【答案】D
【知識點】三角形外角的概念及性質；等邊三角形的性質；含30°角的直角三角形；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵是等邊三角形，
∴，．
在和中，
，
∴．
∴，
∵，
∴，
∴，
故①正確．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴，
故③正確．
∵，
∴，
故④正確．
若，，則為等腰直角三角形，，但題目中沒有此條件，故②錯誤．
綜上所述：正確的結論有①③④，
故答案為：D.
【分析】根據全等三角形的判定與性質，等邊三角形的性質和含30°直角三角形的性質等對每個結論逐一判斷求解即可。
21．（2022八上·渝中期中）如圖，在中，，，于點D，平分交于點E，交于點G，過點A作于點H，交于點F，下列結論：①；②；③；④，其中正確的序號有　 　．
【答案】①③④
【知識點】線段垂直平分線的性質；等腰三角形的判定與性質；三角形全等的判定-SAS
22．（2025八上·敘永期末）如圖，是邊長為的等邊三角形，點，分別從頂點，同時出發，沿線段，運動，且它們的速度都為．當點到達點時，兩點停止運動．設點的運動時間為．當　 　時，是直角三角形．
【答案】或
【知識點】等邊三角形的性質；含30°角的直角三角形
23．（2024八上·柯橋月考）已知在中，，，點是平面內一點，連接、、，．
（1）如圖1，點在的內部．
①當，求的度數；
②當平分，判斷的形狀，并說明理由；
（2）如果直線與直線相交于點，如果是以為腰的等腰三角形，求的度數（直接寫出答案）．
【答案】（1）解：①在中，，，
，
，
又，
，
，，
，
在中，，，
；
②為等邊三角形，理由如下：
如圖1所示：
平分，
設，則，
在中，，
，
∵ ，，
∴，
，
在中，，，
，
，，
在中，，
，
，，，
∴∠ACB=∠CAB=∠CBA，
為等邊三角形
（2）的度數為或
【知識點】等腰三角形的判定與性質；等邊三角形的判定
【解析】【解答】（2）解：的度數為或，理由如下：
直線與直線相交于點，且是以為腰的等腰三角形，
有以下兩種情況：
①當直線與線段交于點時，如圖2①所示：
設，
是以為腰的等腰三角形，即，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
即，
②當直線與的延長線交于點時，如圖2②所示：
設，
，
，
是以為腰的等腰三角形，即，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
綜上所述：的度數為或．
故答案為：或．
【分析】（1）①先根據等角對等邊得的度數，由三角形的內角和得的度數，再利用周角得∠BOC的度數，再推出，根據等角對等邊得的度數；
②設，則可表示出，根據等邊對等角得的度數，再推出得的度數，可表示出、，再根據三角形內角和定理列方程計算的值，進而得、、，由此可判定的形狀；
（2）分兩種情況討論如下：①當直線與線段交于點時，設，則可依次表示出、、，再根據三角形內角和定理列方程計算出，即可寫出的度數 ，②當直線與的延長線交于點時，設，則可依次表示出、、，再根據三角形內角和定理列方程計算，即可寫出的度數 ，綜上所述即可得出的度數．
（1）解：①在中，，，
，
，
又，
，
，，
，
在中，，，
；
②為等邊三角形，理由如下：
如圖1所示：
平分，
設，則，
在中，，
，
在中，，
，
在中，，，
，
，，
在中，，
，
，，，
為等邊三角形；
（2）解：的度數為或，理由如下：
直線與直線相交于點，且是以為腰的等腰三角形，
有以下兩種情況：
①當直線與線段交于點時，如圖2①所示：
設，
是以為腰的等腰三角形，即，
，
，
，
在中，，
，
，
，
，
即，
②當直線與的延長線交于點時，如圖2②所示：
設，
，
，
是以為腰的等腰三角形，即，
，
，
在中，，
，
，
，
，
，
綜上所述：的度數為或．
24．（2024八上·紹興競賽）【概念學習】
規定①：如果一個三角形的三個角分別等于另一個三角形的三個角，那么稱這兩個三角形互為“形似三角形”．
規定②：從三角形（不是等腰三角形）一個頂點引出一條射線與對邊相交，頂點與交點之間的線段把這個三角形分割成兩個小三角形，如果分得的兩個小三角形中一個為等腰三角形，另一個與原來三角形是“形似三角形”，我們把這條線段叫做這個三角形的“等腰分割線”．
（1）【概念理解】
如圖1，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，CD平分∠ACB，則△CBD與△ABC　 　（填“是”或“不是”）互為“形似三角形”．
（2）如圖2，在△ABC中，CD平分∠ACB，∠A＝36°，∠B＝48°．求證：CD為△ABC的等腰分割線；
（3）【概念應用】
在△ABC中，∠A＝45°，CD是△ABC的等腰分割線，直接寫出∠ACB的度數．
【答案】（1）是
（2）解：∵∠A=36°，∠B=48°，
∴∠ACB=180°-36°-48°=96°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD=∠ACB=48°，
∴∠BCD=∠B=∠ACD，
∴△BCD是等腰三角形，
∴∠ADC=∠BCD+∠B=96°，
在△ABC和△ACD中，
∠A=∠A，∠B=∠ACD，∠ACB=∠ADC，
∴△ABC與△ACD互為“形似三角形”
∴CD為△ABC的等腰分割線.
（3）解：105°或112.5°
【知識點】角的運算；三角形內角和定理；等腰三角形的性質
【解析】【解答】解：（1）∵∠A=36°，AB=AC，
∴∠B=∠ACB=72°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠BCD=∠ACB=36°，
∵∠B=72°，
∴∠BDC=72°
∴ △CBD與△ABC 互為“形似三角形”.
故答案為：是.
（3）Ⅰ、當△ACD是等腰三角形時，
①如圖1，
當AD=CD時，則∠ACD=∠A=45°，
∴∠BDC=∠ACD+∠A=90°，
此時，△ABC、△CBD是“形似三角形”，∠BCD=∠A=45°，
∴∠ACB=90°（不符合題意，故舍去）；
②如圖2，
當AC=AD時，則∠ACD=∠ADC==67.5°，
此時△ABC、△CBD是“形似三角形”，可知∠BCD=∠A=45°，
∠ACB=∠BCD+∠ACD=112.5°；
③AC=CD情況不存在；
Ⅱ、當△BCD是等腰三角形時，
①如圖3，
當CD=BD時，則∠BCD=∠B，
此時，△ABC、△ACD是“形似三角形”，可知∠ACD=∠B，
∵∠A+∠ACB+∠B=180°；
∴∠A+∠ACD+∠BCD+∠B=180°，
即45°+3∠B=180°，
∴∠B=45°，
此時∠ACB=90°（不符合題意，故舍去）；
②如圖4，
當BC=BD時，則∠BCD=∠BDC，
此時△ABC、△ACD是“形似三角形”，可知可知∠ACD=∠B，
∵∠BDC=∠A+∠ACD且∠BDC+∠BCD+∠B=180°，
即3∠B+2∠A=108°，
∴∠B=30°，
此時∠ACB=180°-∠A-∠B=105°；
③當CD=CB時，情況不存在.
故答案為：105°或112.5°.
【分析】（1）利用等腰三角形和角平分線的性質即可得出結論.
（2）利用角平分線的性質和三角形的內角和定理，可得△BCD是等腰三角形，△ABC與△ACD互為“形似三角形”，即可得出結論.
（3）需要△ACD和△BCD分別是等腰三角形兩種情況討論，再根據在等腰三角形中哪倆條邊相等進行分析，計算出∠ACB的度數即可。
1 / 1人教版八年級上同步分層訓練15.3等腰三角形
一、夯實基礎
1．如圖，△ABC 是等邊三角形，點 D 在 AC 邊上，∠DBC=40°，則∠ABD 的度數為(　　)
A．15° B．20° C．25° D．30°
2．（2025八上·期末） 如圖是蹺蹺板示意圖，橫板AB繞中點O 上下轉動，立柱 OC與地面垂直，當橫板AB 的A 端著地時，測得∠OAC=30°，若OC=0.5m ，則AB 的長為 (　　)
A．0.5m B．1m C．1.5m D．2m
3．（人教版八年級數學上冊 13.4 課題學習 最短路徑問題 同步練習）如圖，在△ABC中，AB=AC，AD、CE是△ABC的兩條中線，P是AD上一個動點，則下列線段的長度等于BP+EP最小值的是（　　）
A．BC B．CE C．AD D．AC
4．（2024八上·吳興月考）如圖，中，，，要求用圓規和直尺作圖，把它分成兩個三角形，其中一個三角形是等腰三角形，其作法錯誤的是（　　）
A． B．
C． D．
5． 如圖，在△ABC 中，D 在AC 上，E 在AB上，且AB=AC，BC=BD，AD=DE=BE，則∠A的度數為(　　).
A．30° B．45° C．60° D．75°
6．（2020八上·長春月考）已知等腰三角形兩邊的長分別為3和7，則此等腰三角形的周長為（　　）
A．13 B．17 C．13或17 D．13或10
7．（2025八上·鎮海區期末）已知等腰三角形，若邊上的高線與邊的夾角為，則邊的長為　 　．
8．如圖，在△ABC 中，已知∠ACB=90°，AC=BC，D 是邊AB 上的動點，連接CD，點 B 關于直線CD 的對稱點為E，射線AE 與射線CD 交于點 F.
（1）連接CE，求證：∠CAE=∠CEA.
（2）當 BD（3）若AD=AC，求證：AE=CD.
9．（2024八上·東陽期中）如圖，在中，點是邊上的一點，連結，垂直平分，垂足為，交于點．連結．
（1）若的周長為，的周長為，求的長．
（2）若，，求的度數．
二、能力提升
10．如圖，一場暴雨過后，垂直于地面的一棵樹在距離地面2m 處折斷，樹尖B 恰好碰到地面，經測量∠ABC=30°，則樹原來的高度為 (　　)
A．6m B．9m C．10m D．12m
11．在平面直角坐標系中，已知點 A(3，-3)，P是y 軸上一點，則使△AOP 為等腰三角形的點 P 共有(　　)個.
A．2 B．3 C．4 D．5
12．如圖，在△ABC中，AB=BC，在BC上取點M，在MC上取點N，使MN=NA，若∠BAM=∠NAC，則∠MAC=　 　.
13．（2025八上·西湖期末）如圖，在中，點D，E在上，，，若，則的度數為　 　．
14．（2025八上·敘永期末）如圖，在等邊中，，是延長線上一點，且，是上一點，且，則的長為　 　．
15．（2024八上·吳興期中）為了測量一條兩岸平行的河流的寬度，三個數學研究小組設計了不同的方案，他們在河南岸的點處測得河北岸的樹恰好在的正北方向，測量方案如下表：
課題 測量河流寬度
工具 測量角度的儀器，標桿，皮尺等
小組 第一小組 第二小組 第三小組
測量方案 觀察者從點向東走到點，此時恰好測得 觀測者從點出發，沿著南偏西的方向走到點，此時恰好測得 觀測者從點向東走到點，在點插上一面標桿，繼續向東走相同的路程到達點后，一直向南走到點，使得樹，標桿，人在同一直線上
測量示意圖
（1）第一小組認為要知道河寬，只需要知道線段__________的長度．
（2）第二小組測得米，請你幫他們求出河寬．
（3）第三小組認為只要測得就能得到河寬，你認為第三小組的方案可行嗎 如果可行，請給出證明；如果不可行，請說明理由．
16．（2024八上·衢江期末）如圖1，在等邊三角形中，點D是邊上的一點，點E是延長線上的一點，且．
（1）【特例探究】如圖2，當D是的中點時，求的度數．
（2）【猜想證明】小兵由圖2發現，進而猜想：當D是邊上的任意一點時，．請你利用圖1幫助小兵證明這個結論．
（3）【拓展應用】如圖3，當D是邊上的任意一點時，取的中點F，連結，，求的度數．
三、拓展創新
17．（2019八上·重慶期末）如圖，已知每個小方格的邊長為1，A，B兩點都在小方格的頂點上，請在圖中找一個頂點C，使△ABC為等腰三角形，則這樣的頂點C有（　　）
A．8個 B．7個 C．6個 D．5個
18．（2024八上·昆明期中）如圖，已知，，點、、…在射線上，點、、在射線上，、、、均為等邊三角形，若，則的邊長為（　　）
A．16 B．32 C．64 D．128
19．（2023八上·如皋月考）如圖，，面積為12，平分交于D，交的延長線于E，連接，則的面積為（　　）
A．6 B．8 C．10 D．12
20．（2025八上·海珠期末）已知，如圖，是等邊三角形，，于，交于點，下列說法：①，②，③，④，其正確的結論有（　　）．
A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③④
21．（2022八上·渝中期中）如圖，在中，，，于點D，平分交于點E，交于點G，過點A作于點H，交于點F，下列結論：①；②；③；④，其中正確的序號有　 　．
22．（2025八上·敘永期末）如圖，是邊長為的等邊三角形，點，分別從頂點，同時出發，沿線段，運動，且它們的速度都為．當點到達點時，兩點停止運動．設點的運動時間為．當　 　時，是直角三角形．
23．（2024八上·柯橋月考）已知在中，，，點是平面內一點，連接、、，．
（1）如圖1，點在的內部．
①當，求的度數；
②當平分，判斷的形狀，并說明理由；
（2）如果直線與直線相交于點，如果是以為腰的等腰三角形，求的度數（直接寫出答案）．
24．（2024八上·紹興競賽）【概念學習】
規定①：如果一個三角形的三個角分別等于另一個三角形的三個角，那么稱這兩個三角形互為“形似三角形”．
規定②：從三角形（不是等腰三角形）一個頂點引出一條射線與對邊相交，頂點與交點之間的線段把這個三角形分割成兩個小三角形，如果分得的兩個小三角形中一個為等腰三角形，另一個與原來三角形是“形似三角形”，我們把這條線段叫做這個三角形的“等腰分割線”．
（1）【概念理解】
如圖1，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，CD平分∠ACB，則△CBD與△ABC　 　（填“是”或“不是”）互為“形似三角形”．
（2）如圖2，在△ABC中，CD平分∠ACB，∠A＝36°，∠B＝48°．求證：CD為△ABC的等腰分割線；
（3）【概念應用】
在△ABC中，∠A＝45°，CD是△ABC的等腰分割線，直接寫出∠ACB的度數．
答案解析部分
1．【答案】B
【知識點】等邊三角形的性質
【解析】【解答】解：∵ △ABC 是等邊三角形，
∴ ∠ABC=60°，
∵ ∠DBC = 40°，
∴ ∠ABD =∠ABC-∠DBC=20°.
故答案為：B
【分析】根據等邊三角形性質可得∠ABC=60°，再根據角之間的關系即可求出答案.
2．【答案】D
【知識點】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：由題意知，OC⊥AC，
∵∠OAC=30°，OC=0.5m，
∴AO=2OC=1m ，
又∵點O 是AB的中點，
∴AB=2AO=2m.
故答案為：D
【分析】根據含30°角的直角三角形性質可得AO=2OC=1m ，再根據線段中點即可求出答案.
3．【答案】B
【知識點】等腰三角形的性質
【解析】【解答】解：如圖連接PC，
∵AB=AC，BD=CD，
∴AD⊥BC，
∴PB=PC，
∴PB+PE=PC+PE，
∵PE+PC≥CE，
∴P、C、E共線時，PB+PE的值最小，最小值為CE的長度，
故答案為：B.
【分析】先添加輔助線連接PC，然后根據等腰三角形的性質可得AD⊥BC，從而確定PB=PC，再根據三角形的三邊關系可得最小值.
4．【答案】B
【知識點】等腰三角形的判定與性質；尺規作圖-垂直平分線
【解析】【解答】、由圖可知，以點為圓心，為半徑畫弧，交于點，
∴，
∵中，，，
∴∠A=180°-∠C-∠B=60°，
又∵，
∴△ADC是等邊三角形，
∴∠ACD=60°，
∴∠DCB=∠ACD-∠ACD=30°，
又∵，
∴∠DCB=∠B，
∴DB=DC
∴△DBC是等腰三角形，
即此圖中有兩個等腰三角形，故A符合題意；
、由圖可知，DE是BC的垂直平分線，
∴和不一定等腰三角形，符合題意；
、由圖可知，分別以點，點為圓心，大于為半徑畫圓弧，連接弧線，交于點，交于點，
∴是等腰三角形，不符合題意；
、由圖可知，分別以點，點為圓心，大于為半徑畫圓弧，連接弧線，交于點，交于點，
∴和是等腰三角形，不符合題意；
故答案為：．
【分析】本題考查尺規作圖和等腰三角形的判定，對各項的尺規作圖分析，再根據等腰三角形的判定判斷即可，解題的關鍵是掌握基本的尺規作圖，熟練掌握垂直平分線的性質的應用．
5．【答案】B
【知識點】三角形內角和定理；等腰三角形的性質
【解析】【解答】解： ∵DE=EB
∴設∠BDE=∠ABD=x，
∴∠AED=∠A=2x，
∴∠BDC=∠C=∠ABC=3x，
在△ABC中，3x+3x+2x=180°，
解得x=22.5°．
∴∠A=2x=22.5°×2=45°．
故選B．
【分析】 本題考查了等腰三角形的性質，注意掌握，①求角的度數常常要用到“三角形的內角和是180°”這一隱含的條件；②三角形的外角通常情況下是轉化為內角來解決．
6．【答案】B
【知識點】三角形三邊關系；等腰三角形的性質
【解析】【解答】解：當腰為3，底邊為7時，由于3+3＜7，不能構成三角形，故此種情況須舍去；
當腰為7，底邊為3時，能構成三角形，此時三角形的周長=7+7+3=17．
故答案為：B．
【分析】分腰為3和腰為7兩種情況并結合三角形的三邊關系解答即可．
7．【答案】
【知識點】等邊三角形的判定與性質
8．【答案】（1）證明： ：點B關于直線CD的對稱點為E，
∴BC = CE，
∵AC= BC，
∴AC = CE，
∴△ACE是等腰三角形，
∴∠CAE=∠CEA；
（2）解：點B關于直線CD的對稱點為E，
∴CF垂直平分BE，
∵CE= CB= CA，
∴∠CAE= ∠CEA， ∠CBE= ∠CEB，
∴∠CEB +∠AEC'= (360°- 90°)÷2 = 135°，
∴∠BEF= 45°，
∴∠AFC = 45°；
（3）相等，證明如下：
由(1) 知，AD= AC= CE，
∵AC = CD，
∴∠ADC= 67.5°，
又∵∠ADC=∠DCB+∠ABC，
∴∠DCB = 22.5°，
又∵點B關于直線CD的對稱點為E，
∴∠ECD=∠DCB= 22.5°，
∴ ACE=∠ACB-∠ECD-∠DCB= 45°，
在△ACD與△CAE中，
∴△ACD≌△CAE（SAS）
∴AE=CD
【知識點】三角形全等及其性質；等腰三角形的判定與性質
【解析】【分析】 (1)由點B關于直線CD的對稱點為E，得BC = CE再根據AC= BC，可知CA = CE，從而證明結論；
(2)根據等邊對等角得∠CAE=∠CEA， ∠CBE=∠CEB，則∠CEB +∠AEC = (360°- 90°)÷2= 135°，再根據CF垂直平分BE，可得答案；
(3)當AD= AC，則∠ADC= 67.5°，得∠BCD= 22.5°，由軸對稱的性質得∠ECD=∠DCB =22.5°，從而∠ACE=∠ACB-∠ECD-∠DCB= 45°，再利用SAS證明△AEC≌△ADC即可.
9．【答案】（1）解：垂直平分，
，，
的周長為，的周長為，
，，
，
（2）解：∵，，，
，
，
，
，
，

【知識點】三角形外角的概念及性質；線段垂直平分線的性質；等腰三角形的性質
【解析】【分析】（1）利用垂直平分線的性質（垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等）得到BA=BE和DA=DE，再結合 和 的周長關系，通過等量代換即可求出BA 的長度；
（2）先求出三角形內角和定理求出再根據等腰三角形的性質求出，進一步求得，最后利用三角形的外角性質即可求出的度數。
（1）解：垂直平分，
，，
的周長為，的周長為，
，，
，
．
（2）解：∵，，
，
，
，
，
，
，
．
10．【答案】A
【知識點】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：在 Rt△ABC 中，
∵∠ABC=30°，AC=2m，
∴ BC=4m ，
∴ 樹原來的高度為AC+BC=6(m).
故答案為：A
【分析】根據含30°角的直角三角形性質可得BC，再根據邊之間的關系即可求出答案.
11．【答案】C
【知識點】坐標與圖形性質；等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：如圖所示：
以O為圓心，AO長為半徑畫弧，交y軸兩點B3、B4；
以A為圓心，AO長為半徑畫弧，交y軸一點B1；
過A作y軸的垂線，交y軸于一點B2．
故答案為：4．
【分析】 已知A(3，-3)，點P是y軸上一點，所以AO可以為腰，也可以為底，應分情況進行討論.本題考查了等腰三角形的判定及坐標與圖形的性質；解答本題極易漏解，所以解答時，應分別以AO為腰和底邊兩種情況進行討論.
12．【答案】60°
【知識點】三角形內角和定理；三角形外角的概念及性質；等腰三角形的性質
【解析】【解答】解： ∵AB=BC，∠BAM=∠NAC，
∴∠BAC=∠BCA=∠BAM+∠NAC+∠MAN=2∠BAM+∠MAN．
∵MN=NA，
∴∠MAN=∠AMN=∠B+∠BAM，
∴∠BAC=∠BCA=2∠BAM+∠B+∠BAM=∠B+3∠BAM
∴∠B+2（∠B+3∠BAM）=180°，即∠B+2∠BAM=60°
又∵∠B+2（∠MAN+2∠BAM）=180°，即∠B+2∠BAM+2∠BAM+2∠MAN=180°，即2（∠BAM+∠MAN）=180°-60°=120°
∴∠MAC=∠NAC+∠MAN=∠BAM+∠MAN=60°．
故答案為：60．
【分析】 設∠BAM=∠CAN=x，∠MAN=y， 再由MN=NA得出∠AMN=∠MAN=y，故可得出∠B=y-x，同理可得∠C=∠BAC=2x+y，再由三角形內角和定理即可得出結論.本題考查的是等腰三角形的性質，涉及到三角形內角和定理及三角形外角的性質，熟知等腰三角形的兩個底角相等是解答此題的關鍵.
13．【答案】
【知識點】三角形內角和定理；等腰三角形的性質
【解析】【解答】解：∵AC= AE，BC=BD，
∴∠AEC=∠ACE，∠BDC=∠BCD，
設∠AEC=∠ACE=x°，∠BDC=∠BCD=y°，
∴∠A=180°-2x°，∠B=180°-2y°，
∵∠DCE=180°-(∠AEC+∠BDC)=180°-(x°+y°)=20°，
∴x°+y°=160°，
∵∠ACB+∠A+∠B=180°，
∴∠ACB+(180°-2x°)+(180°-2y°)=∠ACB+360°-2(x°+y°)=∠ACB+360°-2×160°=180°，
∴∠ACB=140°，
故答案為：140°．
【分析】根據題意，找出等腰三角形，找出相等的邊與角度，設出未知量，找出滿足條件的方程，求解，即可得出結論.
14．【答案】3
【知識點】等腰三角形的性質；等邊三角形的判定與性質；含30°角的直角三角形
15．【答案】（1）
（2）解：，，
，
，
（米），
河寬為米
（3）解：可行，理由如下：
由題意可知：，
在和中，
，
，
，
只要測得就能得到河寬，
故第三小組的方案可行，
答：第三小組的方案可行
【知識點】垂線段最短及其應用；等腰三角形的判定；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】（1）解：，，
，
，
，
要知道河寬，只需要知道線段的長度，
故答案為：；
【分析】（1）由直角三角形的兩個銳角互余可得，則可得，根據等角對等邊得可求解；
（2）由三角形外角的性質“三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角之和”可求得∠CAB的度數，然后由等角對等邊得AB=BC可求解；
（3）由題意可知，結合已知，用角邊角可證得，根據全等三角形的對應邊相等可求解．
（1）解：，，
，
，
，
要知道河寬，只需要知道線段的長度，
故答案為：；
（2）解：，，
，
，
（米），
河寬為米；
（3）解：可行，證明如下：
由題意可知：，
在和中，
，
，
，
只要測得就能得到河寬，
故第三小組的方案可行，
答：第三小組的方案可行．
16．【答案】（1）解：等邊三角形，
，
，
D是的中點，
，
，
，
；
（2）證明：取，連接，如圖所示：，
AI
為等邊三角形，
，，
為等邊三角形，
，，
，
，
，
，
，
；
（3）解：延長至，使，連接，如圖所示：
F為的中點，
，
在與中，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
在與中，
，
，
．
【知識點】平行線的判定與性質；等邊三角形的判定與性質；線段的中點；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中對應邊的關系
【解析】【分析】（1）先得到，再利用中點的定義推出，然后根據等邊對等角解題即可．
（2）取，連接，即可得到為等邊三角形，然后得到，解題即可．
（3）延長至，使，連接，得到，即可得到，，進而求出，再推導得到，即可得到，然后利用解題即可．
（1）解：等邊三角形，
，
，
D是的中點，
，
，
，
；
（2）證明：取，連接，如圖所示：，
AI
為等邊三角形，
，，
為等邊三角形，
，，
，
，
，
，
，
；
（3）解：延長至，使，連接，如圖所示：
F為的中點，
，
在與中，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
在與中，
，
，
．
17．【答案】A
【知識點】等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：如圖，
當AB為底時，作AB的垂直平分線，可找出格點C的個數有5個，
當AB為腰時，分別以A、B點為頂點，以AB為半徑作弧，可找出格點C的個數有3個；
∴這樣的頂點C有8個.
故答案為：A.
【分析】利用方格紙的特點及等腰三角形的判定方法，分：①以AB為底，②以AB為腰且A為等腰三角形頂角的頂點，③以AB為腰且B為等腰三角形頂角的頂點，三種情況分類討論即可得出符合條件的點C，從而得出答案。
18．【答案】C
【知識點】平行線的性質；三角形外角的概念及性質；等邊三角形的性質；用代數式表示圖形變化規律
【解析】【解答】是等邊三角形，
，，
，
，
，
又，
，
，
，
，
、是等邊三角形，
，，
，
，
，，
，
，，，
以此類推：的邊長為，
的邊長為：．
故答案為：C．
【分析】本題考查等邊三角形的性質，平行線的性質、三角形外角的性質，熟知等邊三角形的性質是解題關鍵.
根據等邊三角形的性質：三邊相等，三個角都是60°以及平行線的性質：內錯角相等，兩直線平行可得：，以及，得出，，…根據上述規律，可知：的邊長為：，由此可得出答案．
19．【答案】A
【知識點】等腰三角形的判定與性質
20．【答案】D
【知識點】三角形外角的概念及性質；等邊三角形的性質；含30°角的直角三角形；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵是等邊三角形，
∴，．
在和中，
，
∴．
∴，
∵，
∴，
∴，
故①正確．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴，
故③正確．
∵，
∴，
故④正確．
若，，則為等腰直角三角形，，但題目中沒有此條件，故②錯誤．
綜上所述：正確的結論有①③④，
故答案為：D.
【分析】根據全等三角形的判定與性質，等邊三角形的性質和含30°直角三角形的性質等對每個結論逐一判斷求解即可。
21．【答案】①③④
【知識點】線段垂直平分線的性質；等腰三角形的判定與性質；三角形全等的判定-SAS
22．【答案】或
【知識點】等邊三角形的性質；含30°角的直角三角形
23．【答案】（1）解：①在中，，，
，
，
又，
，
，，
，
在中，，，
；
②為等邊三角形，理由如下：
如圖1所示：
平分，
設，則，
在中，，
，
∵ ，，
∴，
，
在中，，，
，
，，
在中，，
，
，，，
∴∠ACB=∠CAB=∠CBA，
為等邊三角形
（2）的度數為或
【知識點】等腰三角形的判定與性質；等邊三角形的判定
【解析】【解答】（2）解：的度數為或，理由如下：
直線與直線相交于點，且是以為腰的等腰三角形，
有以下兩種情況：
①當直線與線段交于點時，如圖2①所示：
設，
是以為腰的等腰三角形，即，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
即，
②當直線與的延長線交于點時，如圖2②所示：
設，
，
，
是以為腰的等腰三角形，即，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
綜上所述：的度數為或．
故答案為：或．
【分析】（1）①先根據等角對等邊得的度數，由三角形的內角和得的度數，再利用周角得∠BOC的度數，再推出，根據等角對等邊得的度數；
②設，則可表示出，根據等邊對等角得的度數，再推出得的度數，可表示出、，再根據三角形內角和定理列方程計算的值，進而得、、，由此可判定的形狀；
（2）分兩種情況討論如下：①當直線與線段交于點時，設，則可依次表示出、、，再根據三角形內角和定理列方程計算出，即可寫出的度數 ，②當直線與的延長線交于點時，設，則可依次表示出、、，再根據三角形內角和定理列方程計算，即可寫出的度數 ，綜上所述即可得出的度數．
（1）解：①在中，，，
，
，
又，
，
，，
，
在中，，，
；
②為等邊三角形，理由如下：
如圖1所示：
平分，
設，則，
在中，，
，
在中，，
，
在中，，，
，
，，
在中，，
，
，，，
為等邊三角形；
（2）解：的度數為或，理由如下：
直線與直線相交于點，且是以為腰的等腰三角形，
有以下兩種情況：
①當直線與線段交于點時，如圖2①所示：
設，
是以為腰的等腰三角形，即，
，
，
，
在中，，
，
，
，
，
即，
②當直線與的延長線交于點時，如圖2②所示：
設，
，
，
是以為腰的等腰三角形，即，
，
，
在中，，
，
，
，
，
，
綜上所述：的度數為或．
24．【答案】（1）是
（2）解：∵∠A=36°，∠B=48°，
∴∠ACB=180°-36°-48°=96°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD=∠ACB=48°，
∴∠BCD=∠B=∠ACD，
∴△BCD是等腰三角形，
∴∠ADC=∠BCD+∠B=96°，
在△ABC和△ACD中，
∠A=∠A，∠B=∠ACD，∠ACB=∠ADC，
∴△ABC與△ACD互為“形似三角形”
∴CD為△ABC的等腰分割線.
（3）解：105°或112.5°
【知識點】角的運算；三角形內角和定理；等腰三角形的性質
【解析】【解答】解：（1）∵∠A=36°，AB=AC，
∴∠B=∠ACB=72°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠BCD=∠ACB=36°，
∵∠B=72°，
∴∠BDC=72°
∴ △CBD與△ABC 互為“形似三角形”.
故答案為：是.
（3）Ⅰ、當△ACD是等腰三角形時，
①如圖1，
當AD=CD時，則∠ACD=∠A=45°，
∴∠BDC=∠ACD+∠A=90°，
此時，△ABC、△CBD是“形似三角形”，∠BCD=∠A=45°，
∴∠ACB=90°（不符合題意，故舍去）；
②如圖2，
當AC=AD時，則∠ACD=∠ADC==67.5°，
此時△ABC、△CBD是“形似三角形”，可知∠BCD=∠A=45°，
∠ACB=∠BCD+∠ACD=112.5°；
③AC=CD情況不存在；
Ⅱ、當△BCD是等腰三角形時，
①如圖3，
當CD=BD時，則∠BCD=∠B，
此時，△ABC、△ACD是“形似三角形”，可知∠ACD=∠B，
∵∠A+∠ACB+∠B=180°；
∴∠A+∠ACD+∠BCD+∠B=180°，
即45°+3∠B=180°，
∴∠B=45°，
此時∠ACB=90°（不符合題意，故舍去）；
②如圖4，
當BC=BD時，則∠BCD=∠BDC，
此時△ABC、△ACD是“形似三角形”，可知可知∠ACD=∠B，
∵∠BDC=∠A+∠ACD且∠BDC+∠BCD+∠B=180°，
即3∠B+2∠A=108°，
∴∠B=30°，
此時∠ACB=180°-∠A-∠B=105°；
③當CD=CB時，情況不存在.
故答案為：105°或112.5°.
【分析】（1）利用等腰三角形和角平分線的性質即可得出結論.
（2）利用角平分線的性質和三角形的內角和定理，可得△BCD是等腰三角形，△ABC與△ACD互為“形似三角形”，即可得出結論.
（3）需要△ACD和△BCD分別是等腰三角形兩種情況討論，再根據在等腰三角形中哪倆條邊相等進行分析，計算出∠ACB的度數即可。
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