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2．1　命題、定理、定義
一、 單項選擇題
1 下列語句中，是命題的是(　　)
A. 兩個奇數的和是奇數嗎
B. sin 45°＝1
C. x2＋2x－1>0
D. x2＋y2＝0
2 下列命題中，是真命題的是(　　)
A. 對角線相等的四邊形是平行四邊形
B. 對角線互相平分且相等的四邊形是矩形
C. 對角線互相垂直的四邊形是菱形
D. 對角線互相垂直平分的四邊形是正方形
3 (2024連云港惠澤高級中學月考)已知命題p：全等三角形的周長相等，命題q：周長相等的三角形全等，則下列說法中正確的是(　　)
A. p和q都是真命題
B. p和q都是假命題
C. p是真命題，q是假命題
D. p是假命題，q是真命題
4 下列命題中，是真命題的是(　　)
A. 若兩個三角形的面積相等，則這兩個三角形全等
B. 若平行四邊形的對角線相等，則這個四邊形是矩形
C. 存在一個實數x，使得|x|<0
D. 所有可以被5整除的整數，末尾數字都是0
5 若命題“關于x的方程ax2＋2x＋1＝0有兩個不等實數根”為真命題，則實數a的取值范圍是　(　　)
A. (－∞，1)
B. (－∞，1]
C. (－∞，0)∪(0，1)
D. (－∞，0)∪(0，1]
6 已知高一年級某班30名同學參加體能測試，給出下列三個判斷：①有人通過了體能測試；②同學甲沒有通過體能測試；③有人沒有通過體能測試．若這三個判斷中只有一個是真，則下列說法中正確的是(　　)
A. 只有1名同學通過了體能測試
B. 只有1名同學沒有通過體能測試
C. 30名同學都通過了體能測試
D. 30名同學都沒通過體能測試
二、 多項選擇題
7 下列說法中，不正確的是(　　)
A. 命題“直角相等”的條件和結論分別是“直角”和“相等”
B. 語句“當a>4時，方程x2－4x＋a＝0有實根”不是命題
C. 命題“對角線互相垂直平分的四邊形是菱形”是真命題
D. “當x＝2時，x2－3x＋2＝0”是真命題
8 (2024遵義正安二中月考)下列命題中，正確的是(　　)
A. 若x，y∈R，且x＋y>2，則x，y至少有一個大于1
B. 直角三角形的外心一定不在斜邊上
C. 如果實數集的非空子集A是有限集，那么A中的元素必然有最大值
D. 任何分數都是有理數
三、 填空題
9 命題“若x>1，則x≥1”是________命題．(填“真”或“假”)
10 (2024徐州毓秀高級中學月考)使“若x Q，則x2∈Q”為假命題的一個x的值為________．
11 (2024聊城月考)已知命題p：5x－1>a，q：x>1，且“若p，則q”為真命題，則實數a的取值范圍是________．
四、 解答題
12 判斷下列語句是否為命題，若是，判斷它們的真假．
(1) 3x2≤5；
(2) x2－x＋7>0；
(3) 若a，b，c，d∈R，a＝c且b＝d，則a＋b＝c＋d；
(4) 若m>，則關于x的方程x2－x＋m＝0無實數根．
13 將下列命題改寫成“若p，則q”的形式，并判斷其真假．
(1) 6是12和18的公約數；
(2) 當a>－1時，方程ax2＋2x－1＝0有兩個不等實根；
(3) 平行四邊形的對角線互相平分；
(4) 已知x，y為非零自然數，當y－x＝2時，y＝4，x＝2.
2.1　命題、定理、定義
1. B　對于A，是疑問句，不是命題；對于C，D，不能判斷真假，不是命題；對于B，是陳述句且能判斷真假，是命題．
2. B　對角線相等的四邊形還可能是等腰梯形，故A不是真命題；對角線互相平分且相等的四邊形是矩形，故B是真命題；對角線互相垂直的四邊形還可能是等腰梯形，故C不是真命題；對角線互相垂直平分的四邊形還可能是菱形，故D不是真命題．
3. C　對于命題p，全等三角形的形狀和大小均相同，故周長相等，故命題p為真命題；對于命題q，只要三角形的三邊和相等，則周長相等，對形狀和大小無要求，故周長相等的三角形不一定全等，故命題q為假命題．故A，B，D錯誤，C正確．
4. B　若兩個三角形的面積相等，由三角形的面積公式可得這兩個三角形底與高的乘積相等，所以兩個三角形不一定全等，故A錯誤；由矩形的定義可知，若平行四邊形的對角線相等，則這個四邊形是矩形，故B正確；因為對于任意實數，|x|≥0，故C錯誤；可以被5整除的整數，末尾數字都是0或者5，故D錯誤．
5. C　由題意，得解得a<1，且a≠0.
6. C　“有人通過了體能測試”與“有人沒有通過體能測試”不可能都為真，若“同學甲沒有通過體能測試”為真，則“有人沒有通過體能測試”必真，不符合題意，所以“同學甲沒有通過體能測試”是假的，即同學甲通過了體能測試，所以②為假，①為真，③為假．由“有人沒有通過體能測試”是假的判斷，得30名同學都通過了體能測試，故C正確．
7. AB　對于A，命題“直角相等”寫成“若p，則q”的形式為：若兩個角都是直角，則這兩個角相等，故A錯誤；對于B，語句“當a>4時，方程x2－4x＋a＝0有實根”是陳述句，當a>4時，Δ＝(－4)2－4a＝4(4－a)<0，方程x2－4x＋a＝0無實根，即“當a>4時，方程x2－4x＋a＝0有實根”為假，故該語句是命題，故B錯誤；對于C，由菱形的定義和性質可知，對角線互相垂直平分的四邊形是菱形，即命題“對角線互相垂直平分的四邊形是菱形”是真命題，故C正確；對于D，當x＝2時，22－3×2＋2＝0，所以“當x＝2時，x2－3x＋2＝0”是真命題，故D正確．故選AB.
8. ACD　對于A，假設x，y都小于或等于1，則x＋y≤1＋1＝2，與題意矛盾，故假設錯誤，故A正確；對于B，直角三角形的外心是斜邊的中點，故B錯誤；對于C，假設非空集合A中的元素無最大值，則集合A必為無限集，這與實數集的非空子集A是有限集矛盾，所以A中的元素必然有最大值，故C正確；對于D，由有理數定義可知任何分數都是有理數，故D正確．故選ACD.
9. 真　因為當x>1時，x≥1一定成立，所以此命題為真命題．
10. π(答案不唯一)
11. [4，＋∞)　設集合A＝{x|x滿足條件p}，B＝{x|x滿足條件q}．由5x－1>a，得x>，則A＝(，＋∞).因為B＝(1，＋∞)，且“若p，則q”為真命題，所以≥1，解得a≥4.故實數a的取值范圍是[4，＋∞).
12. (1) “3x2≤5”不能判斷真假，故不是命題．
(2) x2－x＋7＝＋>0恒成立，
故“x2－x＋7>0”是命題，且該命題為真命題．
(3) 由a，b，c，d∈R，a＝c且b＝d，
得a＋b＝c＋d成立，
即“若a，b，c，d∈R，a＝c且b＝d，則a＋b＝c＋d”是命題，且該命題為真命題．
(4) 關于x的方程x2－x＋m＝0，Δ＝1－4m，
若m>，則1－4m<0，Δ<0，方程x2－x＋m＝0無實數根，
即“若m>，則關于x的方程x2－x＋m＝0無實數根”是命題，且該命題為真命題．
13. (1) 若一個數是6，則它是12和18的公約數．
因為12＝6×2，18＝6×3，
所以6是12和18的公約數，
所以“若一個數是6，則它是12和18的公約數”是真命題．
(2) 若a>－1，則方程ax2＋2x－1＝0有兩個不等實根．
當a＝0時，方程為2x－1＝0，x＝，方程ax2＋2x－1＝0只有1個實根，
所以“若a>－1，則方程ax2＋2x－1＝0有兩個不等實根”是假命題．
(3) 若一個四邊形是平行四邊形，則它的對角線互相平分．
根據平行四邊形的性質可知，“若一個四邊形是平行四邊形，則它的對角線互相平分”是真命題．
(4) 已知x，y為非零自然數，若y－x＝2，則y＝4，x＝2.
當y＝5，x＝3時，滿足y－x＝2，
所以“已知x，y為非零自然數，若y－x＝2，則y＝4，x＝2”是假命題．

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